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1、第四章习题1.确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(xA.1(-)+A)(0)+AJ;J一(2)J；A,(-)+Aj(O)+Aj(h)；1j(4Zr/(-1)+2)+3(x2)3；fxdx(0)/()/2+ah2/(0)+/1()解：(1)求积公式中含有三个待定参数，即A0,4,将/(x)=l,%/分别代入求积公式，并令其左右相等，得AT+A=2*-hl+A1)=0解得AT=A=；0，A)=gz2(a1+a1)=3所求公式至少具有2次代数精度。又由于dx-(-)3+(ft3)卜Xw(-)+的4)故/(大班4j(-z)+4/(0)+AJ(Z
2、z)具有三次代数精度。(2)求积公式中含有三个待定系数：A,1,o,A1,故令公式对/(x)=LX,，准确成立，得A_+0+A=4万，一MAI+A)=0,解得AT=A=力，o=4/?2Al=4h=h2U.,A)=j3333故J；/(MXI从/(-力)+/()-1(o)j-2h33因J：/(4Zr=O而，卜研+R=O又1人丝皿占心+川J-2力533lj所以求积公式只具有三次代数精度。(3)求积公式中韩两个待定常数阳、x2,当令公式对F(X)=I准确成立时，得到i=2=(1+2+3)此等式不含有待定量七、X2,无用，故需令公式对/(x)=x,炉准确成立，即JJYZr=0=(-1+2x1+3x2)f
3、产H+M)2x1+3x2=12*+3W=I解上述方程组得X2 = 0.52660 x1 = -0.28990X2=-0.12660-或，X1=0.68990故有1(xZri(-1)+2/(0.68990)+3/(-0.12660)或,(xZr(-1)+2/(-0.28990)+3/(0.52660)将/(x)=d代入上已确定的求积公式中，,3dr-l+2+3lJT3故求积公式具有2次代数精度。(4)求积公式中只含有一个待定系数。，当/(x)=LX时，有.4hpdr=-(ll)0xdx=p+h)+ah1y-)故令/(X)=/时，求积公式精确成立，即=(0+A2)+z2(20+2A)解得。=-!-
4、12故有ff(x)dxI/(O)+/()+巳(0)+广()将/(x)=/代入上述已确定的求积公式中，有刎川+得-3川4再另/(x)=x4代入求积公式时有hX3dx=-()+/?4+-o-431JO42lj12l故求积公式具有3次代数精度。2 .分别用梯形公式、SimPSOn公式、COteS公式计算积分ZU,并估计各种方法的误差(要求小数点后至少要保存5位)。解：运用梯形公式，exdx1e0+=1.8591409其误差凤川=-4/(I-。)=0.2265235J(,l)(实际误差Wl/公一1.859140,=0.1408591)运用SimPSOn公式，edce+4e*+e=1.7188612其误
5、差为同/)二-e=0.0009438512880288011112运用Cotes公式,= 1.718282688fexdx-7e0+324+12e2+32e4+7e,Io70其误差为IR(F) =2x111、945l4945 46=0.0000014043 .推到以下三种矩形求积公式；ffxdx(b-a)f(a)+乙用(b-af(b-a)fb)-0-a)2了(XHX(b-)./(彳+(b-a)2解：将/(%)在=。出Taylor展开，得/(x)=f(a)+f,(x-aeafH,两边在,b上积分,得0=f(a)dx+flx-a)dx=0-。)/(。)+二俗一)()+7()f(x-卜工=(Z?-a
6、)f(a)+a)2,三a,h将/(x)%=b处TayIor展开，得/(x)=0)+TG)(x-3,两边在LU上积分，得f/(XMX=ff()dx+,(Xx-b)dx=0。)/卜)+ff(Xb)dx二俗一)()+广()(加=(Z?-a)f(a)+1,(XZ?-Z)2,77mh将F(X)g处TayIOr展开，得/(x)=(*+若M等)+/小_*，三.b两边在L，U上积分，得fs砒管(学此-审卜+第尸出-若=0。)/)+1/(X匕一。)3,式小司4 .用以下方法计算积分，?，并比拟结果。(1)Romberg方法；(2)三点及五点GaUSS公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点GaUSS公式。解
7、：用Romberg算法穹=一O/WT* =碇)=；TO(TI = L2,mrp(k + ) _ J()f MT I4m,k = 0,b, I m ni = L2,计算，计算结果如表4.1表4.1k)心)(*)Ty)O1.3333331.1111111.0992581.098630I1.1666671.0999991.09864021.1166661.09872531.10故3-J1.098630(2)用三点及五点GaUSS-Legendre求积公式，需先对求积区间1,3作如下变换，令y=；(+A)+g(b-)f=t+2那么当yl,3时，r-l,l,且dy=df,三点Gauss公式 0.5555
8、55+ 0.88888892.0 + 012+0.77459672-0.7745967)=1.098039283五点Gauss公式 0.23692692 - 0.9061978 + 2 + 0.9061798+ 0.4786289xk 2 - 0.5384693 + 2 + 0.5384693+0.5688889-2=1.098609289(3)用复化的两点GaUSS求积公式计算，需将1,3四等分，那么2-dt-ir -dt + y Jldt-2.5 1 dt +2 ydtP dtJ2 5 y1,7 J-Idt2皿 +。勺it2,50,5(-3,z2) + 2.5 + 0.5(3,z2)+ 3
9、.5 + 0.5(-3-,z2) + 3.5+ 0.5(3,z2)+ 4.5 + 0.5(-3q7)+ 4.5 + 0.5 (3M/2)+ 4.5 + 0.5 (- 3q7)+4.5 + 0.5(3=2)=1.098537573I=F)，的真值为I=1.0986122895.用三点公式和五点公式求/(H=厂二在x=1.0,1.1和1.2处的导数值，并估计误差。/(x)的值(+M由表4.2给出。表4.2X1.01.11.21.31.40.25000.22680.20660.18900.1736解：三点求导公式为12()=7-3()+V(1)-(2)-(o)2113,)=-()G2)-1,fe)2n6,()=()-V(x1)+3(x2)2,fe)2n3上表中取XO=1,x1=LbX2=1.2,分别将有关数值代入上三式，即可得导数的近似值，由于fGJW麟尸二I则湍卜十-75故可得误差及导数值如表4.3表4.3X1.01.11.2三点公式-0.24792-0.21694-0.18596/1M-0.25000-0.21596-0.18783理论误差值0.002500.001250.00250实际误差值0.002080.000980.00187
