专题06向量专题(新定义)(原卷版).docx

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1、专题06向量专题(新定义)一、单选题1.(2023全国高三专题练习)定义平面向量之间的一种运算“。”如下:对任意的=(m,),=(,办令ab=mq-p,下面说法错误的是()A.若与共线,则4b=0B.ah=haC.对任意的R,(旬b=a力),D.(2)+(町=同件2. (2022春湖南邵阳高一统考期中)定义同2-功.若向量&=(2,6),向量b为单位向量,则方的取值范围是()A.0,6B.6,12C.0,6)D.(-1,5)3. (2021春.云南昆明高一云南师大附中校考期中)平面内任意给定一点。和两个不共线的向量e,4,由平面向量基本定理,平面内任何一个向量WI都可以唯一表示成q,4的线性组

2、合,z=xq+丁弓(XyeR),则把有序数组(x,y)称为加在仿射坐标系。咫勺下的坐标,记为/=,),),在仿射坐标系;%/下,,B为非零向量,且4=(石M,G=(X2,冉),则下列结论中()a+b=(xlx2,y+jj2)若aD,则Xr2+yM=0若/6则Ny2=WYCOS.=7,V;-7网+Ji2y2一定成立的结论个数是()A.1B.2C.3D.44. (2022高一单元测试)若对于一些横纵坐标均为整数的向量,它们的模相同,但坐标不同,则称这些向量为“等模整向量”,例如向量=(L3),b=(-3,T),即为“等模整向量”,那么模为5的“等模整向量”有()A.4个B.6个C.8个D.12个5

3、. (2017四川广元统考三模)对于个向量外,%,若存在个不全为0的示数。他的,人,使得:kya+lc2a2+lcyay+a”=6成立;则称向量q,%,%,.,4是线性相关的,按此规定,能使向量4=。,),Z=(L-I),4=(2,2)线性相关的实数。则K+4勺的值为()A.-1B.OC.1D.26. (2022秋.内蒙古鄂尔多斯.高三统考期中)对任意两个非零的平面向量a,定义aB=端,若平面PP向量满足WW0,a功的夹角ew(),且a6和,&都在集合lwZ卜口,则&6=()A.!B.1C.1D.2227. (2023全国高三专题练习)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,但如果平

4、面坐标系中两条坐标轴不垂直,则这样的坐标系称为“斜坐标系如图,在斜坐标系中,过点P作两坐标轴的平行线,其在X轴和),轴上的截距小力分别作为点P的X坐标和),坐标,记P(a,。),则在X轴正方向和y轴正方向的夹角为。的斜坐标系中,下列选项错误的是()A.当0=60。时4(1,2)与8(3,4)距离为2JB.点A(1,2)关于原点的对称点为A(T,-2)C.向量;=(,y)与i=(4,%)平行的充要条件是,是=必西D.点4(1,2)到直线工+5-1=0的距离为应8. (2022春黑龙江大庆高三大庆实验中学校考阶段练习)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成工角的两条数轴,牛4分别是与招N轴正方向同向

5、的单位向量,则称平面坐标系X。),为6斜坐标系,若OM=xei+ye2,则把有序数对(xy)叫做向量OM的斜坐标,记为OM=(X,y).在6=(的斜坐标系中,.则下列结论中,错误的是()4-力=(一G,;+1J;同=1;aLb;/在上的投影为一JA.B.C.D.9. (2021春上海浦东新高一华师大二附中校考阶段练习)如图,定义“、b的向量积“可=Wsino,a为当、方的起点相同时,由的方向逆时针旋转到与方向相同时,旋转过的最小角,对于4=(,),Z=(X2,%),C=(XPy3)的向量积有如下的五个结论:翁,闷=Ma同;(g), = y2-y1;,b + c = qg-c;其中正确结论的个数

6、为(a,6 + c = 同+ a,c;)C. 3个B. 2个D. 4个10. (2022春山西朔州高一校考阶段练习)定义d()=卜-4为两个向量,5间的“距离”,若向量,满足下列条件:(i)W=l;(ii)B;(适)对于任意的fR,恒有d(b)d(,b),现给出下面结论的编号,则以上正确的编号为()A.B.C.D.11. (2018湖南统考一模)在实数集H中,我们定义的大小关系为全体实数排了一个“序”,类似的,我们这平面向量集合。=(x,y),xeR,yeR上也可以定义一个称为“序的关系,记为定义如下:对于任意两个向量4=(%,凹),=(,必),44当且仅当“X或“M=/且M为“,按上述定义的

7、关系”,给出下列四个命题:若弓=(1,0),2=(0,i),0=(0,0),则若aia2,a2a3,贝Jq%;若%,则对于任意的O,+%+;对于任意的向量G0,其中0=(0,0),若4出,则czqAaq.其中正确的命题的个数为()A.4B.3C.2D.1a12. (2017秋河南郑州高三郑州一中阶段练习)若非零向量,b的夹角为锐角。,且面=Cos。,则称d被b同余已知。被4“同余”,则4-在a上的投影是()13. (2022春陕西榆林高榆林市第一中学校考期中)设a=,a2)yb=(be4),定义种向量积:ab=av%)乳牛b2)=(afyf%4).已知用二(2,),二仁,0),点尸(x,y)在

8、y=sinx的图象上运动,点。在y=(6的图象上运动,且满足OQ=W。2+(其中。为坐标原点),则y=f()的最大值A及最小正周期7分别为()B. 2,4万A.2,C.g,4rD.14. (2023河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)设向量与方的夹角为仇定义。h=,in+反OSq已知向量为单位向量,W二应,1-方卜1,则ab=()A.立B.2C.叵D.2用225(2。22春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中)记min,=1:;j设-人为平面内的非零向量,则()A. min +ba- min!,C. min,+期口-母 minMI耶B. min+ 2,-Z 2a2 +b2D. mintz+/

9、?2,pz-/?22 +b216. (2021全国高三专题练习)对于向量Pm=I,2,.),把能够使得囱|+|夕&|+-+|必|取到最小值的点P称为Aa=I,2,.”)的“平衡点”.如图,矩形488的两条对角线相交于点0,延长8C至E,使得8C=C,联结AE,分别交8Z8于EG两点.下列的结论中,正确的是()A. A、C的“平衡点”为0.B. D、C、E的“平衡点”为。、E的中点.C. 4、尸、G、E的“平衡点”存在且唯一.D. 4、B、E、。的“平衡点”必为厂二、多选题17. (2022春浙江高一期中)如图所示,在平面上取定一点。和两个以点O为起点的不共线向量e;,e2,称为平面上的一个仿射

10、坐标系,记作。4,勾,向量OM=Xq+*;与有序数组(苍丁)之间建立了一一对应关系,有序数组(%,),)称为OM在伤射坐标系。w闯下的坐标,记作OM=(X,),).已知q,6是夹角为6=与的单位向量,d=(l,2),=(2,-1),则下列结论中正确的有()A. +b = (3,l)C. a A-bB.Ia=-V3D.在方向上的投影向量为.已知非18. (2022春.河南高一校联考阶段练习)对任意两个非零向量&,定义新运算:ab=则mn的值可A. 2C. 3D. 4零向量见满足网3卜|且向量肛的夹角爪信热,若4(冶)和4(电”都是整数能是()19. (2023全国高三专题练习)已知向量4,色是平

11、面。内的一组基向量,。为。内的定点,对于。内任意一点p,当QP=Xq+g时,则称有序实数对(,y)为点P的广义坐标若点48的广义坐标分别为(F%),(,%),关于下列命题正确的是()A,线段A,B的中点的广义坐标为1号,且手B.A,8两点间的距离为J(K-J+(y)2C.若向量OA平行于向量08,则%=电乂D.若向量OA垂直于向量08,则XM2+y%=220.(2022江苏南京统考模拟预测)设以是大于零的实数,向量。=(TCoSa,msina)力=(CoSsin7),其中0,2%),定义向量3)2 =咽,S)* =Y,记。=。一万,则()A(a)2()2=a1.L1-OB. (a)2(b)2=

12、mcos11nC. (a)2-by4wwsin2-41 12_D. (a)2+(b)24wwcos2421. (2022浙江温州高一永嘉中学统考竞赛)设0、A、8是平面上任意三点,定义向量的运算:det(QAoB)=QHOB,其中04由向量04以点。为旋转中心逆时针旋转直角得到(若04为零向量,规定OA也是零向量).对平面向量、b、c下列说法正确的是()A.del(,6)=del伍,)det(c,b)det(a,Z?)B.对任意4eR,del(a+4?M=del(a,b)det(tz,c)C.若。、为不共线向量,满足m+yb=d(x,yR),则X=彳;,det(a,Z?)D.det(a,5)c

13、+det(/?,c)a+dctk,a)=022. (2023春湖北武汉高一华中师大一附中校考阶段练习)对任意两个非零的平面向量。和p,定义且。b和6 都在集合aB=(,若平面向量以6满足时MO,a与A的夹角公0,:mZz中.给出以下命题,其中一定正确的是()A.若n=l时,则b=ha=1B.若帆=2时,则ab=2C.若m=3时,则的取值个数最多为7D.若m=2014时,则a的取值个数最多为23. (2023全国高三专题练习淀义平面向量的一种运算如下:对任意的两个向量1(NM,力=(公,为,令加)。=(NM-42区,内毛+乂,2),下面说法一定正确的是()A,对任意的2R,有卜a)b=%(tb)

14、若与垂直,d(C)共线B.存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a,都有温工焉X成立C.D.若与B共线,则(黑与温(第;,的模相等三、填空题24. (2023春江苏泰州高一靖江高级中学校考阶段练习)设向量与b的夹角为。,定义d与人的“向量积”,x8是一个向量,它的模等于小引玉忡in。,若=(1,J),Z=(-3,-l),则,x“=.25. (2018春安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习)在平面斜坐标系XOy中,Z-=60o,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若OP=XeI+ye;(其中q,6分别为工,y轴方向相同的单位向量),则户的坐标为(,y),若尸关于斜坐标系XQy的坐标为(2,

15、-1),则|。Pl=26. (2019春安徽芜湖高一校联考期中)定义a*b=,若二=(1,2),力二(3,-2),则与*方方向相反的ab单位向量的坐标为.27. (2022秋湖南长沙高三校考阶段练习)已知对任意平面向量A8=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转夕角得到向量4。=(代00-与110,心山0+),(:0。).如图所示,顶角NQ=I20。的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为P(1,0)、(3,3),则顶点R的坐标为.28. (2022春北京海淀高一校考期中)设平面中所有向量组成集合C,。为C中的一个单位向量,定义Fa)=Te+2(x0”.则下列结论中正确的有(只需填写序号

16、).若W?、C,则F(w)F()=tnn;若XeC,(x,e)=y,则(尸(X)=X;若。=(1,0),V=(0,1),F(w)=v,则e有唯一解29. (2022春.江苏南通高一海安市曲塘中学校考期中)小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果:若OA=(Ary),OB=(x2iy2)f则S-声讯试用上述成果解决问题:已知斗。),8(2,3),C(4,5),则S,sc=.30. (2022春上海宝山高一上海交大附中校考阶段练习)关于任意平面向量可实施以下6种变换,包括2种U变换和4种卬变换v1:模变为原来的3倍,同时逆时针旋转90。;v2:模变为原来的3倍,同时顺时针旋转90。;

17、“:模变为原来的加倍,同时逆时针旋转45。;%:模变为原来的倍,同时顺时针旋转45。;吗:模变为原来的血倍,同时逆时针旋转135。;岫:模变为原来的倍,同时顺时针旋转135。.记集合S=R,%,叱,吗,吗,吗,若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过次抽取,依次将第i次抽取的变换记为4。=0,12,),即可得到一个维有序变换序列,记为G“(q,%,4),则以下判断中正确的序号是.单位向量i=(l,0)经过2022次U变换后所得向量一定与向量=(0,l)垂直;单位向量i=(l,O)经过2022次坡变换后所得向量定与向量=(0,1)平行;单位向量i=(l,O)经过G6变换后得到向量)=(T,0),则

18、Gs中有且只有2个U变换;单位向量i=(lO)经过G?变换后不可能得到向量力=(IJ);存在,使得单位向量i=(l,O)经过G“次变换后,得到:=(2022,2022).31. (2022春湖南株洲高一株洲二中校考阶段练习)设V是已知平面M上素有向量的集合,对于映射fVV,deVf记的象为/3).若映射WV满足:对所有、力V及任意实数大都有f(a+b)=f(a)+f(b),则/称为平面M上的线性变换,现有下列命题:设/是平面M上的线性变换,a.b三Vt则f(+6)=f()+S);若d是平面上的单位向量,对V,设3)=d+e,则/是平面M上的线性变换;对deV,设/=-则/是平面M上的线性变换;

19、设f是平面M上的线性变换,V,则对任意实数攵均有/(版)=).其中的真命题是(写出所有真命题的编号).32. (2021春.重庆南岸高一重庆第二外国语学校校考阶段练习)定义平面非零向量之间的一种运算“”,一.4记成S=cos6+bsin6,其中。是非零向量的夹角,若e,4均为单位向量,且则向量6,与S(-。)的夹角的余弦值为.33. (2021春陕西宝鸡高一统考期末)设。r、3,是平面内相交成120角的两条数轴,q,6分别是与X轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量。尸=Xq+yg,则把有序数对a,y)叫做OP在坐标系Xoy中的坐标.假设OP=(2,2),则op的大小为.34. (2018春浙江

20、台州高一台州中学校考期中)已知向量d及向量序列:,4,满足如下条件:&|=2问=2,4.=1,且凡一/_;=(/2,1),当他/9且21时,44w的最大值为.35. (2017春北京东城高二统考期末)已知平面向量。=(皿),平面向量b=(p,q),(其中皿,p,qZ).定义:ab=(mp-nq1mq+np).若=(1,2),Z?=(2,1),则,g=;若2b=(5,0),且“5,W4口,则S=0.若W=24stnm=8a2,则与2的夹角为T37. (2021春.重庆沙坪坝高一重庆南开中学校考阶段练习)定义:对于实数机和两个定点M、N,在某图形上恰有个不同的点6(i=123,),使得AMwN=m

21、,称该图形满足“度冏合”,若在边长为4的正方形48C。中,BC=2BM,DN=3NA,且该正方形满足“4度冏合”,则实数机的取值范围是.38. (2022全国高三专题练习)定义两个向量组X=(4巧,玉),丫=(如%,%)的运算XY=x1y1+x2y2+x3y3,设不备品为单位向量,向量组X=(XI,占,七),丫=(凹,为,%)分别为乌电品的一个排列,则Xy的最小值为.39. (2022北京顺义统考二模)向量集合5=漏=),),用八/?,对于任意,bsS,以及任意法。,都有U+(l-lWS,则称集合S是“凸集”,现有四个命题:集合M=ad=(x,),),yx2是“凸集”;若S为“凸集”,则集合N

22、=WkeS也是“凸集”;若A,A2都是“凸集,则AUA也是“凸集”;若A,A2都是“凸集”,且交集非空,则AC4也是“凸集”.其中,所有正确的命题的序号是.四、解答题40. (2022秋.河北沧州.高二校考开学考试)平面内一组基底。人。8及任一向量OC,OC=xOA+yOB(x,yeR)f若点C在直线A8上或在平行于AB的直线上,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”,此时+y为定值,请证明该结论.41. (2022秋上海嘉定高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习)已知在平面直角坐标系中,。为坐标原点,定义非零向量OM=(,力的“相伴函数”为y=sinx+阮OSNXeR),向量OM

23、=(,b)称为函数y=4sinx+2cosMxeR)的“相伴向量”;记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S(1)己知R,A(x)=cos(x+)+2cosx,若函数以幻为集合S中的元素,求其“相伴向量”的模的取值范围;(2)已知点M3,与满足条件:a=3,ObJ,若向量OM的“相伴函数F=g(x)在X=XO处取得最大值,当b在区间(0,6变化时,求出n2A0的取值范围;(3)当向量OM=(G,1)时,“相伴函数”为/3,若XW,),方程r(x)+(2)(x)+4-3=0存在4个O不相等的实数根,求实数。的取值范围.42. (2022春上海奉贤高一校考期末)对于一个向量组,%,4(3,wN

24、),令=4+%+4,如果存在4(N*),使得d,-修,那么称q是该向量组的“好向量”若生是向量组卬出外的“好向量”,且4=(,x+),求实数1的取值范围;已知,a2,%均是向量组4,出外的“好向量试探究4,电心的等量关系并加以证明43. (2021春山西临汾.高一统考阶段练习)如图,在正方形ABCO中,点E是A8的中点,点尸,G分别是D,BC的二等分点.(I)EEEG有什么关系?用向量方法证明你的结论.(2)已知对任意平面向量N=(x,y),把MN绕其起点沿逆时针旋转。角得到向量MP=(XCoSe-ysin9,xsin9+),CoS6),叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转。角得到点P.已知正方形

25、ABCD点40,0),点伙2,0),。(0,2),把点G绕点E沿顺时针方向旋转看后得到点P,求点P的坐标.44.(2021春四川成都高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习)定义非零向量O何二(。/)的“相伴函数”为y(x)=sinx+Z?cosx(xR),向量OM=(4,b)称为函数/(x)=sinx+Z?COSx(XR)的相伴向量”(其中。为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.设MX)=GCoS(X+己)+385c-:!(11),请问函数(力是否存在相伴向量0知,若存在,求出与0共线的单位向量;若不存在,请说明理由.已知点Mmb)满足:(,3,向量OM的“相伴函数在X=Xo处取得最大值,求sn2x1)的取值范围.

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