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1、专题06向量专题（新定义）一、单选题1.（2023全国高三专题练习）定义平面向量之间的一种运算“。”如下：对任意的=（m,）,=（,办令ab=mq-p,下面说法错误的是（）A.若与共线，则4b=0B.ah=haC.对任意的R,（旬b=a力），D.（2）+（町=同件2. （2022春湖南邵阳高一统考期中）定义同2-功.若向量&=（2,6），向量b为单位向量，则方的取值范围是（）A.0,6B.6,12C.0,6）D.（-1,5）3. （2021春.云南昆明高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点。和两个不共线的向量e,4,由平面向量基本定理，平面内任何一个向量WI都可以唯一表示成q,4的线性组
2、合，z=xq+丁弓（XyeR），则把有序数组（x,y）称为加在仿射坐标系。咫勺下的坐标，记为/=,），），在仿射坐标系；%/下，,B为非零向量,且4=（石M,G=（X2,冉），则下列结论中（）a+b=（xlx2,y+jj2）若aD，则Xr2+yM=0若/6则Ny2=WYCOS.=7，V；-7网+Ji2y2一定成立的结论个数是（）A.1B.2C.3D.44. （2022高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量=（L3）,b=（-3,T）,即为“等模整向量”，那么模为5的“等模整向量”有（）A.4个B.6个C.8个D.12个5
3、. （2017四川广元统考三模）对于个向量外,%，若存在个不全为0的示数。他的，人，使得：kya+lc2a2+lcyay+a”=6成立;则称向量q,%,%，.，4是线性相关的，按此规定，能使向量4=。，)，Z=(L-I),4=(2,2)线性相关的实数。则K+4勺的值为()A.-1B.OC.1D.26. (2022秋.内蒙古鄂尔多斯.高三统考期中)对任意两个非零的平面向量a,定义aB=端,若平面PP向量满足WW0,a功的夹角ew(),且a6和,&都在集合lwZ卜口，则&6=()A.!B.1C.1D.2227. (2023全国高三专题练习)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平
4、面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在X轴和)，轴上的截距小力分别作为点P的X坐标和)，坐标，记P(a，。)，则在X轴正方向和y轴正方向的夹角为。的斜坐标系中，下列选项错误的是()A.当0=60。时4(1,2)与8(3,4)距离为2JB.点A(1,2)关于原点的对称点为A(T,-2)C.向量;=(,y)与i=(4,%)平行的充要条件是,是=必西D.点4(1,2)到直线工+5-1=0的距离为应8. (2022春黑龙江大庆高三大庆实验中学校考阶段练习)如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成工角的两条数轴，牛4分别是与招N轴正方向同向
5、的单位向量，则称平面坐标系X。)，为6斜坐标系，若OM=xei+ye2,则把有序数对(xy)叫做向量OM的斜坐标，记为OM=(X,y).在6=(的斜坐标系中，.则下列结论中，错误的是（）4-力=（一G，；+1J;同=1;aLb；/在上的投影为一JA.B.C.D.9. （2021春上海浦东新高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义“、b的向量积“可=Wsino,a为当、方的起点相同时，由的方向逆时针旋转到与方向相同时，旋转过的最小角，对于4=（,）,Z=（X2，%），C=（XPy3）的向量积有如下的五个结论:翁,闷=Ma同；(g), = y2-y1;,b + c = qg-c;其中正确结论的个数
6、为(a,6 + c = 同+ a,c；)C. 3个B. 2个D. 4个10. （2022春山西朔州高一校考阶段练习）定义d（）=卜-4为两个向量,5间的“距离”，若向量，满足下列条件：（i）W=l;（ii）B;（适）对于任意的fR,恒有d（b）d（,b）,现给出下面结论的编号，则以上正确的编号为（）A.B.C.D.11. （2018湖南统考一模）在实数集H中，我们定义的大小关系为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合。=（x,y）,xeR,yeR上也可以定义一个称为“序的关系，记为定义如下：对于任意两个向量4=（%,凹），=（，必），44当且仅当“X或“M=/且M为“，按上述定义的
7、关系”，给出下列四个命题：若弓=（1,0）,2=（0,i）,0=（0,0）,则若aia2,a2a3,贝Jq%；若%,则对于任意的O,+%+;对于任意的向量G0，其中0=（0,0）,若4出，则czqAaq.其中正确的命题的个数为（）A.4B.3C.2D.1a12. （2017秋河南郑州高三郑州一中阶段练习）若非零向量,b的夹角为锐角。，且面=Cos。，则称d被b同余已知。被4“同余”，则4-在a上的投影是（）13. （2022春陕西榆林高榆林市第一中学校考期中）设a=,a2）yb=（be4），定义种向量积：ab=av%）乳牛b2）=（afyf%4）.已知用二（2,）,二仁,0）,点尸（x，y）在
8、y=sinx的图象上运动，点。在y=（6的图象上运动，且满足OQ=W。2+（其中。为坐标原点），则y=f（）的最大值A及最小正周期7分别为（）B. 2,4万A.2,C.g,4rD.14. （2023河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量与方的夹角为仇定义。h=,in+反OSq已知向量为单位向量，W二应，1-方卜1,则ab=（）A.立B.2C.叵D.2用225（2。22春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中）记min,=1：；j设-人为平面内的非零向量，则()A. min +ba- min!,C. min,+期口-母 minMI耶B. min+ 2,-Z 2a2 +b2D. mintz+/
9、?2,pz-/?22 +b216. （2021全国高三专题练习）对于向量Pm=I,2,.）,把能够使得囱|+|夕&|+-+|必|取到最小值的点P称为Aa=I,2,.”）的“平衡点”.如图，矩形488的两条对角线相交于点0,延长8C至E,使得8C=C,联结AE,分别交8Z8于EG两点.下列的结论中，正确的是（）A. A、C的“平衡点”为0.B. D、C、E的“平衡点”为。、E的中点.C. 4、尸、G、E的“平衡点”存在且唯一.D. 4、B、E、。的“平衡点”必为厂二、多选题17. （2022春浙江高一期中）如图所示，在平面上取定一点。和两个以点O为起点的不共线向量e；,e2,称为平面上的一个仿射
10、坐标系，记作。4,勾，向量OM=Xq+*；与有序数组（苍丁）之间建立了一一对应关系，有序数组（%,），）称为OM在伤射坐标系。w闯下的坐标，记作OM=（X,），）.已知q,6是夹角为6=与的单位向量，d=（l,2）,=（2,-1）,则下列结论中正确的有（）A. +b = (3,l)C. a A-bB.Ia=-V3D.在方向上的投影向量为.已知非18. （2022春.河南高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量&，定义新运算：ab=则mn的值可A. 2C. 3D. 4零向量见满足网3卜|且向量肛的夹角爪信热，若4（冶）和4（电”都是整数能是（）19. （2023全国高三专题练习）已知向量4，色是平
11、面。内的一组基向量，。为。内的定点，对于。内任意一点p,当QP=Xq+g时，则称有序实数对（,y）为点P的广义坐标若点48的广义坐标分别为（F%），（，%），关于下列命题正确的是（）A,线段A,B的中点的广义坐标为1号,且手B.A,8两点间的距离为J（K-J+（y）2C.若向量OA平行于向量08，则%=电乂D.若向量OA垂直于向量08，则XM2+y%=220.（2022江苏南京统考模拟预测）设以是大于零的实数，向量。=（TCoSa,msina）力=（CoSsin7）,其中0,2%）,定义向量3）2 =咽,S)* =Y,记。=。一万，则（）A(a)2()2=a1.L1-OB. (a)2(b)2=
12、mcos11nC. （a）2-by4wwsin2-41 12_D. （a）2+（b）24wwcos2421. （2022浙江温州高一永嘉中学统考竞赛）设0、A、8是平面上任意三点，定义向量的运算：det（QAoB）=QHOB,其中04由向量04以点。为旋转中心逆时针旋转直角得到（若04为零向量，规定OA也是零向量）.对平面向量、b、c下列说法正确的是（）A.del（,6）=del伍,）det(c,b)det(a,Z?)B.对任意4eR,del(a+4?M=del(a,b)det(tz,c)C.若。、为不共线向量，满足m+yb=d(x,yR),则X=彳；,det(a,Z?)D.det(a,5)c
13、+det(/?,c)a+dctk，a)=022. （2023春湖北武汉高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量。和p,定义且。b和6 都在集合aB=（,若平面向量以6满足时MO,a与A的夹角公0,：mZz中.给出以下命题，其中一定正确的是（）A.若n=l时，则b=ha=1B.若帆=2时，则ab=2C.若m=3时，则的取值个数最多为7D.若m=2014时，则a的取值个数最多为23. （2023全国高三专题练习淀义平面向量的一种运算如下:对任意的两个向量1（NM,力=（公,为，令加）。=（NM-42区，内毛+乂，2），下面说法一定正确的是（）A,对任意的2R,有卜a)b=%(tb)
14、若与垂直,d(C)共线B.存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有温工焉X成立C.D.若与B共线，则(黑与温(第；，的模相等三、填空题24. (2023春江苏泰州高一靖江高级中学校考阶段练习)设向量与b的夹角为。，定义d与人的“向量积”，x8是一个向量，它的模等于小引玉忡in。，若=(1,J),Z=(-3,-l),则,x“=.25. (2018春安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习)在平面斜坐标系XOy中，Z-=60o,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=XeI+ye；(其中q,6分别为工，y轴方向相同的单位向量)，则户的坐标为(,y),若尸关于斜坐标系XQy的坐标为(2,
15、-1),则|。Pl=26. (2019春安徽芜湖高一校联考期中)定义a*b=,若二=(1,2),力二(3,-2),则与*方方向相反的ab单位向量的坐标为.27. (2022秋湖南长沙高三校考阶段练习)已知对任意平面向量A8=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转夕角得到向量4。=(代00-与110,心山0+)，(：0。).如图所示,顶角NQ=I20。的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为P(1,0)、(3,3),则顶点R的坐标为.28. (2022春北京海淀高一校考期中)设平面中所有向量组成集合C,。为C中的一个单位向量，定义Fa)=Te+2(x0”.则下列结论中正确的有(只需填写序号
16、).若W?、C,则F(w)F()=tnn；若XeC,(x,e)=y,则(尸(X)=X；若。=(1,0),V=(0,1),F(w)=v,则e有唯一解29. (2022春.江苏南通高一海安市曲塘中学校考期中)小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若OA=(Ary),OB=(x2iy2)f则S-声讯试用上述成果解决问题：已知斗。)，8(2,3),C(4,5),则S,sc=.30. (2022春上海宝山高一上海交大附中校考阶段练习)关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种U变换和4种卬变换v1:模变为原来的3倍，同时逆时针旋转90。；v2:模变为原来的3倍，同时顺时针旋转90。；
17、“：模变为原来的加倍，同时逆时针旋转45。；%：模变为原来的倍，同时顺时针旋转45。；吗：模变为原来的血倍，同时逆时针旋转135。；岫：模变为原来的倍，同时顺时针旋转135。.记集合S=R,%,叱,吗，吗，吗，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过次抽取，依次将第i次抽取的变换记为4。=0,12,)，即可得到一个维有序变换序列，记为G“(q,%,4),则以下判断中正确的序号是.单位向量i=(l,0)经过2022次U变换后所得向量一定与向量=(0,l)垂直；单位向量i=(l,O)经过2022次坡变换后所得向量定与向量=(0,1)平行；单位向量i=(l,O)经过G6变换后得到向量)=(T,0),则
18、Gs中有且只有2个U变换；单位向量i=(lO)经过G?变换后不可能得到向量力=(IJ)；存在，使得单位向量i=(l,O)经过G“次变换后，得到:=(2022,2022).31. (2022春湖南株洲高一株洲二中校考阶段练习)设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射fVV,deVf记的象为/3).若映射WV满足：对所有、力V及任意实数大都有f(a+b)=f(a)+f(b),则/称为平面M上的线性变换，现有下列命题：设/是平面M上的线性变换，a.b三Vt则f(+6)=f()+S);若d是平面上的单位向量，对V,设3)=d+e,则/是平面M上的线性变换；对deV,设/=-则/是平面M上的线性变换；
19、设f是平面M上的线性变换，V,则对任意实数攵均有/（版）=）.其中的真命题是（写出所有真命题的编号）.32. （2021春.重庆南岸高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“”，一.4记成S=cos6+bsin6，其中。是非零向量的夹角，若e,4均为单位向量，且则向量6，与S（-。）的夹角的余弦值为.33. （2021春陕西宝鸡高一统考期末）设。r、3,是平面内相交成120角的两条数轴，q,6分别是与X轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量。尸=Xq+yg，则把有序数对a,y）叫做OP在坐标系Xoy中的坐标.假设OP=（2,2）,则op的大小为.34. （2018春浙江
20、台州高一台州中学校考期中）已知向量d及向量序列：，4，满足如下条件：&|=2问=2,4.=1,且凡一/_；=（/2,1）,当他/9且21时，44w的最大值为.35. （2017春北京东城高二统考期末）已知平面向量。=（皿），平面向量b=（p,q）,（其中皿,p,qZ）.定义：ab=（mp-nq1mq+np）.若=（1,2）,Z?=（2,1）,则，g=;若2b=（5,0）,且“5,W4口，则S=0.若W=24stnm=8a2,则与2的夹角为T37. （2021春.重庆沙坪坝高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数机和两个定点M、N,在某图形上恰有个不同的点6(i=123,)，使得AMwN=m
21、，称该图形满足“度冏合”，若在边长为4的正方形48C。中，BC=2BM，DN=3NA,且该正方形满足“4度冏合”，则实数机的取值范围是.38. (2022全国高三专题练习)定义两个向量组X=(4巧，玉)，丫=(如%，%)的运算XY=x1y1+x2y2+x3y3,设不备品为单位向量，向量组X=(XI,占，七)，丫=(凹，为，%)分别为乌电品的一个排列，则Xy的最小值为.39. (2022北京顺义统考二模)向量集合5=漏=)，),用八/?,对于任意,bsS，以及任意法。，都有U+(l-lWS,则称集合S是“凸集”，现有四个命题：集合M=ad=(x,)，),yx2是“凸集”；若S为“凸集”，则集合N
22、=WkeS也是“凸集”；若A，A2都是“凸集，则AUA也是“凸集”；若A,A2都是“凸集”，且交集非空，则AC4也是“凸集”.其中，所有正确的命题的序号是.四、解答题40. (2022秋.河北沧州.高二校考开学考试)平面内一组基底。人。8及任一向量OC,OC=xOA+yOB(x,yeR)f若点C在直线A8上或在平行于AB的直线上，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”，此时+y为定值，请证明该结论.41. (2022秋上海嘉定高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习)已知在平面直角坐标系中，。为坐标原点,定义非零向量OM=(,力的“相伴函数”为y=sinx+阮OSNXeR),向量OM
23、=(,b)称为函数y=4sinx+2cosMxeR)的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S(1)己知R,A(x)=cos(x+)+2cosx,若函数以幻为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；(2)已知点M3,与满足条件：a=3,ObJ,若向量OM的“相伴函数F=g(x)在X=XO处取得最大值，当b在区间(0,6变化时，求出n2A0的取值范围；(3)当向量OM=(G,1)时，“相伴函数”为/3,若XW，)，方程r(x)+(2)(x)+4-3=0存在4个O不相等的实数根，求实数。的取值范围.42. (2022春上海奉贤高一校考期末)对于一个向量组，%，4(3,wN
24、),令=4+%+4，如果存在4(N*),使得d,-修，那么称q是该向量组的“好向量”若生是向量组卬出外的“好向量”，且4=(，x+)，求实数1的取值范围；已知，a2,%均是向量组4，出外的“好向量试探究4，电心的等量关系并加以证明43. (2021春山西临汾.高一统考阶段练习)如图，在正方形ABCO中，点E是A8的中点，点尸，G分别是D,BC的二等分点.(I)EEEG有什么关系？用向量方法证明你的结论.(2)已知对任意平面向量N=(x,y),把MN绕其起点沿逆时针旋转。角得到向量MP=(XCoSe-ysin9,xsin9+)，CoS6),叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转。角得到点P.已知正方形
25、ABCD点40,0),点伙2,0),。(0,2),把点G绕点E沿顺时针方向旋转看后得到点P,求点P的坐标.44.(2021春四川成都高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习)定义非零向量O何二(。/)的“相伴函数”为y(x)=sinx+Z?cosx(xR),向量OM=(4,b)称为函数/(x)=sinx+Z?COSx(XR)的相伴向量”(其中。为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.设MX)=GCoS(X+己)+385c-:!(11),请问函数(力是否存在相伴向量0知，若存在,求出与0共线的单位向量；若不存在，请说明理由.已知点Mmb)满足：(,3,向量OM的“相伴函数在X=Xo处取得最大值，求sn2x1)的取值范围.
