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1、项和公式5题型分类一、等比数列的前n项和公式若等比数列,的首项为0,公比为分则等比数列凡的前项和公式为nai,q=S=。】（1q）_aia“q11，q于11q1（7二、等比数列前项和公式与指数函数的关系(1)当夕=1时，Sfl=因是关于的正比例函数，点(,S“)是直线尸火工上的一群孤立的点.(2)当q时，二;)=己，Sn=-Aqn+AqOJL1时，y=qn是指数函数，此时，点(,S“)是指数型函数尸-幽+力图象上的一群孤立的点.三、等比数列前项和的性质已知等比数列”的公比为夕，前n项和为S“，则有如下性质：SZM+=S,+qS,(2)若，,52&5&5-52*(止2)均不为0,则83-5&5/
2、-52*成等比数列，且公比为广.(3)若%共有2M7V*)项,则号=3、奇若对共有(2+1)(N*)项，则SI=q3偶彩供题秘籍()等比数列基本量的求解1 .等比数列的通项公式：an=aqnx=amqnm=(jn.2 .等比数列的前项和公式：STWyqn+詈.l-qI-Q题型I:等比数列前项和基本量的求解11. (2023全国高二专题练习)在等比数列。国中. 52=30, Ss= 155,求 S； 3=10, 46= 4 求 S5；1-q3 .等比数列基本量的运算:在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：Ql,，q,Sn,做到“知三求二(3)+m=66,a2an/=128,Sw=12
3、6,求g.【答案】l80xH-V；*2或：11a(l+)=30,【分析】(1)解方程组；2、L求出4国峰得品Iq(1+4+T)=155,ai+aq2=10,(2)解方程组3S5求出，夕即得解；%q+%q=:，4a.=2,a,l=2,(3)根据已知求出,Q或”有即得解.an=64必=64.【详解】(1)由题意知4(l+q)=30,q(l+g+q2)=55,解叱二;或4=180,5一从而Sx54T或2侬帅+/44ax+a/=10,(2)由题意知,55。同、+q夕=:，44=8,5_.解得1从而Ss=_)=?.q=3,q2(3)因为。2。=128,所以/,是方程/66x+128=0的两根.4=2,I
4、an=2,从而或有an=641=64.又Sn=%：CInq-=I26,所以g为2或;.-q2【点睛】方法点睛：在等比数列J的五个量4闯，牝，S”,中，存在“知三求二”的解题规律,即知道了五个量中的三个量，其它两个量可求.12.(2023上四川成都高二校考阶段练习)已知递增的等比数列q中，ChR=8%,a1+=65,贝1JS5=A.25B.31C.37D.41【答案】B【分析】根据已知条件求得等比数列凡的首项和公比，由此求得【详解】设等比数列4的首项为4,公比为4,则q0gS=8、4八。码3=8,al+aiq=65,由二得一=与，工=上，时一6543+8=（/8乂8/1）=0,4+g651+/6
5、5八，解得q=/或4=2,671=64（即夕=J（不满足q单调递增，舍去）或，1.25所以SS=31.51-2故选：BS13（2023浙江）设S“为等比数列q的前项和，8%+4=O,则寸=A.11B.5C.-8D.-11【答案】D【详解】试题分析：设公比为q，由8%+&=0,得标出去啊,或=网，解得g=-2,所以理=Iz=_0.故选d.,工-格考点：等比数列的前项和.14. （2023上四川高三树德中学校考阶段练习）设正项等比数列,的前项和为S.,若2S,=34+8q,则公比4=（）333A.2B.C.2或D.2或一222【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.【详解】由2邑=
6、3a2+8%,有2（4+电+G）=3生+&/1，即26-6。=0.由等比数列的通项公式得244一%“一6%=0,即242一4一6=0,解得4=2或乡=一,，由数列为正项二数列，4:2.故选：A15. （2023上江西高三校联考阶段练习）记正项等比数列为的前项和为S.,若7S2=3S3,则该数列的公比4=（）A.-B.4C.2D.332【答案】C【分析】根据给定条件，结合等比数列的意义列出关于9的方程，求解作答.【详解】正项等比数列4中，夕0,由7S2=3S3得7（q+%）=3（4+02+%）,整理得3%-44-4q=0,即3q2_444=0,解得q=2,所以数列%的公比9=2.故选：C16.
7、（2023上河南安阳高三统考开学考试）已知等比数列%的前项和S“二32一加，则/=（）A.39B.23C.3,D.239【答案】B【分析】由数列6的前项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项.【详解】因为数列可的前项和f=3+2-m,所以4=S=27-m,a2=S2-S=81-/W-27+/?=54,a3=S3-S2=243-w-81+w=162,又数列6为等比数列，所以数列4的公比4=V=3,a54所以-1=3,所以z=9,6=18,ax27-mm=9=23l,故选：B.17. (2023下,高二课时练习)在等比数列%中，若4+/+%=2-1,则垢+如
8、+始=()A.(2w-l)2B.(4n-l)C.(2-1)D.4n-l【答案】B【分析】因为数列4是等比数列，且J知前项和，所以可求通项。“，进而可求凡一仍然是等比数列,再利用求前项和公式解出结果.【详解】解：因为数列4是等比数列，且4+出+可=2-1,解得4=1,2=2,所以4是以1为首项，2为公比的等比数列，则勺=2小，那么a/=，。所以凡2是以1为首项，4为公比的等比数列，所以根据前项和公式得始+必+可2=岑？2=g3-l).故选：B.18. (2023下高二课时练习)己知%是等比数列，见=2,%=；，则4出+%+4M+尸()A.16(l-4-rt)B.16(l-2w)C.y(l-4w)
9、D.y(l-2w)【答案】C【分析】由已知条件求等比数列q的公比g,数列a向也为等比数列，利用公式求前坝和.【详解】g=2,a5=j,设等比数列q公比为/由得夕3=：，所以夕4o28il=U_Ji=1，bnm254数列是首项为8,公比为;的等比数列,所以 4%+/+ +a+点0,） （N*）均在直线故选：C19. （2023上,河南安阳高二林州一中阶段练习）设数列q的前项和为SzI），=+（上.若人=3“招，则数列出的前项和I=.2nQrt+1-Q【答案】O、151,n=11/八、【分析】依题意得S.=2+：，利用%=:一求出=2,l9N）,得=3?,根据等比数2-5,nZ2列求和公式可得结果
10、.【详解】因为点(，,|”gN)在直线y=+g上，C11所以点=+不，即S,=1+n223当TI=I时，4=Sj=5，当2时，=S0T=(/+；)_(w-l)2+(w-l)=2一;31经检验4=耳满足为=2一(2)所以4=2g(N),1/,手(”+1)则=3/=3*由T=H=S?=可知2为公比为9等比数列，且&=3雨=9,故T=S=“1-98Qn+,_Q故答案为：-8110.（2023上四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：”有一人走3
11、78里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A.该人第五天走的路程为14里B.该人第三天走的路程为42里C.该人前三天共走的路程为330里D.该人最后三天共走的路程为42里【答案】D【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为4=g的等比数歹USJ,由题意求出首项，可得其通项公式,即可求出知见,判断A,B;求出S3,S6-S3可判断CD.【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为4=；的等比数列q,设数列前n项和为，则录=378,4。-J故$6=4=378,解得=192,1-2则q,二192x击，故生=192x=12,
12、该人第五天走的路程为12里，A错误；%=192*=48,该人第三天走的路程为48里，B错误；192（1-：）S3=广一=336,该人前三天共走的路程为336里，C错误；1-2由Se-E=378-336=42（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，故选：Dill.（2023湖南统考二模）在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.凡一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数3=2,平均感染周期为7天，那么感染人数由I（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（
13、初始感染者传染个人为第一轮传染，这几个人每人再传染小个人为第二轮传染参考数据：lg203010）A. 42B. 56C. 63D. 70【答案】C【分析】设第轮感染的人数为勺，则数列%是4=2,公比夕=2的等比数列，利用等比数列求和公式,结合lg20.3010,即可得到答案；【详解】设第轮感染的人数为%,则数列q是4=2,公比q=2的等比数列，由1+S=2(-2)+1=999,可得2X=1000，解得2=500,两边取对数得植2=馆500.“1-233则2=3-lg2,所以=0T=1897=9,故需要的天数约为9x7=63.故选：C彩饵题祕籍(二)等比数列前项和的性质等比数列前项和的性质已知等
14、比数列为的公比为分前n项和为S“，则有如下性质：S,+“=S”+gS.若Sk,S*-Sk,S3-52(僻)均不为0,则，,52a-Sk,S3a-S2*成等比数列，且公比为v.(3)若/共有2(N*)项，则职=4;J奇若,共有(2+l)5N*)项，则SU=q.题型2:等比数列片段和性质及应用21. (2023下宁夏石嘴山高一平罗中学校考期中)等比数列“的前项和为S.,已知，=9,=36,则S知=()A.144B.117C.108D.81【答案】B【分析】根据S,S2n-Sn,S3m-5211为等比数列可求Sn的值.【详解】因为&=9工0且=，为等比数列,故，S,-S二为等比数歹U，故9x(8“-
15、36)=(36-9，解得S,.=117,故选：B.22. (2023高二课时练习)已知各项为正的等比数列的前5项和为3,前15项和为39,则该数列的前10项和为()A.3拒B.313C.12D.15【答案】C【分析】利用等比数列的性质可得(SH)-SS)2=Ss?(4与)，代入数据即可得到答案【详解】解：由等比数列的性质可得S5,So-Ss,凡-SK)也为等比数列，又邑=3,几=39,故可得(SH)-S5=&?(九SK)即(SK)-3=3(39-SH),解得SK)=I2或SK)=.9,因为等比数列各项为正，所以SK)=I2,故选：C23.(2023上宁夏银川高二银川九中阶段练习)设等比数列4的
16、前项和为S.,若S6周=1:2,则Sga=()A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3【答案】C【分析】利用等比数列前项和的性质S-Sli,S3k-SlkysAk-sik1L成等比数列求解.【详解】解：因为数列m为等比数列，则S-S6-S3,S9-Sf成等比数列，设S3=m,则S6=,则S6S3=,故,6品=L=-;,所以Sg-Ss=3,得到Sg=1m,所以1二丹6一3244334故选：C.24. (2023江西校联考模拟预测)已知等比数列6的前项和为S”，公比为有，且54-2邑=6,则6=()A.36B.39C.40D.44【答案】B【分析】利用等比数列的性质可得SS2=(6)2SzS-Sl
17、(G)Ey),进而即得.【详解】由题可得S4S?=(3)2S2,56-S4=(3)2(54-S2),由邑一252=6,得S2+（6ysS2=6,解得$2=3,所以S4=时,所以S6=S4+9S2=3%故选：B.25. （2023全国高三专题练习）已知数列6是等比数列，S”为其前项和,若4+生+/=4,4+%+%=8,贝U?=（）A.40B.60C.32D.50【答案】B【分析】运用等比数列的性质，,52t-,S3i-S24,成等比数列.【详解】由等比数列的性质可知，数列S3,56-S3,Sg-56,S2-Sg是等比数列，即数列4,8,S9-S6,S12-59是等比数列，El-S6=16,S6=
18、12tS12-S9=32,S12=32+16+12=60.故选:B.26. （2023上安徽马鞍山高二马鞍山二中校考开学考试）已知等比数列4的前项和为S“，S4=I,S8=3,则%+qo+4+42=A.8B.6C.4D.2【答案】C【分析】由等比数列的前项和性质可知：SQS2n-Sn.S?“-5筋成等比数列，再根据%+6o+%I+/=Sy2-Sfi计算出结果.【详解】因为S4、SLS4、$2-$8成等比数歹U,所以（Sg-SjLS/兀Y）代入数值所以S?=7,则%+o+4+%=S2-Sg=73=4.【点睹】（1）形如勺+。*+/的式子，可表示为4+/+2+4=S一（2）等比数列中前项和为S”，
19、则有邑、SLSQS3,f成等比数列，其中公比4工-1或“=1时且不为偶数.27. （2023上贵州铜仁高二贵州省思南中学校考阶段练习）设正项等比数列4的前项和为S.，2,o530-(2,o+1)52o+5io=0,则公比0等于()D. 2【答案】A【分析】由条件可得30 - 520 二邑。一 go 21即可求出g.【详解】因为2S30-(2H)+12。+5K)=0,所以2(S3o-S2o)-(S20-So)=O三=晡；因为。”0,所以4=3故选：A【点睛】本题考查的是等比数列的知识，考查了学生的转化能力，较简单.题型3:等比数列奇、偶项和的性质及其应用31. （2023全国高二学业考试）已知一
20、个项数为偶数的等比数列q,所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则q=（）A.1B.4C.12D.36【答案】C【分析】求出等比数列”的公比，结合等比中项的性质求出的，即可求得可的值.【详解】由题意可得所有项之和%+S偶是所有偶数项之和S偶的4倍，所以，S奇+S偶=4Scft,故S儡=gs奇设等比数列q的公比为夕，设该等比数列共有2&（&eN）项，则S偶=4+4+=夕（4+%+/1）=恭奇=；S奇，所以，夕=；,因为C=的2%=64,可得%=4,因此，4=子=12.故选：C.32. （2023上,河南高二校联考阶段练习）已知等比数列qt共有32项，其公比4=3,且奇数项之和比偶数
21、项之和少60,则数列4的所有项之和是（）A.30B.60C.90D.120【答案】D【解析】设等比数列%的奇数项之和为偶数项之和为S2,则S2=3S,51+60=S2,则可求出，,值,从而得出答案.【详解】设等比数列伍”的奇数项之和为，偶数项之和为S2,贝IjS=4+/+%+/1，S2=a2+a4+aft+32=43J偶1故选：C.34. (2023上陕西宝鸡高三统考阶段练习)已知等比数列q中，=1,q+q+1=85,a2+a4+a2k=42,则A=()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】本题首先可设公比为q,然后根据4+%+出1=85得出“(&+%)=84,再然后根据生+4+。=42求
22、出4=2,最后根据等比数列前凡项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列q的公比为夕，贝Ij4+/+2“=4+%4+2应=85,即q(g+%)=85-l=84,因为生+4+aik=42所以4=2,lhll(l-22*+,)则4+a2+6+a2k+=85+42=127=1 2即128=22卬，解得无=3,故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.题型4:等比数列前n项和的其他性质 (2023上海奉贤统考一模)已知等比数列“的公比g,前项的和S“，对任意的 , Sf,0恒成立，则公比夕的取值范围是
23、.【答案】(1,0)-(0,包)【分析】分公比的范围与前项的和S的公式分析讨论即可.【详解】尸1时,有S“ = 4一力.5rt0, 60,则;0恒成立，-cl1一4当”1时,l-g“1恒成立,由41,知夕1成立；当4 = 1时,只要q040就一定成立；当”1时,需l-0恒成立，当Ovq0恒成立，当TVgVo时,IT 0也恒成立,当q0不成立，当”T时0也不可能恒成立,所以夕的取值范围为(To)-,(0,M).故答案为：(TO)U(O,内).【点睛】本题主要考查了等比数列前项的和S”的性质,需要根据题意讨论公比的范围再分析SfI的性质.属于中等题型.42. (2023上海统考模拟预测)己知4为等
24、比数列，4的前项和为S”，前项积为7；,则下列选项中正确的是()A.若S2022S202,则数列6单调递增B.若则数列单调递增C.若数列0单调递增，则%20202D.若数列亿单调递增，则2022【答案】D【分析】根据等比数列的前项和公式与通项公式可得。2也0与4O22l,进而可得6、0取值同号，即可判断A、B；举例首项和公比的值即可判断C；根据数列的单调性可得A4,进而得到。”1，求出41,即可判断D.【详解】A：*1,得a的。，即。闻曲0,则%、9取值同号,若q0,夕qO2,得/221，即4产1,则6、q取值同号,若40,40,则数列%不是递增数列，故B错误；1 I-S)1C：若等比数列4=
25、1,公比a),则Szt=-=2(1-),2 1-22所以数列SJ为递增数列，但20221,即q1,所以。20222021故DlE确.故选：D43. (2023上河南高二校联考阶段练习)已知等比数列qJ的前项和5”=入3,-g,则函数(x+2)(x+10).八、附曰y=(X0)的最小值.x+t【答案】16【分析】根据等比数列前项和公式，化简题目所给S“后求得/的值.然后化简题目所给函数解析式，最后利用基本不等式来求得最小值【详解】因为S=40T)=-而题中S.=3i-2=!3-:,易知一!=一:，故=1：所-q-ql-q33333以(工+2总+10)=(+2)(x+10)=+T+o,即y2+1)
26、.卫+10=16,等号成立条件为x+tx+1x+1V,x+19xl=-=x=2,所以最小值为16.x+1【点睛】本小题主要考查等比数列前.项和公式的函数特点，考查利用基本不等式求式子的最小值问题.属于中档题.44. (2023全国高三专题练习)设等比数列q的公比为夕，前项和为S”，前项积为，并满足条件a1*,21(%)21-1)(6022-1)B. S2onS22C. 。2021.。202322-1)1，。202/出0221，得到OV”1,八出以,，进而结合等比IU/22(6022-1)0,所以或“如/，而叫为等比数列，UalO2211l,02l2O221，于是OVqV1,1,则A错误；Oa2
27、02222S2021，则BJE确；20212023=20221,出1,2l,O222l,O2231,4%1，1B.UVqVIC.SzI的最大值为邑D.7；的最大值为。【答案】B【分析】根据1,，忙!0,分4。，4LOvqvl讨论确定夕的范围，然后再逐项判断.【详解】若夕l,所以40,则4生1矛盾，若gl,因为所以必1，%1，则%0,与比=。矛盾，07-la7-1所以OVqV1,故B正确：a1因为七7l%0,所以4%=aJw(0,l),故A错误；O7T因为凡0,Uvqvl,所以S”=F-誓单调递增，故C错误；l-q1t所以7；的最大值为7；,故D错误；故选：B.46. (2023四川成都校联考三
28、模)已知等比数列q的前项和S“满足S”=2向-?，数列也满足=Iog2an,其中N,给出以下命题：n=l;口若口一4对N恒成立，则36设/()=4+丁，N,则/()的最小值为12；口设G=Cl?TLd*N若数列匕单调递增，则实数，的取值范围为卜3).其中所有正确的命题的序号为.【答案】【分析】由等比数列前项和公式特点确定加=2,进而明确4与2的通项，结合数列的单调性判断各个命题.【详解】由4为等比数列，其前项和Sfl=2Z-m=227,则加=2,故：不正确；由S“二2-2,可得q=2,则勿=，若。d一4对z2cN*恒成立，即人2-4ofj-对恒成立，人/、-4r.lq/,、/.一3一4一+5令
29、，()=亍，贝|/5+1)一/()=广一=TT当1ZJ4时，/(n+l)().当=5时,/(5)=/(6),当6时，.“+1)。(%则f()a=5)=6)$，则f记，故正确；36由/()=为+一，nNan令f=2,则y=f+手当f=4,=2时，y=13,当f=8,=3时,=12.5则f5)min=3)=125,故口不正确;：+丁3gN,由j单调递增,2,n4则 3C40,由出+4是,%的等差中项，则q+生=2(%+4),2+2/=2(2q+4),解得夕=3,或g=T舍去，4=2x33=54.故答案为：54.52. (2023下吉林长春高二东北师大附中校考期中)已知数列4为等比数列，若生“3=2
30、4,且能与2q的等差中项为：，则的值为.4【答案】IO【分析】设公比为首项为4,(q0),列出方程求得应,即可求得答案.【详解】由题意数列4为等比数列，设公比为4M0,首项为外(4/0),/0=2%p3=2q故Cc5，即3-5，a4+2ay=244+2%=5解得4=；,夕=2,则出=3，故%=W=，故答案为：:O53（2023江苏校联考模拟预测）若数列4是等比数列，且2%是4%与火的等差中项，则:工i=.【答案】2【分析】由数列q是等比数列，及2%是4%与处的等差中项，得出9的值，再由七色=4即可得出答案.a2+a【详解】因为2%是4%与%的等差中项，数列6,是等比数列，所以4。2=4%+生，
31、即4q=4+g2,解得q=2,所以a2+a3a2(l+q)-Cfa2+4al(q+1)故答案为：2.54. （2023上河南高三统考阶段练习）己知等比数列凡的前项和为S0.若S?为邑和S的等差中项,a2+a3=2t则S5=.【答案】H【分析】利用性质转化为基本吊运算，求出4应，再利用前项和公式可求.【详解】设等比数列q的公比为9，S?为S3和S4的等差中项,.IS1=S3+S4t即2S2=52+3+S2+(a3+4),化简得2q+4=0,则4=血=-2,a3又生+%=2,即alq+*=2,代入q=-2,解得q=1,= 11,t,(l-)1-(-2)5-q1-(-2)故答案为：IL55. （20
32、23四川巴中统考一模）已知等比数列6的公比为9,前项和为S”，则下列命题中错误的是（）A. Sn+i=Sn+an-qB. Sn+=S+qSllC. s2,S4-S2,S6-S4成等比数列D.=是的，Sw+2,S向成等差数列”的充要条件【答案】C【分析】根据Sm-Szf=。用和等比数列的概念，即可判断选项A是否正确；根据，+夕，=4+以4+/+4+-+凡)和等比数列的概念，即可判断选项B是否正确；当4=-1时，Sz=SlSlSgY=O,即可判断选项C是否正确；若S”，Srt+2,Se成等差数列，可得S.2-S“二心LS鹏，即24“+2=-。间，由此根据等比数列的概念，即可判断选项D是否正确.【详
33、解】对于选项A,因为Se-S.=q+,又等比数列q的公比为4,所以可川=4/所以S11Z-Sl,=aftq,BS1Sn+anqf故A正确；因为Sl+qStt=4+(q+a2+&.+m)=+aiq+a2q+a3q+.+atlq=al+a2+a3+.+an=Sn+lf所以S=S+gSfl,故B正确;当“=-1时，Sz=SlSz=Sg-S11=O,显然此时S2,Si-S2,56-Sit不能成等比数列，故C错误；若Stt,Sn+2,S用成等差数列，则邑+2-S”=Se-Si所以。/2+e=一勺+2，即2%2=-。所以吐=夕=一；，所以“q=-；是F,S+2,Se成等差数列”的充要条件，故D正确.56.
34、(2023下广西高三校联考阶段练习)己知数列/的前项和为S”，其中q=l,4,2%，4+3成等差数列，且可+=lS+l(N*,lwT),则可=()A.2z,-lB.2w,C.(1+),l-1D.(1+2/【答案】B【分析】由4+=lS.+l,利用数列通项与前项和的关系求解.【详解】由已知,an+l=Sn+lt则为=%SM+1(“2),”+i-a,=AS“一入Sl=an，%=(义+1)勺，a,r是等比数列.又4+丐+3=4%,%+4=41,夕2+4=4g,0）,可得：卜闻+”?；a+aq=6两式相除得：q二；故选：A3. （2023高二课时练习）在数列依中，%=carl（C为非零常数），且其前项
35、和5.=3”“+&,则实数%的值为()A.-1B.-C.-D.-399【答案】D【分析】依题意可得4是以C为公比的等比数列，再根据c、，求出q的通项公式，即可2f-1，*得到方程组，解得即可.【详解】解：若见=0,则S”=0,又S=3-2+Z,显然不满足条件，所以外=0,又=call(C为非零常数)，所以3a=c,即%是以C为公比的等比数列，当=1时Sl=3,-2+k=aif即4=3T+&,当2时S“T=3”+2+匕所以%=S“-Sn_,=(3n2+)-(33+)=3fl23-3=233=3n,3“十上=2k=-又4=4cM=(3-+9cM,所以9,解得9.c=3c=3故选：D4. (2023
36、下黑龙江绥化高二绥化市第九中学校考期末)已知数列%的前项和为S“，夕为常数，则“数歹U4是等比数歹为5向=45+4”的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【分析】利用等比数列的性质由“数列4是等比数列可以得到“=西+4；利用数列通项与前项和的关系由“s”+i=g,+4可以得到当40时，“数列q是等比数列”，故数列”是等比数列“为=孤+6”的充分不必要条件【详解】由S“.|=qSn+4,可得S*2=qSg+4两式相减得，见+2=94+1，即从第3项起，每项是前项的夕倍.又由S2=%+02=/S+4=04+4,可得a2=q%则数列%从第2项起，每项是前项的g倍.综上，当gw时，数列qj是等比数列.由数列6是等比数列，可得S.=+/+11p=al+a2+an则Sm-恭“=4+4+。”+1一4（4+生+4）=4，即SM=赘“+4成立则“数列an是等比数列为S,=恭”+”的充分不必要条件故选：A5. （2023上山西大同高三统考阶段练习）等比数列勺的前项和S,=m+2x3,则加=（）A.-2B.2C.1D.-1【答案】A【
