《4.2.2等差数列的前n项和公式（8大题型）精讲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.2.2等差数列的前n项和公式（8大题型）精讲.docx（18页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、等差数列的前项和公式重点：1、探索并掌握等差数列的前项和公式；2、会解决与等差数列前项和公式的最值有关的问题；难点：1、掌握等差数列前项和的性质及应用；2、掌握等差数列前项和公式综合应用。一、等差数列的前项和公式1、等差数列的前项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式/(+%)n2n(n-)号为2、等差数列前项和公式的推导对于公差为d的等差数列，S“=4+（4+d）+（4+2d）+.+4+（l）dCDS=4+（ai）+（42）+.+%-（-l）d由+得2凡=（4+。）+（4+4）+（4+4）+（4+4）个二（4+4）,由此得等差数列前项和公式Sn=詈1,代入通项公式%=%得Srf
2、+；d.二、等差数列的前项和常用的性质1、设等差数列%的公差为4,S”为其前项和，等差数列的依次攵项之和，臬，Sx-Sk,S”.组成公差为k2d的等差数列；2、数列4是等差数列QS“=m2+M（a,6为常数）=数列为等差数列，公差为g；3、若S奇表示奇数项的和，S他表示偶数项的和，公差为d；当项数为偶数2时，S2=（4+%）,S偶-S奇=皿，3=区；S偶a,+l当项数为奇数2+1时，52zi+,=（2t+l）+1zS奇-S偶=a，L4、在等差数列%,电）中,它们的前项和分别记为S“工则皆三、等差数列的前项和公式与二次函数的关系将等差数列前项和公式s“=q+当Rd,整理成关于的函数可得cd.(d
3、S11-n+a.n.2I,2)当时，5“关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(,S,J在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数，它的图象是抛物线=f+L_X上横坐标为正整数的一系列孤立的点.四、求等差数列的前项和S的最值的解题策略1、彳等S“=q+当心d=g+(q-配方，若d0,则从二次函数的角度看：当d0时，S有最小值；当dv时，S有最大值.当取最接近对称轴的正整数时，S“取到最值.2、邻项变号法：当q0,d0时，满足了的项数使S“取最大值；IA+1WO当q0时，满足凡的项数使S取最小值。+0题型一等差数列前项和与基本【例1】(2023江苏镇江高二统
4、考期中)已知等差数列几的前项和为S.，3%-。3=S5-%=2。，贝So=()A.78B.100C.116D.120【答案】D【解析】设等差数列%的公差为d,3a4-3=3(u1+3)-(1+2J)=20=Ad=ISs-%=54+10d-(q+6d)=20,解传可一“4一2，贝SH)=Ioq+45d=30+90=120.故选：D.【变式11】(2023江苏南京高二师大附中校考期中)设等差数列也的前项和为S一若尹4,咤=（）di3A.-B.4【答案】C【解析】设等差数列%的首项为,公差为，等会列丹的前项和为3ff=4z036q+,3x2 .3 +d=4整理得d = 24 ,C9x8/.S9,9q
5、+d9q+36d,9.豆6q+d=6q+15厂K-,2【变式（2023广东珠海高二统考期末）已知等差数列叫的前项和为S.，且tz2+6=12,S4=18,则为=()B.4C.3D.2【答案】A【解析】设等差数列6的公差为d,1-1%+4=12if2+6J=12.,a=3由题忌K=18,则44+6d=l8，解得Id=1所以6=4+24=5.故选：A【变式13】(2023天津和平高三天津市第二十一中学校考阶段练习)等差数列%中,al0=30,a20=50.(1)求数列的通项公式；(2)若1=242,求.【答案】(1)4=10+2(N)；(2)11【解析】(1)设公差为，贝U由题意可得。-40=10
6、d=20=d=2,又%=q+9d=30=+18=12所以4=4+(-l)d=12+2(-I)=IO+2，();(2)由(1)可知S./他；为)=(12+,2)=山+川=242,gP+ll-242=(j-ll)(w22)=0(N),所以=11.题型二等差数列片段和的性质【例2】(2023湖北高二校考期中)已知”为等差数列，若S,=3,6=24,贝(|几=()A.73B.120C.121D.122【答案】B【解析】设等差数列也的公差为，+3d=34+d=1(2ai+2d=2*6q+15d=24124+51=8124+54=8所以1=2吗=-1再2=124+661=-12+132=120.故选：B【
7、变式21】(2023甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考阶段练习)设等差数列可的前项和为5一若=7,则()A禺BC-DUA,7B,2J7D,6【答案】A【解析】在等差数列叫中，SlS14-S7,S2几成等差数列，BP2(S14-57)=57(S21-514),设S7=MnO),则几二7加，于是12加=利+图-7,)，解得S18*所以自=?.故选：A【变式22】(2023贵州贵阳高二统考期末)等差数列依的前项和记为S”，且SLIO,So=50,则S=()A.70B.90C.100D.120【答案】D【解析】在等差数列q中，九-邑,几-品)成等差数歹小所以2(SH)-S5)=S5+S5-S0,贝J2
8、x(50T0)=10+Sl50r即，=120.蝇：D.【变式23】(2023上海闵行高二校考阶段练习)已知等差数歹支见的前项和为S”，满足鼠=30,S2m=100,贝gffr=.【答案】210【解析】因为血是等差数列，所以S%-Sfn成等差数列，则2母2,-SWf)=Sfn+(Ssm-S2m),因为S*=30fS2m=100,所以2x（100-30）=30+6”,-100）,S3i=210.题型三等差数列前项利与的比值例3（2023安徽合肥高二合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列也的前项和为Snl若&=1,Sm=16,则56人=（）A.18B.36C.40D.42【答案】B【解析】Sr+当
9、。-d,故界为等差数列，nn172故M-*中虹菊，故J=BH,解得SL36.故选：B【变式31】（2022贵州毕节统考模拟预测）等差数列间的前项和为S”，若篇=糕+1且=3,则（）A.an=2n+B.all=n+C.S11=2n2+nD.Sn=4n2-n【答案】A【解析】设”的公差为d,n（n-l）Sn=na-d.Sn-l.dd=-=2w+-，即（为等差数列，公差为gt由t一里=1知且=l=d=2,B20212020八H2故。”=2+1,S.=（3+j+1）=2+2.故选：A.【变式32】（2023江苏常州高二奔牛高级中学校考期末）在等差数列间中M=2,其前项和qq为S力-=厕儿=.n+n【答
10、案】no【解析】由题知q为等差数列,记数列2=个,所以4=:=4=2,由学-=1,可知+1-=l,所以也是以2为首项,1为公差的等差数列，所以= = 2 + ( - 1) = + 1, 所以邑=/+,所以SK) = Il0.【变式33（2023新疆高二校联考期末）已知等差数列间的首项为q ,前项和为S一若 黑-黑=1 ,且tSs ,则4的取值范围为.【答案】-10,-8【解析】设等差数列凡的公差为，St,=n4+d l ., = l+（n-l）- = w +二数列图是以 = 4为首项，3为公差的等差数列,S1L-L = = 角*彳导, d = 2 -2023 2022 2，除传 ,，S sJ%
11、=4+4d = 4+80f ,解得：T0%-8 ,即。的取值范围为TO，-8.题型四两个等差数列前项和的比值【例4】（2023河南周口高二校联考期中）设等差数列叫，低的前项和分别为S”，T一一 S“ + 2 , am若宁罚，则力(a 4C 22a7B.0【答案】Dc7d【解析】因为SL所以詈=DIo叫4+%)= %2Slq也=& =旦=51 加 391975故选：D【变式41】（2023黑龙江鹤岗高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列0和也的前项和为分别为SQ,若A需，则言的值为（）a 103A豆103 b TTKC .等64D 篙【答案】B令Szj=A?-2）,则（=加（3+1）,所以知=Sll
12、-SK)=I03A,=-9=118,所以A嘿嗡，辘：B%jI】oIlo【变式42】(2023湖南益阳高二统考期末)(多选)已知两个等差数列叫、他的前项和分别为S.和且A甯，则使得上为整数的人的取值可以是()nrer1ukA.4B.3C.2D.1【答案】ACD【解析】由等差中项以及等差数列求和公式可得4二2_S21=5(21)+13=54UZ-.(-l)(-l)T2k,x-2kk12又因为AN,wl,2,4.故选：ACD.【变式43】(2023浙江嘉兴高二统考期末)已知等差数列也和低的前项和分别为S.、一S”3+4,a,+a1+a-若亍=F，则TV=()AlIlB-C-D卫A,13B,13C,2
13、6D.26【答案】C【解析】设等差数列%的公差为d,贝(J3+/+4=4+2d+4+6d+4+7d=3q+15d=3%,因为4+2o=2d,所以一西一5五，因为等差数列婚和间的前项和分别为现满足A瞿,11(4+a”)所以&=2=3x11+4=卫mk11(4+%)11+213，21_,、，&+久+43434337111所以打十%=或=5凉=5Xli=云，:C题型五等差数列奇数项与偶数项的和【例5】（2023黑龙江哈尔滨高三校考期中）已知等差数列叫的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为（）A.28B.29C.30D.31【答案】B【解析】设等差数列4共
14、有2+1项，贝!JS奇=-+%+%+,=2+4+6+a2n中间项为凡川，故S奇-S阙=q+（q-q）+（%-&）+（4”+%）=4+d+d+d=4+叔=川，。向二S奇-W=319-290=29,故选：B.【变式51】（2023全国高二课时练习）已知等差数列q的项数为奇数，且奇数项的和为40,偶数项的和为32,则出=（）A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】设等差数列S/有奇数项兼+1,（keV）.公差为d.奇数项和为40,偶数项和为32,4=4+g+*,32=a2+04+.+a2k.72=（2%+1）（：+424.）=Q&+1）4+,Sa2l-kd=a,+kd=al9=2+1,即等差数
15、列/共9项，且邑=叱产=9%=72Y=8故选：A.【变式52（2023河南周口高二统考期中）一个等差数列共100项,其和为80,奇数项和为30,则该数列的公差为（）A二B.2C.ID.I435【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则由条件可知：数列的奇数项之和为6+/+%+须=30,偶数项之和为%+4+4+=80-30=50,（2）OO由，得504=20,所以,即该数列的公差为g故选：D.【变式53】(2023重庆统考二模)已知等差数列q的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为8,且8-A=45,2A=8+615,则q=()A.3n-2B.3n-lC.3h+1D.3+2【答案】B【解析】设等差
16、数列的公差为，首项为。一则B-A=I5d=45,所以d=3,因为2A=3+615,即2A=A+45+615,贝(JA=66Or等差数列的奇数项是以囚为首项，2d为公差的等差数列，等差数列6的前30项中奇数项有15项，15x14所以A=15q+-x6=660,得q=2,所以4=4+(-1)4=2+3(-1)=3-1.故选：B题型六含绝对值的等差数列前项和例6(2023江苏盐城高二校考开学考试)在等差数列S/中，=-60,17=-12(1)求数列S的通项公式；(2)求*的前项和.32123.n+，n2【答案】(1 )a = 3 - 63 ； ( 2 ) S” = 223n2123S/八、ccn+1
17、2602222【解析】(1)设等差数列J的公差为d,q=-60fal7=-l2,.-60+166/=-12,解得d=3.,.an-60+3(-1)=3-63.(2)由凡0,解得之21.当21时,4的前项和S” =n(60 + 63-3n)3 , 123=n +na24S21=-212+-21=630.2122当21时，&|的前项和Sn = 630 +(322-63) +(323-63) + . +(3n-63) =630 +(-21)(3 + 363)=%_?/1 + 1260川“的前项和【变式61】(2023江苏淮安高三江苏省清浦中学校联考阶段练习)已知，是等差数列q的前n项和，且的=TSg
18、=34(1)求数列q的通项公式与前项和3；0n-n2,n5 n2 -0n + 50,n6(2)若2=，求数列色的前项和”.【答案】(1)an=U-2n,Sn=On-2；(2)7；=【解析】(1)设等差数列UJ的公差为，rnl(a.+6i=-3.,.cafa1=9叫9q+36d=3(q+3d),解.Id=-2.所以数列q的通项公式为q=9+(-1)(-2)=11-2，数列叫的前项和S,=号4.=10-.(2)由凡=11-20得0,hn=all=an;由4=11-20得,所以当6时，=+fl2+5(4+%+%)=2(l+a2+%)_(6+,+,J=2S5-Sn=2(1O5-52)-(1Oj-112
19、)=h2-IOn+50.IOw-ZJ2,/?5-10w+50,w6【变式62】(2023河南高三校联考期中)已知等差数列4的公差为整数，%=9,设其前项和为J,且急；;是公差为g的等差数列.(1)求何的通项公式；83 -4 10,42-83 + 86011.(2)若仇=1I-80,求数列M1的前项和，.【答案】(1)an=4/7-3;(2)Tn=【解析】(1)设4的公差为dl依题意得;-；二J，(4)1t(79+8185=831,2；当11时，闻=8-87,=4一一/+4+%+b“=2(+b?+。，+(4+4+b“)=4-83+86O._83w-4r,n10,政n4-83zz+860ll.【变
20、式63】(2023安徽马鞍山高二统考期中)已知等差数列何,前，z(N*)项和为5“，又a2=4,S9=90.(I)求数列&的通项公式勺；(2)设仇=|9T,求数列也的前项和，.8-l4,(N*)【答案】(1)%=2；(2)(=,、-8+32,5,(wN)【解析】(I)设等差数列的公差为d,首项为q,因为Sg=90,所以Sg=9(4；/)=9%=90,所以牝=1。，由%=3d=10-4=6z解彳导d=2f又电=4,所以4二生+(-2)d=4+(-2)x2=2;(2)=9-,=9-2n设t=9-2，,的前项和为5“，得S.=(L叽=82,9cn=9-2n0,得0,即a=q,所以14,=S,=8-当
21、5时，得小。，所以d=F,则,0,S210=Noa:生。)O=1+200=10+10,S212；%V0=a1+%0=20=q。，而知0,02+loO,贝U凡的前项和S“的最小值为()A.S4B.SsC.SD.S7【答案】C【解析】Y等差数列如中,。Vo,a2+aw=2aft0,即60,叫的前项和S0的最小值为S6.故选：C【变式72】(2023湖南株洲高二校考阶段练习)已知5“是等差数列叫的前项和，且Sn=-2n2+5n.(1)求数列6的通项公式.(2)求S”的最大值.【答案】(1)凡=THI7；(2)28.【解析】(1)等差数列q的前项和，=-22+15，当=1时，1=S1=-2+15=13
22、,当2时，=,-S-1=-2n2+5n-2(n-1)2+15(-1)=17-4w,显然4=13满足上式，所以数列叫的通项公式是q=T17.Ic725(2)由于S“=-22+15=-2(-_)2+_f而eN,4o于是当=4时，()m=28,所以5”的最大值是28.【变式73(2023上江苏南通高二统考阶段练习)数列小的前项和为S一对任意N,点（4）在直线2x7-22=0上.（1）求S,（2）求S”的最小值及此时的值.【答案】（1）Sn=n2-2n;（2）-HO,=10或11【解析】（1）因为（，4）在2x7-22=0上,可得2-6-22=0,所以4=2”22,贝此Lq=2,所以数列叫是等差数列，
23、所以S”=妇产=与二22电=2-21w.（2）由数列%的通项公式为%=2”22,令。”2。,解得11且eN,即当10时，凡。；当=II时，4。；12时lan0所以当=10或11时，S“的最小值为SK）=SU=Ia=T10.题型八等差数列前n项和的实际问题【例8】（2023福建三明高二校联考期中）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为3L5尺，前九个节气日影长之和为855尺，则小满日影长为（）A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺【答案】B【解析】从冬至日
24、起，依次构成等差数列，设为,由题意得：Sg=%抖=85.5,解得%=9.5,又冬至、立春、春分日影长之和为尺：4+4+%=3%=3L5i所以4=105,所以.=%-4=-1,所以如=+6J=3.5,故选：B【变式81】（2023河北邢台高二校联考阶段练习）按照小方的阅读速度，他看完巴黎圣母院共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读巴黎圣母院，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完巴黎圣母院的日期为（）A.2023年11月12日B.2023年11月13日C.2023年11月14日D.2023年11月15日【答案】C【解析】根据题意，从20
25、23年10月26日开始到读完的前一天,他每天阅读巴黎圣母院的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为60,公差为-2,贝由60”+三x（-2）820,且60-2m0,得20,所以小方读此书20天恰好可以读完，故他恰好读完巴黎圣母院的日期为2023年11月14日.故选：C【变式82】（2022江苏镇江高二镇江中学校考期中）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵，的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠.按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵.则年龄最小的儿子分到的绵是（）A.65斤B.82斤C.184
26、斤D.201斤【答案】C【解析】设8个儿子按年龄从小到大依次分绵q斤,斤，%斤，4斤，则数列可为公差为T7的等差数列.因为绵的总数为996斤，Qx7所以M+号x（T7）-996,解得4=184.故选：C.【变式83】（2023福建高二福州三中校考期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板.已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（）A.3339块B.3402块C.3474块D.3699块【答案】B【解析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为q,其中4+%+%=54,a25+a26+a27=702,fi+a27=3（q+%）=54+702=756l所以4+%=252所以s”=*产=丁=3402,故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）3402块.故选：B
