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1、一次函数基本概念1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题:在匀速运动公式S=U/中,V表达速度,/表达时间,s表达在时间/内所走的路程,则变量是,常量是。在圆的周长公式C=2r,变量是_,常量是.2、函数:一般的,在一个变化过程中,假如有两个变量X和y,并且对于X的每一个拟定的值,y都有唯一拟定的值与其相应,那么我们就把X称为自变量,把y称为因变量,y是X的函数。*判断Y是否为X的函数,只要看X取值拟定的时候,Y是否有唯一拟定的值与之相应例题:下列函数y=ny=2xT(3)y=F(l,)(4)y=21-3x(5)y=J1中,是一次函数的有()
2、(八)4个(B)3个(C)2个(D)1个3、函数的图像一般来说,对于一个函数,假如把自变量与函数的每对相应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.4、函数解析式:用品有表达自变量的字母的代数式表达因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般环节第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其相应的函数值);第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值相应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。6、函数的表达方法列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的相应值是有限的,不易
3、看出自变量与函数之间的相应规律。解析式法:简朴明了,可以准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表达。图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质一般地,形如y=kx(k是常数,k/)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)k不为零X指数为1b取零当k0时,直线y:kx通过三、一象限,从左向右上升,即随X的增大y也增大;当k0,y随X的增大而增大;k0,y随X增大而减小(5)倾斜度:|k;越大,越接近y轴;Ikl越小,越接近X轴例题:.正比例函数y=(3m+5)x,
4、当m时,J,随X的增大而增大.若y=x+2-3b是正比例函数,则8的值是()2 23A.0B.-C.一一D.一一3 32.函数产(21)X,y随X增大而减小,则2的范围是()A.klC.kD.k0时,向上平移;当bVO时,向下平移)(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)(2)必过点:(0,b)和(-2,0)k(3)走向:k0,图象通过第一、三象限;k0,图象通过第一、二象限;bV0,图象通过第三、四象限f&okoO直线通过第一、二、三象限O直线通过第一、三、四象限b0p0(k0任0修O,y随X的增大而增大;k0,y随X增大而减小.(5)倾斜度:Ikl越大,图象越接近于y轴;:k|越小
5、,图象越接近于X轴.(6)图像的平移:当b0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b0,则一次函数y=mx-Fn的图象不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移Ibl个单位长度而得到(当bX)时,向上平移;当b0或ax+b0)y-*x6*一次函数和正比例函数的图象和性质性质(1)当k0时,y随X的噌大而噌大,图象必过第一、三象限;当b0时,过第一、二、三象限;当b=0时,只过第一、三象限;当bVO时,过第一、三、四冢限.(2)当kVO时,y随X的噌大而够小,图象必、
6、过第二、四象限.当b0时,过第一、二、四象限;当b=0时,只过第二、四象限;当bVO时,过第二、三、四家限图象过原点.(1)当k0,y随X的增大而噌大,图象必过第一、三象限;(2)当kVO时,y随X的噌大而诚小,图象必过第二、四象限题型一、点的坐标方法:X轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;若两个点关于X轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;若两个点关于y轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数;1、若点A(m,n)在第二象限,则点(Iml,-n)在第象限;2、若点P(2a-l,2-3b)是第二象限的点,则a
7、,b的范围为3、已知A(4,b),B(a,-2),若A,B关于X轴对称,则a=,b=;若A,B关于y轴对称,则a=,b=;若若A,B关于原点对称,则a=,b=;4、若点M(l-x,l-y)在第二象限,那么点N(1-X,y-1)关于原点的对称点在第象限。题型二、关于点的距离的问题方法:点到X轴的距离用纵坐标的绝对值表达,点到y轴的距离用横坐标的绝对值表达;任意两点A(XA,力),B(,)的距离为J(XA-4)2+(以一/)2;若ABX轴,则A(xa,O),B(XB,0)的距离为IS-x/;若ABy轴,则4(0,力),WO,y)的距离为以一词;点A(XA,%)到原点之间的距离为JX:+y:1、点B
8、(2,2)到X轴的距离是倒y轴的距离是;2、点C(0,-5)到X轴的距离是;到y轴的距离是;到原点的距离是;3、点D(a,b)到X轴的距离是;到y轴的距离是;到原点的距离是;(4、己知点P(3,0),Q(-2,0)则PQ=,已知点M0,-,7V0,一一,则MI2)I2)Q=;E(2,-1),F(2,-8),WJEF两点之间的距离是汜知点G(2,-3)、H(3,4),则G、H两点之间的距离是;5、两点(3,-4)、(5,a)间的距离是2,则a的值为;6、己知点A(0,2)、B(-3,2)、C(a,b),若C点在X轴上,且NACB=90,则C点坐标为.题型三、一次函数与正比例函数的辨认方法:若y=
9、kx+b(k,b是常数,k0),那么y叫做X的一次函数,特别的,当b=0时,一次函数就成为y=kx(k是常数,kW0),这时,y叫做x的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b,这时,y叫做常函数。A与B成正比例UA=kB(kO)1、当k时,y=(Z-3)f+2-3是一次函数;2、当m时,y=(,-3)一m+以一5是一次函数;3、当m时,y=(n-4)x2m+l+4x5是一次函数;4、2y-3与3x+l成正比例,且x=2,y=12,则函数解析式为:题型四、函数图像及其性质方法:函数图象性质通过象限变化规律y=kx+b(k、b为常数,且kN0)k0b0b=0b0k0b=0b0一次函数y=k
10、x+b(k0)中k、b的意义:k(称为斜率)表达直线y=kx+b(k0)的倾斜限度;b(称为截距)表达直线y=kx+b(k0)与y轴交点的,也表达直线在y轴上的同一平面内,不重合的两直线y=k. X +b,系:当 时,两直线平行。当 时,两直线相交。轴上同一点。特殊直线方程:X轴: 直线与X轴平行的直线一、三象限角平分线(kO)与 y =k2 X + b 2 ( k 20)的位置关当 时,两直线垂直。当 时,两直线交于yY轴:直线与Y轴平行的直线二、四象限角平分线1、对于函数y=5X+6,y的值随X值的减小而。2、对于函数,=L2,y的值随X值的而增大。233、一次函数y=(6-3)x+(2n
11、-4)不通过第三象限,则m、n的范围是,4、直线y=(6-3)x+(2n-4)不通过第三象限,则m、n的范围是。5、已知直线y=kx+b通过第一、二、四象限,那么直线y=-bx+k通过第象限。6、无论m为什么值,直线y=X+2m与直线y=-x+4的交点不也许在第象限。7、己知一次函数V=(1-2w)x+(3w-1)(1)当m取何值时,y随X的增大而减小?(2)当m取何值时,函数的图象过原点?题型五、待定系数法求解析式方法:依据两个独立的条件拟定k,b的值,即可求解出一次函数y=kx+b(kWO)的解析式。已知是直线或一次函数可以设y=kx+b(kW0);若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式
12、构建方程。1、若函数y=3x+b通过点(2,-6),求函数的解析式。2、直线y=kx+b的图像通过A(3,4)和点B(2,7),3、如图1表达一辆汽车油箱里剩余油量y(升)与行驶时间(小时)之间的关系.求油箱里所剩油y(升)与行驶时间爪小时)之间的函数关系式,并且拟定自变量X的取值范围。4、一次函数的图像与y=2X-5平行且与X轴交于点(-2,0)求解析式。5、若一次函数y=kx+b的自变量X的取值范围是-2WxW6,相应的函数值的范围是-1Iy9,求此函数的解析式。6已知直线y=kXb与直线y=3x+7关于y轴对称,求k、b的值。7、已知直线y=kx+b与直线y=-3X+7关于X轴对称,求k
13、、b的值。8、已知直线y=kx+b与直线y=3x+7关于原点对称,求k、b的值。题型六、平移方法:直线y=kx+b与y轴交点为(O,b),直线平移则直线上的点(0,b)也会同样的平移,平移不改变斜率k,则将平移后的点代入解析式求出b即可。直线y=kx+b向左平移2向上平移3y=k(x+2)+b+3;(“左加右减,上加下减”)。1 .直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线o2 .直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线3 .直线y=2X向右平移2个单位得到直线234 .直线y=-x+2向左平移2个单位得到直线5 .直线y=2x+l向上平移4个单位得到直线6 .直线y=3X+5向下平移6个单位得
14、到直线7 .直线),=LX向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线o38 .直线y=-二x+1向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线o49 .过点(2,-3)且平行于直线y=2x的直线是。10 .过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+l的直线是.11 .把函数y=3x+l的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表达的函数是:12 .直线m:y=2x2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n上,则a=;题型七、交点问题及直线围成的面积问题方法:两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;复杂图形“外补内割”即
15、:往外补成规则图形,或分割成规则图形(三角形);往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标拟定高;1、直线通过(1,2)、(-3,4)两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。2、己知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A(3,4),且OA=OB(1) 求两个函数的解析式;(2)求aAOB的面积;3、已知直线m通过两点(1,6)、(-3,2),它和X轴、y轴的交点式B、A,直线n过点(2,-2),且与y轴交点的纵坐标是一3,它和X轴、y轴的交点是D、C;(1)分别写出两条直线解析式,并画草图;(2) 计算四边形ABCD的面积;(3) 若直线AB与DC交于点E,求BCE的面积。4、如图,A、B分别是X轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,ZXAOP的面积为6;(1) 求aCOP的面积;(2) 求点A的坐标及P的值;(3) 若BOP与aDOP的面积相等,求直线BD的函数解析式。5、已知:乙:y=2x+.通过点(3,2),它与X轴,y轴分别交于点B、A,直线公y=日+3通过点(2,-2),且与y轴交于点C(0,3),它与X轴交于点D(1)求直线1,4的解析式;(2)若直线,1与,2交于点P,求SMap:SMCO的值。6.如图,已知点A(2,4),B(-2,2),C(4,0),求aABC的面积。