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1、考点一：直接利用单调性.考点二：引入媒介值.专题03指对幕等函数值比较大小问题【目录】,错误！未定义书签。错误！未定义书签。,错误！未定义书签。，错误！未定义书签。,错误！未定义书签。68考点三：含变量问题9考点四：构造函数11考点五：数形结合16考点六：特殊值法、ftW法17考点七：放缩法、同构法19考点八：不定方程23考点九：泰勒展开25指、对、幕形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主.每年高考题都会出现，难度逐年上升.考点要求考题统计考情分析指对累比较大小2022年新高考I卷第7题，5分2022年天津卷第5题，5分【命题预测】预测2024
2、年高考，多以小题2022年甲卷第12题，5分2021年II卷第7题，5分2021年天津卷第5题，5分形式出现，应该会以压轴小题形式考查.具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力.（2）热点是灵活构造函数比较大小.（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定m6,C的大小.（2）指、对、幕大小比较的常用方法：底数相同，指数不同时，如心和a?,利用指数函数y=优的单调性；指数相同，底数不同，如X：和石利用辕函数P=Xa单调性比较大小；底数相同，真数不同，如log。芭和og.Z利用指数函数bg。X单调性比较大小；底数、指数、真数都不同，寻找中间
3、变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：ex=+x+-+2!！-r5丫2”+1sinx=x-+-+(-If+o(x2n+2)3!5!(2+l)! o(x2n) (2/7)!X2V4V6COSX=I-+-+-+(-I)2!4!6!r3/+ln(l+)=x+-+(-l)r+o(+,：23n+1=l+x+x2+o(xfl)1-x(6)(l+x)+0(，)1. (2022新高考I)设4=0.MLb=,C=-加0.9,则(A.abc
4、B.cbaC.cabD.ac0,X则/(X)=I_Jr,x0,XX当ra)=o时，x=,Oxl时，(x)l时，,(x)O,f(x)单调递增,./(x)在X=I处取最小值/(1)=1,./zx1-,(x0J3.X1)Xb.91=,0.99.-0.9,.c1=9.叫,9101090.Ie01,.ab;9设g(x)=XeX+MT-X)(Ovl),则g)=(+-!-=(J)：+1，令h(x)=ex(-l)+l,h,(x)=ex(x2+2x-l),当OxJ-l时，hx)0,函数MAr)单调递减，当&-lx0,函数r(x)单调递增，/A(O)=O,.当Ox-1时，(x)0,g(x)=xe+/(I-X)单调
5、递增，/.g(0.1)g(0)=0.0.1el-w.9.ac,j.cacbB.bcaC.abcD.cab【答案】C【解析】因为y=2是定义域R上的单调增函数，所以272=1,即=2l:因为歹=(；)X是定义域R上的单调减函数,所以(；严(；)。=1,且6=(；产，所以O1;因为y=1082是定义域(0,+)上的单调增函数，所以l0g2glog21=。，即C=Iog2；bc.3. (2022甲卷)已知9=10,=10w-ll,6=8-9,则()A.a0bB.ab0C.ba0D.b0a【答案】A【解析】v9w=10,Aw=Iog9IO,13:.m)t.f,(x)=mxm-x-X,.1/nX1.,(
6、x)=mxml1O*=XmX1在(,+00)单调递增,.(10)(8),又因为/(9)=9WK*-9-1=0,故aOb,故选：A.4. (2021全国)已知bl,则以下四个数中最大的是()A.IogftaB.log2/,laC.log3/13aD.IOg4。【答案】A【解析】令=4,6=2,则logfta=Iog24=2,Iog2 2a = Iog4 8 =g8 二 3g2 二 3Zg4222Iog363”Iog612=1+Iog621+Iog66=1+=14logs40=Iogs16=1+Iog82=+-=-t故最大的是log”，故选：A.5. (2021新高考11)已知=log52,Z)=
7、log83,e=g,则下列判断正确的是()【答案】C【解析】Vog52ogx82,:.acb.故选：C.6. (2021天津)设。=Iog?0.3,b=Iog10.4,c=O.4o则三者大小关系为()C. bcaD. ac bA.abcB.cab【答案】D【解析】.og2O.3Iogl0.5=1.,.Z1.0O.4030.4=1,/.0c1,:.acb故选：7. (2020新课标HD设4=log32,b=Iog53,c=,则()2A.acbB.abcC.bcaD.cab：a=Iog32=logiyS9=b=Iog53=log5f21log5y25=-:.ac2bB.ab2D.ab2【答案】B【
8、解析】2+Iog2a4b+2og4b=2tb+Iog2b；因为2?6+Iog2bg2422z+k)g22b,/(x)=2vlog2x,由指对数函数的单调性可得/(x)在(O,+00)内单调递增；且/(a)a2bi故选：B.9. (2020新课标In)已知炉84,13485.=Iog53,b=log5,C=Iog158,则()A.abcB.bacC.bcaD.calog53,而/嘀84ogg5Iog53Iogs5，即6；,.5584,.,.51.25,:.b=Iog850.8；,.13485/.40.8.cb,综上，oba.解法二：.a=Iog53h=Iog85c=log38,（3+8）2_ln
9、5（些）2_/25=O，ln5lnSw5w8aVb，.5584/.5Iogs54,:.b=Iogs5.13485,.,.4y,:.ab C的大小关系为（）D. c a b10. （2020天津）设=30,j=（）-8,c=Iog070.8,则*A.abcB.bacC.bc1Iog078Iogo.707=1，j.cab，故选：D.考点一：直接利用单调性利用指对塞函数的单调性判断例1.（2023河北唐山高一唐山一中校考阶段练习）设4=仔），b=lnl.5,C=（I）I则。，4C的大小顺序是（）A.cabB.cbaC.acbD.bc心J=f,即93-因为T=2.25e,所以e2,42又因为y=lnx
10、在（0,+8）上单调递增，所以Invln/,即6=lnl.5,综上：bcg52,Z=log43,c=sin-,比较,Z,c的大小为6（）A.abcB.achC.hcaD.bac【答案】C【解析】因为函数y=log5X在（0,+8）上单调递增，所以Q=IOgS2Iog42=1,所以6c.综上，bca.故选：C例3.（2023湖南长沙湖南师大附中校考模拟预测）设=0.34,Z=0.43,c=loggO3,则小4c的大小顺序为（）A.abcB.acbC.bacD.cab【答案】A【解析】指数函数y=03y=0.4为R减函数,a=O.3040.33O.3o=1,b=O.403O.4o=1 帚函数y=/
11、3为0,+）增函数，0.330.4。3，.abIog040.4=1,即c1, ab=In0.8,c=e%则%b,C的大小顺序为（）A.abcB.hcaC.bacD.cbe=l,=lnO.8lnl=O,O=Igla=IgeIglO=1,所以b=sinl,c=log,3,大小顺序正确的是（）A.cabB.acbC.abcD.bac【答案】A【解析】=2=2；=后JIog2ys=Iog222=所以cb.故选：A例6.（2023江苏镇江高三统考开学考试）设。=21。82,Z=log23,c=（,则。，瓦C的大小顺序为（）A.abcB.cbaC.acbD.bca【答案】D解析,3=6Iog32=Iog3
12、64Iog216=4,X3c=4,/. 3a3c c .故选：D.例7 （2023 内蒙古鄂尔多斯高三统考期中）下列各式大小比较中，其中正确的是（)A.y/1y/5y55/3B.tansinC.2In33In2D.og【答案】D【解析】(7+Jy=IO+2而(式+Sj=10+2,，近+6石+6，W7-55-3，选项A错误；I4sin-vOcos-,得Sin(J)=Sin=VZ=tanf,故选项B错误：5cosy55COS三5521n3=ln9ln8=31n2,选项C错误；1 1-/illog1-=log52()=g,bgj(x0)B.-(x),r(cos),of-l),则=，即证】nf?=令/
13、(。=加/_1+；(工1),则所以/)在1上单调递增，故/(z)/=Inl1+1=0,所以心与。夫1),即11+口占50),故A正确；对于B,当X=-I时rL显然不成立，故B错误；对于C,当。是第三象限角时，则sin0,COSe0,所以工0,-r0,sincos。可得一!一+!0)为单调递增函数，若(sin。调(cos。产1eIogylOg片(1eq)，这与log：TIogTJIogT。IOgrO(I夕3y6zxyzC.D.xy4z2236【答案】B【解析】设2，=3=6;=/,则X=Iog2，y=Iog31,z=Iog61.选项A,-=log,2,-=log,3,i=Iogf6,)iJ-+-
14、=log,2+log,3=logf6=-,故A正确;xyzxyZ选项B,2x=2log=Iog71/,3=31og3=logZ,6z=61og=Iog/,下面比较&必砥的大小关系，因为(y=8,(3)6=9.(6)6=6,所以(网出，即灰也班,又cl,所以喻=昂 bg* 1联媪=1即3yv2x6z,故B不正确;3y-XIl1y11,z1.,选项c,-=-log=log4,=-log3=log2,-=7log6=log6/,223366因为427i,所以IOgJ=旦bg27=lo%=,即;4；，故C正确;Ig4Ig27FIg6236选项D.MigQW=符胃瑞因为等所以,鬻又4z2=4(log(j
15、)2=等R，所以个4z2,故D正确;(Ig6)故选：B.例10.（2023天津和平高三耀华中学校考阶段练习）已知0.5=x,四。5尸/，Iogxz=0.5=,则（）A.yxzB.2xyC.xzyD.zy0,log0xO=Iog05I,Vy=log。/在定义域匕单调递减，.0X1,0Iog051,0.5X0,logrzO=IogJ,/0.5xl,.*.Oz1,故OSw（OJ）,则log/w（0,1）,:.xz0,XV0.5X1,xy（0,1）,则IogO5”（0,1）,.y（0.5j）,故P,Vx=Iog05X,log05y=xv,Iog05Xy,.yxcaB.abcD. cbaC.hac【答案
16、】D【解析】因为1112iln2In2,。=二=乎,tf=T2e2e”、InX设/(x)=k,x0，则MM二守所以当x(O,e)时，f,(x)O,/单调递增;当x(e,+oo)时，,(x)0,/S)单调递减；所以=(2)(e)=c,=(3)(e)=c,又因为竽31n2ln8ln921n3ln3J=6q.故选：D.例12.(2023河南许昌高三统考阶段练习)设。=4(2-14),C=华，则%b,C的大小顺ee4序为()cabA.acbB.bacC.ab)6=f(e)最大,即vb,cl),则/(力=与20,x+1x(x+l)故g(%)在(Ly)上单增,所以g(x)g(l)=0,即在(l,+)上，l
17、nx生x+1/2%-1若X=强，则有In二2,即“一巾再WXX29一司2+1 1再2t,故丽荷所以当W=4时，有1Me,故/1)/&)=/(4)4/所以c.综上所述：acb.故选：A例13.(2023广西河池高三贵港市高级中学校联考阶段练习)设=5ln4,b=6,nc=7,n2,则()A.bacB.bcaC.cbaD.ca0,Z=6ln30,c=7ln20.则Ina=In4In5,6=In3In6,c=In2In7,设W(I)H助,小)=中-去，tg(x)=(9-x)In(9-x)-xlnx,则g(x)=_ln(9_x)_InX-1=-ln(9-Inx-2,当lx时，g(x)g(g)=O,所以
18、g)0,即/(x)在,上单调递增，Q因为1234(3)(2),pin41n5ln31n6ln21n7,又Ina=In4In5,=In3In6,c=In21n7,即InqlnZInc,所以/c.故选：C.例14.(2023湖北武汉统考三模)已知Q=LOlln皿叫TInLOI，b=sin(ln(l+CoSLOl),c=etan。皿，则,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC. cbaD.caT),(x)=-l=-三(x-l)1+x1+x当x(T,0)时，*(x)O;当x(0,+oo)时，,(x)0,所以/(x)在(TO)上单调递增，在(0,+8)匕单调递减，所以/(x)(0)=0,所以ln(
19、l+x)x,b=sin(in(1+cos1.01)sin(cos1.01)Sin(Inl)=SinO=O,则6(0,l),c=eUn(Sinl.0lHb所以bc,对于4=令，=In(InI.01),则lnl.01=e,止匕时=I.OIz-(e,)(H=LoIJekU(M=1.011.01=0,所以bc.故选：A.例15.(2023安徽滁州安徽省定远中学校考二模)设_/，C=t，则()A.abcB.cbaC.cahD.ac0)，则/(x)=l-LX当/(x)=0时，x=l,OX1M,()l时，Mr)0,/(x)单调递增，(x)在x=l处取最小值/=0,/.x0,xlx-l-lnx0X-1In%,
20、BP1-x1-=10101010In,lncln,即c“；910g(x)=sinx-ln(l+x)fx则g(x)=cosx,x+1令(X)=COSX-,Va)=_sinx+v7x+1(x+l)因为当OVXCI时，令y=siu-x,=cosx-l0,N单调递减，又X=O时，y=0,ply=sinx-xO,即SinX-x+-7,(x+l)(x+l)111-XHH70因为当Ox,l时，(+l)29(LJ,所以当Ox0,函数MX)单调递增，又MO)=0,所以MX)o,即g()o,所以当Oxg(O)=0即sinn+)二吟In/?Inc即6c,.acb.故选：D4C =号，则叫 b, C的大小顺序为（）
21、4D. bac例16,(2023湖南模拟预测)设=生黑，b=-te2eA.acbB.cabC.ab0,/(X)在(O,e)上单调递增，当x(e,+)时，,(x)0,/(x)在(e,+8)上单调递减，又因为/(fl，b=(e),c=/(4)所以“b,cb.因为c=/(4)=-=;-=/(2),X2e/2所以/a,故cvb,J故选：A.考点五：数形结合转化为两函数图象交点的横坐标例17.(2023云南曲靖高三校考阶段练习)已知正数。力,ce(l,+8),满足2一13方一24c-3f=2+log2%邛一=3+log4Jv4+log/,则下列不等式成立的是()a-0-1C-IA.chaB.abcC.a
22、cbD.cag,可得7=bg,%a-a-孚2=3+log/,可得工=Iog*,b-b-4c-3.1r/曰1,-=4+log4c,可得一-=Iog4c,c-1C-I且考虑y=(xl)和J=IogmX(6=2,3,4)的图象相交，x-在同一平面直角坐标系中画出y=log2%y=Iog3y=l0g4X与y=-I(X1)的图象如下：X-I根据图象可知6c.故选：B.例18.(2023广东汕头统考三模)己知=lgy,b=bg,C=1咆。，贝j。，ZbC大小为()235A.abcB.bacC.acbD.cba【答案】D【解析】=18，。可以看成=、与=108/图象的交点的横坐标为。，226=log6可以看
23、成y=x与P=logX图象的交点的横坐标为6,33C=IogJ可以看成N=X与y=logX图象的交点的横坐标为C,55画出函数的图象如下图所示，由图象可知，cha.故选：D.例19.(2023贵州贵阳高三阶段练习)dAc均为正实数，且2=bg,(孑=Iog/,(；)C=IOg2%则。,b,。的大小顺序为A.acbB.bcaC.cbaD.abbcB.cbaC.acbD.bac【答案】A【解析】令/(x)=e*-x7(%0),则r(x)=e*T0,(x)在(O,+)上单调递增,/(x)(0),即e*x+l,*a=e020.2+1=1.2=6又b=1.2=Inc)，c=In3.2,V(e,2)5=e
24、6(2.7)6387.4,(3.2)5335.5,.e,23.2，故bc,J,abc.故选：A.472例21.(2023贵州贵阳高三统考开学考试)已知。=ln1,b=,C=Sin，则()A.abcB.cbaC.bacD.ac0 = 0),八。,14 . f 2 Yl _ 1 2, n 14 = ln-=ln -J= 2In -f= , b = 2-；3672112 I故只需比较In耳与, = lne，；也即比较耳与Q；也即比较后I=第与e,1281281而不Tr 示T五 27% -2.72, 28所以27T ，所以。 方.综上所述，cbbcB. b acC. acbD. bc a【答案】D【解
25、析】由e = 2.71828得e27.5,故e$ 7.5x7.5x2.72 = 153，又L64l.64 = 2.6896 ve ,故e5 1.60, /(x)单增，当 x(0,+8)时，(x)ca.故选：D.考点七：放缩法.同构法例23.(2023四川巴中高三统考开学考试)已知正数。/满足e+=6+lnb=2(e为自然对数的底数),则下列关系式中不正确的是()A.bch=e2B.a+b=2C.ez,+lna=2D.e+ln8=2【答案】C【解析】由题意得e+lne=b+lnb=2,令/(x)=x+lnx,0,则/(x)=l+,0恒成立，所以/(x)=x+Inx在(0,+力)上单调递增，故e0
26、=6,所以e+=Z+=2,B正确，beh=efleft=efl+ft=e2,A正确，ea+nb=h+nb=2D正确，C选项，/(2)=2ln2=2+ln22+VJ+；2,又/(力=工+111%在(0,+3)上单调递增，/(b)=2,故及be+ln(26)=eln(2+),设g(x)=lnA。；?1丁),x(0,+),则广 J (2x + 4)(4x + 2)-4(x + 9(XT =-4(/-/+31) = Y - X(4x + 2f4x + 22j(4x+2(4x + 2)2(4x+22当0x0,当xl时，g,(x)0,故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,Xg(I)=
27、O,故g(x)0,即lnx(x+5)(kl),当且仅当X=I时，等号成立,4x+2ln2 1.4142x21n2,所以。或e2ln2=4.又2+54-ln(2+W)42=2,C错误.故选：C例24.（2023浙江绍兴高三统考期末）已知0QAlo&x+lo&y0时，xyB.当log0时，xyC.当log/vO时，xyD.当log,0时，XJ大小不确定【答案】B【解析】由0ay0,y0,移项可得IogaXTogJbgTogJ,当0b0,此时日1,即0,此时jl,当Ovlb时，IOgabl 故选：B.例25.(2023 四川绵阳高一统考期末)已知 = kg3 2,A. ahc B. acbC. hc
28、a即y,故c,B对,D错,JTb = Iog43, C = Sin-,比较 , b, C 的大小为() 6D. hac【答案】D【解析】C=Si吟=；,因函数y=Iog3X,y=logtx在(0,+8)上单调递增,则a=Iog32Iog3道=；,b=Iog43Iog42=.a_b=-=I”2Tn4-(In3),因g2,In40,则In3In4In3In4In 2 + In 4 2jln 2 In 4 = In 2 In 4 1(in8)2l(ln9)2=(In3)2.故ac.故选：D例26.（2023浙江模拟预测）已知正数。，b,C满足e=1.P,5+i06-3=0,e=1.3,则（）A. a
29、cbB.bacC.cabD.ch-l),显然/(x)=-0W,/(X)0),1 13再令g(x)=x-;./+/3_g+l),(x-l),gx)=-,当X0时，g,(x)0,231+x故g(x)在(0,+)单调递增,结合g(0)=0,故In(K+1)0),则C=In1.3=ln(l+0.3)3(0.1-0.01)=0.285,Q所以(+1)2(1+0.285)2=1.651225,(+l)2=-=1.6,(c+l)2=(l0.264)2=1.597696,故(+1)2(ZI)2(c+l)2,b,C都是正数，故”6c.故选：D.例27.(2023全国模拟预测)已知20“=22,22,=23，/=
30、b,则b,C的大小关系为()A.cabB.bacC.acbD.abc【答案】D【解析】分别对20=22，22:23,1=b两边取对数,得=k22,=Iog2223,C=Iog*.fl- = Iog20 22-Iog22 23lg22lg23=(g22)2-Ig2lg23Igio-Igii-Ig20Ig22由基本不等式，得:叱=（吟叼=（詈:（詈M等卜史）2.所以(lg22)2-lg20lg230,即-ZO,所以l.又C=Iog“6bc.故选：D.17例28.(2023安徽池州高三池州市第一中学校考阶段练习)=l+sin.l,b=即，c=1.0严三式M也c,d16间的大小关系为()A.obadB.bcadC.bc
