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1、专题36数列的概念与表示知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一S由。与S的关系求通项题型二：累加法题型三：累乘法题型四：数列的单调性题型五：数列的周期性培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1 .了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2 .了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【考点预测】1 .数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2 .数列的分类分类标准XX满足条件XX有穷数列XX有限无穷数列XX无限项
2、与项间的大小关系递增数列anlan其中0N*递减数列anl2）确定最小项.anan+aWa+i二、【题型归类】【题型一】由。“与S,的关系求通项m+ =SS-I,则下列结论正确的【典例1】（多选）设S”是数列m的前n项和，且aA.4=zTVn(w1)=1,B.an=n(-1)Cs=TD.数列尚是等差数列【解析】a+=SS.=S“+i-S”，两边同除以G+1S”,得一一一J=-L3”+IKJ是以I为首项，d=-l的等差数列,即不=-1+(-1)X(1)=一,.*.511=-当 时，Cln = Sn Sn-1 =-J-zn -1 n (- 1)又m=-1不符合上式,-1,n=1,故选BCD.【典例
3、2】己知数歹Jz中，的是其前项和，且S=2&j+1,则数列的通项公式Z=.【解析】当=1时，S=Sl=2+l,，m=L当时，SI=2m+1,SI=2加i+L一，S11Sn=2a11-2an1,即。=2。“一2。_,即以=2。j(22),&是首项m=-1,夕=2的等比数列.:an=avqni=-2nl,【典例3】设数列缶的前项和为S，数列S,的前项和为4,满足4=2S一/,N+.求m的值；求数列的通项公式.【解析】令=1时，7=2S-l,二八=Si=,1,*I=1.22时，Tn-i=2Sn-(n-1)2,则Sn=TnTn-J=2Sn1122S11-1(-1)2=2(Sn-Sn-1)-2+1=2a
4、n2+1.因为当=1时，m=S=l也满足上式，所以Sn=2a2+当22时，Sn-=2a11-2(-1)+1,两式相减得an=2a2a-2,所以an=2afl-12(w2),所以a11+2=2(aw-+2),因为a+2=30,所以数列m+2是以3为首项，公比为2的等比数列.所以z+2=3X2-,a=3X2”r-2,当n=时也成立，所以4=3X2”i-2.【题型二】累加法【典例1】在数列飙中，。1=2,4”+1=4+111(1+!),则4”等于()A.2lnHB.2(w-l)InnC.2winnD.lwlnn【解析】因为m+14”=InV=In(+1)ln，所以a=ln2In1,2=In3-In2
5、,。4-G=In4-In3,an-an=nnln(n1)(2)把以上各式分别相加得an-a=n-In1,则s=2+ln且=2也适合，因此a11=2+lnh(wN*),故选A.【典例2】在数列中，1=3,用=+(了则通项公式。=【解析】Z+-=Mnr=5一V?；当时，an-an-=一二，n1n11a-a=-y，以上各式相加得，an-a=l-ta11=4-,m=3适合上式，n【题型三】累乘法【典例1】已知数列小的前1项和为S”其首项41=1,且满足3S=5+2)z,则卯”=【解析】.3S=5+2)z,3S=m+l)(22),由一得，311=(w+2)11-(wl)111,Cln Cln- 1 Qn
6、-2Cln - L , Cln- I dn-2 Cln-3an+fln-3X -l =业-1114.P5+l)(+D3n1时，满足一2，an2【典例2已知=2,an+=2nan,则数列的通项公式=.【解析】:誓i=2,I.当22时，=2-1,=2-2,Qnan-an-2anan-tnaa11=一一6Fan-an-2Ciia=2nl2,12222,2=21+2+3+(I).2“2一+2=2+=2,又m=2满足上式，“2-”+2an=2.【题型四】数列的单调性【典例1己知数列“的通项公式为宇，若数列”为递减数列，则实数人的取值范围为()A.(3,+8)B.(2,+)C.(1,+)D.(0,+)3/
7、73P*k3-4-k彳k【解析】因为。+】一=2：一一寸=2：+】，由数列SQ为递减数列知，对任意N*,33对任意N*恒成立，所以左(0,+).故选D.【典例2】等差数列z的公差dVO,且济=*1,则数列斯的前项和S取得最大值时的项数的值为()A.5B.6C.5或6D.6或7【解析】由况=品,可得(+11X-4)=0,因为dVO,所以mm0,所以m+u=O,又246=+m,所以。6=0.因为dVO,所以”是递减数列，所以aja2a5a6=078,显然前5项和或前6项和最大.故选C.【题型五】数列的周期性【典例1若数列满足m=2,a11+=,则Q2022的值为()1 ClnA.2B.-3C.一；
8、D.g【解析】因为1=2，4+】=；+，所以t72=J*i=-3,同理可得43=J,74=,5=21.a”Lai23。6=-3。7=-W8=可得a”+4=a“则12022=4505x4+2=42=-3.故选B.【典例2已知数列a中a-6=2，且a”aw+2=an+1(N+)则。2020的值为()A.2B.1ClDi【解析】因为a”a+2=a+i(N+)，由Cl-,42=2*得43=2,由42=2，3=2得44=1,由43=2，44=1，得45=3，由44=1，。5=；，得。6=3，由。5=(，熊=；，得a=1，由46=J，ai=1，得48=2，由此推理可得数列m是周期为6的数列，所以42020
9、=44=1.故选B.三、【培优训练】【训练一】已知各项均为正数的数列z满足欧+1-。=2,m=13,则手取最小值时，=()A.3B.4C.5D.6【解析】由飙+14=2得，当=1时，0241=2X1,当n=2时，4342=2X2,，第一1项，anan-=2(n-1),累加可得an-a=21+2+(-l)=w(w-1),.谭=+?-122、yX，一1,当且仅当=f时取等号，又N,当=3时，资=呈当=4时，所以=4时，仅取得最小值.故选B.【训练二】(多选)若数列满足m=l,s=3,anan2=aft-(n3)f记数列。的前项积为Tnf则下列说法正确的有()A.7无最大值B.有最大值C.Tl023
10、1D.42023=1【解析】因为tz=l,42=3,anan-2=an-(n3),所以43=3,C141*Ct5=2。6=，。7=1,48=3,*因此数列如为周期数列，116=11,a”有最大值3,ai023=41=1,因为7=l,72=3,乃=9,74=9,7s=3,7=1,Ti=I,7s=3,，所以为周期数列，Tn+6=Tn,7；有最大值9,72023=71=1.故选BCD.【训练三】设数列端的前项和为S”，满足S=(T)”+点则S+S3+S5等于()a0b64cd64【解析】数列斯的前项和为S，满足s=(1)小+/，当为偶数时，Sl=SJ即有&|=表所以S1+S3+S5=；+=+=技故选
11、D.【训练四】意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(I)=F(2)=1，F()=F(-1)+F(w-2)(113，N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列。，则数列.的前2020项的和为()A.672B.673C.1347D.2020【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以2的余数，可得z为1，1,015I,0,1,1,01所以s,是周期为3的周期数列，一个周期中的三项之和为1+1+0=2,因为2020=673X3+1，所以
12、数列。的前2020项的和为673X2+1=1347，故选C.【训练五】若数列外满足：对于任意正整数，。用一。为单调递减数列，则称数列s,为“差递减数列”.给出下列S65N*)，其中是“差递减数列”的有()A.afl=3nB.a11=n2+1【解析】对于A，苦，则0“+】一。=3(+1)3=3，所以不是单调递减数列，故A错误；对于B，若an=in2+1，则an+-a11=(n+)2+12-1=2n+1，所以z+i是单调递增数列，不是单调递减数列，故B错误；对于C，若斯=51则an+-an=y+，所以“+1。”为单调递减数列故C正确;对于D，若alt=n+1,则ann+1n(.1,jrr111.+
13、14=In1一In干=InIJTiF=Inu+；卜由函数在(0，+8)上单调递减，可知数列m+-z为单调递减数列，故D正确.故选CD.【训练六】设数列的前项和为S”.已知m=SW3),”+I=S“+3，N*.(1)设儿=S一33求数列的通项公式；(2)若a+i2a“，N,求的取值范围.【解析】(1)依题意得S+1S=o+i=S+3”，即S+i=2S+3,由此得Shj-3+=2(S-3),即+=2瓦，又Z=S-3=4-3,因此，所求通项公式为d=(“-3)2r,N*.(2)由(1)可知S”=3+(a-3)2”r,N*,于是，当时，&=6-5-1=3+33)2-1一3”一33)2-2=2乂3+(。
14、-3)2一2,小+1_z=4X3+5一3)2”一2所以，当22时,又a2=4+3a,a3.所以，所求的a的取值范围是一9,3)U(3,+).四、【强化测试】【单选题】1 .数列3，6，12，21，X，48，中的x=()A.29B.33C.34D.28【解析】因为6-3=3=l372-6=6=2X3，21-12=9=3X3，所以根据规律可得一21=4X3，所以x=21+12=33.同时也满足48-33=15=5X3.故选B.2 .已知数列满足：Dm，都有4a加=”+1，且m=T，那么5=()1 ClClC1a32b16c4d2【解析】因为数列斯满足：VwhN*都有anam=anm且a=所以a=a
15、a=，1- Ia3=a。2=杀那么15=1342=方.故选A.3 .在数列斯中，。斯+1|斯”是“数列斯为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a11或-a”+ia”，充分性不成立,数列a为递增数列台|a+i|2a+A斯成立，必要性成立，所以iian+anff是“数列z为递增数列”的必要不充分条件.故选B.4 .已知递增数列，&20，m=0.对于任意的正整数，不等式Z2一后一3/-3&WO恒成立，则正数，的最大值为()A.1B.2C. 3D.6【解析】因为数列。是递增数列，又户一届一3z3a=。一3)(f+01)Wo,z+110所以ZW
16、z+3恒成立TW(z+3)min=m+3=3，所以ImaX=3.故选C.5 .数列。“满足m=l,对任意N*,都有斯+1=1+。+，则+*F=(99A.羽B.2C组D毁J50100【解析】由a+i=1+小得a”+】-a=+1,n(n+)贝lan=(an-an-)-v(an-an-2)-v-v(a2-a)va=n-(n-)-r*-V1=5,故选C.6 .已知数列满足巴=2,=20,则的最小值为()A.45B.45-lC.8D.9【解析】由雨+-4=2知。2=2X1,436=2X2,，an-an-=2(n-1),22,以上各式相加得a一m=/一，22,所以a=2+20,“22,当=1时，m=20符
17、合上式，所以与=+1,wN*,所以后4时岸单调递减，心5时詈单调递增,G,445也、,CbIt,.i上4445C因为彳=歹，所以工的双小值为7=m=8.故选C.7 .在各项均为正数的数列m中，对任意加,N*,都有利+产呢若俏=64,则内等于()A.256B.510C.512D.1024【解析】在各项均为正数的数列。中，对任意孙N“，都有MWI=Ms.所以06=43(3=64,43=8.所以9=g3=64X8=512.故选C.8 .已知数列z的前项和为S，且满足4(+1)(S,+1)=5+2)2版,则数列m的通项公式为()A.(2h+1)2-1B.(2+1)2C.8/D.(+1)3【解析】在4(
18、+1)(S+1)=5+2)2”“中，令=1,得8(m+l)=9m,所以m=8,因为4(+1)(5月+1)=5+2)2以,所以4(Si+1)=(+1)24i522),5+2)2(+)2一得，4an=-VTan-Man-1，nr1npn25+1)2(+1)3十InnXX -X-Xaian-2(+l)3v=“3 X(n-l)3a=5+1)3(m22),又m=8也满足此式，所以数列小的通项公式为5+1)3.故选D.【多选题】9.下列四个命题中，正确的有()A.数列件1的第项为1+：B.已知数列缶“的通项公式为z=/一一50,11N*,则一8是该数列的第7项C.数歹U3,5,9,17,33,的一个通项公
19、式为所=2-1D.数列的通项公式为Z=M,7N*,则数列是递增数列【解析】对于A,数列I*；的第左项为1+A正确；对于B,令/一一50=8,得=7或=一6(舍去)，B正确；对于C,将3,5,9,17,33,的各项减去1,得2,4,8,16,32,，设该数列为加,则其通项公式为=2(N*),因此数列3,5,9,17,33,的一个通项公式为z=6+l=2+15N*),C错误；对于D,如=“+1=1-“+1，则。+1-。=+-+2=(“+1)(“+2)。,因此数列3是递增数列，D正确.故选ABD.10.若数列z满足：对任意正整数，z+i金为递减数列，则称数列。为“差递减数列”.给出下列数列z(N)其
20、中是“差递减数列”的有()A.an=3nB.。=/+1C.Cln=ylD.Cln=111I【解析】对于A,若a”=3，则柒+1。”=3(+1)3=3,所以g+i一曲不为递减数列,故A错误；对于B,若如=/+1,则0“+一0“=(+1)2“2=2+,所以3+14”为递增数列，故B错误；对于C,若Z=而，则4+iZ=而不15=赤三1所以%H1-。为递减数列，故C正确；,一n一，+1n(n+1n+11(,l1、，一”,对于D,右或=In干，则z+f=IETm=&+2。J=1n0+R,由函数y=ln(l+/1J在(0,+8)上单调递减，所以a+i一扇为递减数列，故D正确.故选CD.929+211.已知
21、数列z的通项公式为a”=92_i(RN)则下列结论正确的是()27A.这个数列的第10项为针97B.孟是该数列中的项C.数列中的各项都在区间，1）内D.数列是单调递减数列rAjzic-1929+2（3一1）（3一2）1.WWJan-9w2-1-（311-1）（311+1）3一2=3+1令=10得410=11，故A错误；3-297z*歹、3+1=丽侍=33*N,07故金是数列中的项，故B正确；、13-23+1-33因为z=5711=3+1=1一诟7又N.所以数列斯是单调递增数列，所以IWa“VI,故C正确，D不正确.12.对于数列雨,若存在数列儿满足儿=以一2sN）则称数列儿是z的“倒差数列”，
22、下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A.若数列缶是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列B.若斯=3-1,则其“倒差数列”有最大值C.若Z=3-1,则其“倒差数列”有最小值D.若a=l（一3，则其“倒差数列”有最大值【解析】若数列”是单增数列，则bn-bn-=an-an-=（an-af-）1*7-Undn-lUnUn-XJ虽然有Onan-,但当1+一0时，bnl,显然。是单调递减的，因此/)=“一;也是单调递减的，即bb3b,，瓦的奇数项中有最大值为Z)i=-1=0,是数列65WN*)中的最大值，D正确.故选ACD.【填空题】13 .已知数列z的首项m=l,前项和为工,且满足2m+a=2(
23、N*),则数列z的通项公式an=.【解析】因为2a+i+S“=2,，当22时，2+SI1=2,，式减式得。+1=%，又当=1时，202+Si=2,a2=5,所以数列z是以1为首项，公比为J的等比数列，以=为.14 .已知数列的通项公式=27,若avaanava以对N*恒成立，则正整数k的值为【解析】an=9当5时，an;当时，an。，S,2S6.请写出一个满足条件的数列z的通项公式a”=.【解析】V7N*,an+an9则数列是递增的，VwNS“2S6,即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0,即可，所以，满足条件的数列”的一个通项公式Z=-6(N*)(答案不唯一).9”(+1
24、)16 .已知数列的通项公式为Z=不一，则数列中的最大项为.【解析】法一9n+, (+2) an+-afl= w I9(+19 8一- W=诃.0当0,即an+an;当=8时，11+-w=0,即an+=an当8时，w+-aw0,即a11+aoa,故数列中的最大项为第8项和第9项,且 48 = 09 =989 99IO8 -o8法二设数列坳中的第项最大,ana11-,CJnCln-1,9”(+1)9厂。解得8w9.10710厂u9(+1)9”(+2)10J10一】又N,则=8或髯=9.Q9故数列。“中的最大项为第8项和第9项，且48=09=而.【解答题】17 .已知数列z的前项和为S”.若S=(
25、1)+J求5+。6及Q；(2)若S=3+2t+l，求M【解析】(1)因为56=56-54=(6)(4)=-2.当=1时，G=Sl=I，当时，anSnSn-=(-)n+l一(一1)(-1)=(-l)w+1n+(-l)=(-l)rt+,(2-I)，义G也适合此式，所以”=(-1)+(2-1).(2)因为当=1时，m=S=6;当n?2时，防=S-SI=(3+2+1)3.-+2(-l)+l=2X3d+2，由于m不适合此式，所以a=6 /7=1，23w,+2 , 启2.18 .已知数列。满足m=3，w+=4w+3.(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列“的通项公式;证明：嘀i=4.【解析】(l)=322
26、=15“3=63，4=255.因为a=4,-12=42-13=43-1=441，所以归纳得a=41.证明:因为a+=4,3 ,所以。+】+ 14+ 1=4.19 .已知S为正项数列的前n项和，且满足Sn+m(N*).(1)求及，43,44的值;(2)求数列“的通项公式.【解析】由S=+J5N*),可得m=5。6。741(N*).J数列小中的最大项为45=2,最小项为44=0.112(2)。=1+-Ig/7T=1+,a+2(11-1)2an已知对任意的N,都有&Wa6成立，1结合函数./)=1+。的单调性，x可知5一6,即一10aa6aa111(nN*).；数列”中的最大项为45=2,最小项为4=0.112Z=1+2(-1)=1+一二工，n已知对任意的WN*,都有ZWa6成立，12结合函数y(x)=1+匚的单调性，1.22aClrIxx5-6,即一1OVaV8.故。的取值范围是(-10,-8).I免费增值服务介绍，务学科网y学科网(https:WWVV3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。扫码关注学科网每日领取免费资源回复ppt”免费领180套PPT模板回复“天天领券”来抢免费下载券V组卷网()是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能
