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1、对一道困扰力学界50多年习题的思考李学生】，师教民2（1.山东大学物理学院,山东济南250100；2.石家庄广播电视大学科学技术部,河北石家庄050081）植i要：首先推出了在地面系和小车系自然摆动的单摆在摆动过程中机械能都守恒的结论，验证了机械能守恒定律满足力学相对性原理，解决了力学界50多年的困惑，并对当前力学教材提出了几条修改建议。关键词：单摆；动能；势能：保守力：机械能守恒中图分类号：0313。I文献标识码：A文章编号：将摆锤质量为机，轻质摆线（摆线质量视为0）长度为L的单摆挂在与地面相固连的摆架上，将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为为（仇0,90时自然放手，在忽略各种阻尼时，
2、单摆就做自然摆动，为为最大摆角.有一小车在地面（地球质量视为充分大，稳定地保持为惯性系）上以正常数向右运动。求证：在地面系和小车系上观察，单摆的机械能都守恒。图1自然摆动单摆机械能问题图2自然摆动单摆机械能守恒问题新解解：由于假定地球质量充分大，忽略其能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少。根据文献无论是地面系，还是小车系摆线的拉力都是一个保守力。在地面系，建立平面直角坐标系如图1所示.由于在摆动过程中摆线的拉力和重力在该直线上的分力与位移垂直不做功，因此只需考虑重力在切线方向的分力。单摆在t=0时刻从最大摆角儿开始摆动（规定初始时刻的势能为0），在f时刻的摆角、速
3、度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：仇V,4,I）,EP，EQ）；在小车系，单摆t时刻的速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：的，0,EM。，2p(r),EM.则在地面系：在地面上观察时，以单摆的悬挂点。为极点，单摆静止时与摆线重合的射线Oy为极轴，从。到摆锤的矢量r为极径，极轴和极径的夹角0为极角建立平面极坐标系如图2所示。设在地面上观察时，单摆在t=0时刻从最大摆角为(e(0,90)开始摆动(规定初始时刻的势能为0),，时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：仇V,a,Ek(t),Ep(t)fE(t)i在小车上观察时，单摆在，时刻的摆角、
4、速度大小、动能、势能、机械能分别为：仇，的，EiM，Ep(Z),1(0；在地面上和小车上观察时，都设摆锤的最高点为零势点。则有：dsdL(-6)-LdOV=drdrd/dr=(ft).vmgsn9=ma,gsin=a=-=L0_dOdg-gLsind,dr-Lddr-Ldvdv=-gLsinOdO,v2=gL(cos-cos0).v=j2gL(co/-COSeo)0%2M=-;2L(cos9-cos(90)=-小2菅(COS-一COSeo)=-2yCOS-2yCOS0)dcs=%j2gL(cos6-CoSeo)2mgL(CoS。-COS a)+ 3：UgL z0COS。-COSoo+COS%C
5、GSAOd(cos-cos o)=30qJCOScoSa),zC八、3mugL2.nnAmugLZIz八mgL(cos。-CoS优)+I一J(cosO-COS0)+12(cost-cos0)cos0=Z3Z3_ngL(cos-coso)+muy2gL(cos-cos劣尸+muy2gL(cos。一COS仇/COS仇二mgL(cosO-Coso)+tnu-y2gLJCOSe-CoSeO(cosJ-cos仇+cos仇)二mgL(cos-coso)+mu-J2gl(co-COSeo)cos夕Ep(0=Ep(0)=gL(cosO-COSQ)Tnuj2gL(cosOCoSe)cos.EIS=EwHElPs
6、=El式+EM=WgL(COSO-COS0)+mu2+mu-2gL(cos-cos)cos0-所以在小车系单摆的机械能也守恒，守恒值为2。当U=O时两个坐标系重合，动能、势能分别对应 2相等，守恒值也相等，符合对应原理的要求，外势能（质点的势能）不具有伽利略变换的不变性。若u0时，由于在单摆问题摆角比较小，cos8W0,因此当且仅当cos。=COS仇时势能相等。从分析力学的角度看动能T=mgL(cos-cosOo)+fn/,势能V=ngL(cosO-COS仇)，机械能为g?。动能、势能与矢量力学不同，但是机械能相同。另证：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一
7、个保守力的功等于质点势能的减少。设与单摆还未摆动而自然下垂位置重合的竖直直线与水平地面的交点0为地面系的原点，点。为小车系的原点。设0时刻。与。完全重合，单摆从摆角仇开始摆动.设在f时刻，摆锤与小车。的位置如图1所示；摆锤在小车系的位矢、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能分别为：r,V,a,f,a,ep,e；图3自由摄动单摆机械能在各惯性系都成立在地面系的位矢、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能分别为：R，V,A,F,Ek,Ep,E.则在地面系观察时，在地面单摆体系中，因为携锤仅受到重力和拉力的作用，拉力与位移始终垂直不做功，摆锤的机械能E守恒，即氏D=常数，亦即dE=dZH据伽利
8、略变换或图3知:R=r+ut,V=v+u,A=a+0=a,F=mA=ma=f.V2=V-V=(v+u)-(v+u)=vv+2v-u+u-u=v2+2uv+u2fmV1=mv2+muv+mu2,Ei=ei+muv+C,222dodEk=dk+11wd+dC=dk+ttwdt+O=dek+fudt.drdEp=-FdR=-fd(r+ut)=-fdr-fd(ut)=dep-fdt.6Ek+dEp=defudt+dep-fdt=dei+dev,d(+ep)=d(E,k+Ep),de=dE=O.所以，在小车系观察时，摆锤的机械能守恒。设在t=0时刻摆锤位于最高点，此时为地面系和小车系的公共势能0点，则：
9、(0)=lnV2=lw02=0,5(0)=0,E(f)=Ek(f)+稣=Ek(0)+耳(O)=O+0=0a(0)=；mv2=；m(-u)2=；mu2,p(0)=0,e(t)=e(t)+ePa)=a(0)+4(0)=；/hm2+0=；nu1。说明：L在单摆问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理。摆线的约束力是一个保守力，在小车系对摆锤做功的同时改变摆锤的动能和势能，不改变摆锤的机械能，与直接计算重力机械能得出的结果一致。文献2提出了约束力是一个保守力的问题，文献1证明了光滑约束中的约束力是一个保守力”，建议力学教材指明这个问题，不要认为力学中保守力只有弹簧弹力、万有引力和
10、重力，把约束力当成外力，在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里做功，这样机械能守恒定律就不满足力学相对性原理了标闻。这个习题自从文献67提出以来，力学界讨论50多年一直未能定论，原因之一在于没有认识到约束力也是一个保守力，流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力。2 .在上面单摆问题中势能包括重力势能，不是严格意义上的重力势能，因为质点受到的合力不等于重力。单摆问题是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑摆线质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能。本题是两个保守力共同作用下的机械能守恒问题，摆锤的重力势能+摆锤的拉力势能+摆锤
11、的动能=摆锤机械能守恒量，在地面系摆锤的拉力不做功，拉力势能始终不变，可以认为是0,就成为重力机械能守恒的问题。在这个问题中，在小车系看来可以认为是重力机械能不守恒，不能认为是机械能不守恒。在这个问题中如果按照重力机械能计算是开放系统，按照机械能计算是孤立系统。当观察者相对于单摆静止时，利用重力机械能守恒定律得出的结果等效；当观察者相对于单摆的悬挂点匀速运动时，直接利用重力机械能守恒定律是错误的，应该利用保守力所做的功等于势能的减少来计算。机械能守恒定律中保守力应该是保守力的合力，考虑了势能就不能再计算保守力的功了，本题中如果按照重力机械能计算显然不满足力学相对性原理3网。重力机械能不守恒，不
12、代表机械能（力学能）不守恒。3 .机械能守恒定律是牛顿定律的推论，牛顿第二定律中的力是指质点受到的合力，因此机械能守恒定律中的保守力应该是指保守力的合力，因此本题不是重力机械能问题。在这个问题中如果按照重力机械能计算是开放系统，按照机械能计算是孤立系统。4 .按照外场（外势能）计算，势能属于质点，一个保守力的功等于势能的减少，势能是坐标的函数，势能不是伽利略变换的不变量；按照内场计算，势能属于系统，一对保守力的功等于势能的减少，势能是相对位置的函数，势能是伽利略变换的不变量。二者有着本质的区别，量变引起质变，建议力学教材明确指出。本题中地球和摆锤的质量相差极其悬殊，按照内场（内势能）计算，地面
13、系不再是惯性系，需要计算惯性力势能，不具有可操作性，因为我们不知道地球的具体质量，它是一个变量。5 .地面系和小车系在起始时刻的势能零点重合，任何时刻小车系势能零点是地面系势能零点的伽利略像点，这是相对性原理的要求。斜面问题与单摆处理方法相似，斜面的支持力也是一个保守力皿，这个问题在国际上也比较纠结3）。文献1证明了匀速圆周运动中质点的机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献21证明了弹簧振子机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献22自由落体运动机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献23万有引力机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献24利用内势能计算斜面问题此时地面系和小车系都是非惯性系，需要考
14、虑惯性力做功的问题。6 .在本文中摆锤受到摆线的作用力是弹力，约束力势能是弹性势能，但是没有弹性形变，文献25指出质点只要受到弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变，例如小滑块在光滑斜面上下滑，斜面的形变为0,质点依然具有弹性势能19。有人说没有形变哪来的弹力，确实这样，一个物体放在水平地面上受到支持力是弹力，但是我们不必考虑形变，力学中有时不必考虑力的性质来源，重力来源于万有引力，摩擦力还来自于电磁力呢？我们计算摩擦力时从来不考虑电磁力的问题，研究质点的重力时也不考虑万有引力。对于普通的力学实验，我们一般选地面系作为惯性系，此时忽略地球能量的变化，地球已经不再是研究对象。7 .当小车相对
15、于地面变速运动时，此时重锤受到一个惯性力，由于惯性力也是一个保守力26,因此在小车系测量的机械能依然是守恒的。8 .由于旋度具有伽利略变换的不变性，因此力的保守性也具有伽利略变换的不变性。文献26证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，保守力经过伽利略变换不可能变成显含时间的力。根据dEp=(-f)dr与F=S”/方可以得知力显含时间的充要条件为势能显含时间，因此在保守力场计算势能不可能显含时间。文献11和2728的观点是错误的。9 .力的旋度等于0,环路积分为0和作用力F是某位势中的梯度三者是等价的。设定F为在空间任意位置定义(或空间内单连通的区域)的矢量场，假若它满足以下三个等价的条件中任
16、意一个条件，则可称此矢量场为保守矢量场：F的旋度是零：FxV=O;假设粒子从某闭合路径C的某一位置，经过这闭合路径C,又回到原先位置，则力矢量F所做的机械功W等于零：W=LFdz=0;作用力F是某位势的梯度：F=-Vo=：设定C为任意简单闭合路径，即初始位置与终结位置相同、不自交的路径。思考边界为C的任意曲面S。斯托克斯定理表明(VxD面=9人假设F的旋度等于零，方程左边为零，则机械功W是零，第二个条件是正确的。=：假设对于任意简单闭合路径C,F所做的随体功W是零，则保守力所做于粒子的随体功，独立于路径的选择。设定函数(x)=-6r,其中X和。分别是特定的初始位置和空间内任意位置。根据微积分基
17、本定理，F(X)=-V(x)o所以第三个条件是正确的。=：假设第三个条件是正确的。思考下述方程：2222a22X/=7x=一(幺一幺竺)2一(幺上一_上方一(幺上一匕二)=0yzzyzxxzxyyx所以第一个条件是正确的，因此这三个条件彼此等价。由于符合笫二个条件就等于通过保守力的闭合路径要求，所以只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力。如果作用在物体的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关，即不仅力有势，且在相应的势能表达式中不显含时间，该力则为保守力。势能定理为dEp=-fr,势能是位置的函数，环路积分必等于0。验证一个力是保守力
18、，三个条件只要证明一个即可。环路积分等于0是判定力是保守力的充要条件。10 .文献、2123和29得出在选择相同的势能零点、时间原点的情况下运动系的机械能与静止系的机械能之差为川2,当运动系的速度方向改变时，即使选择相同的势能零点、时间原点机械能的增加量可2能不等于2,但是此时机械能依然守恒(例如在光滑水平面上一个质点从原点出发沿着X轴正半轴匀速2运动，速度为V,i辆小车沿着与X轴成30角从原点出发，速度为U,他测量质点的动能为E,另一辆小车从原点出发沿着y轴正半轴匀速运动，速度为u,他测量的动能为E2,显然B不等于E2,势能都没有变化,因此机械能也不相等。在自由落体运动中，选择地而为原点，同
19、时也是势能零点，-辆小车水平运动，一部电梯竖直运动，速度大小相等，测量机械能显然不相等。)；运动系的速度不变，势能零点不同也可以，机械能之差不等于但是此时机械能也是守恒的；运动系的速度不变，势能零点相同，时间原点不同得出2机械能还是守恒，机械能之差不变，因为能量守恒是时间均匀性的一种反映。当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加Lm炉一机丸5，其中0。为匚。时静止系测量的质点初速度(因为在原点处势能相等，2动能之差等于！m2一机”Q0,在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为1机炉一22mu.vo在上面的的单
20、摆问题中由于。尸0,因此运动系比静止系机械能增加1团2。其他情况不再分析，下2面以竖直上抛运动问题为例说明一以相对于地面的恒速竖直上升的电梯(忽略空气阻力等非保守力)，在水平地面上以速度3竖直上抛一个小球G(可以视为质点)，试问在电梯上和地面上观察(地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系)，质点G的机械能是否守恒，并说明理由。解：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于小球势能的减少。以小球G开始上升点。为坐标原点，过。的竖直向上的直线为)，轴，建立直线坐标系.设最低点的势能为0。设，时刻，电梯上观察到小球G的坐标、速度、加速度、动能、势能、机
21、械能分别为：y,V,a,Ek(t),Ep(t)fE(t)；地面上观察到小球G的坐标、速度、加速度、动能、势能、机械能分别为：乃，5,_g,Eka)，Eip(Z),i(Z).于是有：yi=y+ut,V=v+u,v=V-u(在地面上观察时,do,0-g=-dv=-gdtfdv1=(-)dOi-Vo=-g(r-O),v=vo-gt.Ol=O时o0-g=0,va=gi,/=-d，08J.pI1I功=上，dy=vdtfdyj=1d/=(0-gt)dt,y-O=Vo(t-O)-g(z2-02)y=Vot-gt2.OU0Ovn1Va1vl说CWo7-v=7-7=-,O,1-.Eik()=g加；m(vo-gt
22、)2=；M说-2gy0+2r2)=；相若-mgtvo+；mg2t2oEip()=w= mg I V- gt22 = mgtvo-mg2t2.2E(r)=Ek()+ip(O=；?冰-mgtVo+ymg2t2+tngtVo-；ng2f=；机说=const。所以在地面上观察时G的机械能守恒，守恒值为g?说。在电梯上观察时，小球G的机械能比在地面上观察时只增加了L机（如-）2-1?说，所以22E(Z)=EIQ)+tn(vo-u)2tn22WVoU=Constow+-m(vo-u)2-m1=-m(vo-u)2=mu。斗mu222222所以在电梯上观察时G的机械能守恒，守恒值为机（小-）2=,用0必加2一
23、批0。222当U=O时两个坐标系重合，守恒值相等，符合对应原理的要求。玻尔及其对应原理堪称肯定传统理论中的真理成分及其价值，关注并解决新旧理论之间的继承关系的典范和构建物理理论的重要科学方法。历史的辩证的方法也表明：“今天被认为是合乎真理的认识都有它隐藏着的，以后会显露出来的错误的方面”。从对应原理我们可以得到这样的启迪,科学的发展过程是不断发现问题,排除错误,通近正确认识的无止境的过程.是从常规科学经历反常和危机而引发的科学革命,再形成新的常规科学的无限演进过程。文献30证明了能量守恒定律和动量守恒定律在牛顿力学和狭义相对论中都具有协变性，经典力学中所有动力学理论都满足力学相对性原理，在一个
24、惯性系成立，在其他惯性系一定成立3132。奥卡姆剃刀定律（奥康的剃刀）就是简约有效原理（用较少的东西，同样可做好的事情）；换句话说，如无必要，勿增实体。对于科学家来说，当你有两个（或多个）处于竞争地位的理论都能得出相同的结论，则简约（或可证伪）的那个理论更好。换句话说，如果你有两个（或多个）原理都能解释观测到的事实，则应该使用简单（或可证伪)的那个，直到找到更多的证据。奥卡姆剃刀原理已经成为重要的科学思维理念。自然界总是选择最短的道路，花费最短的时间，体现为最小作用理原理。奥卡姆剃刀原理是定性的理论；量子三维常数理论(真正的大统一理论)是定量又定性的理论。量子三维常数理论(真正的大统一理论)是
25、最简约及最自然的理论。爱因斯坦认为：“马赫的真正伟大，就在于他的坚不可摧的怀疑态度和独立性。”科学发展的历史表明，一个成功的理论是来源于科学实验和科学观测，随着观测事实的累积，一方面使理论得到更广泛的证实，另一方面必然会暴露出理论的局限性，从而迫使理论朝着更深刻和更普遍的方向发展。所谓更普遍就是要求新理论能概括更多的观测事实，从而扩大了理论的适用范围，但在旧理论的适用条件下，必然能返回到旧理论所能描述的全部特征，这也是衡量一个理论正确与否的重要判据之一。我国并不缺少原创理论与技术，缺的是客观公平的项目评选机制，有关颠覆性创新纳入不到国家支持体制，加上一元化立项机制的诸多弊端，使得我们解决卡脖子
26、及有关技术问题并不具有预期性，唯有确立两元或三元化立项机制，才能保障国家具有拿到原创成果的预期性。参考文献：1李学生,匀速圆周运动中的机械能守恒问题.论证与研究，2020年第8期：9.him:WWW2马忠义.物体在约束运动中的功和能.沈阳化工学院学报，1989(3)2：117122.13蔡伯源.关于力学相对性原理与机械能守恒综述J.大学物理，1994,(13)1：2022.4何红雨.机械能守恒定律与惯性参照系的选择J.广西物理，1997,(18)3:2729.5金若兴.机械能守恒定律的条件.物理教学，1985年1月：1314.6熊秉衡.在不同惯性系中的机械能守恒定律.物理通报，1964(6):
27、261264.7熊乘衡.“在不同惯性系中的机械能守恒定律”一文的更正与补充.物理通报，1965(3):116-117.8施肖铮.在不同惯性系中的机械能守恒定律，常州信息职业学院学报，第1卷第2期，2002年12月：6567.9丘基瑶.机械能守恒定律与惯性参考系的变换.佛山科学技术学院学报(社会科学版)，1983(00):4748.10王开放.机械能守恒定律的条件.开封教育学院学报，2003,23(4)：3839.11刘瑞金.有关机械能及其守恒律的研究评述.淄博师专学报，1995(12):22-26.12易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理(现名：物理与工程)，1998年第8卷第5期：182
28、2.13赵坚.机械能守恒定律理解中一个值得重视的问题J.物理通报,2006,(25)6：1921.14钱广东.不同惯性系中机械能不一定都守恒一兼谈机械能守恒定律是否服从力学相对性原理J.物理教学，2006,(28)2：4243.15白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律J.大学物理，1997,(16)3:1114.16孙国标，杨丽芬.也谈机械能守恒的相对性J.物理教师，2006,(27)12：3233.17李伟铎.对“重力机械能守恒定律在各惯性系都成立”的商榷.物理通报(增刊1),2016(5):110-112,115.18白云鹏.谈机械能守恒的相对性.青苹果，2003(1):11.19
29、张翠.斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解.物理通报，2016(9):115117.20SantosFC,SoaresVandTortAC.AnoteontheconservationofmechanicaIenergyandtheGaIileanprincipleofrelativityJ.EuropeanJournaIofPhysics.2010,31(4)：827834.21李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商植J.物理通报，2014(9):119120.22赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立J.物理通报，2015(3):9698.23刘明成，赵文桐,刘文
30、芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立J.物理通报，2015(6):123124.24王志成，康旭红，王增发.不同惯性参考系中系统机械能是否守恒的再讨论爱谈机械能守恒定律满足伽利略相对性原理.物理教师，2019(8)：6062,64.25李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，息第332期，2020年04(下)：237238.26李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性,魅力中国，2020年9月：318319.27朱如曾,力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理，2016(10)：1116.28杨习志，赵坚.关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨.物理教师，第41卷第5期，20
31、20(5):6567,72.29刘明成，刘文芳，赵文桐,弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立J.物理通报，2015(12)：109111.30李子军，李根全，白旭芳.牛顿力学形式和相对论力学的协变性.大学物理，第21卷第6期，2002(60)：22-23,39.31李学生.角动量守恒定律满足力学相对性原理,理论与创新，2020年第16期：390391.32李学生.声波方程满足伽利略变换下的形势不变性.百科论坛，2020年第6期05卷：268.ReflectionsontheExerciseofOver50YearsTroublingtheMechanicsCircle1.iXue-Sheng19
32、ShiJiao-Hiin2(1.SchoolofPhysics,ShandongUniversityJinan250100China；!.DepartmentofScienceandTechnologyShijiazhuangRadioandTelevisionUniversity,Shijiazhuang050081China)AbstractIItisfirstlyproved,inthegroundandthecarsystems,thesinglependulumofthenaturalswingintheswingprocess*itsmechanicalenergyareconse
33、rvedconclusions.Itisprovedthatthelawofconservationofmechanicalenergysatisfiestheprincipleofrelativityofmechanics,andsolvestheconfusionofmorethan50yearsinthemechanicscircle,andproposedafewchangestothecurrentmechanicsteachingmaterials.Keywords：thesinglependulum；kineticenergy；potentialenergy；conservativeforce!conservationofmechanicalenergy
