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1、4.2.1等差数列的概念【题型归纳目录】题型一：等差数列的判断题型二：等差数列的通项公式及其应用题型三：等差数列的证明题型四：等差中项及应用题型五：等差数列的实际应用题型六：an=am+(-?)的应用题型七：等差数列性质的应用题型八：等差数列中对称设项法的应用【知识点梳理】知识点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.知识点诠释：公差4一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求：共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d(即公差)；符号语
2、言形式对于数列4,若4-*=d(N,n2,d为常数)或生+-q=d(N*,d为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差.知识点诠释：定义中要求“同一个常数d”，必须与无关.等差中项如果,A,6成等差数列，那么A叫做。与人的等差中项，即A=色3.2知识点诠释：两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数,。的等差中项存在且唯一.三个数,A,人成等差数列的充要条件是A=T.2知识点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为4,公差为d的等差数列的通项公式为：an=al+(n-l)d,nwN推导过程：(1)归纳法：根据等差数列定义q,-4d=d可得：afl=%+d,所以4=
3、4+d=q+(2-1)4,03=q2+d=(4+d)+d=a1+2d=4+(3-l)d,q=6+d=(4+2d)+d=4+3d=4+(4l)d,当=1时，上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为：凡=4+(-1)4(2)叠加法：根据等差数列定义为-4=d,有：a2=d，a3-a2=d,a4-a3=d，把这-1个等式的左边与右边分别相加(叠加)，并化简得q,-q=5-l)d,所以q=4+(-IM.(3)迭代法：所以q=4+(-l)d.知识点诠释：通项公式由首项4和公差d完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了.通项公式中共涉及4、d、勺四个量，已知其中任意三个量，通过
4、解方程，便可求出第四个量.等差数列通项公式的推广已知等差数列”)中，第m项为勺，公差为d，则。“=4+5-m)d.证明：因为=a1+(一l)d,am=ai+(m-V)d所以4-am=ax+(n-)d-a+(n-)d=(n-ni)d所以%=am+(w-tri)d由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式.%=q+(-Dd可以看成是W=I时的特殊情况.知识点三、等差数列的性质等差数列中，公差为d,则若2,p，4,且机+=p+q,则品+%=。+%，特别地，当?+=2p时4+。=2%,.下标成公差为，的等差数列的项唳，4.2m，组成的新数列仍为等差数列，公差为以.若数列出也为等
5、差数列，则仇4,kanb,（k,b为非零常数）也是等差数列.ay+a2+03,a4+a5+a6,a1+a8+a9,仍是等差数列.数列伊凡+斗（4b为非零常数）也是等差数列.【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a-d,a+d,公差为2d；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a-d,a+d,公差为d;3、四个数成等差数列且知其和，常设成a%,ad,a+df+3d,公差为2d.【典型例题】题型一：等差数列的判断例1（2023高二课时练习）已知数列q是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（）%。+-34+lM1A.1B
6、.2C.3D.4【答案】C【解析】设%的公差为d,对于,a2（11+l）a2n2n+2a2nM%,是等差数列，故正确；对于，（q+4,+J-（+q）=rt+-4=R,。“+。同是等差数列，故正确；对于，34+1-（3*+1）=3（4-%）=3,3+l是等差数列，故正确；对于，若4二-5,则|=|一5|不是等差数列，故错误；故选：C.例2.（2023湖北孝感高二校联考期末）设7；是数列4的前项积，则”,=3”是“q是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若北=3,则q=3：当2时，q=?=条=3.所以，对任意的N,可=3,则q=
7、0,此时，数列q是等差数列，故U=3”能得出”4是等差数列”;若”4是等差数列“，不妨设q=，则7；=3”，即”4是等差数列不能得出骞=3”.所以Z=3。”是“凡是等差数列,的充分不必要条件故选：A.例3.(2023重庆高二统考学业考试)下列数列中等差数列的是()A.an=3w+lB.an=3d+1C.an=log2n+l【答案】A【解析】对于A,向-4=3,相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B，-q=3-3=2x3，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C,art+1-n=Iog2(+1)-log2=Iog2,相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A变式L(2023广东惠州高二统考期
8、末)在数列q中，若(/2,旷,为常数)，则称凡为“等方差数列“，下列是对“等方差数歹广的判断：若应是等方差数列，则忖是等差数列；卜-1)”不是等方差数列；若也是等方差数列，则%(&eN,&为常数)也是等方差数列；若%既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为()A.B.C.D.【答案】A【解析】6是等方差数列，片-3=p(。为常数)得到d为首项是Y，公差为P的等差数列；故正确数列(一1)中，d-3=(T)吁-(T)12=O,所以(-1)”是等方差数列；故不正确因为4是等方差数列，所以嫌+1-嫌=嫌+2-成+1=i)-+ih=P*把以上的等式相加，得(+l-)+(+2-1
9、的等比数列是严格递增数列；数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数；在平面直角坐标系中，表示数列的图象是一些离散的点；数列2n是等差数列.其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】对于，对于数列氏=-2，夕=2时，有q=-2,a2=-40,48=4+2勺.求数歹式。”的通项公式.【解析】当=1时，4q=a；+2q,整理得：=2q,40,解得q=2：当2时，45“=片+2/，可得4S=3+2%，一得44=播-+2art-2art-1,即(a：-)-2(n+an,l)=0,化简得(4+%)&-%-2)=0,因为%0，4+,0,所以从而q是以2为首项，公差为2的等差数
10、列，所以4=2+2(-1)=2.变式6.(2023高二课时练习)等差数列4中，已知&=。=9,求首项片与公差；(2)已知生=9,9=3,求通项凡.【解析】(1)由已知可得4IQ，解得L%=+6d=19d=3%=6+2d=9,a.=11(2)由已知可得3Q,解得11q,=q+8d=3J=-I所以，an=a1+(w-l)=ll-(-l)=-rt+12.变式7.(2023全国高二课堂例题)已知等差数列10,7,4,.(1)求这个数列的第10项；(2)-56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.【解析】(1)记数列为%,则由题意知q=10,d=7-10=-3,因此数
11、列的通项公式为4=10+(l)x(-3)=-3+13.当71=10时,w=-3l+13=-17,因此第10项为-17.(2) -56是数列的第23项，-40不是数列中的项，理由如下：设-56是数列中的第项，则一3+13=56,解得=23,所以-56是数列的第23项.设-40是数列中的第项，则-3+13=T0解得=5，由此可知-40不是数列中的项.变式8.（2023高二课时练习）等差数列“中，4=23,公差为整数，若%。，为0,a1023J23=dai+6J2qt7=qj+.2Un-%7=M-4.2,所以a“-a“-i=-!-n-2=an-2-an-3=%-6.因此，从第2项起，每项与它的前项的
12、差都相等，所以%是等差数列.例8.（2023全国高二专题练习）在数列叫中4=4,natt+l-（n+）an=2n2+2nf.求证：数列如是等差数列;【解析】FYMM=*2的两边同时除以水+D,得黑吟=2,数列2是首项为4,公差为2的等差数列n例9.（2023高二课时练习）已知/W=鸟，若4=1，且4川二4）（为正整数）.写出数列q的前5项；证明，4是等差数列，并求lan【解析】（1）由己知条件得勺“=/0）=乌）=也土?=2-一二，。”+2an+24+2C42C4142r41即生=2=,4=2-=4=2-=-a5=2-+23+226+254+23故数列4的前5项为1,y,g-=-其中首项为;二
13、,*an2anan24是首项为1,公差为;的等差数列，qj21.=+1(w-q=LL1In2、22,F变式U.(2023甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习)己知数列可满足4=2,且n=2dw+2z,N设啜，证明：数列间为等差数列；(2)求数列叫的通项公式.【解析】因为_=2勺+2向，所以符哆=1,即%也=1，且乙号=1,所以数列也是首项为1、公差为1的等差数列.由(1)知=爰=，所以数列”的通项公式为%二小2.41变式12.(2023高二课时练习)数列应满足=4,a=4-(n2)t设=一.cln-an数列也是等差数列吗？试证明；(2)求数列an的通项公式.【解析】(I)数列也是等差数列.4
14、力=证明如下：由已知可得，J=4一一,则向azf+1-24-22凡-4,凡所以勿+小仇=J“4=I.2q-4an-22an-42所以数列低是等差数列.(2)由(1)知，数列是等差数列，首项伉=77=4,公差”=4.4zz2所以勿=4+(_1)4=:+TST)=，1 n2所以，一=彳，所以q=一+2.a-2211变式13.(2023江苏扬州高二校考阶段练习)己知数列“满足N=%f9(wN),且q=3.a十(1)求生03,”4；(2)证明：数列是等差数列.U-2J【解析】（1）因为凡川=丁万（2，4=3十，146出一4864一418（2）因为。”+1-(w N), 4+2)所以勺+1_2 二 6q
15、-4 2 = 6%-4-2%一4 二 4%-8 q + 24 + 24+2则 = 9.-2 + 4,+ , j.-2 也一8 4(an-2) 4 q2又4=3,所以一L7二1，1-2所以数列3是首项为1,公差为!的等差数列.l-2j4变式14.（2023海南高三海南中学校考阶段练习）已知数列q满足：=1,且4+=7（1）求证：B-是等差数列，并求q,的通项公式;（2）是否存在正整数如使得%n=2%,+l,若存在，求出机的值；若不存在，说明理由.a1-2anICIlC【解析】（I）由4+=r-,得=-=一一2,=-21-2%an+iananan+ian又=1,数列重-是以1为首项，-2为公差的等
16、差数列4辙“/.=l-2（n-l）=-2+3/.an=-“3-2I2（2） a2m=2an+t=+3-413-2m则2/一6?+3=0,解得W=注叵，不符合题意2不存在正整数册,使得=2am+1.变式15.（2023河南郑州高二校考阶段练习）己知数列满足4=2MN=武丁.（1）求证：数列,是等差数列；（2）求数列%的通项公式.【解析】（1）证明：数列”满足4=2,%+尸号.两边取倒数可得：=2+,即一-1=2,凡“an4+1an数列是等差数列，首项为5=3,公差为2；,IIC/4-3（2）由（1）可得：一=?+2（-1）=,Ofl2解得4=丁二.4一3【方法技巧与总结】证明等差数列的方法（1）
17、定义法4+1-4=（汗）或4,一4_=d（2,eN）=数列f,是等差数列（2）等差中项法2”“+1=a”+a“+2（GN）o数歹J6为等差数列（3）通项公式法数列小的通项公式形如q=P+（7（，g为常数）=数列/为等差数列.题型四：等差中项及应用例10.（2023陕西渭南高二统考期末）在等差数列q中，已知q+%=10,则/二【答案】5【解析】由等差数列的性质得4+%=24=10,=5,故答案为：5.例IL（2023高二课时练习）（+bp与（-b）2的等差中项是.【答案】a2+b2b2-a2【解析】设（+Z与（a-Z的等差中项是A,则A=S+b）（a-娟”、从2故答案为：a2+b2例12.（20
18、23甘肃白银高二校考期中）己知等差数列%满足q=4,%+/=4+l,则=.【答案】-2【解析】在等差数列“中，/+as=。：+1，又+生=24,/.24=42Z=W，则 4=【答案】I211【解析】因为数列优满足一 =+52）,兀 匕一1/r+l+l,解得q=1,又4=4,而4+生=2/，解得生=-2.故答案为：-2.变式16.（2023山西大同高二山西省浑源中学校考期末）有穷等差数列凡的各项均为正数，若2023=3,则+y-的最小值是.02OZfl2O463【答案】44【解析】由2%023=出000+出次=6,且为0,则2+；=：（生须+。由）（2+；）=:+吗+冷）2 +1 - 6-“2O
19、OU%（M6a2（KK），”204=4.5,所以春分当日日影长为=g（q+/。）=7.5.故选：D例14.（2023四川绵阳统考三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的屏长损益相同（客是按照日影测定时刻的仪器，署长即为所测量影子的长度），二十四节气及髻长变化如图所示，相邻两个节气卷长减少或增加的量相同，周而复始.已知雨水的悬长为尺，立冬的易长为尺，则冬至所对的唇长为（）A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】B【解析】设相邻两个节气注长减少或增加的最
20、为d（dO）,则立冬到冬至增加3d,冬至到雨水减少4d,冬至(x-4d=9.5,J=Ill.5+3d=*1x=13.5故选：B.例15.（2023重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”L,以此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲重新开始，即“甲戌”，乙亥”，然后地支回到“子
21、”重新开始，即“丙子”L,以此类推.今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是（）A.壬酉年B.壬戊年C.辛酉年D.辛未年【答案】D【解析】90=10x9所以90年前的天干为辛，90=12x7+6所以90年前的地支为未，所以重庆一中建校的那一年是辛未年，故选：D.变式19.（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨市第一中学校校考三模）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展”创业技术培训I”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列M（单位万元，N）,每年开展“创
22、业技术培训I”投入的资金为第一年创业资金的3倍，已知+=72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A.72万元B.96万元C.120万元D.144万元【答案】C【解析】设等差数列q的公差为d,由题意可知，五年累计总投入资金为：a1+%+eh+a4+a5+5仓由%=20a1+IOd=IOtz1+0a2=10（a+4）,因为,+%2=72,所以10（q+4）=lQ（%+%）2?1帅；十七2）120,当且仅当4=%时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.变式20.（2023江苏苏州高二统考期末）单分数（分子为L分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及
23、数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和.例如=g+七，4+,现已知i可以表示成4个单分数的和,其中X,y,Z是以101为首项的等差数列，则y+z的值为（）A. 505B. 404C. 303D. 202【答案】A21【解析】根据题中拆分后分数的特征以及三分出结果中含/，对分母增大倍数进行拆分，即得结果.依1Ol606题意，拆分后的分数，分了都是I,分母依次变大，又中含，101606xyz6064,八”.r.211111113jIlJ分网牛女I卜：=H=H+=H+101101101101202202101202606112111111012026066061012023
24、03606,又X,Z是以101为首项的等差数列，故X=IOI,y=202,z=303.故y+z=202+303=505.故选：A.变式2L（2023重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习）“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理现有如下一个整除问题：将1至2021这2021个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列/,则此数列共有（）A.133项B.134项C.135项D.136项【答案】C【解析】能被3除余1且被5除余1的数就只能是被15除余1的数，故4=15-14,ln2021,得1“135,XnN+,故此数列共有135项，
25、故选：C.【方法技巧与总结】（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现.题型六：a”=atn+（/?-m）d的应用例16,（2023全国高二单元测试）（1）在等差数列“中，己知见=10,12=31,求首项可与公差出（2）已知数列“为等差数列，%=8,60=20,求生一【解析】（1）等差数列4的公差
26、为d,6 = 10, al2 =31,则,4=-2d = 3这个等差数列的首项 =-2,公差 = 3.（2）设等差数列4的首项为4,公差为d,则由题意得a. +14(/ = 8, i+59d = 20,解得64 %二百 4,15ig75 =ai +74 J =1515例17.（2023全国高三专题练习）在等差数列6,中，已知 = 10MO = 4,求生及.【解析】因为数列”是等差数列,故可得d = 又因为7 = a4 + 3d = 10-3 = 7 .故= 7 ； / = -1.例18. （2023全国高二课时练习）已知数列6,为等差数列，且公差为d.(1)若%=8, 60 =20 ,求/5的
27、值;(2)若生+4+=34 , a2a5 = 52 ,求公差【解析】（D由题意得+14d = 85卯= 2。,解得64a.=115故qos=4+lO4dd = -15644+ 104-= 32.1515所以 4o5=32.(2)由生+/+4+。5 =34,得2(4+织)=34, a2+a5 = l.w + =17一，解得 生火=52134,：.d = %二4或 %二13-13-45-23=3 或 d =5-23所以公差d为3或-3.变式22.（2023全国高二课时练习）在等差数列4中:（1）已知4=6,%=16,求首项与公差出(2)已知%=2O,o=T,求一%+4。=6【解析】（1）由题意得4
28、+6d=16解得=-14,4=5（2）设等差数的公差为d,则由题意得j=.Z.=1720=-310-37所以4s=3+12d=20+12x（-3）=T6【方法技巧与总结】灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1,%=%+（-仇/即变为4=q+5-l）d,可以减少记忆负担.题型七：等差数列性质的应用例19.（2023.安徽马鞍山高二统考期中）等差数列“中，若2%+%=18,则%+3&的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B【解析】令q的公差为d,则2%+%=2（4+24）+4+84=3+124=18,即4+4J=%=6,则a2+3%=a2+a4+a+ai=24+%+%=18+6=
29、24.故选：B例20.（2023西藏拉萨高二校考期中）已知,是等差数列，/+%=80,则等于（）A.48B.40C.60D.72【答案】B【解析】根据等差数列性质计算可得%+%=2%=80,解得3=40；所以可得=2%-%=%=40,故选：B例21.（2023甘肃嘉峪关高二统考期末）若方程（Y-2*+m）（f-2x+）=0的四个根组成一个首项为:的等差数列，则仙一斗二（）3A.1B.-4C.ID.I28【答案】C【解析】设方程，-24+m），-2工+#=0的四个根为公为，0%，则X+工2=+x4=2,XX2=W,X3X4=,又因为方程卜2-2彳+?），-2/）=0的四个根组成一个首项为；的等差
30、数列，1 7设玉=1,所以W=；，7I3设等差数列的公差为d,则3d=%-11357解得d=g则等差数列为;2 4444i715所以相=7=77,IoIorlll17151Ml-1=-=-,故选：c变式23.(2023北京高三校考阶段练习)已知等差数列q单调递增且满足2+%=6,则&的取值范围是()A.(y,3)B.(3,6)C.(3,+oo)D.(6,+)【答案】C【解析】因为q为等差数列，设公差为d,因为数列4单调递增，所以d0,所以q+%=a3+a6=2a6-3d=t则2%-6=3d0,解得：&3,故选：C变式24.(2023,广东广州统考二模)首项为-21的等差数列从第8项起开始为正数
31、，则公差d的取值范围是()A.d3B.d-C.3d-D.3d-222【答案】D【解析】an=-21(w-l)d.,从第8项起开始为正数，.,.a7=-21+60,7解得3Vd.故选：D.变式25.(2023上海虹口高二校考期末)已知函数/(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列血是等差数列,o,则)+f3)+3)+o2o)+G)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为OD.可正可负【答案】A【解析】因为函数/S)是R上的奇函数且是严格增函数，所以f(0)=0,且当“0时，/U)0；当XVo时，,故/(4m)0再根据q+=2110,所以4-%,则)/(-)=-()所以/(4)+%)0同理可
32、得/(%)+(%O2)O,/()+(9),L,所以f(q)+f(电)+f(4)+(2)+(21)=/(1)+/(21)J+1/(，)+/(2020)+l)+/(02)/()0,故选：A.变式26.(2023辽宁高三校考阶段练习)已知数列q为等差数列，且4+%+%=4乃，则tan(+%)=()A.3B.-立C.-3D.立3 3【答案】C【解析】因为数列叫为等差数列，且4+%+%=4乃所以4+区+佝=3%=4万，解得=彳，所以tan(%+7)=tan2a5=tan竽=tan(3;T-=-tany=一有.故选：C变式27.(2023高二课时练习)设为正项等差数列q的公差，若d0,%=2,则下列结论错误的是().A.a2
