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1、专题10解析几何专题（新定义）一、单选题1. （2023春浙江高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系XOy中（O为坐标原点），把到定点月（-c,0）和5（GO）距离之积等于c2（c0）的点的轨迹称为双纽线，记为八已知几）为双纽线-上任意一点，有下列命题：双纽线的方程为（V+）,2）2=2c212一y2）；面积最大值为g02；./先日；PO的最大值为c.其中所有正确命题的序号是（）A.B.C.D.222. （2023春四川达州高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆二+多=l（qbi）中长度为整数ab的焦点弦（过焦点的弦）为“好弦则
2、椭圆工+工=中所有“好弦”的长度之和为（）259A.162B.166C.312D.3643. （2023秋湖南郴州高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A（1,y）,8（2,%）,定义两点间距离”为d（A8）=-x2+y-必|，则平面内与X轴上两个不同的定点耳,名的“距离”之和等于定值（大于或耳,鸟）的点的轨迹可以是（）4. （2022江苏高二专题练习）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆
3、称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：*+=l（qb0）的蒙日圆方程为丁+/=+，F,B分别为椭圆C的左、右焦点.离心率为乎，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P,。两点，若面积的最大值为36,则椭圆C的长轴长为（）A.25B.45C.23D.4布5. （2023全国高三专题练习）加斯帕尔蒙日（图1）是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称)D. 66. （2021秋.四川成都.高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两
4、焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）22222222.Xy1DXV-IC尸y_1Cy1A.+=1B.+=1C.+-=1D.+=1843562697. （2021春上海闵行.高二闵行中学校考期末）若曲线/（x,y）=0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）A. x2 + y-l = O8. -4-yr+l=O9. x2+y2x|x|-1=OD.3x2+1=O8. (2021辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)在平面直角坐标系中，定义X+H称为点Pay)的“b和”，其中。为坐标原点，对于下列结论：(1)6和为1的点P(X
5、J)的轨迹围成的图形面积为2；(2)设Q是直线2x-y-4=0上任意一点，则点P(x,y)的“b和”的最小值为2；(3)设P是直线-丁+人=0上任意一点，则使得“b和”最小的点有无数个”的充要条件是。=1；(4)设尸是椭圆/+f=1上任意一点，则“6和”的最2大值为6.其中正确的结论序号为()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)9. (2022秋四川成都高二成都外国语学校校考期中)若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点小鸟的距离之比为2:1,且存在则称此椭圆或双曲线存在C点”，下列曲线中存在“C点的是()A.Lf=IB.+t=1C.=1
6、D.-21=363216155415210. (2022秋广西钦州高二校考阶段练习)已知椭圆C:二+V=I的焦点为耳、F2,若点尸在椭圆上，且4满足PO2=PKP用(其中。为坐标原点)，则称点尸为“”点.下列结论正确的是()A.椭圆C上的所有点都是“”点B.椭圆C上仅有有限个点是“”点C.椭圆C上的所有点都不是“”点D.椭圆。上有无穷多个点(但不是所有的点)是点11. (2019秋北京高二北京市第十三中学校考期中)己知两定点M(T,0),N(l,0),若直线上存在点P,使IPMl+1PNI=4,则该直线为“A型直线”，给出下列直线，其中是“A型直线”的是()，=x+1；丁=2；y=-x+3；y
7、=-2x+3A.B.C.D.12. (2017春吉林高一统考期末)已知平面上一点“(5,0),若直线上存在点P使IPM4,则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是()4y=x+l;y=2;y=g%;y=2x+l.A.B.C.二、多选题13. （2022秋福建厦门高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新痴.设计师的灵感来源于曲线CkF+1W=I.其中星形线Rw庙=1常用于超轻材料的设计则下列关于星形线说法正确的是（）A. E关于y轴对称B. E上的点到K轴、y轴的距离之积不超过:C. E上的点到原点距离的最小值为!D.曲线E
8、所围成图形的面积小于214.（2022全国高三专题练习）已知曲线C的方程为尸1,y）=0,集合T=（%,y）l尸（,y）=O,若对于任意的（4凹）丁，都存在（七,当）丁，使得王超十,必=。成立，则称曲线C为E曲线.下列方程所表示的曲线中，是2曲线的有（）22A.、+、=1B.x2-j2=lC.y2=2xD.IM=W+115.（2021秋河北保定高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线C上存在点P,使点尸到点A（3,0）,8（-3,0）的距离之和为10,则称曲线C为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线的是（）A.x+y=5B.X2+y2=9C. +-=1D.x2=6y25916. （2021秋
9、辽宁高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段A8长度为2%动点M满足MAMB=/,那么M的轨迹称为双纽线.已知曲线C:7+（y-l）27+（y+l）2=1为双纽线，下列选项判断正确的是（）A.曲线C过点（0,0）B.曲线C上的点的纵坐标的取值范围是卜,C.曲线C关于X轴对称D. P为曲线C上的动点，A8的坐标为（M）和（0,-1）,则JB面积的最大值为217. （2021秋江苏南通高二江苏省包场高级中学校考期中）黄金分割比例叵口具有严格的比例性、艺术2性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例.我的椭圆称为黄金椭圆，则以下说法正
10、确的是(A.22椭圆5+看T是“黄金椭圆B.若椭圆事+A=l(bO)的右焦点为/(G0),且满足从二四，则该椭圆为“黄金椭圆”abC.设椭圆f+=l(bO)的左焦点为八上顶点为&右顶点为A,若NAB尸=90。，则该椭圆为“黄cb金椭圆22D,设椭圆+与=1(。60)的左、右顶点分别是4，&左、右焦点分别是尸2,若忧用2=I3,ab则该椭圆为“黄金椭圆三、填空题18. (2023春北京高三北京市陈经纶中学校考开学考试)卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：工+f=l(x-2),O为坐标原点,点41,0),点P为卵圆上任意一点,则下列说法中正确的是.x+24f卵圆C关于X轴对称卵圆上不存在
11、两点关于直线X=；对称线段尸。长度的取值范围是口,2(9AP的面积最大值为119. (2023高二课时练习)在平面直角坐标系中，A(T,0),B(l,0),若在曲线C上存在一点P,使得NAPB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为.(填序号)f=4y；A+=1；V-)3=；(x-2)2+(y-2)2=4；3x+4y=4.20. (2023秋广东茂名高二统考期末)法国数学家蒙日(Mozge,1746-1818)发现：双曲线=力0)的两条互相垂直切线的交点户的轨迹方程为：x2+y2=a2-h2f这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线-y2=(o)对应的蒙日圆方程为/+y2=3,则。
12、=21. (2023全国高三专题练习)一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是.(填写序号)(1)任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；（2）与抛物线对称轴不平行、不共线的射线不能被该抛物线覆盖;（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.22. （2023全国高三专题练习）定义：点尸为曲线L外的一点，AB为L上的两个动点，则/APB取最大值时，NAP8叫点P对曲线L的张角.已知点尸为抛物线Uy2=44上的动点，设对圆加
13、：。-3）2+了2=的张角为凡贝hosO的最小值为.23. （2022全国高二专题练习）在平面直角坐标系Xoy中，点M不与原点。重合，称射线OM与/+产=4的交点N为点M的“中心投影点”，曲线V-1=1上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是24. （2020浙江高二期末）把椭圆C的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆的长轴、短轴，使椭圆C变换成椭圆C,称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆G（i=0,12A）“压缩”成椭圆Cr,得到一系列椭圆G,C2,C3,.当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆Co经过（3）次”压缩”后能终止，则椭圆CH的离心率可能是巫，巫，在
14、，包中的.（填写所有正确结论2533的序号）25. （2018北京高二统考期末）己知两定点M（-2,0）3（2,0）,若直线上存在点尸,使得|加|+|8|=6,则该直线为“7型直线，.给出下列直线,其中是“T型直线，的是.y=x+2y=3y=r+3y=gx+326. （2017河南漂河】累河高中校考三模）平面直角坐标系中，A（-l,0）,8（1,0）,若曲线C上存在一点尸，使B4P80,b0）为黄金双曲线.如图是双2a2b曲线（一=1（0,60,。=/+从）的图象,给出以下几个说法：双曲线/-室二二1是黄金双曲线；5+1若从=加，则该双曲线是黄金双曲线；若B,尸2为左右焦点，A/,4为左右顶点
15、，B（O,b）,&（0,4）且NBBM2=90。，则该双曲线是黄金双曲线；若MN经过右焦点尸2且MN_LBB,NMoN=90。,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为四、解答题1 （ZO）,如果满足“2b=a+c”,则称此椭圆29. （2022全国高三专题练习）焦距为2c的椭圆:+=ab为“等差椭圆如果椭圆厂:%却（4Q。）是“等差椭圆”,求:的值;（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，。为P关于原点。的对称点（Q也异于A）,直线AP、AQ分别与X轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由.30. (2022高二课时练
16、习)已知椭圆：二+=1(。2),点A为椭圆短轴的上端点，尸为椭圆上异于A点al4的任一点，若产点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.(1)若a=5,判断椭圆r是否为“圆椭圆”；(2)若椭圆是“圆椭圆”，求。的取值范围.31. (2021.四川四川省绵阳南山中学校考模拟预测)定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆=,椭圆G与G是“相似椭圆”，已知椭42圆C?的短半轴长为力.(1)写出椭圆C?的方程(用力表示
17、)；(2)若椭圆G的焦点在X轴上，且Cz上存在两点M,N关于直线y=2+l对称，求实数b的取值范围.32. (2020春上海青浦高三校考开学考试)我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C的距离，记作d(HC)(1)求点尸(3,0)到抛物线Ciy2=4-的距离d(P,C)；(2)设/是长为2的线段，求点集O=Pd(PJ)l所表示图形的面积.33. (2020秋上海杨浦高二上海市控江中学校考期末)已知抛物线P的焦点为FaO),准线/的方程为X=-L若三角形ABC的三个顶点都在抛物线P上，且E4+尸8+户C=0，则称该三角形为“向心三角形(1)是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标
18、分别为(0,0)和(1,2)?说明理由；(2)设“向心三角形ABC的一边AB所在直线的斜率为4,求直线AB的方程；(3)已知三角形A8C是“向心三角形”，证明：点A的横坐标小于2.34. (2011浙江台州高三阶段练习)已知对任意平面向量A8=(x,y),把48绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量A尸二(XCOSe-)，Sine,xsin6+ycosd),叫做把点8绕点A逆时针方向旋转。角得到点P.设平面内曲线。上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转E后得到点的轨迹是曲线/一丁=2,求原来曲线C的方程.35. (2022秋山东淄博高二统考期末)定义离心率是或二！的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆22222E：工+E=l(10m0)是“黄金椭圆”，则机=,若“黄金椭圆C:=+=l(oAo)两个焦10wab点分别为6(-，.0)、g(c,0)(c0),P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接尸M并延长交打尸2于点N,则借W=.36.（2021秋江苏苏州高二星海实验中学校考阶段练习）在平面直角坐标系皿），中，若点M不与点O重合,则称射线OM与圆Y+丁=J的交点N为M的“中心投影点”.4（1）点M（GJ）的“中心投影点”的坐标为；（2）曲线-V=上所有点的“中心投影点,构成的曲线长度是.
