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1、4.1. :等比数列的概念等比数列的通项公式【考点梳理】考点一：等比数列的概念1 .定义：一般地，如果一个数列从第之项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母g表示(qRO)2 .递推公式形式的定义：念=虱WN*且1)(或Ti=q,2n)考点二：等比中项如果在。与b中间插入一个数G,使小G,b成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项，此时，G2=ab.考点三：等比数列的通项公式若等比数列的首项为公比为G则%=S!(N).考点四：等比数列通项公式的推广和变形等比数列册的公比为q,则斯=|仁!=,T=2其中当中m=时，即化为.当中q
2、0且疗1时，?r为指数型函数.等比数列的应用及性质考点五：实际应用题常见的数列模型1 .储蓄的复利公式：本金为。元，每期利率为心存期为期，则本利和y=(l+r)n.2 .总产值模型：基数为M平均增长率为p,期数为，则总产值丁=N(I+p)n.考点六：等比数列的常用性质设数列小为等比数列,则：若2+/=?+(/,w,wN*),W1Jaka=aj1an.(2)若及，p,成等差数列，则丽ci,斯成等比数列.(3)在等比数列%中，连续取相邻项的和(或积)构成公比为不(或的等比数列.(4)若%是等比数列，公比为g,则数列筋(4云0),4,足都是等比数列，且公比分别是Gq2.kun)q(5)若伍,儿是项数
3、相同的等比数列，公比分别是和4,那么0儿与翁也都是等比数列，公比分别为皿和力【题型归纳】题型一：等比数列中的基本运算1. (2023下河南许昌高二校考期中)已知数列“是等比数列，%=3,%=g,则公式q等于()A.B.-3C.3D.33【答案】D【分析】利用等比数列通项的性质计算公比.【详解】数列4是等比数列，=3,a5=f公式为,则有即1=3/,得夕二：.故选：D2. （2023下广东佛山高二校联考阶段练习）在正项等比数列为中，4+4=10，4=4,则4的公比4=（）A.2B.2C.2或TD.或李【答案】D【分析】由题意可得用%=W=16,从而可得出4=16,求得4=2,6=8或%=&4=2
4、,进而可求解9.【详解】在正项等比数列4,中，a,as=a-=6f/%=16,又a2+6=10,解得4=2,%=8或出=8,%=2,当出=2,6=8时，0,.g=7;当,=8,6=2时，/=0,Jq=.a222故选：D.3. （2023云南云南师大附中校考模拟预测）己知叫为递增的等比数列，且满足q=4,y+-=,则%=（）A.；B.1C.16D.32【答案】C【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得4,4,再根据等比数列的基本量求生.【详解】由题意，4+%=1%=5=16,q+%=10,axa58联立则卜=；或卜=：4+=10%=8a52因为4是递增的数列，得4=2,生=8,设等比数列q
5、的公比为9,则不=，=4.,.a7-a3q4=16.故选：C.题型二：等比中项的应用4. （2023下西藏日喀则高二统考期末）己知等差数列q的公差为2,前项和为S。，若%，成等比数列，则【分析】根据数列q是公差为2的等差数列，进而得到4=出-2,%=%+4,再由4，阴，4成等比数列，求得首项，然后利用等差数列的前项和公式求解.A. 16【答案】CB. 64C. 72D. 128【详解】解：数列q是公差为2的等差数列，/.al=出一2,%=4+4,电,。4成等比数列,.,W=44，即W=3-2）3+4）,解得出=4,4=2,所以#2,所以S”=4+当Dd,=72,故选：C.5. （2023下福建
6、高二校联考期末）己知等比数列4满足=-4，+-+-=3,则q+%=（）2A.B.-C.D.3438【答案】A【分析】由等比中项的性质可求出/生,然后对;+；+=3化简变形可求得结果.【详解】因为等比数列“满足=g，所以q%=G=gj=;,IiioIlClCCU因为一+=3,所以一+=3=3+2=5,“1a2。3a“3a2所以乌:：=5，所以4+生=5。1。3=：，故选：A6. （2023下湖北武汉高二武汉市洪山高级中学校联考期中）在等比数列,中，q=l,%=5,则的值为（）A.55B.-55C.55D.5【答案】A【分析】根据等比中项性质进行计算即可.【详解】=；=5,得生=6，因为、%、都为
7、奇数项，在等比数列中应该为同号，所以用=6，故a7a3a4=G=55.故选：A.题型三：等比数列下标的性质及其应用7. (2023下河南信阳高二信阳高中校考阶段练习)已知数列“是等比数列，函数y=f-5+6的零点分别是。2,4。，则4=()A.2B.yC.J3D.y【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比中项即可求解.【详解】由题意可得/4。=60,。2+4。=50,所以故4。，且4=y%o=，故选：D8. (2023下河南周口高二统考期中)在等比数列q中，。必=2,%=32,则4等于()A.64B.8C.-8D.8【答案】D【分析】利用等比数列的性质即可得解.【详解】因为”
8、是等比数列，4%=2mm,=32,所以(%)=a：回=(a4as)(a5a9)=a4a5asai,=64,0,可得4%=8.故选：D.9. (2023下黑龙江鸡西高二鸡西市第四中学校考期中)等比数列七的各项均为正数，且/%+4%=18,则Iog3a1+Iog36r2+log318=()A.17B.18C.19D.20【答案】B【分析】由等比数列的运算性质结合对数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】因为等比数列“的各项均为正数，且%+4=18,由等比数列的性质可得与42+4%=2%2=18,所以，。必2=9，即Wa2%=%r12=440=9,因此,Iog54+Iog5a2+Iog3%=Iog
9、3(1%)=log3(,2)9=log399=log33,8=18.故选：B.题型四：等比数列子数列的性质10. (2023上甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考阶段练习)在等比数列4中，%=243,%+4+/+/=72,贝I%+%+%+。=()3264A.B.C.32D.6433【答案】C【分析】利用等比数列的性质求解即可.【详解】设等比数列q的公比为9，贝I&+%+/=q3(生+%+4+6)，2即243/=72,解得4=所以为+/+佝+4o=4?卜“+4+%+的)=()72=32.故选：C.11. (2022四川乐山统考一模)在等比数列q中，如果4+4=16,/+4=24,那么/+%=()A
10、.40B.36C.54D.81【答案】C【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.243【详解】由等比数列性质知，4+%,%+4,%+&，成等比数列，其首项为16,公比为二所以16207+08=16x()=54.故选：C.12. (2021全国高二周测)设%是等比数列，且“+2+%=l,a2+3+4=2,则4+/+/=()A.12B.2C.30D.32【答案】D【分析】利用等比数列的性质进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为q,因为4+a2+a3=,所以由弓+G+q=2=%q+a2q+%q=1=q(%+a2+a3)=2=q=2,所以4+78=qq5+a2q5+ayq5=q(%+2
11、3)=251=32,故选：D题型五：等比数列与其它知识交汇问题13. （2022高二）已知等比数列,中，公比4=2,若q%q=230,则%）等于（）A.2,0B.220C.2,6D.2,5【答案】B【分析】由已知条件可得；=如，再由码/o=d，侬，即可得结果.【详解】由题设，%a2q/=解。产=2味则029=4且4=2,则4=127,而四,4，%0=4严=q2=2”.故选：B14. （2022上贵州黔西高三校考）设等比数列“的公比为4,其前项和为S.,前项积为4,且满足条件ql,1，（%MOT）（%）0,则下列选项错误的是（）A.0qS202iC.42o是数歹J1中的最大项D.411【答案】D
12、【分析】根据题意，分析可得/1，出1,Ovq1,则（/9）（/）=（）2（产9）1,由ql,可得g0,则数列“各项均为正值，若（/20-1）（%）21-1）1恒成立，显然不适合，故O1，Oa20211,故A正确；因为0Cl20212O2O+“2021=，2O2I，故B正确；根据44*l%。0,可知n。20是数列中的最大项，故C正确；由等比数列的性质可得aa4tu,=%*,=.=2020a2O22=2l，0&0211所以GHl=64。4041=孀，故D错误.故选：D.15. （2023上甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校）已知公比为正数的等比数列凡的前项积为q,且满足0ll,（65o-1）（6Z4
13、9-1）O,若对任意的wN,（T;恒成立，贝必的值为（）A.50B.49C.100D.99【答案】B【分析】由04l,公比。为正数，按照9与1的大小分类讨论，先排除01时，由（40-l）（/9-）o得吗,lO）,若0ql,由0ql,贝JOql恒成立，由ql,得4W49,即49l,这与（与-）（49-）1.由41,又0q0恒成立，得,rq4,即+.则等比数列q为递增数列，则”50“49,又（。50-1）（49-D，所以04%Va4y16r551n7；,12).易证40(1),于是4t+10(2),故Tr=2(2).所以4+l是以4+1=2为首项、以2为公比的等比数列.(2)由(1)知q+1是以4
14、+1=2为首项、以2为公比的等比数列，所以4+l=2(l),从而4=2-l(l),这就是q的一个通项公式.33a18. (2023下甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习)己知数列4的首项4=、，-=t7Jn（1）证明：数列;为等比数列;（2）求数列凡的通项公式.【答案】证明见解析（2）勺=3”3+2【分析】（1）应用等比数列定义证明即可;（2）根据等比数列通项公式求解计算即得.【详解】（1）因为一 4+12+121“I1Il-=-+，同以1=,3/334MX%3、3-1彳且-1343an12I所以数列一-1是首项为彳，公比为:的等比数列.IAJ33（2）由（1）可求得-L-I=aXjl,所以
15、-=2（+1=勺；，即=一L.43%,3n3”+2【双基达标】一、单选题19. （2023全国高二随堂练习）将公比为夕的等比数列%的,4，4,依次取相邻两项的乘积组成新的数列4%，%，/4，.此数列是（）.A.公比为q的等比数列B.公比为O?的等比数列C.公比为O?的等比数列D.不一定是等比数列【答案】B【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项.【详解】设新数列为,则因为4为等比数列，故40,故btt0,而3=:h=/,故也为等比数列且公比为二，r-lan-an故选：B.20. （2023下黑龙江齐齐哈尔高二校联考期中）在等比数列“中，4&=24,则6=（）A.3五B.3y2C.26D.26【
16、答案】D【分析】根据等比中项的性质计算可得.【详解】由=24,.,.火=2#.故选：D21. （2023下辽宁沈阳高二校联考期中）在等比数列4中,若。2=8,则bg2%+log2%=（）A.8B.6C.4D.3【答案】B【分析】根据等比数列的性质可得4%=环，再根据对数的运算性质即可求得答案.【详解】在等比数列“中，由生=8,根据等比中项可得。臼=生2=64，所以log21+log23=Iog2aia3=log,2=lg264=6，故选：B.22. （2023上江苏盐城高二盐城市第一中学校考期中）已知数列4,满足为黑鹭，若J%=aMm2）,则（）A.2B.3C.4D.8【答案】A【分析】按奇偶
17、性分类讨论即可求解.【详解】加为奇数时，依题意有（m+1）2Jm+3=2=丝=1+=,v,771+1m+12又由n2可知2zn22=4l+=7,故上式无解.w+1m为偶数时，依题意有2ml（f?i+2）=2m+=?+2=4?=2,故选：A23. （2023上安徽阜阳高二阜阳市第三中学校考期中）设数列为是公比为9的等比数列，41.若数列q的连续四项构成集合-3,-48,12,192,则公比q为（）A.16B.4C.-4D.-16【答案】C【分析】根据等比数列的知识求得题目所给4项的排列顺序，从而求得公比9.【详解】由题意等比数列q的连续四项构成集合-3,T8,12,192,则可知等比数列的项一定
18、为正负相间，公比为负，由于|41,故后一项绝对值大于前一项的绝对值,故集合-3T8,12,192中的这四个数在数列中排列为-3,12,-48,192,则q=-4.故选:C24. (2023上河北衡水高二衡水市第二中学校考期中)在等比数列凡中，4%,%,24成等差数列，则()A.；B.-C.2D.424【答案】C【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列4的公比，从而求得维卫.14【详解】设等比数列4的公比为4(q0),由于4%,外,26成等差数列，所以2%=4%+2%,%=2%+%，/=2+q,q2-q=2,22所以5- Q 所以& = 一 M或攵=3.26. (2023上广东高三校联考阶
19、段练习)己知等差数列“前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列4的通项公式；=4应-4凶=幺_工=/-4=2阳/1故选：C25. (2023全国高二随堂练习)若mG,b成等比数列，则称G为和b的等比中项.求45和80的等比中项；(2)已知两个数4+9和6-左的等比中项是2鼠求匕【答案】(l)601Q(2)攵=一丁或左=3【分析】(】)根据等比中项的性质求解即可.(2)根据题意得到4/=4+9)(6T),再解方程即可.【详解】(1)设G为45和80的等比中项，则G?=45x80=3600,所以G=60.所以45和80的等比中项为60(2)两个数Z+9和6-2的等比中项是2&,所以4-=
20、化+9)(6/,5&2+354=0,(5+18)(-3)=0,1Q解得A=-M或欠=3,此时左+9h0,6-k0,满足题意，若。2，%，为成等比数列，求数列的前10项和九【答案】(1)q=-3+5或q=3-7(2)105【分析】(I)设等差数列公差，由已知建立方程组进行基本量计算即可；(2)根据条件确定通项，将含绝对值的数列分段表示，再转化为等差数列求和.【详解】(1)设等差数列q的公差为d,则%=4+d,%=%+2d,3a.+3d=-3(4=2fa=-4由题意得l3+d)Q+2d)=8解虱=.3或3所以4=2-3(/?-1)=一3+5或4=-4+3(-l)=3w-7.故可=-3+5或q=3-
21、7；(2)当4=-3+5时，/，4吗分别为T，T2,不成等比数列；当q=3-7时，/，生吗分别为T2,-4成等比数列，满足条件.故明3f七六，晨2,记数列“的前项和为，S*；11)GCC10(310-ll)C一八=5102S2=2(14)=105.故数列同的前10项和为105.【高分突破】一、单选题27. (2023上上海闵行高二上海市七宝中学校考期中)己知等比数列4,%，4o是方程13x+14=0的两个实数根，则4的值为().1313A.J14B.Jl4C.-D.【答案】B【分析】根据一元二次方程的韦达定理，根据等比数列的通项公式，可得答案.【详解】由题意可得4+4o=13,&%=14,且数
22、列4,为等比数列，设其公比为q,则4夕+”：3,qqo,a=axq5=yaiqaiq9=714.%q%q=14故选：B.28. （2023上浙江宁波高二镇海中学校考期中）2023年IO月1718日，第三届“一带一路高峰论坛在北京举行,有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）.参考数据.1.06481.64,1.06491.75,1.064,1.86,1.06411.98【答案】B【分析】根据给定信息，
23、构建等比数列，再求出其中的项即可.【详解】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列4,其中4=10.9,公比q=l+64%=1.064,所以2022年进出口累计总额为4o=4=1O.9x1.OW三三1O.9x1.75三三19.1（万亿）.故选：B29. （2023上湖南长沙高二长郡中学校考期中）已知数列也满足2%4+用-3为=0（N）且40.若“是递增数列，则的取值范围是（）A.（,g）B.停1）C.（0,1）D.（0,0一1）【答案】C112【分析】根据2%4+%-3%=0（N）变形为丁=不丁+工，配凑成an+3anz171111J,解得“一可匚h，最后根
24、据数列的递增性质求解6的取值范围.【详解】根据24+4+c*-3q=0（N）,3an可得%=讨所以从而可得数列一!-1是以为首项，4为公比的等比数列,%31 1 所以一1= 一 一Ia）（犷整理有因为4+1an0.整理得：即04 -!r Z -!31.(2023下辽宁铁岭高二校联考期末)已知数列叫满足4=1,.设瓦=(-3-2)可，若对于任意的N,bn.恒成立，则实数4的取值范围是()A.g+co)B.2,+)C.5,)D.6,+oo)【答案】A【分析】根据给定条件，求出数列“,的通项，再求出数列的最大项作答.【详解】由数列q满足4=1,2%=4,得4是首项为1,公比为的等比数列，为=击，工目
25、Ln2-3n-2.,(+1)2-3(+1)-2n2-3/:-2n(n-5)zu=-,%-=-，当15,时,当且仅当=5时取等号，当6时，+1,因此当5时，数列d单调递增，当6时，数列也单调递减，则当=5或=6时，()max=,而任意的N,af恒成立，则2g,所以实数之的取值范围是；，+8).故选：A【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.二、多选题32. (2023下山东日照高二统考期末)已知等差数列为的公差为d(dw),前项和为且，%,4成等比数列，则()A.%=0BS20=OC.当d0时，的最小值是Sg或九【答案】ACD
26、【分析】根据条件求出4+9d=0,由通项公式可判断A,由求和公式可判断B,根据前项和公式及二次函数性质可判断CD.【详解】因为，4，4成等比数列，所以=q4，即(4+3d)?=1(a1+5d),解得q+9d=0,即q0=0,故A正确;S20=Io(2q+19d)=10(18+19J)=100,故B错误；cn(n-)dC.n(n-)dd(2.nSn=叫+=-9nd+=-19nj,所以当d0时，由二次函数性质知，=9或10时，SfJ的最小值是Sg或SH),当d0,D正确.【详解】A选项，an=alqn-=2n-tA正确；B选项，,”=221,故如_=筌1=4,又q=2,故4”为首项为2,公比为4的
27、等比数列，B正确；C选项，由A可知，=1,%=2，%=8%=16,则+为工/+。4，C错误；D选项，。川-=2”-21=210,故4单调递增，D正确.故选：ABD34. (2023上江苏苏州高二吴江中学校考阶段练习)在数列“中，4=；,M+/-,=(2N),下列结论正确的是()A.数列q,是等比数列B.数列是等差数列C-4=6-3D.数列q是递增数列【答案】BC【分析】根据已知化简得出等差数列可以判断AB选项，根据等差数列通项公式计算得出通项公式判断C选项，最后结合单调性判断D选项.【详解】由644l+“一可T=0,整理得;-=6（Z2）,anan-故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B
28、选项正确，A选项错误，IAJ由等差数列可得=3+（-1）x6=6-3,所以4二7二，eN*,则C选项正确，6/1-3由通项公式可知数列“是递减数列，D选项错误.故选：BC.35. （2023上甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习）下列命题中错误的是（）A.若a,b,C是等差数列，则log?4log?戾bg2c是等比数列B.若a,h,C是等比数列,则Iogzdlogz庆log2。是等差数列C.若mb,c是等差数列，则2,2:2，是等比数列D.若a,b,C是等比数列，则2“,2:2。是等差数列【答案】ABD【分析】由特例判断ABD,根据等比中项的定义判断C.【详解】当0时，log?。不存在，因此
29、AB均错；选项C若小b,C是等差数列,则（2=23=2小=2九21显然2”,2*2。均为正数,因此2“,2*2。成等比数列,C正确;选项D,例如=l力=2c=4,它们成等比数列，但2“=2，2=4，2*=16,它们不成等差数列，D错.故选：ABD.36. （2023下.河南南阳高二南阳中学校考阶段练习）已知数列小满足4=鼻=2+京”2eN）,则下列说法正确的是（）A.当4=0时，数列%是等比数列B.当2=-1时，数列J是等差数列C.当4=】时，q=/D.当2=1时，数列,存在最大值【答案】ACD【分析】A选项，当2=0时，4=$从而得到可是等比数列；B选项，当4=-1时，3q-3Tal=-1,
30、求出q=筝，进而得到?-翁=笨-黑不是常数，得到B错误；C选项，当右1时，3%是公差为1的等差数列，求出4=/；D选项，在C选项基础上得到为+-%0,故有最大值.【详解】选项A,当九=O时，an=rt-又4=；H0，所以4是首项为:，公比为:的等比数列，故A正确；选项B当;I=T时，q,=S故3凡=3%1，即3Z-3&t=T，所以数列32是等差数列，又如=1,故32=1-+1=2-，则4=零，祟=笨由于%-符=笨-/不是常数，故数列畀不是等差数列，故B错误；选项C,当2=1时，“二；%+，3风-3小%=1,所以34是公差为1的等差数列，又=1,所以3q,=l+-1=，所以4=F故C正确；选项D
31、,当Zl=I时，由C选项可知，an=t则.4=崇一/=皆0,所以60,Z?2=-Ix（-25）=25,所以b=5=5舍去）.故答案为：-5.39. （2023上福建龙岩高二校考阶段练习）在等比数列4中，4+%=9,%=8,且为M,则q=.【答案】64【分析】根据等比数列性质结合题设求得%,继而求出d=8,再利用%=%/，即可求得答案.【详解】等比数列,中，出q=8，故q=8,结合q+%=9,以及凡a*可得4=L%=8,设等比数列公比为小则d=8,a故63=6,即7,故的最小值为8,即第8个月网站用户达到5000人以上，所以使网站用户达到5000人至少需要经过7个月.故答案为：7.41. （20
32、23下重庆沙坪坝高三重庆南开中学校考阶段练习）己知数列4是公差不为0的等差数列，数列%为等比数列，数列的前三项分别为1,2,6,则数列低的通项公式为.【答案】匕=土于【分析】先根据数列%的前三项分别为1,2,6,得到d=3,继而可求出等比数列%的公比，写出数列%,通项公式，再根据数列凡是公等差数列，写出数列%,的通项公式，两者相等，即可求解.【详解】根据题意得，W=W6,则0+d）2=q（4+5d）,即d=30,设%的公比为q,则g=等=4，故=4。=4t勾，又%,=6+（k“-l）d=（3k“-2）q,3n-2=4n-,.,4n-,+2%=-故答案为：丸=竺三四、解答题42. （2023上高
33、二课时练习）己知数列q为等比数列.若4=3,（+4+4=21,求%+%+%的值；若生+4+4（）=12,03+a7+11=9,求+%+%的值.【答案】（1）4216【分析】（1）设等比数列4的公比为9,由等比数列的性质求出炉=2,再由。3+%+%=4（，+。4+96）,代入即可得出答案；（2）设等比数列”的公比为由等比数列的性质求出4=1,再由-+%+的=%+?+加,代入即可得出答案：【详解】（1）设等比数列q的公比为9，则6+a3+as=al+al/+alq4=21,因为4=3,所以l+q4=7,W+-6=0,贝j(*-2)(+3)=0,解得：q2=2而+%=/g2+6g4+%.g6=%(4
34、2+g4+g6)=3(2+4+8)=42.(2)设等比数列“的公比为4，/+%+%=(%+4+4o)4=12q=9,93解得：7 = =-al+a5+ a9=a2 I l 10. _ 42 +。6 + %0q q q q1 = 12- = 1633所以4+4+?=16.43（2023上高二课时练习）已知数列“为等比数歹U.(1)若4=3,q=-2,求4；(2)若q=20,tz6=160,求q和q；(3)若-q=15,fl4-2=6,求知.【答案】(1)一96(2)4=5,夕=2(3)%=4或%=T【分析】(1)利用等比数列的通项公式直接求解即可，(2)根据已知条件列方程组求解即可，(3)根据已知条件列方程组求出和g,从而可求出力.【详解】(1)因为数列q为等比数列，且4=3,4=-2,所以=%q5=3(-2)5=-96,(2)因为=20,4=160,所以，srn,解得“=5,q=2,aq-160(3)因为火一4=15,a4-a2=6,所以心=：aq-aiq=6由题意可知
