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1、人教A版（2019）必修第一册451函数的零点与方程的解2023年高频易错题集参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1 .己知函数/（x）=r2r+,“函数/U）在（0,2）上有两个不相等的零点”是“工a0当a0时，则f(0)=a091f(2)=5a-20*-a0；0f(0)=a0当V0时,则jf=5a-2SJ无解，02综上所述：ZvaV工，52.（2,JL）g（1,1）,5242：.f（x）在（0,2）上有两个不同的零点是工VaV工充分不必要条件.42故选：A.【点评】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.2.己知zR,函数y=2+m-1有零点”
2、是“函数y=log城在（0,+）上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：若函数y=(x)=2*+w-l有零点,则/(O)=l+m-l=m0)【分析】设/=(x),则函数等价为y=(f)+1,由y=(f)+1=0,转化为/(f)=-1.利用数形结合或者分段函数进行求解即可.【解答】解：如图示：设=(x),则函数等价为y=(f)+1,由y=f(f)+=o,得/(f)=-1,若忘0,则-/+I=-I,即，=2,不满足条件.若r0,则Int=-1,则r=满足条
3、件.e故函数y=(X)+1的零点个数只有1个，故选：A.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键.5.函数Fa)=zu+3*r-6的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【分析】利用零点存在性定理，直接判断即可.【解答】解：/(x)=/皿+31-6显然是增函数，且XfO时，/(x)-,/(1)=-50,/(2)/(3)0,故/(x)在区间(2,3)上存在唯一零点.故选：C.【点评】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.16 .函数f()=2.弓)下的零点所在的区间为()【分析】显然，/(X)在(0
4、,+8)上是单调递增的，再结合零点存在性定理判断即可.【解答】解：因为y=x2与y=1-()x 0,所以/(0)/(1) 0,_1_因为/(0)=-g)20,且/(1)=-KO,f(2)=Inl-A=M224所以7(1)/(2)0,故f(4)/(5)0,所以/(x)在(4,5)上存在唯一的零点.故选：C.【点评】本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题.Iog1(x+l),x0,1)9 .定义在R上的奇函数f(x),当时，f()=2,则关I-IX-3I，x口，+)于X的函数/(x)=(x)-(OVaVl)的所有零点之和为()A.2a-B.-2aC.2a-1D.I-2a【分析】根据函数/(x)为
5、奇函数，作出它的图象，然后结合图象的性质求解.【解答】解：由题意，作出函数/(X)的图象：函数尸(X)=f(x)-(OVl)的所有零点，即为函数y=f(x)与y=(OV1)图象交点的横坐标，据图可知，两函数交于五个点，易知交点的横坐标满足：X+X2=-6,X4+X5=,由题意知，该函数在(-1,0)上的解析式为y=-log(-X+1),2故Togl(-3+l)=a,解得、3=1-232故Xl+X2+X3+X4+X5=1-2d.10 .若?是方程X+阮L3=0的根，则下列选项正确的是()A.rn2B.2m3C.3w0,显然函数为增函数，又/(3)=/30,/=Inl-KO,故存在小(2,3)使得
6、/(m)=0.故选：B.【点评】本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题.二.填空题(共5小题)11 .己知,及，b,Z2R,则方程mx+加=O与42x+b2=O的解集相同”是“m历=2历的充要条件.【分析】根据一元一次方程的解法判断即可.【解答】解：当m=2=0时，须有历=历=0,两方程同解，此时mZ2=Bbi;-b1-bob1bo当m0,且加0时，则两方程的解分别为：X=_L和X=_,两根相等，则=_二ala2ala2故ab2=a2bf综上可知，方程x+b=0与42x+历=0的解集相同，则m历=sb,故”方程x+b=0与历=0的解集相同”是“。1历=。24”的充要条件.故答案为：充要.【点
7、评】本题考查充要条件的判断方法，属于基础题.12 .定义在R上的奇函数/(x),当GO时，f(x)=lg2(x+l)(4xl),则函I-3I-1(xl)数g(x)=f(X)I的所有零点之和为_-1_.【分析】根据函数的奇偶性求出函数f()的表达式，根据函数表达式作出函数的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数g(X)的所有零点即可.【解答】解：函数/(x)是奇函数,：.当 XVo 时,f (X)-log2(lx)Tx01-Ix+3Ix-l作出函数/(x)在R图象如图：由g(x)=f(x)-=0即/()=1,由图象可知函数/(x)=/有5个根，不妨设为x=,b,c,d,e.且VbVc
8、Vde,则0,b关于X=-3对称，d,e关于x=3对称，OVcVl,贝号7,等玛.,a+b= - 6,d+e=6,V0c0因为/(2)=lg2-KO,/(3)=3+l0,结合AZ,所以A=2.故答案为：2.【点评】本题考查函数的零点存在性定理解决方程根的分布问题，属于中档题.14 .已知函数/(x)=x2-2ax+a2-1的两个零点都在(-2,4)内，则实数”的取值范围为(-1,3).【分析】结合二次函数的性质，根据两个零点都在(-2,4)内，构造出关于。的不等式组即可.【解答】解：因为函数/(x)=/-2数+/-1的对称轴为=,图象开口向上，=(2a)2-4(a?T)0所以若两个零点都在(-
9、2, 4)内，则1-2a0f(4)=15+a2-8a0解得-IVaV3.故答案为：(-1,3).【点评】本题考查利用二次函数的性质研究其零点的存在性问题，此类问题一般结合二次函数图象的开口、对称轴、端点处函数值的符号来研究，属于中档题.15 .己知/(x)=IlogaXl(0,al),给出下列四个结论:若f(2)=1,则a或2；若OVmV，且/(，)=/()，则用=1；不存在正数上使得g(x)=(x)-Ax-I恰有1个零点；存在实数使得g(x)=(x)-恰有3个零点.其中，所有正确结论的序号是.【分析】对于，直接计算即可：对于先去掉绝对值符号，再计算即可；对于，结合图象的性质判断即可.【解答】
10、解：对于，由己知得IlOga2|=1,故Ioga2=1,故=2或故对；logX,xl对于，不妨设。1,则f()=,因为OVmV,故/()-f-log,x,xl或OVaVl,/(x)的图象形状一样，如图：对于，可看成y=h+l与y=(x)交点的个数问题，显然当A足够大时，两函数图象只在(0,1)上有一个交点，故错误；对于，由于。】时，当。足够趋近于1时，y=k)grtx与y=0r的图象在(1,+)上与y=x都会产生两个交点，且两函数图象关于y=x对称，故该题中)，=与)，=(x)在(0,1)上有一个交点，在(1,+8)产生两个交点，共三个交点，故对.故选：.【点评】本题考查指数函数与对数函数的性
11、质和图象来解决函数零点的判断问题，属于中档题.三.解答题(共5小题)16 .已知函数f()=Yr.x-l(1)作出函数y=(x)的图像；(2)求方程/(x)=x+l的解集.f,I,IU-1,I【分析】(1)利用图象变换作出函数f()=U的图象即可；(2)化简方程/(x)=x+l为=+1,再讨论去绝对值号，并解方程即可.-l【解答】解：(1)作函数f ()= I-lI的图象如下,即X=x+l0或X=x+l0,-ll-解得，XI=,X2=或X3=-V,222故所求方程的解集为上空，上要，Ty.【点评】本题考查了函数的图象的作法及方程的解法，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.17 .设f)=x2
12、-2mx+l.(I)当加=2时，求/(%)0的解集；(II)求函数/(x)的零点.【分析】当?=2时，/Cr)=-4x+l,先解方程x2-4x+1=0,再由方程与不等式的关系直接写出不等式的解集即可；(II)函数/(x)的零点可转化为方程/(%)=x2-2皿+1=0的解，根据判别式分类讨论方程的解的情况即可.【解答】解：(/)当机=2时，f(.x)=x2-4x+1,Y方程/Cr)=f-4+1=0的解为2返，2+3,：.f(x)0的解集为(-8,2-3)U(23.+);(II)函数/(x)的零点即方程/(x)=-2wx+l=0的解，当A=4/2-4=0,即?=1时，方程X2-2mx+=0的解为m
13、,即函数/(x)的零点为加；当A=4m2-4V0,即-IVmVI时，方程X2-2mx+=O无解，即函数/(x)无零点；当=4m2-40,即m1或n-1时，方程/-2z7u+1=O的解为W72.1即函数/(x)的零点为m2.l【点评】本题考查了二次函数与二次不等式之间的关系应用，利用了分类讨论及转化思想，属于中档题.18 .函数/(x)=l-gx-c,其中cR.(I)若c=0,求/(x)的零点；(II)若函数/(X)有两个零点XI,X2(xi2),求4x+X2的取值范围.【分析】(I)利用对数的运算性质和绝对值的概念，直接解方程即可；(II)将两个零点都用C来表示，然后进一步化简即可.【解答】解
14、：(I)当C=O时，令/(x)=IlTgM=O,解得X=I0,所以函数/(%)的零点为X=I0；(II)结合已知条件得，八力=F-IgX-，0x10当C0时，f(X)有两个零点用，X2(XlVX2),则1-3=gX2-l=c,所以XI=Iol-C,X2=IO1+c*所以4x+2=4IO1t+10,+c=-+10IOc2J-1010C=40,(当且仅当10cVIOc旦:IOXlO与即c=g2时取等号)，IOc所以4X1+X24O,+).【点评】本题考查函数零点的概念以及基本不等式在求函数值域中的应用，属于中档题.319 .函数V=F-在区间(0,3上有两个零点，则m的取值范围是(e,二1.3【分
15、析】问题转化为m=g(X)=h,x(0,刃有两个两个实数根的问题，研究函数gX(X)在(0,3上的单调性，极值和值域即可.【解答】解：y=F-mr在区间(0,3上有两个零点，即加=丈，(0,3有两个两个实数根，X令g()=Je(0,3,gz(X)=(X-1，显然X(O,I)时，g,(X)VO,此时g(x)单调递减，g(x)X(g(1),+o0):x(1,3时，g(x)0,此时g(X)单调递增，g(x)(g(1),g(3),g,(1)3=0,且g(1)=e是极小值，结合g(3)=,故要使结论成立，只需e0)在区间2,3上有最大值4,最小值1.函数f(x)=-i-L2.(1)求函数g(%)的解析式
16、；(2)若存在xe,使得不等式/(加)-Ma0成立，求实数攵的取值范围；(3)若函数尸(4)=/(3Jll)+,.典一工-2Z有三个零点,求实数A的取值范围.3x-l【分析】(1)先判断g(X)的单调性，再结合最值列出。，的方程求解；(2)分离参数攵，然后研究函数的最值即可；(3)结合/(X)的图象，构造出攵的不等式求解.【解答】解：(1)由己知得：g(X)=r2-2ax+b(0)对称轴为x=1,故函数g(%)在2,3上单调递增，所以fg(3)=3a+b=4,解得。=力=,g(2)=b=l所以g(X)=x2-2x+l；(2)由题意知：f()=IIAI=J-2,xe,e2，底，则不等式/(加)-
17、Mlr0在xe,4时有解,即存在x即使不等式kf(in)成立,令I=MX,l,2,则上式化为kf(t),故攵20,即实数k的取值范围0,+8）；-2k有三(3)由题意得F(X)=f(I3乂-Il)I,I_2k=g(3x-l|j4k-l3x-ll3x-ll3x-ll个零点，2即方程(3-1-1)+4kT_2k=0有三个实根，3x-l3x-lI即方程(3x-11-1)22灯|3*l+4k1=0有三个实根,令m=3*-l,该方程可化为/W2-(2+2)m+4=0,解得mi=2,n=2k,作出函数y=3*-1的图象如图所示：显然直线y=2与曲线y=3-1|有且仅有1个交点，所以要使产（1）有三个零点，则直线y=22与曲线y=3*-1|有2个交点则0V2及V1,所以ok,即实数&的取值范围为（0,）.【点评】本题考查函数解析式的求法，以及利用函数的单调性、最值以及图象，解决不等式恒成立问题、函数零点的存在性问题，属于中档题.
