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1、专题15导数的概念及运算知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：导数的概念题型二：导数的运算题型三：求切线方程题型四：求参数的值（XX）题型五；导数与函数图象题型六：与两曲线的公切线有关的问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2 .通过函数图象，理解导数的几何意义.3 .了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5 .能求简单的复
2、合函数（形如式r+b）的导数.【考点预测】1 .导数的概念如果当故一O时，平均变化率非无限趋近于一个确定的值，即言有极限，则称y=U）在X=Xo处可导，并把这个确定的值叫做V=）在尸刈处的导数（也称瞬时变化率）,记作逊或以缈.,.f（o+Ar）-f（小）即/（）=2*o,z.（2）当X=XO时，/Qo）是一个唯一确定的数，当X变化时，y=）就是X的函数，我们称它为y=U）的导函数（简称导数），记为）（或川，即）=y=Hm- xO(X+ x) f (x)x2 .导数的几何意义函数尸危)在X=X。处的导数的几何意义就是曲线y=(x)在点PaO,/Uo)处的切线的斜率,相应的切线方程为yZUo)=X
3、o)(X一次).3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数U)=c(c为常数)=o7U)=K(Q,0)f(x)=axaJ(x)=sinxf(x=COSXfix)=COSXf(x)=-Sin_x%)=优(a0且W1)f(x)=vlnaTU)=ex/()=SKr)=Iog融(。0且a)J(x)=nx=J4 .导数的运算法则若/任)，g(x)存在，则有:g(M=Z3;U)g()=F(X)0)+ZU)*()；f (x)女(x) f (X) W (无)o);cj(x),=cxl.5 .复合函数的定义及其导数一般地，对于两个函数y=/()和=g(x),如果通过中间变量小y可以表示成X的函数，那么称这个
4、函数为函数y=/()与u=g(x)的复合函数，记作y=AgCr).(2)复合函数y=(g(x)的导数和函数y=/()，=g(x)的导数间的关系为W=H2，即y对X的导数等于y对的导数与U对%的导数的乘积.【常用结论】1/(刈)代表函数Ar)在X=XO处的导数值；(/U)是函数值大刈)的导数，则(m)=O.11f(x)3 .曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4 .函数y=/a)的导数/(%)反映了函数yu)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小/()反映了变化的快慢，任)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【方法技巧】1 .求函数的导数要
5、准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2 .抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3 .复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.4 .求曲线在点Pa0,)处的切线，则表明尸点是切点，只需求出函数在尸处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点尸处的导数不存在，则切线垂直于X轴，切线方程为X=5 .求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.6 .处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组
6、)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.7 .利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.二、【题型归类】【题型一】导数的概念【典例1】已知函数(X)=-4.9x2+6.5x+10.计算从X=I到尸l+x的平均变化率，其中x的值为2；1；()0.1；0.01.根据(1)中的计算，当Ar越来越小时，函数力(X)在区间口，l+x上的平均变化率有怎样的变化趋势？【解析】(l)Ay=Ml+x)-(l)=-4.9(x)2-3.3x,，2=4.9-3.3.当x=2时，=-4.9-3.3=-13.1;当
7、x=l时，K=一4.9x3.3=8.2；当x=0.1时，K=-4.9x3.3=3.79；AV当x=0.01时，K=-4.9-3.3=3.349.当x越来越小时，函数力在区间1,l+x上的平均变化率逐渐变大，并接近于一3.3.【典例2利用导数的定义求函数r)=-2+3x在x=2处的导数.f(2+x)T(2)【解析】由导数的定义知，函数在彳=2处的导数八2)=IimJ/，Ax-O4而7(2+x)-(2)=-(2x)2+3(2+)-(-22+32)=-(,r)2-x,Te=I-(ZLr)2-Ax于正/(2)=1叫TT=y11(-1)=-1.x-OLJlXx-O【典例3】已知儿E)在次处的导数/(XO
8、)=A,求下列各式的值:(1)(Jlo)一于(XO-Ax)ArrO2xf(xo+)f(xo-jc)妈【解析(l)Vlin/(X()7(T)-0XO-(XO-x)=/(加)，f (XQ -x)=Fao)=%f(xo)即Iim-x-0r/(期).Iim,r-Of(XQ-)2f (Xo+x) -f (Xo-Ax)2xJ(Xo+x)f(xox)*(xo+x)(X0x)为函数Kr)在区间xox,xo+x上的平均变化率.1- ,f(Xo+x)-f(ro-x)x.,_z当x-0时，工必趋于Fao)=hf(XO+x)-f(XO-x)2xIim-f(XO+x)-于(xo-Ax)AjOx=2k.【题型二】导数的运
9、算【典例1】(多选)下列求导运算正确的是(故A正确;(x2er),=(x22x)er,故B错误；COS(2x=-2sin(2x一1)，故C错误；卜一=lp,故D正确.故选AD.【典例2】函数/)的导函数为/(%),若於)=f+/寻inx,则福=.【解析】，()=2x+/eCoSA:,-f0=+k-wK=Tv(=+【典例3】已知函数/)=er3in+erc0sx,则2021)一/(0)等于()A.e202lCos2021B.e202,sin2021C.D.e【解析】因为，(X)=esinjv+elosx,所以yU)=exsinx+k(Z为常数)，所以批2021)-/(0)=e202,sin202
10、1.【题型三】求切线方程【典例1】曲线y=空，在点(一1,一3)处的切线方程为.I乙【解析L=(第),=2(x+(?gl)=舟,所以y-=5,所以切线方程为y+3=5(x+l),即5xy+2=0.【典例2】已知函数/U)=jdnX,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=(x)相切，则直线/的方程为.【解析】Y点(0,-1)不在曲线外)=xlnx上，设切点为(X0,yo).又；f(x)=l+lnx,二.直线/的方程为.+1=(1lnxo)x.VO=xoln xo, jtol=(llnxo),ro,解得 XO= 1, yo=O.直线/的方程为y=-l, gP -y-l=0.【典例3】已知曲线y=
11、%3+g.求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P(2, 4)处的切线方程；(3)求曲线过点P(2, 4)的切线方程.【解析】(l)y=f,设切点为(X0, yo), 故切线的斜率为=j=l,解得JrO=1,故切点为(1, Ij, (1, 1).故所求切线方程为y=-1和y1=+1,即 3-3y+2=0 和无一y+2=0.14(2) Vy=X2,且 P(2, 4)在曲线 y=jx3+g上，在点P(2, 4)处的切线的斜率k=y2=4.曲线在点P(2, 4)处的切线方程为y-4=4(x2),即 4x一厂4=0.(3)设曲线y=53+(与过点P(2, 4)的切线相切于点八(X0, x3j
12、,又；切线的斜率k=y,x=xo=x,切线方程为y-(24即 y=r-f+q.4-3点P(2, 4)在切线上，.244=2XS一密+q,即ad3o+4=O,xo+x6-4x6+4=0,.*.(tt+1)4(xo+l)(xo-1)=0,.(xo+l)(xo2)2=0,解得XO=-1或XO=2,故所求的切线方程为4jvy4=0或xy+2=0.【题型四】求参数的值(范围)【典例1】直线y=H+l与曲线yU)=Hnx+b相切于点P(l,2),贝j2+等于()A.4B.3C.2D.1【解析】Y直线y=丘+1与曲线凡T)=HnX+。相切于点尸(1,2),将P(l,2)代入y=H+l,可得2+1=2,解得=
13、1,YyW=Hnx+/?,/.f,(x)=,X由/d)=y=h解得=1,可得HX)=Inx+b,尸(1,2)在曲线汽幻=Inx+8上，(l)=ln+b=2,解得力=2,故2+b=2+2=4.【典例2】已知Kr)=InjGg(x)=52+nr+az0),直线/与函数/U),g(x)的图象都相切，与7U)图象的切点为(1,式1)，则加=.【解析】Y/(X)=S.直线/的斜率欠=/(1)=1.又T(I)=O,，切线/的方程为y=-Lg,(x)=x+f119设直线/与g(x)的图象的切点为(A0,W),则有Xo+m=l,yo=xo-l,M)=%8+/次)+/，m0)的切线，恰有2条,则实数a的取值范围
14、是【解析】由y=ev,若切点为(xo,ex),则切线方程的斜率=y=xo=ex0,工切线方程为y=Qe”。(x加+1),又P(l,e)在切线上，aex0(2xo)=e,即2=eo(2xo)有两个不同的解，令(x)=e(2-),.,()=(l-)er,当X(-8,1)时,f()0;当x(l,+8)时，,()l,即实数4的取值范围是(1,+).【题型五】导数与函数图象【典例1已知函数y=(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=/(X)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解析】由y=/(X)的图象是先上升后下降可知，函数y=()图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.【典例2】已知y=7U)是
15、可导函数，如图，直线y=丘+2是曲线y=(x)在x=3处的切线，令g(x)=M(X),g(力是g(x)的导函数,则g(3)=.【解析】由题图可知曲线尸危)在尸3处切线的斜率等于一提(3)=-.g)=(),g)=)+fa)，gf(3)=3)+3f(3),又由题图可知y(3)=,：.gf(3)=l+3(-)=0.【典例3】已知y=(x)是可导函数，如图，直线y=丘+2是曲线y=7(x)在x=3处的切线，令g(x)=0(x),g(X)是g(x)的导函数，贝Jg(3)等于()A.-1B.OC.2D.4【解析】由题图可知曲线y=U)在/=3处切线的斜率等于一全*(3)=-,.g()=施),g()=v)+
16、。)，g,(3)=3)+3f(3),又由题图可知y(3)=,g=1+3X(；)=O.故选B.【题型六】与两曲线的公切线有关的问题【典例1】已知函数儿E)=XInX,(x)=X2ax(aR),直线/与/U)的图象相切于点4(1,0)，若直线I与g(x)的图象也相切，则。等于()A.0B.-1C.3D.一1或3【解析】由兀T)=XInX求导得Fa)=I+In尤则/(l)=l+ln1=1,于是得函数y(x)在点4(1,0)处的切线/的方程为y=x1,y=-1,因为直线/与g(x)的图象也相切，则方程组,、有唯一解，即关于X的一元二次方程.g(x)=xz+r,f+(-l)x+l=0有两个相等的实数根，
17、因此4=31)24=0,解得a=1或。=3,所以a=-或=3.【典例2】若曲线Ci：y=0x2mO)与曲线C2：y=e存在公共切线，则。的取值范围为.【解析】由y=0r2(O),得y=Iax,由y=ev,得y=ex,曲线Ci：y=av2(aO)与曲线。2：y=ev存在公共切线，设公切线与曲线Cl切于点(幻，),与曲线。2切于点(X2,exz)f贝U2ax=ex2=2Xz-Xi可得2x2=Jq+2,.争Ia,2%e+记段)=,则/ M=e”(3-2)当x(0,2)时，f,(x)0,/U)单调递增.当X=2时，y(x)min=-.的取值范围是L 9 ez不+8【典例3若TW=Inx与g(x)=f+
18、如两个函数的图象有一条与直线=x平行的公共切线，则a等于()A.1B.2C.3D.3或一1【解析】设在函数Ar)=InX处的切点为(X,y)9根据导数的几何意义得到史=:=1,解得x=l,故切点为(1,0),可求出切线方程为y=x1,此切线和g(x)=x2+E也相切，故x2+ax=-1,化简得到x2+(4-l)x+l=0,只需要满足=(-l)2-4=0,解得a=1或=3.故选D.三、【培优训练】【训练一】若曲线y=5sin2x+乎cos2在A(X1,y)f8(x2,*)两点处的切线互相垂直，则|加一刈的最小值为()C兀一2兀一A.B.,C.D.【解析】Ty=sin2x+坐COS2工1.l31c
19、os2x=WSIn2x+25=；sin(2x+9，y,=COS(2x+1,曲线的切线斜率在一U范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A(X1,),(%2,*)两点处的切线斜率必须一个是1,一个是一1.不妨设在A点处切线的斜率为1,TT则有2x+1=2ht(ZZ),2x23=2Arz(k2Z),则可得xX2=(kk)-2=-e,一2minT故选B.【训练二】已知曲线G：y=eJ%C2：y=x2,若恰好存在两条直线小b与C,C2都相切，则实数m的取值范围是.【解析】由题意知，/1,/2的斜率存在，设直线:y=kx+b,/2：y=k1+b2,设/1与Ci,Cz的切点坐标分别为(x,),(x2,*
20、),p=ex+w=2x2(Jl0),则心川+从=炉5,1121=5,x=lnk-tn,可得VX2=*.ki(x2-)=jA-ex+m,故Ai件一Ink+mj=k,k整理得m=n同理可得，当直线/2：y=22x+历与Cl,C2都相切时，有W=Infa-J-I,综上所述，只需m=lnZ与一1(QO)有两解，令2)=ln1一专一1,故当/伏)0时，04,所以人攵)在(0,4)上单调递增，在(4,+8)上单调递减,4故（八）n三=4)=ln4-l=21n2-2,所以只需满足m2n2-2即可.【训练三】给出定义：设/任)是函数y=(x)的导函数，/(X)是函数/。)的导函数，若方程/=O有实数解回，则称
21、点(沏，4)为函数y=U)的“拐点”.已知函数段)=5x+4SinX-COSX的“拐点”是Ma0,加o),则点M()A.在直线y=-5x上B.在直线y=5x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上【解析】由题意，知(x)=5+4cosx+sinx,fr,(X)=-4SinX+cosx,由(XO)=，知4sinXO-COSXo=O,所以风m)=540,故点Ma0,/(xo)在直线y=5x上.【训练四】已知函数yU)=ev-1,x0,函数7U)的图象在点Aa1,犬幻)和点8(x2,J(x)处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则的取值范围是.【解析】由题意，危)=1方一Il1 ex,
22、 x0,所以点Aa1, 1一d)和点伙12所以一eYet2=-l,所以 e所以AM的方程为yl+ev =(0, exi-ev +1),所以IAM=3+ (exx) 2=l+e2xlx,同理 IBM =q 1 +eX2,A l+e2uM所以 IBN l+ete NCA2-1), kAM=-ex, v=ex2,2=1,所以 Xl+X2 = ,-ex(-x),lelx/ l+e2x用丁VL(0, 1).3【训练五】已知函数凡r)=x*(1)求曲线式幻过点(0,3)的切线方程；证明：曲线y=(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(VW=1+1,设
23、切点为(万)，M),则曲线y=t(x)在点(XO,X)处的切线方程为y和=(1+言)(工一xo),Y切线过(0,-3),二一3-(xT)=(l+)解得Xo=2,*,o=2177，所求切线方程为丫一2=71-2),即y=p3.(2)设P(m,)为曲线人功上任一点，由(1)知过P点的切线方程为y=(I+*)(-m),即丫_(机_/=(1+韵(*一加)，令X=0,得y=-，从而切线与直线X=O的交点为(0,一言,令y=x,得y=x=2m,从而切线与直线y=x的交点为(2m,2z),工点P(m,)处的切线与直线X=0,y=x所围成的三角形的面积S=2m=6,为定值.【训练六】若直线/与曲线C满足下列两
24、个条件：(1)直线/在点P(X0,W)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线/的两侧，则称直线/在点尸处“切过”曲线C下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).直线/：y=0在点P(0,0)处“切过”曲线Cy=x3直线/：兀=-1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y=(x+l)2直线/：y=x在点尸(0,0)处“切过”曲线Cy=sinx直线/：y=x在点P(0,0)处“切过”曲线Cy=tanx直线/：y=x1在点尸(1,0)处“切过”曲线Cy=lnx【解析】对于，y,=(x3),=3x2fVx=o=O,所以/：y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线,画图可知曲线C：),=/
25、在点尸(0,0)附近位于直线/的两侧，正确；对于，/:工=一1显然不是曲线C:y=+l)2在点P(-l,0)处的切线，错误；对于，y,=(SinX)=cosx,y,x=o=l,曲线在点P(0,0)处的切线为/:y=xt画图可知曲线C:)，=SinX在点P(0,0)附近位于直线/的两侧，正确；对于，y=(tan)r=fzl,=U,Vko=Z5=l,曲线在点P(0,0)处的切线为/：yVVVVoAWoXJ=xf画图可知曲线C:y=ta11在点P(0,0)附近位于直线/的两侧，正确；对于，y,=(InX)=,yfx-=l,在点P(1,0)处的切线为/:y=-it令力(工)=/一1一1 -Jlnx(x
26、O),可得力(/)=1；=一二，所以a(x)min=z(l)=O,故x12IrU,可知曲线Uy=InX在点、P(l,0)附近位于直线/的下方，错误.故填.四、【强化测试】【单选题】1 .下列求导运算正确的是()AoI+5C. (5) =5log5XB-(IogW=xhD.(x2cosx)=-2xsinx【解析】(log2x)=歹8，故B正确.1G12.曲线/U)=户在点尸(1,yu)处的切线/的方程为()A.x+y20B.2x+y30C.3x+y+2=0D.3x+y40_jbtxr-三E、j1-21nX.-3+2InX【解析】因为Ttr)=所以/(%)=7.又1)=1，且/(1)=-3,故所求
27、切线方程为丁一1=一3。-1),即3x+y-4=0.3.己知函数yU)=52+cosx,则其导函数/。)的图象大致是()【解析】/(x)=2v-sinx,，(X)为奇函数，排除B, D,故选A.4 .设点P是曲线y=%35x+上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角的取值范围为()八兀5兀、2、A.0,2U6,)By，Ic,2)u)d【解析】y=32-3,*y,25,tan2一小，又a0,),故0,E)Uy,)故选C.5 .已知函数外河导，则川2+2,(2)等于()A.f,(X)B.f(2)C.x)D.fi2)【解析】因为函数/U)可导，“,f(/+A#-f(X)所以/()=*a薮，“.f(2
28、+2x)-/(2)所以=/.故选B.6 .如图，y=x)是可导函数，直线/：y=丘+2是曲线y=(x)在x=3处的切线，令g(x)=MU),g(克)是g(x)的导函数，则g(3)=()C.3D.4【解析】由题图可知曲线y=r)在x=3处切线的斜率为一去即了=V,又g(x)=欢x),gf(x)=fix)+xf(x)fg(3)=贝3)+(3),由题图可知13)=1,所以g8)+KX-m)(x-42)48)X,所以/(0)=(0m)(042)(0-48)+0=ai428.因为数列“为等比数列，所以427=。346=445=048=8,所以/(0)=8=2%故选C.8 .设曲线C：y=3x4-2x3-
29、9x2+4,在曲线C上一点M(l,4)处的切线记为/,则切线/与曲线。的公共点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】V=12x3-62-18x,则yM=12XP6X12-18X1=-12,所以曲线y=3d239x2+4在点M(l,4)处的切线方程为y+4=12(x1),即12x+y-812x+y-8=0,=O.联立. 9 l 解得，X=1,.J=-4C!2x=-2,X=7,或一或3b=32y=o.故切线与曲线。还有其他的公共点(-2,32),修，0),所以切线/与曲线C的公共点个数为3.故选C.【多选题】9 .若函数7U)的导函数/(X)的图象关于y轴对称，则兀V)的解析式可能为()A./
30、(x)=3cosxB.7(x)=3+xc.U)=+:d.yu)=ex+x【解析】对于A,7(x)=3cosx,其导数/(X)=-3SinX,其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称,不符合题意；对于B,/(x)=3+x,其导数了(x)=3x2+1,其导函数为偶函数，图象关于)，轴对称,符合题意；对于C,(x)=x+S其导数/(x)=l-p,其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D,凡r)=+),其导数1(x)=c+1,其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称,不符合题意.故选BC.io.已知函数yu)的图象如图，/a)是yu)的导函数，则下列结论正确的是()A. f,(3)f,(2)B.
31、 f,(3)f,(3)D. 3)-2)f,(3)0,故A错误，B正确.设A(2,2),B(3,3),则7(3)-/(2)=督三罗=Ms,由图知f(3)kBf(2),即/(3)0,X20,(-2Xl+x2=-2-10,所以C4-3IXlX2=20,7联立解得3af故选AC.【填空题】13 .设函数NO在(0,+8)内可导，其导函数为/Q),且TUnX)=X+lnx,则/(1)=.【解析】因为y(lnx)=x+lnx,所以兀0=%为e,所以/(x)=l+e所以/(1)=1+e=1+e.14 .若函数於)=3+(-1)x-1的图象在点(一1,4一1)处的切线平行于工轴，贝h=,切线方程为.【解析】因
32、为函数x)=x3+(Z-DX1,所以)=3x2+f-l.因为函数Ar)的图象在点(一1,式一1)处的切线平行于X轴，所以/(-l)=3X(-l)2+f-l=2+r=0,解得，=-2.此时)=/311,/(1)=1,切线方程为y=l.15 .已知曲线y=L+乎在x=l处的切线/与直线2x+3y=0垂直，则实数。的值为.Cl【解析】y=土+上，当X=I时，y=-1+：.由于切线/与直线2x+3y=0垂直，所以(+O)=f解得T16 .定义方程“r)=x)的实数根冲叫做函数Kr)的“新驻点”，如果函数g(x)=x,力Q)=lnx,(x)=COS年4喇的“新驻点”分别为,Y，那么,小的大小关系是【解析
33、】由题意，得g()=l=g(),所以=l.由z(x)=In占得(x)=：.令(r)=ln/一：，可得r(l)0,故由Sa)=COS府WxW),得d(y)=siny=cos所以COSy+siny=0,C且yy,所以尸竽综上可知，a.【解答题】17 .求下列函数的导数:(l)y=(3x24x)(2x+l);(2)y=sin(l-2cos2)；【解析】(1)因为y=(3x24x)(2x+l)=6x3+32-82-4x=6a3-5x2-4x,所以y=18fl(k-4.因为y=S谤(一cos力=-BSinx,(Inx)，(/+I)-n(2+1)，(*+】)一级EX(x2+l) 2(x2+l)2x2+1-
34、2-111%(x2+l)2,18 .已知函数/(x)=3+(1)x2-(+2)x+,R).若函数人X)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3,求小8的值;若曲线y=(x)存在两条垂直于y轴的切线，求。的取值范围.【解析】/(x)=32+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得,f(0)=b=0,f,(0)=-a(+2)=-3,解得力=0,=3或=1.(2)因为曲线.y=(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于X的方程)=3f+2(1-4)-S+2)=0有两个不相等的实数根,所以/=4(1-+2(+2)X),即4d2+44+l0,所以a-所以4的取值范围为(-8,-(一；,+s)19 .设
35、函数段)=r-=,曲线y=U)在点(2,42)处的切线方程为7-4y12=0.求人工)的解析式；证明曲线4X)上任一点处的切线与直线X=O和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.【解析】方程女一4,，-12=0可化为y=-3f当x=2时，y=.又,了)=+9,解得33(2)证明设P(X0,yo)为曲线y=(x)上任一点，由y=1+?知曲线在点P(Xo,V)处的切线方程为y(&g=(l+)(-xo).令X=0,得y=-(;,工切线与直线X=O的交点坐标为(0,一(；)=x,得y=x=2xo,；.切线与直线y=x的交点坐标为(2xo,2xo).，曲线y=(x)在点P(Xo,JO)处的切线
36、与直线x=0和y=x所围成的三角形的面积S=；|一?|2YOl=6.故曲线yfx)上任一点处的切线与直线X=O和y=x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.20 .y(x)=r-pg(x)=lnx,x0,常数R.求曲线y=g(x)在点尸(1,g(l)处的切线/.是否存在常数，使(1)中的切线/也是曲线y=U)的一条切线，若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.【解析】由题意知，g(l)=0,又g=r)在点(1,U)处的切线平行于X轴，求。的值；(2)当。=1时，若直线/：y=自一1与曲线y=U)相切，求/的方程.【解析】(Wa)=I-詈，因为曲线y=ya)在点(1,以)处的切线平行于无轴，
37、所以/=-=o,解得d=e.当=1时，/(x)=-l+/,f(X)=I设切点为(X0,J0),V(xo)=o-1+=bro1,fW=1-+得xo=to1+k,即(Al)(xo1)=0.若=1,则式无解，.,.o=-1,k=1e.；/的方程为,=(1-e)-1.22.已知函数/(x)=3-x2+&+l.(1)讨论式X)的单调性；求曲线y=(x)过坐标原点的切线与曲线产危)的公共点的坐标.【解析】(1)由题意知7U)的定义域为R,/(x)=3f2x+”,对于/(x)=0,J=(-2)2-43=4(1-3a).当a2；时，d0,/(x)20在R上恒成立，所以/U)在R上单调递增；当0,则XX2;令W0,则XlXX2.所以九0在(-8,X)上单调递增，在(加，X2)上单调递减，在3，+8)上单调递增.综上，当2；时，/(x)在R上单调递增；当时，.在(一8,上普三可上单调递增，在(LW三,三用可上单调递减，在件粤三，+g)上单调递增.(2)记曲线y=y(x)过坐标原点的切线为/,切点为PaO,-0ro+1).因为/(xo)=3蝠一2xo+4,所以切线/的方程为y(-110ro1)=(311-2roa)(-xo).由/过坐标原点，得2焉一看一1=0,解得XO=1,所以切线/的方程为y=(l+)工由y=(l+d)xtJ=V-f+
