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1、万有引力定律计算题练习1 .万有引力常量G,地球半径上月球和地球之间的距离，同步卫星距地面的高度儿月球绕地球的运转周期力，地球的自转周期7,地球外表的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：Mm(242z3同步卫星绕地球做圆周运动，由G厂=加力得M=-Oz2ITJGT2(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果;(2)请根据条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。2 .天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。某双星系统中两颗恒星围
2、绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量。(引力常量为G)3 .2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入日地系统一一拉格朗日小点的环绕轨道，如下图。地球半径为吊)，地球外表重力加速度为g。(1)假设月球绕地球运动的周期为。月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径r;(2)日地系统一一拉格朗日上点在太阳与地球连线上的地球外侧，由于同时受到太阳和地球的引力，飞船绕太阳运动的周期与地球的公转周期相等(不考虑月球及其他因素影响)。假设地球轨道
3、半径为R,公转周期为To,试写出计算日地系统一一拉格朗日上点到地球的距离L的表达式(只要求写出用量表示的关系式)。4 .如下图，P、。为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为p,石油密度远小于p,可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，那么该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原竖直方向（即Po方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。引力常数为G。（1）设球形空腔体积为V,球心
4、深度为d（远小于地球半径），PQ=X,求空腔所引起的。点处的重力加速度反常；（2）假设在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在l）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围中心，如果这种反常是由于地下存在某一-球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。5 .如下图，设A、B为地球赤道圆的条直径的两端，利用地球同步卫星将一电磁波信号由A传播到8,至少需要几颗同步卫星？这几颗同步卫星间的最近距离是多少？用这几颗同步卫星把电磁波信号由A传播到8需要的时间是多少？（地球半径R,地外表处的重力加速度g,地球自转周期不考虑大气层对电磁波的影响，且电磁波在空气中的传播速度
5、为C）6 .神奇的黑洞是近代引力理论所预言的种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的0点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如下图。引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率y和运行周期兀(1)可见星A所受暗星3的引力尸A可等效为位于。点处质量为加的星体(视为质点)对它的引力,设A和B的质量分别为物、用2，试求加(用,加、加2表示)；(2)求暗星8的质量，也与可见星A的速率力运行周期T和质量叩之间的关系式；参考答案1 .解
6、：(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果恐由G记存2乃，(得M=也著f2 J“得M=器解得CMm(2)方法一：对月球绕地球作圆周运动，由G二厂=加方法二：在地面重力近似等于万有引力，由G翳=mg得M二誓2 .解：设两颗恒星的质量分别为，川、山2,做圆周运动的半径分别为门、r2,角速度分别为、2o根据题意有外=grx+r2=r根据万有引力定律和牛顿定律，有G等=mlfrlG=m2r2IYir联立式解得4=-=一W1+/W22万根据角速度与周期的关系知外=牡=于4万2.联立式解得叫+加2=TG3 .解：(1)设地球质量为M),月球质量为M”，根据万有引力定律和牛
7、顿第二定律:月球环绕运动：G丝W=Mjr地球外表近似：mg=G乜F-ITJ叫)(2)设太阳质量为地球质量为M),嫦娥二号的质量为io，根据万有引力定律和牛顿第二定律：zX2MmMm24嫦娥二号在七点：G竺丁+GT2=m0(R+L)(R+L)2L2ITUzX2地球绕太阳公转：g-=m-RR-I7UM t地球外表近似：G- = mgRS化简得:42R-T(R + L)2(R + L)4 .解：(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石，那么该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力CMmaG-=mg来计算，式中的阳是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区
8、域的质量，M=pV而是球形空腔中心O至。点的距离，r=yd2+x2g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改变的方向沿0。方向，重力加速度反常Ag是这一改变在竖直方向上的投影，W=L域r联立以上式子得：Ag=GpW2+x2)i(2)由式得，重力加速度反常Ag的最大值和最小值分别为:(Ag)max=(小+为2由提设有(=S(g*联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为:2Gp(-l)G- = tn25 .解：如图明显可以看出，为实现题中的目的，至少需要两颗同步卫星，其位置在外、P2且这两颗同步卫星的最近距离是2Ro设同步卫星的轨道半径为八
9、那么有：又在地球外表处有：G吗=mgR2由图可知，通过同步卫星电磁信号由A传播到8经过的路程为:s=2R+AP.+P2B=2(R+P2B)根据勾股定理，有：P2B=yr2-R2电磁波信号由A传播到B需要的时间为:2R+2,（目？户一/?2联立得：t=-c6 .解：（1）设A、3的圆轨道半径分别为口、冷，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有FA=叫*FB=m1lr1设A、8之间的距离为八又厂口+，2,由上述各式得mx+m-fr=-r.由万有引力定律，有入=G生孕将代入得KG瀛事令G平比拟可得“工荷/177jfV2（2）由牛顿第二定律，有G-P二班匕不又可见星A的轨道半径1二，由式解得2_=L-L-(m1+w2)2;ZG
