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1、3.1.2椭圆的几何性质课程标准学习目标能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想.1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线.知识点一:椭圆的简单几何性质2我们根据椭圆=+2=1（ZO）来研究椭圆的简单几何性质a-b2椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=6和y=6所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x,3A.对于椭圆标准方程=1 椭圆的对称性或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y,方程都22不变,所以椭圆5+5=1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心
2、的中心对称图形,a2b2这个对称中心称为椭圆的中心.椭圆的顶点椭圆椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.=1（bX）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A（-0），4（。,0），BI（OLb）,与（0方）.线段44，B也分别叫做椭圆的长轴和短轴，IAAI=2*忸闻=2b.和人分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=.a因为4cX）,所以e的取值范围是OJa2+b2；（3） =A2F2=a-C,17=A27*J=a+c,a-cPFla+c；【即学即练1】（多选题）（2023高二课时练习）已知椭圆。:=+f=1的左，右
3、焦点为B,F2,点P为椭169圆C上的动点（P不在X轴上），则（）A.椭圆C的焦点在X轴上B.5的周长为8+27C.IP用的取值范围为E，41D.椭圆的离心率为立.4）4【答案】ABD【解析】A：由椭圆方程知：=40=3,故椭圆C的焦点在戈轴上，正确；B：由c=,且aPKK的周长为IMI+1?K+KE=2+2c=8+27,正确;C：由尸为椭圆C上的动点且不在X轴上，则IP用（Q-CM+c）=（4-J7,4+7）,错误；D：椭圆的离心率为e=立，正确.a4故选：ABD知识点二：椭圆标准方程中的三个量。、b、C的几何意义椭圆标准方程中，4、仄C三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆木身的形状大小所确定
4、的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：abO,acO,且2=2+c2.可借助下图帮助记忆：a、仄C恰构成一个直角三角形的三条边，其中。是斜边，b、。为两条直角边.和4、b、C有关的椭圆问题常与与焦点三角形/与玛有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SAW/=gP周伊周SinNGP/相结合的方法进行计算与解题，将有关线段IPE卜I尸周、FlF2f有关角NKPF2（NrP玛N耳明）结合起来,建立IP川+|尸周、IPKlP局之间的关系.【即学即练2】（多选题）（2023重庆沙坪坝高二重庆八中校考阶段练习）已知6（-c,0）
5、,用90）为椭圆A. IOPI=辰=1的左、右焦点，点尸为椭圆上一点，且P%PF?=2c2,下列说法正确的是（B.离心率范围C.当点尸为短轴端点时，APGB为等腰直角三角形D.若S%玛=缶2,则tanZ-FxPF2=-Jl【答案】ABD【解析/pfcpf2=poofpo+of=po+ofpo-of=pc-0Fi：.PFlPF2=P0i-c2,又Pg花=2?,2c2=P0l-c2,OP=3c,故A正确;VOP=3c,b(OPat:.bVJCaWa2-c23c2a2.Le且，故B正确；23当点P为短轴端点时，op=辰，|彳凰=，4PM为等边二角形，故C错误;若SPg=2c2,又SPg=2SK=PO
6、F2sinPOF2：.S%F2=|。斗I。段SinNP。6二5ccsinP。鸟=-Jlc1,sinZPO不妨设NP。鸟为锐角，则NP。耳为钝角，.cosPO5=冬PF2=Pi+0s2-2OPOF2cosZPOF2=2c2,P=2c,同理可得IPKl=辰,2+6c4z,2T：SSNFlPF2=厂-言=上,tanZP=2,故D正确.22c6c3故选：ABD对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(,0),(0,b)(0,4),(土方,0)轴长轴长=2,短轴长=力离心率e=-(0e匕0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都abab-有b0和e=(Ovel),a2=b2+c2不同点为两种椭圆的位置不同
7、，它们的焦点坐标也不相同；a椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看/、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.【即学即练3】(2023黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知曲线C的方程为4V+N=4,则下列说法正确的是.曲线C关于坐标原点对称；的取值范围是115：曲线C是一个椭圆；曲线C围成区域的面积小于椭圆E:+y2=i围成区域的面积4【答案】【解析】对于，若点(Ky)满足曲线。的方程，则点(-,-y)也一定满足曲线C的方程，所以曲线C关于坐标原点对称，故正确；对于，y=4(l-x2)4,所以Yy4,故错误；对于，当y0时，y=-4x2+4,此时T
8、xl,当yv时，y=4x2-4,此时Tx50);ah-22若点May)在椭圆内，则有q+MbO);ab2若点May)在椭圆外，则有4+*1(0人0).albi直线与椭圆的位置关系将直线的方程y =履+。与椭圆的方程+反a2 b2=1 (%0)联立成方程组，消元转化为关于X或y的一元二次方程，其判别式为.()o直线和椭圆相交。直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；=()o直线和椭圆相切。直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；)。直线和椭圆相离。直线和椭圆无公共点.直线与椭圆的相交弦设直线y=去+交椭圆土+=l(abO)于点R(XpyJ，鸟(%2，%)两点，则crZr同理可得I片6I=Iy1-J2
9、I (0)这里I3-毛1，ly-%的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【即学即练4】(2023全国高二课堂例题)过椭圆3+4y2=48的左焦点引直线交椭圆于A,8两点，且=7,则直线方程为.【答案】瓜+2)，+2痒0或Ir-2y+2=022【解析】椭圆3+4y2=48,即3%=,则=4,方=2Bc=2,左焦点为(-2,0),设直线ABhx=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2),.3x2+4y2=48_、2由,得3(my-2)2+4=48,X=my-2整理得(3,+4)y22my-36=0,因为A=144m2+144(3m2+4)0,乂+% 所以00）上两点A、B,其中A8中点为P（X
10、0,%）,则有原丁即产-7-a”【即学即练5（2023江西宜春高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆Udf=1,过点尸卜,：的直线43k2；交椭圆C于A、3两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为【答案】3x+2y-4=0xi+x2 =2 y + )2=ll=【解析】设点A（n，），J、8（孙必），由中点坐标公式可得2所以.2,122= =2213 2%- 3+ +,年一 4 2歪4,两式作差得即华山43T所以,X1+X2X1-Xj24I3因此，直线AB的方程为y-=-(x-1),即3x+2y-4=0.故答案为：3x+2y-4=0.题型一：椭圆的几何性质例1.(多选题)(2023辽宁大连高二大连
11、市第二十三中学校联考期中)设椭圆G9+=l(ab0)的左、右焦点分别为石、八，上、下顶点分别为A、A?,点P是C上异于A、4的一点，则下列结论正确的是()I4A.若。的离心率为则直线PA与P4的斜率之积为-彳B.若尸KIPK,则APKE的面积为从C.若。上存在四个点尸使得尸HLPE,则C的离心率的范围是(0,孝D.若PK助恒成立，则C的离心率的范围是(OT【答案】BD【解析】A.设尸(%,%),所以W+算=1,因为e=f=2,.=2c,./=:，a2b2a23所以,+*=L32+4%2=4/所以女&=生士生匕支WLIj2_3,所以该3baXOXoAO-一群一4选项错误；B.若WJ_尸工，则I尸
12、I+1%I=2a,PfJ2+PF2F=4c所以IPEl.%I=2护,则即玛的面积为；|尸|尸6|=从,所以该选项正确；C若C上存在四个点尸使得PKLP玛,即。上存在四个点P使得耳居的面积为从，所以2cbb2,.cb,:.c2a2-c2,.,.e(,l)，所以该选项错误：D.若IP用2Z?恒成立，所以+c2b,.2+c2+z7c4/=4(2一。2),所以5$+2e-30,.0i）,所以长轴长为2,短轴长为4R,-Vmm由题意得2=2x2J,解得m=4.Vm故答案为：4变式1.（2023全国高二专题练习）若椭圆u=l的离心率为巫，则椭圆。的长轴长为,m23【答案】2而或2【解析】因为椭圆+$=1的
13、离心率为玄，易知70，m23当w2时，椭圆焦点在X轴上，/=?，b2=2,所以_=竺心=9,解得m=6,则所以椭圆的长轴长为2卡.am9当0小+28.当V=T时，I/的最大值是27故答案为：2近例5.(2023黑龙江大庆高二大庆中学校考开学考试)以K(T,0)为焦点的椭圆W+4=l(0)上有一动(3点则IMKl的最大值为.【答案】3【解析】因为月(To)为椭圆J+=l(0)的焦点,所以3,c=T,b=后,所以由一/?=。2=2-c2+2=尸+(6)，=4,所以椭圆的标准方程为：y+=,如图所示：因为6(-1,0)为椭圆的左焦点，M为椭圆上的动点,故当M处于右顶点A时IMZI最大，且最大值为IM
14、6=+c=2+l=3,故答案为：3.例6.（2023广西河池高二校联考阶段练习）已知点夕（0,2）,点。为椭圆?+V=1上的动点，则IPeL=一【答案】当【解析】设。（,y）,则俨。Ndp,将/二4一452代入上式中得：Pa=J4y2+（j2）2=J3（y+|）+g，.当y=-时，IPQL=符=率故答案为：零变式3.（2023江苏淮安高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设点6，尸2分别为椭圆C:y+=l的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得PEP网二唐成立的点恰好是4个，则实数M的一个取值可以为.【答案】0（答案不唯一）【解析】因为点与工分别为椭圆。：9+9=1的左、右焦点，a2=3,从
15、=,=2,即耳（-,0）,6（0,0）.设Pa）,%）,PFx=卜应一%l%）,PE=（立一毛，一%），由P6PE=w,可得片+y；=加+2,又因为P在椭圆上,即孝3=1,所以X=国宇.要使得PnP尸2=用成立的点恰好是4个,则02展3,解得mb0),O为椭圆的对称中心，尸为椭ah圆的一个焦点，尸为椭圆上一点，PF_LX轴，P/与椭圆的另一个交点为点。,APOQ为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.BB.在二C.且色D.-2245【答案】B【解析】如图,不妨设尸(GO),P(c,%),因为点P(G%)在椭圆上，所以+W=i,解得=久，aba所以P(G2)，a又因为aPOQ为等腰直角三角形，
16、所以I叫=OF.即一=c,即02-c2=c,所以/+e-l=O,a解得e=逅二！或e=土立（舍），22故选:B.22例8.（2023内蒙古包头高二统考期末）已知椭圆=:+与=l（）0）,直线/依次交4轴、椭圆、NQ-b轴于点&P、Q、8四点.若IAH=IQ回，且直线/斜率A=1则椭圆的离心率为（）A.IB.立C.立D.且2322【答案】D【解析】设直线/：y=i+w（w0）,可得A（-W0）,8（。,，），设AB的中点为M,连接OM,贝JAM=8M,M卜肛三）因为IAH=IQ8,PM=QMt即为为弦PQ的中点,设Pa,y）,Q（w,%）,则土产=Tn,上/=m因为k=AZA=LeH=1A=三=
17、一，x1-X22x1+x2-m2+4=,可得“：b,两式相减得七江+生/区反。b整理得呜Xb2 r 阳 b2 1可得一7 =一，a- a2 4b2/,可得HAOMa2b2b2所以椭圆的身心率为e=后当故选：D.例9.（2023广东佛山高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知椭圆U+E=l经过点（0,2）,则2m椭圆。的离心率为（）A-fBCYDT【答案】A【解析】因为圆UE+f=1经过点为(。，2),则乙=1,解得?=4,2mm故椭圆C的标准方程为+Y=1,所以，a=2tb=无，W1Ic-ya2-b2=4-2-J2t因此，椭圆C的离心率为e=也.a2故选：A.22变式6.(2023北京高二I
18、Ol中学校考期中)已知4,B,C是椭圆乌+与=l(ab0)上的三个点，直线a-bAB经过原点O,直线AC经过椭圆的右焦点凡若BF/AC,且IBFI=可CF则椭圆的离心率是()A.1B.C.也D.叵2425【答案】C【解析】设椭圆左焦点为6(-c,0),连接4080C6，设IBl=m,(m0),结合椭圆对称性得IAFxHBFI=3m,由椭圆定义得IAFI=2-3m,ICFJI=2a-mf则IACl=2a-2m.因为IOFHOF1JOAHOB,则四边形AFiBF为平行四边形,则A48尸，而B尸工AC,故A6J.4C,则IAG2+1ACT=IC用2,即9nj2+(2。_2,n)2=(2a-m)2,整
19、理得在RtfAR中，AFf+AFI2=IFFJ2,gJ9m2+(2-3/n)2=(2r)2,即公+(24-a?=(2)2,.白2=牙，故=正，a2故选：C12变式7.(2023江苏高二假期作业)如图，直线w2y+2=0过椭圆+方=(bO)的左焦点石和一个顶点以该椭圆的离心率为()55【答案】D【解析】设椭圆的焦距为2c(c0),则/(,0),B(0,b),因为线/-2y+2=0的斜率=1,2hA2A?-C?1z-4由题意可得士=：,则I=J=L,解得三=,c2C2C24O15所以椭圆的离心率为故选：D.变式8.（2023江苏高二假期作业）已知椭圆氏与+二=乂60）与直线y = b相交于A, B
20、两点,O a b是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（）c Td T【答案】C【解析】联立方程y = b y2 2 1 bv=1不妨设点8在第象限，则B修力, = = 3由题意可知：OB的倾斜角是60。，则历C VT所以椭圆的离心率e = = = =虫. a 6 3故选：C.变式9. （2023内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习）法国数学家加斯帕蒙日发现与椭圆相切的两条互相垂 直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆c + = l（ab0）的蒙日圆为Uf + y2=/,则椭圆C的离心率为（）bT【答案】A【解析】直线与椭圆C分别相切，显然直线4
21、 =。与直线y=b垂直，且交点为（。力）,由题意点（外。）在圆。：/+ 丁=：2上，所以/+从=，2,所以4=2,33a 3故椭圆C的离心率e=JI_4=-故选：A.变式10.（2023高二校考期末）已知椭圆C：a2 b2= l（力0）的左、右焦点分别为E ,尸2，点P在椭圆。上，且P鸟，耳居，过P作用J的垂线交X轴于点A,若k6|二；c,记椭圆的离心率为e,则/（）A.已誉B.3-5C.0一1D.【答案】A【解析】因为尸鸟JM玛，APIPF1,所以|巴珠=恒EHA周二2cgc=c2,可得IPq=U在RtZP6巴中，IPKI=JC2+（2）2=辰由椭圆的定义可得IP耳|十|飓|=2,故+c=2
22、,所以e=5=血=%，所以/=（与1=呼21）故选:A.变式11.（2023河南鹤壁高二鹤壁高中校考阶段练习）已知点”，K分别是椭圆E：*+*=l（b0）的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G,且sgpf,=sgf1fjsgpf2则椭圆E的离心率为（）A89-4C7A.-B.C.-D.916916【答案】B【解析】设点G到4P6巴各边的距禽为，5cpfi=Sc-5cpf2,得l|P77|.r=xl|.r_l|P|.r,即|尸片吟相ITP名由椭圆定义知P6+PE=2,H=2c,于是2=x2c,所以椭圆E的离心率e=j9a16故选：B变式12.（2023云南昭通高二校考期中）已知椭圆C:
23、+与=l（力0）的一个焦点为尸，点尸是椭圆a2b2C上的一个动点，p尸I的最小值为6-1,且存在点p,使得（点。为坐标原点）为正三角形，则椭圆C的离心率为（）A.IB.BC.D.3-l222【答案】D【解析】由椭圆的定义可得-c=有-1,要使AOPF（点。为坐标原点）为正三角形，不妨设点尸为右焦点，则存在为=孝c,%=/即小率，将产代入椭圆的方程得S+%=l,424/T将/+/代入上式得+1=4,化简得刎=4凡所以二c,彳弋入-c=Q-l,口J得c=2,=J+1,2所以e=61.a故选：D.题型四：求离心率的范围例10.（2023.宁夏高二宁夏育才中学校考期中）已知椭圆1（=l（b0）的离心率
24、为e,F1,鸟分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点尸使得/耳夕鸟是钝角，则满足条件e的范围【答案】显90。,:.Rt中，NoAF245。,.PqOF?,即bc,：.CT-C2c2可得2，2QOVeb0）上有一点P,%尸2是椭圆的左、右焦点，若使得AKP6为直角三角形的点P有8个，则椭圆的离心率的范围故答案为:【解析】由椭圆的对称性，NPK鸟,NP鸟耳为直角，共有4个位置.，NFFF2为直角,共有4个位置，于是以月入为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点尸在y轴上时,b=c,e=3=?=显,于是，若要满足题意，ea2t2例（2。23.江苏连云港.高二统考期中）已知点Z是椭圆/力
25、叱八。）的左焦点过原点作直线/交椭圆于AB两点，M,N分别是A53的中点，若OM工ON,则椭圆的离心率的范围是.【答案】【解析】如图，设椭圆的右焦点为居,连接A人,8g.因为IAMI=IM用,I。用=IoKl,所以AF1IZOM.同理BF2IION.因为OM_LON,所以AKJ_8鸟.因为IAOI=IoBI用=IoEI,所以四边形A7/鸟是矩形.设IAKI=Xf:AF1=2a-xt所以V+(2-x)2=4?,所以*2一2Or+2=o,所以二4/-8/N0,/.a2-2b1O,.a2-2(a2-c2)0,所以e也,el,.且eh0)的左焦点，过原点作斜率存在且不为0的直线/交椭圆于AB两点，M,
26、N分别是AK,的中点，若存在以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是.【答案】怪1)【解析】如图所示，当点M,N分别是AK、的中点时，OM,CW是AB6的两条中位线，若以MN为直径的圆过原点，则有OMJ_ON,4，3耳，设点A(XO,%),则点5(-又点K(Y,0),所以，AK=(-c-%,-%),8E=(-c+%,%),则胡.8耳=。2_玉2_%2=0,又营+4=1,ah所以，4片+从一c2=0,得片=aC即只需0C2解得也e,又e,2所以也e%0)的左右焦点分别为耳(-。,0),8(Go)且abbc,若在椭圆上存在点尸，使得过点尸可作以66为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率
27、的范围为.【答案】性用【解析】如图所示，根据题意知RAoB为正方形，PO=近c，故bPOa,解得答案.如图所示，根据题意知：PAOB为正方形,故尸O=J圾,，故bc,故eb0)的左，右焦点分别为耳,尸2,焦距为2c,尸是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，。是/耳鸟的平分线与X轴的交点，若|。鸟=2OQ,则椭圆离心率的范围是【答案】刖【解析】1。闾=2OQ,Q居=gc,|。用=gc,PQ是NKP6的角平分线,4_c.微=去=2,则同=2附|,由闸+M=3P闾=2%得|尸用.，3C由-c当，rtlveb,IWI=枢IP由=在6中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2nncos60o.；m+n=2a,
28、.m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-Imnt.*.4c2=4a2-3nn.即3mn=4a2-4c2又zj=a2（当且仅当Tn=时取等号），c211/.4a2-4c2%O）左、右焦点，若直线X=/上存在点尸，使APaK为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是.【答案】（制【解析】AP4玛为等腰三角形,只可能IPKI=山段即IPKI=2,又因为点尸在直线X=J上，即归入=2c-cn3c22=gne亭又因为椭圆e60）的左右焦点为耳，F2,以忻用为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（）.B.C.D.【答案】A【解析】因为以忻与I为直径的圆与椭圆仃四个交点，所以bvc,即c2,a2-c2
29、c2,a2立22又因为Oel,所以椭圆离心率的取值范围为故选：A.22变式2。.（2023高二课时练习）已知点人6为椭圆呜+S人。）的长轴顶点，P为椭圆上一 = lc a-D.)【解析】由题得：kpA% =3 _2 4,3,所以ew故选：A.变式2L（2。23安徽安庆高二安庆市第二中学校考阶段练习）椭圆上存在一点。满足耳P_LEP,6鸟分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（）A.C.【答案】D【解析】因为椭唁+%上存在一点尸满足可即H。,所以点P落在以K5为直径的圆上，所以/b2有解，2，2x+y=c即。2%2=/卜2一/）有解，所以c2-o即2-,所以2c2,所以;,又椭圆的离心率O
30、el,所以也e0）上一点，%F2为椭圆焦点，且IPKl=3|?鸟则椭圆离心率的范围是（）【答案】D【解析】由P为椭圆*+=l（10）上一点，归用+|尸闾=勿.PF=3PF2,所以IP图=a-cP2a + c fa-c-a + c.a-c- 2-a + c 2得Nc,即!Vel22故选：D题型五：点与椭圆的位置关系例13.（2023全国高二专题练习）若点（3,2）在椭圆卷二1上，则下列说法正确的是（A.点（-3,-2）不在椭圆上B.点（3,-2）不在椭圆上C.点（-3,2）在椭圆上D.无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【解析】点（-3,-2）与点（3,2）关于原点对称，点（3,-2）与（3,2
31、）关于X轴对称,点（一3,2）与（3,2）关于y轴对称,若点（3,2）在椭圆捺+/=1上，根据椭圆的对称性，（-3,-2）,（3,-2）,（3,2）三点都在椭圆上，故选：C例14.（2023全国高二专题练习）已知点尸（1,2）和焦点在丁轴上的椭圆：+=1,且过。作椭圆的切4m线有两条，则该椭圆半焦距C的取值范围是（）A.0c2C.0c1,所以0M4,所以4?牛又/=加一4,所以所以0c-5=0与圆f+y2=5没有公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，得-L）-即病+/5,7+n所以J!9,则点P（小）在椭圆内部，所以过点P（肛）的直线与椭圆,+=1必有2个公共点.故选：C.变式23.（2023
