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1、与指数函数的图像与性质相关的应用技巧作为基本初等函数之一的指数函数，这一节教材安排在这个部分，承前是函数的基本性质的综合运用，函数的图象在具体函数中的运用，启后则是对数函数的图像与性质，研究思路或学习思路是一脉相承的，就是按照函数的“概念与解析式图像性质运用”这一主线进行的，因而学习或教学过程中，要按照这一主线进行适当的阐述或提炼主要的学习方向。主要涉及到指数型函数的图像、单调性、比较大小、指数型函数的最值与不等式恒成立问题等，下面通过例题和跟踪训练、针对性训练进行讲解与练习。一、指数函数型图像及辨析【解析】由题可知，2-2NHO=X工1，所以函数/*)的定义域为xxh1,关于原点对称，/4又
2、-x)=(x),所以函数/(X)为偶函数，排除A,C；又/(2)=二一22=(0),故排除D；又因为1zi77/(-2)=2-2+32=9+-=y,/(-l)=2-,+3=-=/(-2),故排除C；/R小n6+1z6+L27+2#7+亚7+匹又因为J？地十国二.，(丁)2=丁二二丁二4,所以卷12,即g)0且l)经过相同的定点C.关于原点对称D.关于歹轴对称【答案】BD【解析】对于A、B、C项：令=6=g,得2l)=2l)(0).因为/=0,所以0)=1,故函数/(x)的图像不经过坐标原点，故A项错误，故函数/(%)的图像不关于原点对称，故C项错误y=(0旦l)经过定点91),所以B项正确.对
3、于D项：令a=；,b=_；,得/(x)+()=2(0)(x)=2),故/(-x)=(x),所以/*)是偶函数，所以函数/(x)的图像关于N轴对称，故D正确.故选BD.【规律总结】涉及到指数函数的图像相关的函数图像辨析时，需要结合指数函数的性质与图像特征，指数耗的运算进行求解，灵活运用奇偶性和单调性、过定点等图像的重要特征进行求解。【跟踪训练】1 .已知函数/(x)=T-2(0,“Hi)恒过定点”(叽)，则函数g(x)=m+x的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】=1,/(X)=优T-2恒过定点(1,T),M=1,=-1,g(x)=l+1,其图象不经过
4、第四象限，故选D.2 .(多选题)在同一直角坐标系中，函数y=f+与丁=的图象可能是()yi0tcJ-【答案】AC【解析】当时，对应图象可能为选项A；当0，70,则函数/(尼)二相一【答案】AD【解析】由于当X=I时，f()=a-2a=-a2A.-1,4B.2,420的图象可能是()bVOX*0,排除B,C,当=2时，/(x)=2-4,此时函数图象对应,此时函数图象对应的的图形可能为D.故选AD.Y8；当x2时，/(X)=/-2三+m+开口向上,/、/2且对称轴为x=%又当x=2时，/(x)取得最小值/(2)=4-4加+?+病，所以4_4机+?+?*8,解得2n0且D为奇函数，且/=；.求明%
5、的值；(2)*1,2,使得不等式/(2)+(l-mr)0成立，求机的取值范围.【解析】(D,/(%)是R上的奇函数，./(O)=O,即1+4=0,k=-,经检验=1/(I)=-/=,2a2-3-2=O,解得=-(舍去)，4=2.故。=2,k=-.(2)3x；,2,使得/(2/)v-(l-mx),即Q2)(-l+wx),Q/(x)=2，q在R上单调递增，.a1,2,使得2f2x+!,所以,又因2x+L2j2R=2L当且仅当X=立时取L2XkXzninXX2所以m2j【跟踪训练】4 .已知奇函数/(x)=ae*-g在R上为增函数，则=()aeA.1B.-1C.2D.-2【答案】A【分析】/(x)=
6、4e*-1为奇函数，M/(0)=0,解出。，验证奇偶性和单调性即可.ae【解析】因为/(力在R上为奇函数，JWf(O)=O,即,=0,解得。=1或。=-1.=1时，/(x)=et-!7,函数定义域为R,由函数y=e*和卜=-二都在R上为增函数，所以/(%)在R上ee为增函数，且/(r)=er-J7=+e=-(x),满足函数为奇函数；。=一1时，/(X)=e+卜”=1.故选A.5 .已知40,Z0,且24=(2)则+b的最小值为.【答案】3+2222+3I2【分析】先利用指数的运算与性质得到工+上=1,再利用基本不等式力”的妙用即可得解.ba【解析】因为2J，=(2y,所以2J22A=23即2+
7、2=2，则+2=,所以:+冬=1,/ba又0,b0f所以+b=(+b)+)=3弋号3+由子=3+2/2,当且仅当晟=日，即a=y2b=2+y2+6的最小值为3+2应.6 .已知/(X)=工匚是定义在R上的奇函数.2+1(1)求实数?的值；(2)若不等式/(x-3)+(o+2)0恒成立，求实数。的取值范围.【解析】(1)因为/(K)为定义在R上的奇函数，所以/(0)=+l=0,所以加=L此时/(x)=,22+1经验证,f(-)-f(),故?=1.(2)由(1)可知/(X)=二LI一二一，任取玉/，2v+l2x+l222(2r|-2vj)则/)-)=(1一苏不)一(1亍不)骨而生，因为芭/，则2a
8、2-，1)-(2)o所以/区)0恒成立，得cf(-2)恒成立，x_3-a-x2所以-+3恒成立，因为一/一+3=-(+J+?,所以实数的取值范围为：(*+c0)三、利用指数函数的单调性比较指数式的大小例3(1)=0.9,1,Zj=1.109,c=1.1,1,则()A. cb aB. cabC. acbD. b ac【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【解析】因为LP所以c6.故选A(2)已知函数/(x)=3*-l,ab(c)(6),则()A.a0,b01c0B.a0C.3a3cD.3u+3c2【答案】D【分析】画出/(力的图象，根据。也。以及/()j(c)j(b)的大小关系确定正确
9、答案.【解析】令/(x)=W-Il=1，解得X=Iog32,画出/()=W-Il的图象如下图所示，由于b(c)/伍)，由图可知：a0,Oc/(c)/伍)，3-=32=93所以C选项错误J(。)=WT=I-3。J(C)=P-Il=31,/(a)(c),l-3fl3t-l,所以313+32,D选项正确，故选D。【跟踪训练】7,设4=05=0.4lC=LPs,则()A.acbB.cabC.abcD.ba0.505，又察函数丁=父在(0,+e)上单调递增，所以05/0.4，所以bl,因为函数y=l.l单调递增，所以C=I所以bc.故选D8.设”2%=2,c=0.53,则a,b,C的大小关系是()A.a
10、bcB.cabC.bacD.bca【答案】B【分析】根据指数函数的单调性即可判断.【解析】因为7=2，在口上增函数,所以2022，即1。6,又3=05，在口上减函数,所以0530.5,即cgR,4,=6-2%5=6ft-2则()A.labB.ObaC.bOaD.ba0且60,通过构造函数证明0b不成立，可得到正确选项.【解析】因为4=6一20，所以31,所以0,5“=6-20，所以31,所以60,若ab,则夕44J设/(x)=6-2=2(3*-l)在(0,+8)上单调递增，所以6-2。6一2，即4,5。，不合题意.故选A.【点拨】本题关键点在于，由4=6。-2。，5a=6h-2h,构造函数/(
11、x)=6-2)通过单调性证明若b则存在矛盾.四、指数函数的最值与不等式恒成立问题aa2ax+2.x0例4(1)已知取值范围()A.2,3)【答案】C【分析】先根据/O)在XoW(O,+8)处取得最小值，得/(x)(x),且=0,再由当工,1a0结合/(%)=2-4得L/3,解得4l,最后结合/(-x0)34得。axo=O,a0当x0时/(X)=券吟，又/=/6)=24，所以k网，得l.-2-T又TO)3%所以/1S3,即觉0,解得2.综上，l2.故选：C.【规律总结】求解分段函数与方程、不等式问题的交汇问题，关键是依据自变量的不同范围或参数的不同范围分类讨论求解，最后还要根据讨论对象的不同(是
12、对自变量进行的分类讨论还是对参数进行的分类讨23a广，x0)处取得最小值，且/(-x0)g(x)在xe(l,+)恒成立，求实数。的取值范围.(3)若a,bR,且+力=1,求(-4+4)+伍+1)的值.【答案】(1)f(x)=L,g()=l5(2)；(3)2.【解析】(1)结合奇偶性和知条件得到/(x)+g(x)=e,再解方程即得函数解析式；(2)代入解析式化简后换元，将问题转化成/-勿+20在e-,+8)上恒成立问题，方法一采用分离参数法解决恒成立问题，方法二通过讨论对称轴和区间的关系研究最值解决恒成立问题；(3)令G(X)=上一，先代入解析式化简求得G(-x)+G(x)=2,即得G(x+l)
13、=(x),结合+b=l,代e+e入计算即得结果.【解析】(1)由题知：函数/(力为偶函数，函数g(x)为奇函数，且f(x)-g(x)=e则/(r)-g(r)=M(F=又由/(r)=(x),g()=-g(x),故/(x)+g(x)=e*,则由式，解得/(；V)=W1,g(x)=巴F.(2)方法一：由/(2x)og(x)在(Uoo)上恒成立，即三在(Le)上恒成立，即x-2ejfe+e-2+2q(e-e-)在(,+c0)上恒成立，则一*丫2O在(l,+)上恒成立,令1=易知f=在XW(I,oo)上单调递增；故/e(e-：,+Oo),即f2-+20在IIatt2+2t即J,IeJtte?+1J?+1
14、Rr故还可2/1、e-I2e故”1+7在卜-7+oo)上的最小值为丁+工方法二：由V=产5+2的对称轴为f，则当时，即2e-2=ElL2eee止匕时y=Jaf+2在f=e-，处取得最小值，即(e-，)+,e4+l2(e2-l)2(e4-2e2+)一，/+1解得生2Ae-J.时，、2-2=2(，一1)时,由/0即可满足条件，故/一80,解得-2ov2,2eee易知2O 对任意的 f 2,1 求 得,进而可求得函数歹=力(，)在区间2,1的值域，由题意可得出关于女的不等式，由此可解得实数上的取值范围.】令5+27=2、5,小生斗令加=2e；,2,由双勾函数的单调性可知，函数8(?)二m+在区间上单
15、调递减，在区间0,2上r2=(2x+2v)2=4x+4r+2,则4、+47=*一2,.-f(x)=t2+kt-2f单调递增，所以,当”9时,g(m)w +持2,(则 ” 2,15l7构造函数Mr)=产+&-2,其中f2,-,由MZ)=/+Af-20,可得由于函数y=4在区间2,-上单调递减，IjiiJjmax=-I,可得左-1.t.2.二次函数Mr)=产+m-2的对称轴为直线则函数Mf)=产+32在区间J,上单调递增，当fw2,1时，(2)A(z),即2A+2)I+*由于以M)、/(9)、/(不)为长度的线段都可以围成三角形，所以，2(2攵+2)gk+/，解得A因此实数%的取值范围是故选C.【
16、点拨】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.11.已知函数/(X)=三3+b(1)当=b=1时,求满足/(x)=3的X的取值：(2)若函数/)是定义在R上的奇函数存在fR,不等式f(t2-20)(3v+3-)+2-6=0,要使上式对任意X的成立，则3b=0或2-6=0,IQ=Ifa=T/、(a=1+1解得%=3或八二_3,因为/U)的定义域是R，所以=_3舍去，所以1力=3,所以/(力=热含，/()=Urm=(-1+舟)对任意演,/eR,MW有：/(XJ-/4(T-5)=t(F7;因为玉0,所以/&)/卜2)，因此/(x)在R上递减，因为所
17、以，一2f2-K即一2人0,解得/1，所以左的取值范围为(7,+),I3-*-3jr因为/(x)g(x)+2=g(3-3)所以g(x)=W(j-2即g()=3x+3,所以g(2x)=32*+=(3,+3一，F-2,不等式g(2x)wg(x)-ll恒成立，HJ(3t+3-)-2w(3t+3-t)-H,即m3+3一+不丁广恒成立，999令f=3*+37,。2,则mf+;在f2时恒成立，令Mf)=+：,()=l+p-,f(2,3)时，,(r)0,所以Mf)在(3,+00)上单调递增，所以Mf)nh=M3)=6,所以m46,所以，实数加的最大值是6.【规律总结】本题考查指数函数的性质，考查换兀法的应用
18、.解方程/(/)=0或不等式/(/)0可用换元法，即/=f，变为/0)=0或0)0,同样与/(/+，)有关的问题，也是用换元法，即设t=axax,只是要注意，的取值范围(这个范围可用基本不等式或用函数的单调性求解).【针对性训练】一、单选题I.集合力=x=J+2x+3卜集合8=My=e,则NuB=()A.(0,lB.(0,3C.-l,+)D.T+8)【答案】C【解析】因为-2+2+30,所以Tx3,所以4=卜IJ=JT2+2x+3=卜卜13=1,3,又e*0,所以8=歹1=用=yy=(0,+e),所以lu8=T,+).故选C.2.已知函数/(%)=gj在区间0川上是减函数，则实数。的取值范围是
19、()A.(-,2B.(-,0C.2,+)D.0,+)【答案】B【解析】由题意知函数f(x)=6t由y=(；)Z=X2一复合而成，y=(J在R上是单调递减函数，故由“x)=(gj皿在区间0上是减函数，可知一如在区间0川上是增函数，故o,.qo,即实数的取值范围是(-00,0,故选B3.已知定义在R上的函数/(力满足WVjR,2孙-l)=(x)(y)+(y)+2x-3,/(0)=T,则不等式/(x)3-2，的解集为()A.(l,+)B.(-l,+)C.(-,1)D.(-oo,-l)【答案】A【解析】令X=J=O,得/(T)=/(O)J(O)+/(0)-3=-3.令N=O,得/(T)=/(x)f(0
20、)+(0)+2x-3,解得*)=2x-l,则不等式/()3-T转化为2x+20,因为V=2x+2-4是增函数，且2xl+2-4=0,所以不等式/(x)3-2的解集为(l,+).故选A4已知函数/(X)=芸，若对任意的正数、b,满足人)+(2I)=则l项最小值为()A.2B.4C.6D.8【答案】B711【分析】分析函数/(X)的单调性和奇偶性，可得出+2b=2,将代数式4+：与：(+26)相乘，展开后利aD221用基本不等式可求得4+：的最小值.ab【解析】对任意的xRev+l0,所以，函数/(X)=仝J的定义域为R，=一人,即函数/(力为奇函数,et(e-l)-eyev(e-v+l)-又因为
21、/(x)=e+12曰一_二，且函数y=e+l在R上为增函数，e+1e+1所以，函数/(x)=在R上为增函数，对任意的正数。、b,满足/()+(26-2)=0,则e+1/(Q)=-/(26-2)=/(2-2,所以=2-2b,即+26=2,所以XTa+26)(3+力=4咛咛y4a_4bbaa=121当且仅当。+26=2时，即当O,bO25 .已知函数/(工)=2-2+4,若/(x)20恒成立，则实数。的取值范围为()A.(-,4B.(-,2C.4,+oo)D.2,+)【答案】A【解析】因为/(x)0恒成立，即22-2+40恒成立，所以a2+/恒成立，又由2+白25*=4(当且仅当x=l时取等号)，
22、所以8,此时b=l2,所以不等式4“+2a8成立是不等式ab2成立的必要不充分条件.故选B.二、多选题7 .奇函数/(力与偶函数g(x)的定义域均为R,且满足/(x)-g(x)=2,则下列判断正确的是()A.7(x)+g(x)OB.=C./(可在R上单调递增D.g(x)的值域为(-8,-1【答案】BCD【分析】根据奇偶性求出f(x),g(x)即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.【解析】因为/(%)为奇函数，g(x)为偶函数，所以/(T)=-/(%),g()=g(x),因为/(x)-g(x)=2，所以/(T)-g()=2即-f(x)-g(x)=2,DK_07r)x1)7所以由解得/(力=三二
23、送(%)=乙:,故B正确；/(x)+g(x)=-2-jr2er-2e-jr=2e1,等号成立的条件是产？=/，即X=1,故f(x)(l),正确；对于C选项：/(-1)=-2,/(1)=2,所以/(一l)baC.baQD.0ab【答案】CD【解析】作出函数y=(g),和y=的图象如图所示：设(；)=(；)=w,w0,当勿1时，由图可知60;当?=1时，由图可知=b=O;当0小b0,故选CD.10 .(多选)已知函数y=-6(0且。工1)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.1B.a+bC.baD.2ba0旦”l)在R上单调递增，则。1,且当x=0时，y=l-be(0,l),可得0b=l,A对
24、；对于B选项，a+ba,B对；对于C选项，/41=1,C错；对于D选项，由题意可知，Obl,则所以，2人“0,所以/()=e,又/(T)=/(),所以/(x)=e-*(2x-l,即4(aif,解得x2,即不等式/(x)2(-l)的解集为-,2.12 .已知函数=+是R上的单调递增函数，则实数的取值范围是.。+l,x0=。一2,/(x)在(-,2)上单调递增，则l,且在=2处，2+l2(a+2)=l0,则/(x)=(3)2-43x+9,换元得g(r)=)2-4f+9=-2)2+5/0,显然当=2时,函数g(f)取到最小值gQ)=5,所以函数/(力=9-4、3+9的值域为5,+8).14 .已知函
25、数/(x)=2-GT(。为常数)是奇函数，则实数。的值为.【答案】1【解析】函数/(力是奇函数，又/(x)的定义域为R,则/(0)=0,解得1；当Q=I时，f(x)=r-t则/()=2表7+呆W)=一力，满足，(力为奇函数，故Q=L15 .已知函数/(x)=2Tf在区间电向上的值域为0,3,则实数用的值为.【答案】3作出函数/(x)=2T-i的图象如图，函数/(x)=T-l在0,1上单减，在l,+)上为增函数，又/(0)=l,/(l)=0,/(3)=3,若函数/(x)=T-l在区间0,m上的值域为0,3,则实数m=3.四、解答题16 .已知/(x)=Z-2f是定义域为R的奇函数.函数g(x)=
26、42+a-2(x),x0,2,求g(x)的最小值.(2)是否存在40,使得/(2x)*(x)对x-2,T恒成立，若存在，求4的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)由/(x)为R上的奇函数，知/=。-2=0,得=2;代入函数得：/(力=2川-22-=2(2-2-%由于f()=2(2T-2)=-x),故=2时，/(x)为奇函数,满足条件，g(x)=22x+2-2x-2(2x+l-22x)=(2xf+(2-x)2-4(2X-2x)=(2r-2-1)2-4(2r-2-1)+2,令f=2-2r,易知r=2*-2r在x40,2上单调递增，故当X=O时，取得最小值，0=1=。，当x=2时，f取得最大
27、值，*=4-；=?./则上式转化为MB=/一4/+2=(2)2-2,=2时，g(x)min=-2,此时X=Iog20+);(2)/(x)=2(2jr-2-v),f(2x)=2(22x-2-2x),代入不等式得2(22-2-2v)2(2x-2-x),即得：2(22-)(2x-2-)2(2x-2x),Vx-2,-l,2-2一*取得最小值，而(2+27).=00恒成立，求实数f的取值范围.【解析】(1)因为/(可是定义在R上的奇函数，所以0)=0,即4=-1,经检验A=T满足题意，所以上=T.(2)由(1)知/()=*-3)易知/(力在R上单调递减，由/*+(，-I)X+(+z-3)0,可得/川+(
28、I)X/(x+，-3),因为/(力为定义在R上的奇函数，所以原不等式等价于/H+(.1)x(tt+3),又/(X)在R上单调递减，所以fF+-l)v-f+3,所以a?+z-30在KGR上恒成立，当f=0时，-30恒成立，符合题意：t0当，。时,有4叱3)0,gJ-2-+b(2t+2-t)0,令2，-2T=机，因为xl,2,所以y=2-2为增函数，所以w,则22x+2-2=+2,所以贮吧+加7o,化为此一贮E对任意的?尼,：恒成立，22w_24J9()=-+2=-f-IffizweD上单调递减，2m(.2tn)124当m=|时，取得最大值为Q(T)=所以6-*实数b的取值范围为-*+8).19.
29、已知函数/卜)=2+m2-(其中wR)为奇函数.(1)求实数?的值；(2)若不等式/2(x)+(x)+2l-30对于x-川恒成立，求实数几的最小值.【解析】(1)因为/(x)=2+m2r为奇函数，且力的定义域为R,可知/(0)=1+m=0,解得m=I,则/3=2-2且/3+/(-、)=(2-27)+(22)=0,即/(X)=-/(一),可得/(力为奇函数，所以加=-1.(2)由(1)可知I：/(x)=2jr-2-因为y=2j=2一、在卜1内单调递增，可知/(同在卜1内单调递增，且/=一/(一1)二|,则/(x)-,令/=(x)+2wij,则/(x)=.2,对于不等式2(x)+A(x)+2l-3
30、O,BP(t-2)2+(t-2)+2-30,MJ+y-4-,原题意等价于+：-4-/l对于恒成立，且f+:42值一4二一2,当且仅当=；,即f=l时，等号成立，则一2T,解得;l2所以实数力的最小值2【拔高提升练】QI.已知奇函数/(x)=+6r(0,wl)在卜1,1上的最大值为:，贝U。=()A.；或3B.3或2C.3D.2【答案】A【解析】因为/(力是奇函数，所以/()=-f(x),所以/()+(x)=0即r+6+6T=0,则e+1乂4+。-)=0,解得6二-1,经检验b=-1符合题意，所以/(X)=废-武，当时，O-l,a则函数y=在卜1上单调递增，y=q=(j在-U上单调递减，Q所以/
31、(x)=-jr在-1,1上单调递增，所以/()=/=。一/=；,整理得3-83=0,解得=3或=-g(舍去)，所以=3；当Ol,则函数V=在卜1上单调递减，y=T=(J在卜1上单调递增，O所以/(x)=-x在-1,1上单调递减，所以/(x)na=(T)=-=;,整理得3万+8-3=0,解得a=；或=-3(舍去)，所以=g,综上，a=；或3.故选A.332 .已知l,/小丁-4,则不等式/(2x-l)+(x-l)+40的解集为()A.-r+xIbIV)I0变为/(2x-l)(l-x),利用函数单调性，即可求解.3 3【解析】由题意得/(力的定义域为R,fQ)L%+34Y_八,/+】，ax+又l,则y=为增函数，而y=/为R上的增函数，所以/(x)为增函数,2434(44、Z()(-)=5+(-)s=+-22-=-4,，八7优+1,a-x+(优+1ax+)所以+4=-/(),即/(2AI)+f(x-l)+4=f(2xT)-/(IT)0,即/(2x-l)(l-x),所以2x-ll-x,所以
