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1、专题14函数模型及其应用知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：用函数图象刻画变化过程题型二：卷型函数模型题型三：指数型函数模型题型四：对数型函数模型题型五：分段函数模型题型六：y=x+%O）型函数模型题型七：已知函数模型的实际问题培优训练训练一，训练二：训练三：训练四：训练五：训练为强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1 .了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2 .通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，
2、了解函数模型在社会生活中的广泛应用.【考点预测】1.指数、对数、幕函数模型性质比较性质y=ax(al)y=logax(aDy=xn(0)在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随X的增大逐渐表现为与y轴平行随X的增大逐渐表现为与X轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x,当xx时，有IOgaXxn0且Wl,b0)与对数函数相关的模型fix)=biogax+c(a,b,C为常数,0且l,b0)与事函数相关的模型fix)=axn+b(atb,为常数，00)【常用结论】1 .“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量
3、成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2 .充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3 .易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【方法技巧】1 .判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)脸证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.2 .求解已知函数模型解决实际问题的关注点.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定
4、系数；（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.3 .利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检脸.4 .在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.解模：求解函数模型，得出数学结论.还原：将数学结论还原为实际意义的问题.5 .通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.二、【题型归类】【题型一】用函数图象刻画变化过程【典例1如图，一高为H且装满水的鱼
5、缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为r若鱼缸水深为时，水流出所用时间为3则函数力=的图象大致是（）【典例2】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85C的水泡制，再等到茶水温度降至60C时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔Imin测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间X变化的规律（）A. y=mx2+n(tn0)B. y=max+n(m0fiaOfal)D. y=moga+n(mO,a0,q1)【典
6、例3已知正方形ABC。的边长为4,动点P从8点开始沿折线BaM向A点运动.设点P运动的路程为AABP的面积为S,则函数S=Ax)的图象是()人也必就ABCD【题型二】塞型函数模型【典例11为迎接2016年“双十一网购狂欢节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售某产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用X万元满足：P=3一弟(其中OWXWma为正常数).已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4+符元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用X万元的函数；促销费用投入多少万
7、元时，厂家的利润最大？典例2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量M单位：千克)与销售价格M单位：元/千克)满足关系式y=M+10(x6)2.其中34,3,6,且年销售额越大，奖金越多；年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金.求奖金y关于X的函数解析式；（2）某营销人员争取年奖金y4,10（万元），年销售额M万元）在什么范围内.典例2某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是10,100（单位：万元）.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金M单位：万元）随投资收益M单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）
8、若建立函数模型y=（x）制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；现有两个奖励函数模型：（I）y=*x+l;（IDy=IogM-Z试分析这两个函数模型是否符合公司要求.【题型五】分段函数模型【典例1为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度M单位：毫克/立方米）随着时间M单位：天）变化的函数关系式近似为y=168zx1,0x4,55, 4x10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用.(1)若一
9、次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒(lWW4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求。的最小值(精确到0.1,参考数据：21.4).【典例2】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种把二氧化碳处理转化为可利用化工产品的项目.经测算，该项目月处理成本y(元)x3-80x2+5040x,12O,144),%-2OOx+8OOOO,x144,500),且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当x200,300时，判断该项目能否获利
10、.如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【题型六】y=x+f(A0)型函数模型【典例1】某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润M万元）与营运年数X的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.【典例2某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60。（如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于5米.记防洪堤横断面的腰长为X米，外周长（梯形的上底线段BC与两
11、腰长的和）为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长X=米.【题型七】已知函数模型的实际问题【典例1】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.己知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为100台.每生产X台，需另投入成本Ga）万元，且G（X）=2x2+80x,0x40,l3600,由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年20lx+-2100,40l时，甲走在最前面B.当心1时，乙走
12、在最前面C.当0x1时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲【训练二】某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益M单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=U)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x25,l600时,Y/(x)是增函数；/(x)W90恒成立；/U)，=一*(1+F*(QO)表示的曲线上，其中人与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.y(千米)司n千米)(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的
13、横坐标。不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【训练四】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是7b,经过一定时间Z(单位：min)后的温度是7,则T-TL=(Tb-TL)G),其中称为环境温度，力称为半衰期.现有一杯用85C热水冲的速溶咖啡，放在21C的房间中，如果咖啡降到37需要16min,那么这杯咖啡要从37降到29,还需要min.【训练五】某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量M微克)与时间K小时)之间近似满足如图所示的曲线.o12加卜时写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动
14、状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.【训练六】近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入单位：万元）满足P=仿一6,乙城市收益。与+2,80a120,_投入（单位：万元）满足Q=4设甲城市的投入为M单位：万元），两个城32,120160,市的总收益为U）（单位：万元）.当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？四、【强化测试】【单选题】1 .有一商家从石塘沿水路顺水航行，
15、前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为H小时），货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与X之间函数关系的大致图象是（）2 .在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）X1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2-2B.y=（x2-1）C.y=IogzxD.y=Iogix23 .某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了次涨停（每次上涨
16、10%）,又经历了次跌停（每次下跌10%）,则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况4 .长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度。（单位：knVs）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量z（单位：kg）的函数关系是。=2000M（I+.若火箭的最大速度为11.2kms,则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：e00561.0056）（）A.1.0056B.0.5028C.0.005
17、6D.0.00285 .成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费V与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费”与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y,分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（B. 4千米处D. 2千米处A.5千米处C.3千米处6 .某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考
18、数据：馆1.12-0.05,电1.3弋0.11,电220.30）（）A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年7 .某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量），与投放市场的月数X之间关系的是（）A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+1008.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-zzz=lgf;,其中星等为侬的星的亮度为反伙=1,2）.已知太阳的星等是一26.7,天狼星的星等是一1.45,
19、则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.10,0,B.10.1C.Ig10.1D.10-,0,【多选题】9.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少;，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2比0.301,lg3比0.477）（）A.6B.9C.8D.710.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量yu）与时间M天）之间的函数关系v记忆保恃最0.80.6f-x+l,0xlo：2/（x）=121,。124681。1
20、2则下列说法正确的是（）-+-x-2llx30520A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C. 9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D. 26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%11.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y（单位：kg）与时间M单位：h）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（）A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内，该车间没有生产该产品12 .小明在如图1所示的跑道上匀速跑
21、步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为心）,他与教练间的距离为Mm），表示y与，的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的（）cMlM2A.点MB.点NC.点尸D.点Q【填空题】13.某购物网站在11月份开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为.14 .某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以。km/h的速度直达灾区，
22、已知某市到灾区公路线长400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（Aykm,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是h_（车身长度不计）15 .为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一一种消毒剂，据实验表明，该药物释放kt,0r(如图所示)实验表明，当药物释放量瓦T与y0.75(mgm3)时对人体无害.(I)Z=;为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.16 .某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧48与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形3DEFG为矩
23、形，BC上DG,垂足为C,tanZOZ)C=,BH/DG,EF=2cm,DE=Icm,A到直线OE和E/的距离均为7cm,圆孔半径为ICm,则图中阴影部分的面积为cm2.【解答题】17 .某企业自主开发出一款新产品A,计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50OOO元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产M千件M产品，需另投入生产成本Ra)(千元)，且 R(x)=%+60x,0v10,180070x+-230,10,3,6,且年销售额越大，奖金越多；年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金.（1）求奖金y关于/的函数解析式；若某营
24、销人员争取奖金y4,10（单位：万元），则年销售额M单位：万元）在什么范围内？21 .“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度。（单位：千克/年）是养殖密度M单位：尾/立方米）的函数.当X不超过4尾/立方米时，o的值为2千克/年；当4VW20时，0是X的一次函数；当X达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，。的值为。千克/年.（1）当0VW20时，求函数。关于X的函数解析式；（2）当养殖密度X为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.22.已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美
25、元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机X万只并全部销售完，每万只的销售收入为Ra)万美元，4006x,040.Xxl(1)写出年利润W(XXX)关于年产量MXX)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.I免费增值服务介绍，组卷网令学科网www.zxxK.com3学科网(V网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。扫码关注学科网每日领取免费资源回复oppt免费领180套PPT模板回复“天天领券来抢免费下载券V组卷网()是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能
