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1、抛物线的标准方程一、抛物线的定义1、定义：平面内到T定点F和一条定直线/(尸不在/上)的距离相等的点的轨迹.2、焦点：定点尸叫作抛物线的焦点.3、准线：直线I叫作抛物线的准线.4、集合表示：2=闾四r|=42为点”到准线/的距离.5、注意事项：(1)定点/不在定直线I上,否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线I的一条直线.(2)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质.二、抛物线的标准方程标准方程y2=2pxp0)y2=-2Px(P0)x2=2py(p0)X2=-2Py(P0)图形JNyL,jo焦点坐标(0-
2、f)准线方程X=上2Ty=-2冶开口方向向右向左向上向下三、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数P,从而得焦点坐标与准线方程，要注意p0；2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。四、求抛物线标准方程的方法1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数P；2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为V=加，或y2=如；注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；（2）已
3、知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。题型一对抛物线定义的理解【例1】（2023河北高二校联考期中）若尸为抛物线V=4x上一点,且夕到焦点b的距离为9,则P到）轴的距离为（）A.7B.IOC.8D.9【答案】C【解析】根据抛物线的定义可得P至瞧点尸的距离等于尸到准线AT的距离,所以到）轴的距离为9-1=8.故选：C【变式11】（2023江西高二浮梁县第一中学校联考期中）设抛物线C：x2=2rv（Pu）的焦点为F,若点4立2）在C上，则IM=（）A，BcoA-4B*4C-40-2【答案】C【解析】解法一：因为点A（82）在C上,所以（0）2=2p.2,
4、得Pl,所以抛物线的准线方程为y=4由抛物线的定义等于A到准线的距离,即2+;=（,解法二：因为点A（62）在C上,所以（码2=2p2,得P=T,所以F,所以网2=（可+gj=2+得嘿,所以网=何故选：C.【变式12（2023河北邢台高二校联考期中）已知产是抛物线C：V=T.v的焦点，A,4是抛物线C上的两点，AF+忸尸|=10,则线段AB的中点到X轴的距离为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】抛物线c：=f的准线方程为尸1,设AaMla2加，由抛物线定义，得IAFl=IfJBF|=1-力，由IAFI+M=IO,得l-+l-%=10,解得Y+%=-8,因此线段AB的中点纵坐标为胃=T
5、f所以线段的中点到X轴的距离为4.故选：B【变式13（2023黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期中）已知动点Pa,），）满足5（x-2）2+（y-l）2=3x+4y-7,则动点P的轨迹是（）A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】因为寸*-2）2+（），-1）2=3x+4y-7,得Jc.2）G,7）2=Px+y7,即动点Pay）到定点（2,1）的距离与到定直线3x+4y-7=O的距离相等,且点（2,1）不在直线3x+4y-7=0上，则由抛物线定义知，动点Pay）的轨迹为抛物线.故选：D.题型二求抛物线的标准方程例2（2023.广西梧州高二校联考期中）准线方程为尸2的抛物线的标准方程
6、是（）A.y2=-4xB.=8C.x2=4yD.x2=-8y【答案】D【解析】由抛物线的准线方程为=2,可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为丁=-20，（0）,则其准线方程为y=5=2,得=4.该抛物线的标准方程是V=8y.故选：D.【变式21】（2023秋湖南株洲高二校考阶段练习）焦点坐标为（To）的抛物线的标准方程是（）A.y2=-2xB.X2=2yC.x2=-4yD.y2=-Ax【答案】D【解析】焦点坐标为，。），则抛物线开口向左，焦点在工轴上，故抛物线的标准方程是/=TX.故选：D【变式22（2023江苏连云港高二校联考期中）（多选）已知抛物线C的焦点在直线x-2y3=0
7、,则抛物线C的标准方程为（）A.y2=2xB,y2=-2xC.x2=-6yD.x2=6y【答案】BD【解析】易知直线9+3=0与坐标轴的交点分别为（TO）（Omf当焦点为（-3,0）时，可知抛物线方程为：=-12x;当焦点为时，可知抛物线方程为：炉=6），.故选：BD【变式23以双曲线的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为.【答案】=-20x【解析】由双曲线方程可知/=16,b2=9,则c2=+=25,双曲线的左焦点为F（YO）,则抛物线方程设为V=-2PX（P0）,由条件可知勺5,所以抛物线方程为V=-20x.故答案为：=-20x题型三与抛物线有关的轨迹方程【例3】（2023全国高三专题练习）过
8、点”（0,4）且与直线y+4=0相切的动圆圆心的轨迹方程为.【答案】=16y【解析】由题意可得，动圆的圆心到直线，=Y的距离与到点尸（。，4）的距离相等，所以动圆的圆心是以点打。，4）为焦点,直线y=Y为准线的抛物线,则其方程为炉=16y.【变式31】（2023江苏高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点”（x,y）到点”（4,0）的距离比它到直线x+3=。的距离大1,则M的轨迹方程是.【答案】=16x【解析】将x+3=O化为尸3,动点M（XM到点尸（40）的距离比它到直线4-3的距离大1,则动点”），）到点F（4,0）的距离与它到直线X=T的距离相等，由抛物线定义可知动点M(,y)的轨迹为抛物
9、线，该抛物线以尸(4,0)为焦点，以X=T为准线，开口向右,设y2=2px,(p0),所以f=4,解得=8,所以抛物线方程为V=I6x.【变式32(2023.全国高二课堂例题)已知直线/平行于.v轴，且/与X轴的交点为(4。，点A在直线/上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同,且04,OP,求尸点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状.【答案】V=Tx,轨迹是开口向左的抛物线.【解析】由条件可知,直线/的方程为户4,因此点4的横坐标为4.设尸的坐标为(2),则点A的坐标为(4,V),因此04=(4,y),。户=(XM因为OA_LOP的充要条件是OAOP=O,所以4x+V=o,即动点P的轨迹方程为V=Tx
10、.从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线.【变式33(2023高二课时练习)已知点尸是曲线y=f+1上任意一点，(2,0),连接网并延长至Q,使得AQ=2PA,求动点Q的轨迹方程.【答案】y=-26x-20【解析】设动点Q的坐标(XM,点。坐标(FyJ,AQ=(X-2,y),P4=(2-,y),因为AQ=2PA,所以x-2=2(2-%),y-0=2(0-yl),/6-xy可得XI=y,=-y,代入x=x；+i得3=(等+,整理得尸-?2+6A20,所以动点。的轨迹方程为y=-?2+6x-20.题型四抛物线中距离和差的最值【例4】(2023.江苏淮安高二统考期中)设抛物线Y=4y上一点/，至卜轴的
11、距离为PF+PCHPD+PCHD=-=-,在抛物线C上任取点户,过尸作准线Aw的垂线，垂足为少，连，尸。，UQ,则有IPq+俨=p.+pp之IQq,当且仅当点产与点P重合时取等号，所以I尸用+IPQI的最小值为g.故选：B.【变式43】（2023.天津.高二天津市第一百中学校联考期中）已知抛物线C：=4.v的焦点为F,。为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上,且IAPI=2,则MA+MO的最小值为.【答案】713【解析】因为IM=2,所以力+勺2,所以以=1,所以乙=2,不妨取A（2,l）,0（0,0）,准线产-1,作A关于准线的对称点B,则8（2,-3）,所以IMAI+1Ma
12、的最小值即为I。邳，当且仅当OM,8三点共线时取最小值，所以|惆+附。的最小值为4+9=13.题型五抛物线在实际问题中的应用【例5】（2023.江西赣州.高二校联考期中）石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为（）A.7mB.7.5mC.8mD.【答案】C【解析】以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，则拱桥所在抛物线如图，设抛物线的标准方程为炉=-2（P0）,由题意知，点（32-1.6）在抛物线上，代入抛物线方程可得3灸=-2p（T.6）,解得P=3.2,所以抛物线方程为
13、一=-6.4），由题意，当水面下降时，点。，-2.5）在抛物线上，代入抛物线方程可得/=-6.4x（-2.5）=16,解得x=4,所以水面的宽度为4-（Y）=8（m）.故选：C【变式51】（2023江苏高二南京市第五高级中学校考阶段练习）如图所示,一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有05m,已知行车道总宽度AB=6m,那么车辆通过隧道的限制高度为（）D . 3.5mA.2.25mB.2.5mC.3.25m【答案】C【解析】如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则设抛物线方程=
14、-2p）,（p0）,将点C代入抛物线方程解得：P=2,，抛物线方程为V=Yy,Y行车道总宽度=6m,将户3代入抛物线方程，解得：y=-2.25mf车辆通过隧道的限制高度为6-2.25-0.5=3.2501,故选：C.【变式52】（2023.广西玉林统考二模）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为（）2792723A.cmB.-cmC.cmD.cm4286【答案】C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为.v轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题
15、意可得A的坐标为（,3Q177设抛物线的标准方程为f=2度（P0）,则弓=6，解得P=?.4o27故该抛物线的焦点到准线的距离为eCm.故选：C【变式53】（2022.浙江高二校联考期中）如图1,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2）,盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中尸点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）.已知镜口圆的直径为12dm,镜深2dm.（1）建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；（2）若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的忘区度（单位dm）.【答案】（1）V=18x,F（4.5,0）;（2）架子所用钢筋总长度为39dm【解析】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合Lr轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是（2,6）,设抛物线方程为y2=2px（p0）,则36=2p2,解得p=9,则抛物线的标准方程是V=18x,焦点坐标是尸（450）.（2）因为盛水的容器在焦点处，所以从尸两点间的距离即为每根铁筋长，所以每根铁筋长为2+5=2+45=65dm,所以架子所用钢筋总长度为656=39dm.
