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1、专题18数列求和14类题型数列求和常见题型梳理【题型1错位相减【题型2】裂项相消（常规）【题型3】分组求和【题型4】裂项相消（进阶）【题型5】并项求和【题型6】倒序相加【题型75211与5211i下标的讨论和处理【题型8】通项含有（-1）”的类型题型9奇偶数列求和【题型10隔项数列求和（一般并项求和）【题型11】和为等比数列求和【题型12插入新数列混合求和【题型13】通项含绝对值的数列求和【题型14取整数列求和数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：%=4（其中/是等差数列，2是等比数列）类型二：,二，L（其中凡是等差数列，2是等比数列）二、裂项相消法类型一：等差型1/11、11z11=（）
2、;（2）=（n（n+k）knn-k（kn-）（kn+1）2kn-kn+类型二：无理型类型三：指数型裂项相消进阶1、裂项相加：(l)n例：()”,=7)，本类模型典型标志在通项中含有(一1)”乘以一个分式.对于=(T)可以裂项为“二(一1)”+%出=(-1)4+%+a+(+2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：nn+1)=+1)(+2)-(w-l)(w+1)一般式，当公差为左时：kn(kn+k)=kn(kn+k)(kn+2k)-(kn-k)kn(kn+k)3k3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子.+22(+1)-(2_1)1=11：(w+1)2wn(n+)2nUw+TjFw
3、2n(w+l)2n-)kn+ah+ak-h1般突.(n)4(+l)+ban(kn-b)an(+l)+fe三、分组求和法3.1 如果一个数列可写成%二%2的形式，而数列%,是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.an为奇数3.2 如果一个数列可写成q,=Lg皿的形式,在求和时可以使用分组求和法.为偶数四、倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和【题型1】错位相减1 .已知见=21,若数列“满足。向+%4+4也=(2-3)2e+6,求和：Tlt=aibn+地T+-+Jb2+anbl,【答案】Tn=32n-4n
4、-6【详解】因为她+她+%瓦=(2n-3)2n+,+6,所以albi+a2b2+,.i-1=(2-5)211+6(2),两式相减得anbn=(2-3)2n+,+6-(2-5)2-6(2)义岫=2满足上式，所以勺=(2-l)2(wN),又二2-1,所以“=2”.则Te=m+a2bn,x+lt-1+anby=12m+3211,+5211-2+.+(211-1)2,2Tn=2!,+l+3x2+52”+(2w-1)22,两式相减得：Tn=2n+2n+1+2,+23-(211-1)2=2a+l+8(：；)-(-l)2=32用-6.2 .记数列4的前项和为1,且=1,。=LG2).(1)求数列4的通项公式
5、；12n(2)设?为整数，且对任意V,m-+-+一,求机的最小值.a%4【答案】L222.；(2)7【分析】(1)由数列可与7；的关系可得知+=2q1(2),再结合等比数列的通项可得解;12n(2)利用错位相减法求出一+,结合范围即可得解.%a4【详解】(1)因为4=1,%=&(2),所以出=q=1,当“2时，an+l=Tn=Tn+an=2anf故qf=%二=2(2),且q=1不满足上式，故数列勺的通项公式为=目；”；：；_12n(2)设2=+,则B=I,aa2an当2时，5=l+220+32-,+22-fl,故L+22T+32+“2i,于是，S=*+(2+2-2+22-)-2=3+l!二22
6、,72l-2,整理可得S.=7-5+2)22t,所以S.6,所以符合题设条件的m的最小值为7O差比数列的其它处理方式(待定系数法)3 .已知勺=(2-5)x2,求S”.【答案】an=(2w-5)2n=(w+l)+2n+,-(l+)2n=(w+2+/2n,an=2(+1)-92n+,-(2w-9)2n,Sn=2(w+1)-92rt+,+14=(2?-7)2rt+,+14.【题型2】裂项相消(常规)4 .己知q=3,证明：虫+g+.+o,即可得证./7+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解：由则-=与4=当T=+1an(+2)(+2)2(n+2J2 n+1 n+2= + 口4 2w+1 n+2
7、)1ICZ31/11、3因为+0,所以+w+-,w+1n+2,42U+1n+2)4,na2,a3,+l/”4.3即+1+W+a2an45 .已知%=2-1,数列牝前项和Sn,记=共L,设数列也的前项和为7；,求证7；0,当=1时，=4=；（/+，），解得q=l,由可二色一色”2代入得S”=UsSm+f,整理后得S.+S,T=J,即SS3=1,根据等差数列的定义可知，数列同是首项为1,公差为1的等差数列，则S； = l + (-l)J = ，. s,=6Llll(2)由(1)“知S= s+S2 + S2+S3 + S3 + S4 , 1 _I + 2+2+3+3+4+, lw +w +1 = -
8、w + l 1,2”7.已知 = 2-l,设4 =2 + 1,求数列也的前项和S.【答案】【详解】1b.2n (2-1)(2,+,-)1 , .112 1 y/3 y/2. + 4 y/3 +.+yn + yn(2*,-1)-(2-)-2+l= -2n+(2n-l )(2+l-l )所以S.=b+b2+对式子变形后再裂项：一般是分离常数8 .已知为=J，设C=42%+,求数列匕的前项和4.21【解析】-L4+，2n+)2n+，1，、9 .已知见=2+4,记=,数列也的前项和为7；,求乙11(111【解析】=-=32/7+384(w+1)(+2),10已知”=舟(N)若1=(2/l)d,求数列也
9、的前项和二,2w+l11【解析】=F_TT=-;不,w(+1)n(+1)( + 2) ( + 1)2 .11.已知=,证明：+-7./2+1%an4【分析】由%=，得到%4=l+0,即可得证.+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解:1 +2 n+1 n+23=n + 4 21 1 n + 2 ),则也=) _ W(7 + 2) H2)(+2)“a，/(E4-+-1【答案】4.二；4“十2-；3【详解】T2ll =bi +b2 + + = ( + + + + X (,2 + + ,+ )率川+/一上 3314.已知牝=2,设2为数列q在区间(OMwCN)中的项的个数，求数列耙前100项的和.
10、【答案】480【详解】由bm为数列/在区间(O,zm(m e N)中的项的个数，可知4=0, 4=4=1, =b5 =hb =h1 =2.当 8n15 时， = 3 ;当 16m31 时， = 4 ；当 32/W63时，1 = 5 ；当 64m4100 时， = 6./. Z1 +b2 + + + oo =OXI+ 1x2 + 2x4 + 3x8 + 4x16 + 5x32 + 6x37 = 480.15.已知数列七的前项和S,，且S向=30+1,4=1,数列出满足4=1,(1也=其中-=n+/7 + 2因为r .w+1 n+2L+30,所以+.42U+1n+2a.3+-zL为奇数,2一1,为
11、奇数【详解】因为I为偶数，所以W/为偶数,所以=(1+2?)+(5+24)+(4-3+2?)w(l+4n-3)2(l-4n),4rt+,-4-+=2n-n+21-4313.已知牝=2,设=将，数列出的前2项和为匕，求七.log2%/为奇数/7N*.求/和低的通项公式;logs%,为奇数4为偶数,求数列%的前20项和G).(+2)Z、【答案】(1)q=3，=11(2)70=Sx,n=,、，、cc、累乘法求得/和的通项公式;-pw2(2)结合分组求和法、裂项相消求和法求得心).【详解】(1)对于S.+=3S,l+l,=1,当=1时，ay+a2=3ai+i,a2=2al+1=3,所以为=3T.22.
12、j 2 1当2时，由S.+=3S+1得SfJ=3S,+l,两式相减得a”+1=3.(2),由于a2=36，所以%是首项为1，公比为3的等比数列，对于“=1，6+1)=+-2=8,bnn,bl,bn,b,b-,nn-所以6=20.-J-.-L.h=b.b2b,b,n-n-2A也符合上式，所以勿=.(2)当，为奇数时，G=Iog3%=T；C1=0,C19=18,所以q+c3+c19=y10=90.44-11、当为偶数时，c=z,l0x=2不：(n+2)bn+Vnn2所以 Cz+Q+.+Go所以弓=90 + E =詈【题型4裂项相消(进阶)1、裂项相加：(1尸1 1+%例：(T)”,/：；)=(T)
13、I本类模型典型标志在通项中含有(1)”乘以一个分式.对于=(T)+-可以裂项为“二(-i)rt川=(Tyanan+cnan+2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：n(n+1)=:+1)(+2)(一)n(n+1)一般式，当公差为2时：kn-(kn+A)=-kn(kn+k)(kn+2k)-(kn-k)kn(kn+k)3k3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘+22(n+)-n(1_1_Jn(w+l)2an(n+)2nww+TjF-w2,(w+l)2fl(a-T)kn+ab+ak-b11放。杓a(M-b)%(+l)+bankn-bQ“左(+)+616.若a“=2I,数列也满足=丑二上
14、，也的前项和为7；,求7；anan+l【答案】11+(-r,-1H42w+l【详解】由题可得2=（7）=(-l)n+in,(-l)n+11(2w-1)(2/7+1)-42-1K,4H+E+c(4,+2川【详解】brt=所以(=4+8+”=-6($扑6($3+6S)(j击=-3+-(-Ifw+2v、17.已知/= ( + )e + 2)，若。=(2 + 3)(-1) alt,求出的前项和0.18.已知。“=2-1,bn=anan+lf求数列勿的前项和7；【答案】4=g(4l+6Ll)【详解】当2时，ana2-。“_必“。用=ananan42-aw,1)=6anan+i=6,因此，”=!(%?+必
15、”+2一4.陷”%+1)，之4=2(%见+a+2-。/3)=7/”+215),OA=2OOn115=3满足上式,则北=+4=2(。&+自+2T5)+aia2=-(2n-i2w+i2rt+3)-+3=-n(4n2+6z-l),bx*-26023所以4=gn(4n2+6n-1).19.己知。“=2-1,“=(T)Zj，求数列4的前项和1【答案】Tn =2n2+2n,n=2k,kN*-2-2w+1,w=2-1N*【详解】当n为偶数时，当ZJ为奇数时，当=1时，7；=-3当“3时，经检验，7；也满足上式，所以当为奇数时，Tn=-2n2-2n+综上，数列4的前项和4 =,2n2 + 2nin = 2k,
16、k & N*-2n2 -2w + l,w =2k-,k N*20 .已知勿二2-1,设G= (T)2 + 1(+1 + l)(+l),。为数列匕的前项和，证明：凡4【详解】cfr=(-y2n + l(.+i)(+i)= (-l)2 + 14( + l)w1+ -=(呜4l2n + l五L-I)(I1)是递减的，所以7Lz;412 + 1廿，4(wl)21 .己知a=3 ,若 hcn = - 4w2-1(wN),求数列。的前项和【详解】由也fj= 雪W(N), 4i2-1 V f4+ 4叩得 C = 3,(2w-l)(2w + l) = 3,-(2w-l) - 3w(2 + l)， 则数列。的前
17、项和为Illl3%d-313 + 313325+ , + 3,1(27-1)-3z,(2w + 1)1-3)4-1,=(-l)fl2,求数列出的前2+1项和岂anan+l【答案】【详解】8/7 + 1024w + 21“” .鬻=W.涓岛TW+4 一 1 4/7 + 3所以劣Z=4+4+,+%+l8/7+1038w+724n+222 .已知/+1=2，记(q+1)，=一，北为数列出的前项和，求7；.+n【解析】因为a+1)“=+2证明：4+4+ + 44=112,5+1)2+(zzl)Z,23 .已知q=，设=2q-2【详解】解：因为,二%+4=+4=1+42-q1q2W5+1)5+2)+1*
18、G+2)-11珀20w(+l)2n*,(n+l)(M+2),111-;.斗鼠+须+。)，=%+b2+b$F=2+364=366.26 .已知=2-1,记a=(TySr,求数列出的前30项的和金.【解析】S.J。+jf=2,所以=(7)S,=(T)W,所以7；O=-12+22-32+42+-292+302，、Jr27 .己知见=22”，设4=1,+=平在渺，求数列出的前2项和巴”.为偶数【详解】当为奇数时，bn+i=an=22t：则当为偶数时，+1=w.1,(2+2-2)(-1),=1+24rt3+iL=24n3+n2-n+1.2【题型6】倒序相加28 .“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他
19、的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数/a)*台，设q=i4=()+d讣/图+(阴。wW2),则4+%+0=.【答案】46【分析】先证/(%)+/(I-X)=2,由倒序相加法可得通项，然后可解.【详解】因为函数/(X)=Iog2卢的定义域为(OJ),设(x,y),N(x2,歹2)是函数y=f(x)图象上的两点，其中xl,x2(0,1),Kx1+x2=l,则有M+%=/(xl)+()=Iog2Pi-+Iog2=Iog2=2,-X-X?1(内+工2)+西”2从而当Xt(0,1)时，有：f(x)+f(-x)
20、=2,当2时，=/(/+/()+/JfL+/，%=+d卜+/(相加得2,=&(+(F)+卜g+/(一)卜一+卜(?卜/(扑2“-2所以q=-1,又q=l,1,=1所以对一切正整数，有%=(1、c；n-l,w2故有:q+g+/o=1+(1+2+341-9)=46.29.（2023江西南昌统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等等.己知某数列2w-51“,n26的通项=42一52,则/+/+%=（）1,n=26A
21、.48B.49C.50D.51【答案】D【分析】分离常数后可得%+%2i=2,再利用倒序相加法，即可求解.一、I42n-512w-52+l11【详解】当26时，an=-=1，2-522/1-522（-26）1I1Inan+jf=1+1+=2,522（/?-26）2（52-W-26）22* 41-4(3)=2+ +3 34-l（4）当n为偶数时，记n=2k,4+,-1则有=2&2+-3-,故7；当n为奇数时，记n=2kl则有 与 =Ik2+k +4a-1，故雹=3,2 + 224,n = 2k故 7；=2023,求的最小值.【分析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出S2*l) +8(4-1) 进
22、而得出*-k(k + ) 24*-8,求解即可得出答案：解法三：分组求和得出$21 =3%(A + 1) I 2x45求解即可得出答案.【详解】解法一：=(1+2+3+4+5)+(23+25+27+29)=15+680=6952023；又可0,则S”S用，且Sg2023Sm所以的最小值为10.解法二：4WN时，S2k=ai+a2+a3-a2k伏+1)I8(4JI)s2k-l=s2k-a2k =A(A+1)I24*-8所以S9=S2x5,i=半+-8=6952023，又见o,则S,S/,且S92023品，所以n的最小值为10.解法三：当AK时，S21=q+2+%+%E2I1-4所以Sg=-=竽+
23、耳理=6952023.又见0,则S”S向，且Sg2O234IJ=4+4+4+4+%+%f(注意到本例求解的Q为偶数项和，代入最后一项7=(-)fl一定是正，故不需要讨论)12-12n+)al+a3=a5+a7=a9+all=2.从第二个式子开始，相邻的两个式子相加得：把以上的式子依次相加可得：=78.36.已知勺=37，若1=(T)log3ll,求数列4的前项和小为偶数【答案】北=2-上,为奇数2【详解】=(-l)log3an=(T)(+1)故当为偶数时，Tn=(-2+3)+(-4+5)+.+-n+(w+l)=y当为奇数时，Tn=(-2+3)+(-4+5)+(+1)=(+1)+3?为偶数=，所
24、以I=J,24渺r2n+3为奇数t37.已知数列,中，q=2,(%+-q)=4+1.(1)求证：数列1铝j是常数数列；(2)令”=(T)Z,S”为数列帆的前项和，求使得Sz,-99的的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)最小值为67.(1)由(4川一4)=%+1得：。e=(+)+,即缶=%,(L)M=+L-一二，即有4畔=L.数列-4是常数数列：w+1nnn+1nnJ(2)由(1)知：=a1+1=3,/.an=3n-1,.bn=(-1)(3-1)l3-1,为偶数即a=1(3-1),为奇数，二.当为偶数时，,=(-2+5)+(-8+1l)+-(3z-4)+(3n-l)=y,显然SA-99无解
25、;当为奇数时，St=ST-用=岑D-3(+l)-l=-等，令0-99,解得：66,结合为奇数得：的最小值为67.38 .己知数列%的前项和S“，1=l,an0tanan+,=4Sn-.计算的的值，求S/的通项公式；(2)设。=(T)ZMr.I，求数列也的前2项和以.【答案】(1)%=3,an=2n-七=4(2+l)51,w=1【分析】(1)根据c、,作差得到q+2一q=4,再根据等差数列通项公式计算可得:AIfT，22(2)由(1)可得blt=(-1)*(2-1X2+1),利用并项求和法计算可得：【详解】(1)解：当=】时，aia2=4al-lt解得=3,由题知=4S,-1，/qf+2=4Sf
26、j.-l，由-得。7(/2-)=4,M,因为%O,所以。足-4二4,于是：数列”的奇数项是以q=l为首项，以4为公差的等差数列，即*=1+4(-I)=43=2(2-1)-1,偶数项是以4=3为首项，以4为公差的等差数列，即a2n=3+4(-1)=4/2-1所以%的通项公式=2-1；(2)解：由(1)可得，=(T)(2-1)(2+1),72n=(+)(+)+,+(-+%“)=43+7+(4/-1)=4+j”=4(2+1).39 .已知见=6-J-1,3=(I)_,求的前64项和Q.【答案】他的前64项和Q=8.【详解an yjn -yn-=(-i)rt(+7i),.的前64项和Q=8.【题型9奇
27、偶数列求和重庆一中月考40.已知数列可满足 =2 , an+l黑黑普若+%(f),求.【答案】2+3-3w-8伍+1,为奇数，【详解】证明：勺+1=+他题,设=%f+l2勺,为偶数.+=a2,l+2+1=(%+1)+1=+2=2a2n+2=2(a2n+)=2bnf又4=4+1=(+1)+1=4工0常L=2,.4为以4为首项，2为公比的等比数列.=n+=42rt-l=r,.a2n=r+i-,又”2Jl=271,=2的2,所以$2”=(q+03+45+-.+02/1-1)+(42+44+46+-.+02”)4(l-2n)1-2-2n4(l-2n) n 1-2= 2+3-3-8.2021新高考1T1
28、7(、IX+1,为奇数求%的前20项和.4b已知数列间满足“九+2/为偶数【答案】300.【详解】。2m=4”+2,。2/2=2+|+1，设所以。2/2=。2+3,即&=5+3,且A=%=%+1=2,所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是4=2,4=5,=3-1=2x(V)x1Q_10=300224-I,当为奇数时42 .(广东实验中学校考)已知数列4满足。川=I,八必出/里用叶，且%的前100项和+3),当为偶数时Su)O=3775(1)求/的首项;(2)记=!,数列的前项和为小求证：Tn.a2n-la2n2【答案】(IM=I(2)证明见解析【分析】(1)分为奇数和为偶数两种情况进而讨论
29、即可求解；(2)结合(1)的结论，利用裂项相消法即可求解.【详解】(1)当为奇数时，=2qr-l=2x；Qt_+3)-1=。”+2：则偶数项构成以2为公差的等差数列，所以当为偶数时，an=a2+n-2；当n为偶数时，%=；(%+3)=(2%-1)+3=3+1,则奇数项构成以1为公差的等差数列，一1所以当为奇数时，an=1+-,6+L当为奇数时则a”=J2,又。2=2%-1,a2+-2,当为偶数时所以S100=(1+a3+99)+(a2+a4+0loo)=15Oiz1+3625=3775,解得，“1=1.3(2)由(1)得，2b,i=n,a2n=2n-fTi=bl=-,11IIfl当22时，bn
30、=-7-TT=-_,n(2n-)n(2n-2)2n-n)3_2【题型10隔项数列求和(一般并项求和)43 .已知数列4满足q=1,%+%=4，则S100=【答案】10000【详解】数列q满足q=1,qt+q1=4，因为q=l,。用+%=4，所以，*S,100=(1+2)+(3+4)+(9oo)44 .若数列凡的前项和为S”，且外川+。“=2,则SH)=()A.684B.682C.342D.341【答案】B【分析】根据等比数列求和公式以及并项求和法得出结果.【详解】。2+%=2：4+3=23,a6+a5=25,a8+7=27,+=29,所以Sg=223+2$+2+29=2x0-)=682.1-4
31、45 .(深圳一模)记Sz,为数列%的前项和，已知为+%=4-2,q=4求S”.”rq=1/+?当为偶数时一门一2+2,当为奇数时【详解】解：b.i+=4(-1)+2=-2当n为偶数时,(6+4-2)2Sn=(6+。2)+(%+%)+(%-+%)=+，fj当n为寺数时，力(”.+(34+三0；二2)/+2.综上所述,/+,当为偶数时/+2,当为奇数时【题型11】和为等比数列求和46 .已知数列也中,4=1也+%=2TwM,求数列&的前n和.2.In2【杏案】4.939变换下标，写成%,求通项 思路点拨：根据题意：+1=2rt,可推出a4+4.2=2,两式作差+2 一”=27累加2累加，得az,
32、-b2=4(4-l)(2)2M= (4 TT) Sl)求和222所以数列b2n的前n和为&+打”二4”一T1347 .己知数列(满足%+2=2%+3%,al=-,a2=-(1)求见的通项公式.(2)若数列见的前项和为5”，且为(+sJ2-7(wN)恒成立，求实数;I的取值范围.14【答案】(1)%=7x31,(2)-Z01再构造数列卜”-gx3小,求解首项分析即可;【分析】(1)将见+2=2(+34两边同时加。用，结合等比数列的定义证明可得/.+%=23z,1/rIn-I根据等比数列的前项公式可得sr。1)，参变分离可得了丫的单调性求解最大值即可.【详解】（1）由%+2=2zt+3为可得。2+%+1=3/+3%=3（/+%）,且2+%=g+=2,故+4+J是以2为首项，3为公比的等比数列，故+=23i,所以见+-3x3=-1/-gx3）,又q-gx3i=0,故a”+1一；x3=-1-g3）=（,-g3）=.=0,即a=gx3”(2)由a“=x3”“为等比数列，故Si(1r)lv1x,2S=-=l(3T)故/l(；+sJ2一7(N)即q/ZUN*)恒成立，求与二的最大值即可.设a =W?-Ge N，）,w+1-
