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1、5.2.2同角三角函数的基本关系【知识点梳理】知识点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a+cos2a=1(2)商数关系：s*na=tangCOSa知识点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin?是(Sina)2的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意土”的选取.知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：sin2a=1-cos2acos2=l-sin2,12sinorcosa=(sinacosa)22、商数关系式的变形SinaSma=COS
2、atana，COSa=.tana【方法技巧与总结】(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、侄的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.对于含有根号的
3、，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sia+cos2a=l,以降低函数次数，达到化简的目的.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简.比较法：即证左边一右边=0或-=1(右边W0).【题型归纳目录】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值题型二，已知tana的值，求关于Sina、CoSa的齐次式的值问题题型三：Sinacosa与SinacoSa关系的应用题型
4、四：利用同角关系化简三角函数式题型五，利用同角关系证明三角恒等式【典型例题】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例L（2022全国高一课时练习）己知。是第二象限角，tana=-2,则CoSa等于（）5Rlr25n25555【答案】A【解析】任意角的三角函数,Sina.C.tana=-2=,.2cosa=-SinaCoSasin2a+cos2a=1,a是第二象限角.*.CoSa=-去.故选：A例2.（2022全国高一课时练习）已知角a的终边在直线y=-2x上，则COSa=（）A.空B.好C.土立D.土拽5555【答案】C【解析】由题设知：tana=-2,即Sina=-2COSa,且si/
5、a+cos?a=1,所以ca=,而a终边在第二或四象限，所以COSa=土好.5故选：C例3,（2022全国高一课时练习）已知tana=3,Oa0,cosa0.结合sia+cos?a=1得311）10击”10Slna=，COSa=，所以CoSa-SIna=.10105故选：B.变式1.（2022全国高一课时练习）已知0244【答案】C【解析】因为O1r,cosa=;,所以Sina=Jl-cos?=J3Sina_yr-tan=22.cosa故选：C.变式2.（2022.河南新乡市第一中学高一阶段练习）-sin22=（）A.cos2B.-cos2C.sin2D.-sin2【答案】B【解析】JITin
6、22=JCOS22因为2C,r）,所以COS20,所以JCOS22=-cos2.故选：B变式3.（2022浙江杭州高级中学高一期末）已知COSa=；,Ky2,则tana的值为（）A.巫3【答案】DB.-4C.-2D.-22【解析】由题意得Sina=-卜（I=-竽,贝黑=-2式,故选：D变式4.（2022新疆柯坪湖州国庆中学高一期末）若。为第三象限角，且Sina=-：，则COSa=（）A,至B.一在C,显D.一亚3443【答案】D解析】由题意，cosa=-JI-Sin*a=-故选：D变式5.（2022贵州凯里一中高一期中）若6e（g,且满足一Tane=1,则Sino+cos。=（）V2）tan。
7、A.巫B.式C.一或D.5555【答案】A【解析】由-tan=l得(tane-2)(ta11e+3)=0,，tan，=一3或tan。=2,因为6(,r),tanJOfjsin=,cos=，sincos=l10tan。10所以sin6+8s6=.5故选：A【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：(1)巧用力”进行变形，如I=Sin2。+8$%=tancot=tan45等.(2)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取.题型二:已知tana的值，求关于Sina、COS。的齐次式的值问题例4.(2022全国高一课时练习)已知tana=2,则生;竺竺里=()Cosar-SinaA.
8、-4B.-C.-1D.-23【答案】C.,2sina+cosa2tana+1-4+11【解析】：=7,cosQf-Sinflf1-tana1-(-2)故选：C.例5.(2022全国高一课时练习)若tan9=-2,则she+2sin%os6-cos26的值是()A.B.-C.D.5555【答案】A【解析】因为tan6=-2,所以sin?+2sincos-cos2_sin29+2sincos-cos2sin2+cos2tan2+2tan-(-2)+2x(-2)-11tan2+l(-2)2+15故选：A例6,(2022全国高一课时练习)已知tan=：,则一/SHIe=()2cos3+sin0mn1)
9、的图象经过定点尸，且点尸在角。的终边上，则Sine-CoSe4sin6 + cos9【答案】A【解析】对于函数x)=Iogx+3)7(0MWl),令x+3=l,解得=-2,所以/(一2)=1Ogal-1=一1,所以函数恒过定点网一2,-1),又点尸在角6的终边上，所以tan0=g,，Sine-COSetan-1弓一1所以=4sin6+cos64tan+l4v1164X1-12故选：A变式7.(2022.云南德宏.高一期末)若si，=。=则3。=()Slna-COSa2D.3【答案】BsinaCOSar疑柘】由Sina+coSa_1COSjCOSa_1-Iana+1_1-=tana=2-3,Si
10、na-Cosa2sinacosa2tana-1cosacosa故选：B变式8.（2022辽宁凌源市实验中学高一阶段练习）已知tan。=3,则COS28+cos6sine=()l+3R3+3r6AB.C-225D.56【答案】C【解析】因为tan6=T112+一1,cos。+SineCOSe1+tan?6JWf.一一=,=乙=sin2+cos20l+tan21z125l+()故选:C.变式9（2022陕西汉中倜期中）己知tan=2,三3sin2J2cog2a=()A.-B.-C.J332D.一2【答案】C解析由题串得1_Siira+cos,。_tana+_1LJ11TVIJrJ?2-22一3si
11、na-2cosa3sin*-2cosa3tan2a-22故选：C.变式10.（2022江西赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知UInx=2,贝USinXCoSX+1=（）2 7CA.-B.-C.2D.355【答案】Bra,j.r.-.,sinXCos,tan%.2,7【解析】sinxcosx+l=；-+1=;-+1=-+1=-.snx+cosxtanx+l55故选：B.【方法技巧与总结】减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及Sina、COSa的齐次分式问题，常采用分子分母同除以8sa（ND,这样可以将被求式化为关于tana的式子，从而完成被求式的求值；在求形如45出2。+加皿08
12、$0+?8520的值，注意将分母的1化为SiYa+COSa=I代入，转化为关于tana的表达式后再求值.题型三：Sinacosa与SinaCoSa关系的应用例7,(2022全国高一课时练习)已知rx0,sinx+cosx=,Wsinx-cosx=7【答案】【解析】(sinx+cosx) =241+2SinXCoSX=,解得2sinxcosx=2525因为一万x0,2sinxcosx0.所以一,vx0.249所以(SinX-CoSX)-=l-2sinXCOSX=-,Xsinx-cosx0,所以SinX-COSX=-.7故答案为：例8.(2022全国高一课时练习)已知sine-cos6=g,则si
13、，一cos”=【答案燃Iv913【解析】因为Sine-COSe=,平方得(Sine-Cos9),=,所以sin6cos6=一,248所以sin3一cos6=(Sin-cos6)(sin2+Sinecos+cos2e)=gx(l+)=.故答案为：716例9.(2022上海南汇中学高一阶段练习)已知Sina+cos=qOvvr),则CoSa-Sina的值为【答案】【解析】Ssin+cosa=-则si+cos2+2sincos=言，即2sinacosa=-?0,3399=-JI-2 sinacosa =.而00,于是有COSa4故答案为：变式11.（2022辽宁沈阳市第一二。中学高一阶段练习）已知s
14、in+cosa=a|,则-2s11fzCoSa的值为.【答案】【解析】因为Sina+cosa=-,所以(Sina+ cos),所以sine+cos?+2sincos=-!-252512所以SinaCoSa=25因为20,CoSaVO,2所以Sina-cosa=J(Sina-COSay=Jl-2sincos=Jl+=(1Slna+cos1=一5汨.34,得Sma=,cos=,Sina-CoSa=一5所以一L sna15 5 35cos a-4=，3 4 12故答案为:35变式12.（2022全国高一课时练习）己知CoSa-Sina=-3,则SinaCOSa的值为.【答案】I【解析】cos6t-s
15、ina=-,两边平方得：cos2a-2sinacostz+sin2a=-,即1-2SinaCOS=,，解得:2443SInaCoSa=一8故答案为： .1 ,sm + cos = ，则 Uina =4 4)5O变式13.（2022吉林梅河口市第五中学高一期中）已知e3【答案】-【解析】由题意得(Sin+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=l+2sinacosa=24所以2sincos=25所以(COSa-Sinay=sin2+cos2a-2sinasa=1-2SinaCoSa=W因为 4,4,所以COSasin,所以CoSa-Sina=(,又Sina+cos=(.43解得
16、8sa=g,sin=-,所以tana =sin aCOSa变式14.（2022浙江省桐庐中学高一阶段练习）已知SinaCOSa=,a0,cosFsin022422222cosiCtCfCfCl工原式=COSsin+cos+sin2222故答案为：2cosy.例11.（2022.安徽省舒城中学高开学考试）化简.2coscos2 a-sin2 a/,2 2 cos2 sin2 a 2(l + tan )Cos a ；cos a - v/cosa ,)tan2 a-sin2 a-tan2 asin2 = tan2 (l-sin2 a)-sin2 asin2a 2 2 八；cos a-sin a =
17、0.s a例 12. (2022全国高课时练习)已知3sin%-4sincos + l =0.(1)求tana的值; SinaCOSa SinaCOSa tana 2tan a =-；-=；二；(2) V 2 ,1 cosa sina + 2cosa tara + 2 9 .a-11-2sin2cr(2)(1+tan2a)cos2a(3)tan2a-sin2a-tan2asin2a2cos2a-l_2cos2a-cos2a-sin2a解析()l-2sin2acos2+sin2a-2sin2acos2a-sin2a求SinaCoSal+cos2a的值.【解析】(I)解法一：.si112a+cos
18、2a=1,3sin2a-4sin6zcos6r+l=0,.3sin2a-4sinacosar-23I-=U,sm6z+cosa分子分母同时除以8s?a,3tan4taim+l=0tana+l即(2tan-if=o,解得Iana=；.解*去二：*.,3sin2a-4sinacos+l=0.*.4sin2a-4sinacosa+cos2a=0即(2Sina-COSa)2=0,-2sina-COSa=O：.tana=.变式15.（2022全国高一课时练习）化简:l + sina + cosiz + 2sinacosal + sinacosa2l+sin+cosa+2sinacosal+sina+co
19、sa_sin +sinacosa = Sina+cos2 .变式16. （2022全国高一课时练习）己知关于X的方程2炉一（6 + 1卜 6(0,2%),求:sin cos (I)11-tan J 的值;tan（2）方程的两根及此时e的值.+cos2+sin+cos+2sinizcosl+sina+cosasin2+cos2+2sinorcosaj+sina+cosal+sina+cosa(sina+cosa)2+sina+cosa1+sina+cosa+ m = O的两个根为sin, cos。,(sina+CoSa)(Sinacosa+l)sincossin2cos2H=+11-tanSin
20、e-CoSe-sin+cos【解析】(1)an。=Sine+co=2sin。CoSe二(2)由(1)得2,所以(Sine+cosO)?=sin2+cos2+2sincos=-m=，解得M=，所以方程2d-(J+l)x+3=0的两根为3,L222又因为6(0,2%),.C sin 6/ =2厂，此时。=g.a6 CoSe=2.3sm=所以2,此时。=?；或CoSe=一2变式17.（2022全国高一课时练习）化简:(I)l-2sin400cos400；sin2z+sin2/?-sin2asin2+cos2acos2/7.解析Jl-2sin400CoS40。=J(cos40in400)2=期40。-
21、sin40。；(2)原式=Sin2。+1-cos2-siMsin2+cos2acos2cos2 a)=sin2a(l-sin2+l-cos2(l-=sin2acos2+1-cos2ysin2a=1.【方法技巧与总结】化简要求（I）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式;（5）能求值的尽可能求值.题型五：利用同角关系证明三角恒等式例13.（2022全国高一）（1）化简：IanaJ-4-1（其中为第二象限角）；NSiIra/八4十SmaCoSatana(2)求证：=1.1-COSGf1+COSGf【解析】(1) tan aj sinaSina/1-si
22、n2aSinacos2aSina-cosa,SInar/-4,SlnaCOSa.2;.(2)Z匚边_COSa_SIna_1_右边.l-cos2asin2a例14. （2022全国高一课时练习）求证:(2)sin)-3(sin46+s46)+l=0(Sina-CoSa+1)(Sina+cos+l)(sin6t+1)2-cos2a(SilIa+cosa-1)(sin+cos0+1)(sina+cos6z)2-1【解析】（1）左边二Sina+ 1 .,二右边.CoSa（2）左边=2(sin2 +cos2。乂sin，6?+cos4 6?-sin2 cos2+cos26)-2sin2cos2 +1=2(
23、sin4 +cos4 -sin2 cos2 )-3l-2sin2 cos2。 +1=2(sin2 +cos2 -3sin2 cos2 -31-2sin2 s2。+1=2l-3sin2 cos2 6-3l-2sin2 cos2 +1 = O=右边.变式20. （2022全国高课时练习）求证:tan a sin a Iana+ sin a tan -sin IanaSina【解析】证明:二右边=an2sin2 a(tan a - sin a)tan a sin atan2 a-tan a2 cos2 cz(tan a - sin a)tan a sin atan2 d(l - cos2 a)(ta
24、n a - sin a) tan a sin asin26z+2sina+1-cos2a_2sin2+2sina=左边,tan26rsin2a_tanasina(tana-sina)tanasinatana-sina.tanasinatana+sinatana-sinatanasina变式21.(2022江苏高一课时练习)(1)求证：taiAzsiiAEanZa-siiAz；(2)已知tan=2tan2/?+1,求证：2sin2a=sin+1.【解析】解析：(1)tan2asin2=tan2(1-cos2)=tan2a-tan2acos2=tan2a-sin2,则原等式得证.12彳 -2 Qc
25、os a cos p(2)因为lan2ct=2lan2A+l,所以4+变+,即COSFIcoS一夕)从而2cos2=cos2t于是2-2sin2a=-sin2。，也即ZsiiAz=Sin?/+1,则原等式得证.【方法技巧与总结】证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便.但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化,运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等.【同步练习】一、单选题1. (2022安徽省舒城中学
26、高一开学考试)已知Sina=9，则sina-cosa=()3113A.-B.C.-D.5555【答案】A【解析】因为Sina=坐,fisin2a+s2a=l所以8s%=g,所以sin4a-cos,a=(sin2a-cos2a)(sin2a+cos2a)=sin2a-cos2a=-,故选：AJT2. (2022全国高一课时练习)己知一6万，2sin6=I-CoS/则tan。=()2A.qB.，C.-也D.一近4342【答案】B【解析】因为2sin6=l-cos6,所以COSe=I-2sin6,因为Sin2+cos2=l,所以sin2j+(l-2sine)2=1,4整理得Ssin?。一4sin6=
27、0，解得sin，=0或Sine=M，jr4由一。乃，得sin60,CoSe0,所以SinJ=三，2534所以cos。=一JI-Sin26=-二，所以Iane=-.53故选：B.3. （2。22全国高一课时练习）化简+需卜。孔的结果是（）A. tanB. SinaC. COSaD.tana【答案】D【解析】sin2 a+ cos2 a 、 cos a 1cos a = sin iz cos arSina tanaCoSa),(SinaCOSa、，tana+cosa=+cosa=sina)ICOSasina)故选：D4. (2022河南驻马店高一期末)已知Sina+cosa=K(OVav),则ta
28、na=()【答案】A7【解析】因为Sina+cosa=R(OVa一),sin2a+cos2a=l,m.lztn11.125t-f-.,1Sina12则可解得Sma=,cosa=,所以Iana=.1313cosflf5故选：A.5. （2。22江西九江高一期末）化简：电器-后需”是第二、三象限角）（）A.一二一cosa【答案】CB.工CoSaC.-2tan6zD.2tana【解析】JE近l-sina_l(lsina)2/(1-Sina)?_2sinaV1-sinaVl+sina1Vcos2aVcosacosa当a是第二、第三象限角时，原式=一网上=_2Uma.CoSa故选：C.6. （2022河
29、南南阳中学高一阶段练习）已知8e（0,）,sin+cos=,则下列结论正确的是（A.6（.）B.cos=-1C. tanD.SinO-COSe=45【答案】B【解析】因为Sine+cosO=g,所以(Sine+cose)2=l+2sin6cose=*,24可得2sin6cos6=-会因为6(0,j),所以sin60,cos0v0,所以8e1,加)故A错误，,497又由(Sine-CoSey=1-2SineCOSe=不，可得所以Sine-CoSe=M,故D错误,Sin+cos=-543联立方程组解得Sine=K,cos6=-,故B正确,sin-cosO=-5,八Slne4,.t.由tan6=-=
30、故C错1天.COSe3故选：B.,/(Sine) =/(cos6) = 0,7.(2022四川省成都市新都一中高一期中(理)已知/(=/-(。+1卜+(2+；且sincos/设2=吗，则上的值为()CoSeA+1A.g-2B.5-42C.g+2&D.2+应【答案】A【解析】因为f(x)=-(+l)+(2+g),/(SinJ)=/(cos。)=。，所以SinaCOSe是方程x)=0的两个根，则Sine+cos6=+l,SineCOSe=2+L2.(sin6+cosJ)。=1+2SineCOSe=(+l)?=l+2(2a+j,化简得：/-2一I=O=i+或1-,*-2sin+cos,*=1-y/2
31、Sine_COS0_SineCe)Se贝“2l(SinJYsin26+cos2，cos)=SineCOSO=2+g=20-V)+g=g-2,故选：A.8. (2022辽宁大连二十四中高一期中)已知JWC中，若SinA-2CoSA=巫，则tanA=()2A.-3B.3C.-3或;D.3或【答案】A【解析】sinA-2cosA=2(sinA-2cosA。=9=tan%4IanA+4=tanA或一3,sin2A+cos2A2tan2A+l2311)sinA-2cosA=0=sinA2cosA2=tanA2(cosA0)或IanAO(cosA0),.tanA=-3,故选：A.二、多选题9. (2022
32、广西钦州高-期末)己知6e(0，sin，+cos。=更，则下列结论正确的是()5A.SineCOSe0,由，COS攵O,由Sine,cos可以看作是一元二次方程V一亭工一：=。的两个根，解得Sine=冬叵COSe=-,55故A正确，B正确，C错误，D正确：故选：ABD.10. （2022海南鑫源高级中学高一期末）若3sm:cosa=,则正确的结论为（）Sma+3CoSaA. Iana = 2B.tanCt=-2C.sin2a=-5D.Sina=迈5【答案】AC【解析】依题意csa=j,Ssina-CoSa=Sina+3cosa,Slna+3CoSaSina=2cos,所以tan=2,将CoSa
33、=sina代入sin2a+cos?a=1得2sin?a=Lsin?a=2，Sina=，2455所以AC选项正确，BD选项错误.故选：AC11. （2022福建莆田一中高一开学考试）cos a2 sin0Vl-sin2 a JI-CoS? a的值可能为（）A. 3B. -3C. 1D. -1【答案】ABCDCoSa 2 sin aICoSal sina I ,CoSa2sina【解析】由题得/.、+/、1-sma1-cosa原式=COSa2sina,+SinaCoSa原式=COSa2sina+:-cosaSina原式=COSa2sina-COSa-sina原式=COSa2sinaCoSa-Sin
34、a当在第一象限时,当。在第二象限时,当Q在第三象限时,=-3；当。在第四象限时,-1.故选：ABCD12.（2022全国高一课时练习）1.sina+cosaC已知-：=3,sina-cosa,则（）A.tana=2B.sin.-cos.=-5C.D.1-2SinaCOSa1Slrra-COS-a3【答案】ACD【解析】因为Sina+cos。=?,SIna-COSa所以tana+l=3,解得血。=2,故A正确;tana-1又因为一ga0,所以0av,Sina=*，coSa=,55所以Sina-CoSa=上，故B错误;5sin4a-cos4a=(sin2a-cos2a)(sin2+cos2a)si
35、n2a-cos2a_tan2or-1_3sin2+cos2atan2+l5故C正确;1-2SinaCOSa_sin2+cos2a-2sinacosasin2-cos2sin2a-cos2a(Sina-COSa)2Sina-CoSa1(Sina-COSa)(Sina+cosa)Sina+cos3故D正确.故选：ACD.三、填空题13.（2022河南信阳高一期中）如果SinX+cosx=（,且Oxvt,那么tanx的值是4【答案】4【解析】由SinX+cosx=(,得COSX=ISinx代入sin2+cos2=l整理得：25sin2x-5sinx-12=043.(5sinx4)(5sinx3)=0,/.SinX=或SinX=一一554又.0xO,sinx=y13.COSX=-sinx=-,则tanXsinx4Cosx3故答案为:14.（2022.全国高一课时练习）如果tana=2,
