复变函数期末考试复习题与答案详细讲解.doc

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1、复变函数考试试题(一)1、 _.(为自然数)2. _.3.函数的周期为_.4.设,则的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是_.7.若,则_.8._,其中n为自然数.9. 的孤立奇点为_ .10.若是的极点,则.三.计算题(40分):1. 设,求在的罗朗展式.2. 3. 设,其中,试求4. 求复数的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数在区域解析. 证明:如果在为常数,那么它在为常数.2. 试证:在割去线段的平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.复变函数考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设,则2.

2、设,则_.3. _.(为自然数) 4. 幂级数的收敛半径为_ .5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0,则z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆的零点个数为_.8. 设,则的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点与右沿的点处的值.3. 计算积分:,积分路径为(1)单位圆()的右半圆.4. 求 .四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D解析,试证:f(z)在D为常数的充要条件是

3、在D解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题(三)二. 填空题. (20分)1. 设,则f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 若,则_.4. _.5. _.(为自然数)6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设,则f(z)的孤立奇点有_.8. 设,则.9. 若是的极点,则.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算以下积分:,其中是. 4. 求在|z|1根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数在区域解析. 证明:如果在为常数,那么它在为常数.2. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n

4、,以与两个正数R与M,使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题(四)二. 填空题. (20分)1. 设,则.2. 若,则_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5. 若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是_.6. 若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析,则称它是D的_.7. 设,则.8. 的孤立奇点为_.9. 若是的极点,则.10. _.三. 计算题. (40分)1. 解方程.2. 设,求3. . 4. 函数有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数).四. 证明题. (20分)1. 证明:若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析.2

5、. 证明方程在仅有3个根.复变函数考试试题(五)二. 填空题.(20分)1. 设,则.2. 当时,为实数.3. 设,则.4. 的周期为_.5. 设,则.6. .7. 若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析,则称它是D的_。8. 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_.10. 设C是以为a心,r为半径的圆周,则.(为自然数)三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算积分:,在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分:,其中0a1.4. 应用儒歇定理求方程,在|z|1根的个数,在这里在上解析,并且.四. 证明题. (20分)1. 证明函数除去在外,处处不可微.

6、2. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以与两个数R与M,使得当时,证明:是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题(六)1.一、 填空题(20分)1. 若,则_.2. 设,则的定义域为_.3. 函数的周期为_.4. _.5. 幂级数的收敛半径为_.6. 若是的阶零点且,则是的_零点.7. 若函数在整个复平面处处解析,则称它是_.8. 函数的不解析点之集为_.9. 方程在单位圆的零点个数为_.10. 公式称为_.二、 计算题(30分)1、.2、设,其中,试求.3、设,求.4、求函数在的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.三、 证明题(20分)1、 方程在单位圆的根的个数

7、为6.2、 若函数在区域解析,等于常数,则在恒等于常数.3、 若是的阶零点,则是的阶极点.计算以下积分(分)(1) ; (2) 计算积分(分)求以下幂级数的收敛半径(分)(1);(2)设为复平面上的解析函数,试确定,的值(分)三、证明题设函数在区域解析,在区域也解析,证明必为常数(分)试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数(分)试卷一至十四参考答案复变函数考试试题(一)参考答案二填空题1. ; 2. 1; 3. ,; 4. ; 5. 16. 整函数; 7. ; 8. ; 9. 0; 10. .三计算题.1. 解 因为 所以.2. 解 因为 ,.所以.3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯

8、西公式有在,. 所以.4. 解 令, 则. 故 , .四. 证明题.1. 证明 设在. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) 若, 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 与 方程有, .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.复变函数考试试题

9、(二)参考答案二. 填空题1.1, ; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. .6. ,. 7. 0; 8. ; 9. ; 10. 0.三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值,所以. 所以.3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在解析.(充分性) 令, 则 , 因为与在解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在均为常数,故在为常数.2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”. 证明 令, 取, 当在上时, 有 .由儒歇定理知在圆 , 方程 与 有相

10、同个数的根. 而 在 有一个 重根 . 因此次方程在 有 个根.复变函数考试试题(三)参考答案二.填空题.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5.;6. 1; 7.; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 解 .2. 解 . 所以收敛半径为.3. 解 令 , 则 .故原式.4. 解 令 , . 则在上均解析, 且, 故由儒歇定理有. 即在 , 方程只有一个根.四. 证明题.1. 证明 证明 设在. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) , 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 与 方程有, .所以

11、. (为常数).所以为常数.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题(四)参考答案.二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1.2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =,令,得,而 为可去奇点 当时, 而为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设, 在下半平面任取一点, 是下半平面异于的点, 考虑.而, 在上半平面, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面解析.2. 证明 令, , 则与

12、在全平面解析, 且在上, ,故在.在上, , 故在.所以在仅有三个零点, 即原方程在仅有三个根.复变函数考试试题(五)参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三. 计算题.1. 解 令, 则. 故 , .2. 解 连接原点与的直线段的参数方程为 , 故.3. 令, 则. 当时, 故, 且在圆只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4. 解 令 则在解析, 且在上, 所以在, , 即原方程在 只有一个根.四. 证明题.1. 证明 因为, 故. 这四

13、个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题(六)参考答案二、填空题:1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题:1. 解:因为 故.2. 解: 因此 故.3.解:4.解:5解:设, 则.6解:四、1. 证明:设则在上, 即有. 根据儒歇定理,与在单位圆有相同个数的零点,而的零点个数为6,故在单位圆的根的个数为6. 2.证明:设,则, 由于在解析,因此有 , .于是故,即在恒为常

14、数. 3.证明:由于是的阶零点,从而可设,其中在的某邻域解析且,于是 由可知存在的某邻域,在恒有,因此在解析,故为的阶极点.复变函数模拟考试试题复变函数考试试题(一)一、 判断题(4x10=40分):1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域可导。( )2、有界整函数必在整个复平面为常数。( )3、若函数在D连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D连续。( )4、cos z与sin z在复平面有界。( )5、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。( )6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析。( )7、若存在且有限,则z0是函数的可去奇点。( )8、若

15、f(z)在单连通区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有。( )9、若函数f(z)是单连通区域D的解析函数,则它在D有任意阶导数。( )10、若函数f(z)在区域D的解析,且在D某个圆恒为常数,则在区域D恒等于常数。( )二、填空题(4x5=20分)1、若是单位圆周,n是自然数,则_。2、设,则_。3、设,则f(z)的定义域为_。4、的收敛半径为_。5、_。三、计算题(8x5=40分):1、设,求在的罗朗展式。2、求。3、求函数的幂级数展开式。4、求在的罗朗展式。5、求,在|z|1根的个数。复变函数考试试题(二) 一、判断题(4x10=40分):1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续

16、。( )2、有界整函数必为常数。( )3、若收敛,则与都收敛。( )4、若f(z)在区域D解析,且,则(常数)。( )5、若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数。( )6、若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。( )7、若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析。( )8、若f(z)在区域D解析,则|f(z)|也在D解析。( )9、若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆解析。( )10、cos z与sin z的周期均为。( )二、填空题(4x5=20分)1、_。2、设,则f(z)的孤立奇点有_。3、若函数f(z)在复平面上处处解析,则

17、称它是_。4、 _。5、若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析,则称它是D的_。三、计算题(8x5=40分):1、2、求3、4、求在的罗朗展式。5、求在|z|0,则z0是的_零点。7、若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析,则称它是D_。、8、函数的不解析点之集为_。9、_,其中n为自然数。10、公式称为_.三、计算题(8x5=40分):1、设,其中,试求2、求。3、设,求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求四、证明题(6+7+7=20分):1、设是函数f(z)的可去奇点且,试证:。2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆部且,则。3、证明方程在仅有3个根

18、。复变函数考试试题(四)一、判断题(3x10=30分):1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域可导。( )2、如果z0是f(z)的本性奇点,则一定不存在。( )3、若存在且有限,则z0是f(z)的可去奇点。( )4、若函数f(z)在z0可导,则它在该点解析。( )5、若数列收敛,则与都收敛。( )6、若f(z)在区域D解析,则|f(z)|也在D解析。( )7、若幂级数的收敛半径大于0,则其和函数必在收敛圆解析。( )8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆部。( )9、若函数f(z)是区域D的解析函数,且在D的某个圆恒等于常数,则f(z)在区域D恒等于常数。( )10、。(

19、 )二、填空题(2x10=20分)1、函数ez的周期为_。2、幂级数的和函数为_。3、函数ez的周期为_。4、设,则的孤立奇点有_。的收敛半径为_。5、幂级数的和函数为_。6、若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析,则称它是D的_。7、若,则_。8、_,其中n为自然数。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、函数的幂级数展开式为_。三、计算题(5x6=30分):1、2、求3、4、求函数在的罗朗展式。5、求方程在单位圆零点的个数。6、求。四、证明题(6+7+7=20分)1、设函数f(z)在区域D解析,试证:f(z)在D为常数的充要条件是在D解析。2、如果函数在上解析,且,则。3、设方程

20、证明:在开单位圆根的个数为5。复变函数考试试题(五)一、判断题(3x10=30分):1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续。( )2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0解析。( )3、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。( )4、若函数f(z)在是区域D的单叶函数,则。( )5、若f(z)在单连通区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有。( )6、若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有。( )7、若,则函数f(z)在是D的单叶函数。( )8、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/ f

21、(z)的m阶极点。( )9、如果函数f(z)在上解析,且,则。( )10、。( )二、填空题(2x10=20分)1、若,则_。2、设,则的定义域为_。3、函数sin z的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、若z0是f(z)的m阶零点且m1,则z0是的_零点。7、若函数f(z)在整个复平面处处解析,则称它是_。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、公式称为_。三、计算题(5x6=30分):1、2、设,其中,试求3、设,求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求的值。四、证明题(6+7+7=20分)1、方程在单位圆的根的个数为6

22、。2、若函数在区域D解析,等于常数,则在D恒等于常数。3、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。复变函数考试试题(六)一、判断题(3x8=24分)1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域可导。( )2、若函数f(z)在z0处解析,则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。( )3、如果z0是f(z)的可去奇点,则一定存在且等于零。( )4、若函数f(z)是区域D的单叶函数,则。( )5、若函数f(z)是区域D的解析函数,则它在D有任意阶导数。( )6、若函数f(z)在区域D的解析,且在D某个圆恒为常数,则在区域D恒等于常数。( )7、若z0是f(z)的m阶零点

23、,则z0是1/ f(z)的m阶极点。( )8、。( )二、填空题(2x10=20分)1、若,则_。2、设,则的定义域为_。3、函数的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、若z0是f(z)的m阶零点且m1,则z0是的_零点。7、若函数f(z)在整个复平面处处解析,则称它是_。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、_。三、计算题(5x6=30分)1、求2、设,其中,试求3、设,求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分:四、证明题(6+7+7=20分)1、方程在单位圆的根的个数为7。2、若函数在区域D解析,等于常

24、数,则在D恒等于常数。3、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。五、计算题(10分)求一个单叶函数,去将z平面上的上半单位圆盘保形映射为w平面的单位圆盘。复变函数考试试题(七)一、 判断题(2x10=20分)1、若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析。( )2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0解析。( )3、如果z0是f(z)的极点,则一定存在且等于无穷大。( )4、若f(z)在单连通区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有。( )5、若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数。( )6、若f(z)在单连通区域D解析

25、,则对D任一简单闭曲线C都有。( )7、若函数f(z)在区域D的解析,且在D某一条曲线上恒为常数,则f(z)在区域D恒等于常数。( )8、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/ f(z)的m阶极点。( )9、如果函数f(z)在上解析,且,则。( )10、。( )二、填空题(2x10=20分)1、若,则_。2、设,则的定义域为_。3、函数sin z的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、若z0是f(z)的m阶零点且m1,则z0是的_零点。7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是_。8、函数的不解析点之集为_。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、_。三、计算

26、题(5x6=30分)1、2、设,其中,试求3、设,求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分。四、证明题(6+7+7=20分)1、方程在单位圆的根的个数为6。2、若函数在区域D解析,等于常数,则在D恒等于常数。3、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。五、计算题(10分)求一个单叶函数,去将z平面上的带形区域保形映射为w平面的单位圆盘。复变函数考试试题(八)二、 判断题(4x10=40分):1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域可导。( )2、如果z0是f(z)的本性奇点,则一定不存在。( )3、若函数在D连续,则u(x,y)与v(x,y

27、)都在D连续。( )4、cos z与sin z在复平面有界。( )5、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。( )6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析。( )7、若存在且有限,则z0是函数的可去奇点。( )8、若f(z)在单连通区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有。( )9、若函数f(z)是单连通区域D的解析函数,则它在D有任意阶导数。( )10、若函数f(z)在区域D的解析,且在D某个圆恒为常数,则在区域D恒等于常数。( )二、填空题(4x5=20分)1、函数ez的周期为_。2、幂级数的和函数为_。3、设,则f(z)的定义域为_。4、的收敛半径为_。5、_。

28、三、计算题(8x5=40分):1、2、求3、。4 设。求,使得为解析函数,且满足。其中(D为复平面的区域)。5、求,在|z|1根的个数复变函数考试试题(九)一、判断题。(正确者在括号打,错误者在括号打,25=10分)1当复数时,其模为零,辐角也为零。 ( )2若是多项式()的根,则也是 的根。 ( )3如果函数为整函数,且存在实数,使得,则为一常数。 ( ) 4设函数与在区域D解析,且在D的一小段弧上相等,则对任意的,有。 ( ) 5若 是函数的可去奇点,则。 ( )二、填空题(每题2分)1 。2设,且,当时,。3函数将平面上的曲线变成平面上的曲线。4方程的不同的根为。5。6级数的收敛半径为。

29、7在(n为正整数)零点的个数为。8函数的零点的阶数为。9设为函数的一阶极点,且,则。10设为函数的m阶极点,则。三、计算题。(50分)1 设。求,使得为解析函数,且满足。其中(D为复平面的区域)。(15分)2求以下函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶)。(10分) (1) ; (5分) (2)。(5分)3计算以下积分。(15分) (1) (8分), (2)(7分)。4表达儒歇定理并讨论方程在根的个数。(10分)四证明题。(20分)1设是上半复平面的解析函数,证明是下半复平面的解析函数。(10分)2 设函数在解析,令。证明:在区间上是一个上升函数,且若存在与(),使,则常数。(10分

30、)复变函数试卷(十)一、填空题。(每题2分)1、 设,则。2、 设函数,则 的充要条件是。3、 设函数在单连通区域解析,则在沿任意一条简单闭曲线的积分。4、 设为的极点,则。5、 设,则是的阶零点。6、 设,则在的邻域的泰勒展式为。7、 设,其中为正常数,则点的轨迹曲线是。8、 设,则的三角表示式为。9、 。10、 设,则在处的留数为。 二、计算题。1、 计算以下各题。(9分)(1) ; (2) ; (3) 2、 求解方程。(7分)3、 设,验证是调和函数,并求解析函数,使之。(8分)4、计算积分。(10分)(1) ,其中是沿由原点到点的曲线。(2) 。积分路径为自原点沿虚轴到,再由沿水平方向

31、向右到。5、 试将函数分别在圆环域和展开为洛朗级数。(8分)6、 计算以下积分。(8分) (1) ; (2) .7、 计算积分。(8分)8、求以下幂级数的收敛半径。(6分)(1) (2)9、讨论的可导性和解析性。(6分)三、 证明题。1、 设函数在区域解析,为常数,证明必为常数。(5分)2、 试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数。(5分)复变函数考试试卷(十一)一、填空题。(每题2分)1、设,则。2、设函数,则 的充要条件是。3、设函数在单连通区域解析,则在沿任意一条简单闭曲线的积分。4、设为的可去奇点,则为。5、设,则是的阶零点。6、设,则在的邻域的泰勒展式为。7、设,其中为正常数,

32、则点的轨迹曲线是。8、设,则的三角表示式为。9、。10、设,则在处的留数为。 二、计算题。1、计算以下各题。(9分)(1) ; (2) ; (3) 2 求解方程。(7分)3设,验证是调和函数,并求解析函数,使之。(8分)4、 计算积分。积分路径为(1)自原点到的直线段;(2) 自原点沿虚轴到,再由沿水平方向向右到。(10分)5、 试求在的邻域的泰勒展开式。(8分)6、 计算以下积分。(8分)(1) ; (2) .7、 计算积分。(6分) 8、求以下幂级数的收敛半径。(6分)(1) (2)9、设为复平面上的解析函数,试确定的值。(8分)三、 证明题。1设函数在区域解析,在区域也解析,证明必为常数。(5分)2试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数。(5分)35 / 35

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