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1、相交线与平行线一.选择题(共4小题)1 .如图，在aABC中，BD、BE分别是AABC的高线和角平分线，点尸在CA的延长线上,尸”垂直于8E,交BD于点G,交BC于点H.下列结论: NDBE=NF； 2/BEF=ZBAF+ZC, NFEG=NABE+NC；2ZF=ZBAC-ZC.其中正确有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2 .如图，ABHO尸为AB上一点，FD/EH,且尸E平分NAFG,过点尸作尸G_LE于点G,且NA尸G=2NO,则下列结论：/0=40。；(2)2ZD+ZE7C=90o；尸。平分N/7FB：产“平分NG/7).3 .如图，AB/3、尸为AB上一点，FD/EH,且尸E平分N
2、AFG,过点尸作/G_LE于点G,且NAFG=2ND,则下列结论：No=30；2NZ)+NEHC=90；FO平分NHFB；/77平分NGfTx其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，ABCD,P为AB上方一点，H、G分别为48、CQ上的点，ZPHB.NPGO的角平分线交于点E,NPGC的角平分线与EH的延长线交于点F,下列结论：EGFG NP+NPHB=NPGD； NP=2NE;若NAHP-NPGC=N尸，则N尸=60.二.填空题(共4小题)5 .如图，PQ/MN,A,B分别为直线MMPQ上两点,且NBAN=45,若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕
3、点8逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点8不停地旋转，若射线AM转动的速度是/秒，射线BQ转动的速度是/秒，且、6满足|4-4|+(31)2=0.若射线AM绕点4顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动秒时，射线AM与射线8。互相平行.备用图6 .如图，在aABC中，N48C与NACB的平分线相交于点P,ZXABC的外角NMBC与NNCB的平分线交于点Q,延长线段8P,QC交于点E（1）若NA=30,则NE的度数为.（2）在ABQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则NA的度数为7 .如图，AABC沿E尸折叠使点A落在点A处
4、，BP.CP分别是NA8。、NAC。平分线,线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且G”_LEG,连接尸H,K是GH上一点使NPHK=NHPK,作P。平分NEPK,交MN于点Q,ZHPQiNQFP=3：2,则ZEHG=.三.解答题（共52小题）9.【概念认识】如图,在NABC中，若/ABD=NDBE=NEBC,则BD,BE叫做NABC的“三分线”.其中，8。是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线BCBC【问题解决】(1)如图，在aABC中，ZA=80o,NB=45,若NB的三分线BO交AC于点O,求NBOC的度数；(2)如图，在AABC中，BP、CP分别是NABC邻BC三分线和N
5、ACB邻BC三分线，且NBPC=I40,求NA的度数；【延伸推广】(3)在aABC中，NACO是aABC的外角，NB的三分线所在的直线与NACo的三分线所在的直线交于点尸.若NA=m0(w54),NB=54。，直接写出NBPC的度数.(用含冽的代数式表示)10 .AB/CD,直线E尸交AB于点E,交Co于点F,点G在Co上，点尸在直线所右侧、且在直线AB和Co之间，连接尸石、PG.(1)如图1,求证：NEPG=NBEP+/PGD；(2)如图1,连接EG,若EG平分NPEr，ZBEP+ZPGE=WQo,PGD=3EFD,NPGo=30.求NBEP的度数；图1图2(3)如图2,若EF平分NPEA,
6、NPG。的平分线GN所在的直线与EF相交于点H,则NEPG与NMG之间的数量关系，并说明理由.11 .如图1,将三角板ABC与三角板AoE摆放在一起；如图2,其中NAC8=30,/DAE=45,ZBAC=ZD=90o.固定三角板A8C,将三角板AOE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角NCAE=(X(0o180o).(1)当为度时，AD/BC,并在图3中画出相应的图形；(2)在旋转过程中，试探究NCAZ)与NB4E之间的关系；(3)当aAOE旋转速度为5/秒时，且它的一边与aABC的某一边平行(不共线)时,直接写出时间，的所有值.图3图4备用图12 .已知，直线AB。&点P为平面上一点，连接AP与
7、CP.(1)如图1,点P在直线48、Co之间，当NBAP=60,NDCP=20时，求NApe(2)如图2,点尸在直线A8、CO之间，NBAP与NOCP的角平分线相交于点K,写出NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由.(3)如图3,点尸落在CZ)外，NBAP与NoCP的角平分线相交于点K,NAKC与NAPC有何数量关系？并说明理由.13 .如图1,已知线段AB,Co相交于点O,连接AO,CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下，NOA8和NBCo的平分线AP和CP相交于点P,并且与CZXA8分别相交于点M,M试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出NA、N8、N
8、C、No之间的数量关系；（2）在图2中，若NO=40,NB=36,试求NP的度数；（3）如果图2中NO和NB为任意角时，其他条件不变，试问NP与NO、NB之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）14 .RtZXABC中，ZC=90,点。、E分别是AABC边AC、BC上的点，点尸是一动点.令NPDA=Nl,NPEB=N2,ZDPE=Za.（1）若点尸在线段AB上，如图（1）所示，且N=50,则Nl+N2=（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则Na、/1、N2之间有何关系？CCECD)f 则Na、Zk N2 之间有（3）若点P在RtZXABC斜边BA的延长线上运动何关系？猜想并说明理由
9、.（1）如图，则No=,则08与AC的位置关系为（2）如图，若点E、尸在线段BC上，且满足NFoC=NAOC,并且OE平分N80F.则ZEOC的度数等于；（3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC到如图所示位置.在AC移动的过程中，NoCB与NoF8的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理由；当NoEB=NOCA时，求NOCA.16.（1）如图（1）,已知任意三角形A8C,过点C作OEAB,求证：ZDCA=ZA;（2）如图（1）,求证：三角形ABC的三个内角（即NA、ZB.ZACB）之和等于180：（3）如图（2）,求证：ZAGF=ZAEF+ZFi（4）如图（3）,AB/CD,Z
10、CDE=119o,G/交ND8的平分线E尸于点尸，NAG尸17.已知直线488,点E和点尸分别在直线AB和C。上.（1）如图1,射线尸G平分NEFC交AB于点G,若NBE尸=130,求NEG/的度数；（2）如图2,射线尸G平分NEfTX点M是射线尸C上一点（不包括端点尸），点N为NAEM的平分线上一点（不包括端点E）,连接NEFN,延长NE交射线尸G于点“，猜想NME户与NG/7E的关系，并说明理由；（3）在（1）的条件下，若AG绕点G以每秒转动3的速度逆时针旋转一周，同时E尸绕点尸以每秒转动1的速度逆时针旋转，设转动时间为f秒，当AG转动结束时E尸也随即停止转动，在整个转动过程中，当AG和E
11、尸互相平行时，请直接写出此时f的值.线段BQ上（不在端点处），点C在直线AB上，点E在直线MN上，连接CZXCE.(1)如图1,点。在线段AB上，若ECLCD,ZAEC=65,则NCDB的度数为：(2)如图2,点C在线段AB上，点K为直线MN与尸。之间区域的一点，点E在线段11AN上(不与端点重合)，连EK、KD.若NECO=60,NEK=CEN,ZKDQ=CDQ,求/EKO的度数；(3)如图3,LAB于点H,EC_LC。，点C在射线/M上运动(C不与重合)，ZAEC与NCDB的角平分线所在直线交于点G,NAEC与Na)Q的角平分线所在直线交于点凡NFG。与NGf1O的角平分线交于点。直接写出
12、NFEMNa)G与NFGT的数量关系.19 .如图1,已知点A是8C外一点，连接48,AC.求/A4C+NB+NC的度数.(1)阅读并补充下面推理过程：解：过点A作E。BC所以NB=,ZC=又因为NE4B+B4C+ND4C=180,所以N8+8AC+NC=180.(2)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将N8AC,NB,NC“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.如图2,已知AECO,试说明NABC=NA+NC.A(3)如图3,已知AE8,A/平分NBAE,C尸平分N8CD,若NABC=IO00,则NAR7的度数为；(4)如图4,已知AE8,AQ平分NBAC产平
13、分NBeO,A五2平分NEA尸,CFi平分NDCF1,A尸3平分NEA尸2,CP3平分NoCp2，若NABC=/,则NET的度数为:(用含。的代数式表示)IS420 .已知：AB/CD,E、G是4B上的点，F、”是CO上的点，N1=N2.(1)如图1,求证：EF/GH；(2)如图2,过产点作FM_LG”交GH延长线于点M,作NBERNOfM的角平分线交于点N,EN交GH于点、P,求证：NN=45：(3)如图3,在(2)的条件下，作NAG”的角平分线交8于点。，若3NFEN=4NHFM,直接写出第二的值.MPN21 .课题学习：平行线的“等角转化”功能.(1)阅读理解：如图1,已知点A是Be外一
14、点，连接AB、AC,求/8+/8AC+NC的度数.阅读并补充下面推理过程.解：过点A作EZ)8C,ZB=,ZC=,VZEAB+ZBAC+NOAC=I80,ZB+ZBAC+ZC=180.解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将NBAC、/B、NC“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.(2)方法运用：如图2,已知AB瓦)，求N8+NB8+NO的度数；(3)深化拓展：已知A8Co,点。在点。的右侧，NAOC=50,BE平分NABC,OE平分NAOC,BE,OE所在的直线交于点E,点E在直线AB与Co之间.如图3,点B在点A的左侧，若NABC=36,求NBEO的
15、度数.如图4,点B在点A的右侧，且ABVCO,ADBC,若NABC=,求NBEo度数.(用含的代数式表示)22.已知：直线A88,点M、N分别在直线A8、直线Co上，点E为平面内一点,(1)如图1,请写出AME,NE,NENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2,利用(1)的结论解决问题，若NAME=30,EF平分NMEN,NP平分/ENUEQ/NP,求N尸EQ的度数；(3)如图3,点G为CO上一点，NAMN=mEMN,NGEK=mGEM,EHMN交AB于点H,GEK,ZBMN,ZGEH之间的数量关系(用含m的式子表示)是射线MR、MP分别交射线48、Co于点N、Q.(1)如图1,当MR_
16、LMP时，求NMN8+NMQ。的度数；(2)如图2,若NOQP和/MNB的角平分线交于点G,求NNMQ和NNGQ的数量关系：(3)如图3,当MRLMP,且NE尸0=60,NEMR=20时，作NMNB的角平分线NG.把一三角板0K/的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点。点顺时针旋转，速度为5每秒，当O/落在M/上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转.三角板开始运动的同时/8NG绕点N以3每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的NBNG为NBWG,当NG和NA重合时，整个运动停止.设运动时间为，秒，当NBWG的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出f的值.图1图2图324 .
17、如图1,已知直线PQMM点A在直线尸。上，点C。在直线MN上，连接AC、A。，Z4C=50o,NAOC=30,AE平分NO,CE平分NACO,AE与CE相交于E.(1)求NAEC的度数；(2)若将图1中的线段4。沿MN向右平移到Alol如图2所示位置，此时4E平分/AA1D,CE平分NACQI,AiE与CE相交于E,NC=50,ZADC=30o,求NAlEC的度数.(3)若将图1中的线段A。沿MN向左平移到AIQl如图3所示位置，其他条件与(2)25 .如图，直线ABCO,点七在直线AB上，点尸在直线Co上，点P在直线A8,CDN间，连接PE,PF,EF,NPFE=50,直线/与直线A8,Co
18、分别交于点M,N,/MNC=a(0o90o),Eo是NME/的平分线，交直线CO于点O.(3)将直线/向左平移，并保持尸产MM在平移的过程中(除点M与点E重合时)，求NEO尸的度数(用含的式子表示).26 .已知四边形A8CO,AB/CD,ZA=ZC.(1)如图1,求证：AZ)8C；(2)如图2,点七是84延长线上的一点，连接CE,NABC的平分线与NECO的平分线相交于点R求证：NBPC=90-ZBCEi(3)如图3,在(2)的条件下，CE与AO,BP分别相交于点凡G.CQ平分NBCP,NAFE=NBPC,ND=ANDCP.求NGCQ的度数.EE27 .已知MN尸Q,点A在MN上方，点。在尸
19、。下方，分别以A、。为顶点作NA=NO=90o,NA的两边交MN于B、C(点B在点C的左边)，No的两边交PQ于七、尸(点E在点尸的左边)，AB.DE交于点G,AC,DF交于点H.(1)如图1,若NA8C=45,ZDFE=30,则NG=,NH=；(2)如图2,ZABC.NPEG的角平分线交于点,Bl交DG与J,ZNCH.NQFH的角平分线交于点交K.试探索NNK之间的数量关系并说明理由；(3)在(1)的条件下，把aABC绕点A顺时针方向旋转，每秒钟转3,与此同时4DM绕点尸逆时针方向旋转，每秒钟转2.当AABC旋转到BC边首次与MN平行时，两个三角形都停止转动.在转动过程中，设旋转时间为f秒，
20、当OE所在的直线与aABC的边平行时，请直接写出，的所有可能的值.28 .已知，BC/0A,ZB=ZA=100o,试回答下列问题:(1)如图1所示，求证：O8AC；(2)如图2,若点E、尸在BC上，且满足NT7OC=NAOC,并且OE平分NBoF,此时NEoC的度数等于(直接写出答案即可)；(3)在(2)的条件下，若平行移动AC如图3,那么NoCB：NO咫的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；(4)在(3)的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使NOEB=NoCA,求此时NOCA度数.29 .如图1,A8CO,点E、尸分别在AB、Co上，点0在直线48、CZ)之间，J
21、gLZEOF=80.(1)求N8EO+NO)的值;(2)如图2,直线MN分别交NBEO、NoFC的角平分线于点M、M直接写出NEMN(3)如图3,EG在NAEO内,ZAEG=mZOEG,FH在NDFo内,ZDFH=mZ0FH,直线MN分别交EG、产H分别于点M、M且NnWN-NENM=80,直接写出小的值.30 .已知点8、O分别为射线AM、AN上异于端点A的任一点，点。为NMAN内部一点(如图1).ZA=,ZC=,(0o180o,Oo1,n)f请用?，的代数式直接表示NEKZ7与NE/a7的数量关系.图1图232 .如图1,直角三角形。M与直角三角形ABe的斜边在同一直线上，NC=NE=90
22、,NEo尸=30,ZBC=40o.如图2,连接CO,CO平分NACB,将ADEF绕点D按逆时针方向旋转，记NAO尸为(0180o).（1）NCDA的度数为.（2）如图3,在旋转过程中，当顶点C在aOEF内部时，边OF,OE分别交BCAC的延长线于点M,N.求的度数范围；Nl与N2度数的和是否变化？若不变,请求出Nl与N2的度数和；若变化，请说明理由.33.如图1,直线MN与直线A8、C。分别交于点E、F,Z1与N2互（2）如图2,NBEF与NEFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点，且GH_LEG,求证：PF/GHx（3）如图3,在（2）的条件下，连接P”，K是GH上一点
23、使NPHK=NHPK,作PQ平分NEPK,问NHPQ的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值.34.已知aABC与4ADE共顶点A,NBAC=NoAE=90,顶点8和C在直线/1上（点8在点C的左侧），顶点力和E在直线/2上（点。在点E的左侧），且直线/1/2点”在直线/1上，点H在点B的左侧.图1图2备用图(1)如图1,顶点A在/1与/2之间，判断N84。与NA8C+NAQE是否相等，并说明理由；(2)如图2,顶点A在/1与/2之间，NA8的角平分线与NAEQ的角平分线交于点凡若N8AO=80,求NBFE的度数；(3)若顶点A在直线/2的下方，N48”的角平分线与NAEQ的角平分线交于点人
24、且顶点8、A、O不在一条直线上，点。在NAB尸的边B尸左侧，若NBEF=30,求NBAO的度数.35 .已知ABCD,点M、N分别是A8、CO上两点，点G在A8、CO之间，连接MG、NG.(1)如图，若GM_LGN,求NAMG+NCNG的度数；17(2)如图，若点P是C。下方一点，MG平分NBMP,ND平分/GNP,已知NBMG=30,求NMGN+NMPN的度数；(3)如图，若点E是AB上方一点,连接EM、EN,且GM的延长线M/平分NAME,NE平分4CNG,2MEN+MGN=99,请直接写出NAME的度数.36 .“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了
25、两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从B尸开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQMM且NBAMxZBAN=2:1.(1)填空：NBAN=；(2)如图2,若灯8射线先转动30s,灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动，秒(OVy90),则NMAM=,ZPBP=；(用含，的式子表示)在的条件下，若AM即y,则，=秒.(3)如图3,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C过。作NACD交P。于点ZX且NACz)=I20,则
26、在转动过程中，请探究NBAC与NBa)的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.37.如图1,A8CZ),点E,尸在AB上，点G在Co上，点尸在A8,Co之间，连接EG,GP,PF,ZAFP=AEGD.(1)求证：PF/GEi(2)如图2,EN平分NAEG交CD于点N,PG/EN,FM平分NP尸B,/NEG：/MFB=11：7,求NFPG的度数;(3)如图3,EN平分NAEG交CD于点、N,PG/EN,FM平分NPF8,GM平分NPGD,与NECZ)的平分线相交于点尸，连接CE.(1)证明：AB/CDx(2)若三角形的三内角之和为180,证明：2NF+NECB=I8
27、0；(3)如图2,设NBCF的平分线交48于点G,若ND=NDEC,求NFCG的大小.图1图239 .已知直线MN尸Q,点CB分别在直线MMPQ上，点A在直线MN和PO之间.(1)如图1,求证：ZCAB-ZMCA=ZPBA:(2)如图2,COA8,点E在直线PQ上，且NMCA=NOCE,求证：ZECN=ZCAB;(3)如图3,B尸平分NPBA,CG平分NACMKAF/CG.若Nc48=50,直接写出NA所的度数.图1图2图340 .已知直线48CO,P为平面内一点，连接雨、PD.(1)如图1,已知NA=50,NO=I50,求NAP。的度数；(2)如图2,判断/附8、ZCDP.NAPO之间的数量
28、关系为.(3)如图3,在(2)的条件下，APLPD,DN平分匕PDC,若N%N+4%8=90,求NANz)的度数.(1)求证：NACO=NA+NB；(2)如图2,过点A作8C的平行线交CE于点”，B平分NEa布平分NMZ若N8AO=70,求N尸的度数.(3)如图3,AH/BD,G为CO上一点，Q为AC上一点，GR平分NQGz)交AH于R,QV平分NAQG交AH于MQMGR,猜想NMQN与NACB的关系，说明理由.42 .如图，ABCD,点、E是AB上一点,连结CE.(1)如图1,若CE平分NAC过点E作EMLCE交CD于点M,试说明ZA=2ZCME;(2)如图2,若A尸平分NCAB,C尸平分N
29、oCE,且N尸=70,求NACE的度数；(3)如图3,过点E作EM_LCE交NDCE的平分线于点M,MNLCM交AB于点N,CHLAB,垂足为H.若NACHTNECH,请直接写出/MN8与NA之间的数量关系图1图2图343 .如图，直线48C。，直线/与直线A8、Co相交于点七、F,P是射线EA上的一个动点(不包括端点E),将：2尸沿P/7折叠，使顶点E落在点Q处.(1)若NpE尸=48,点Q恰好落在其中的一条平行线上，则NEFP的度数为:(2)若NPEF=75,NCFQ=%NPFC,求NEFP的度数.备用图44.已知，如图，AB/CD,直线MN交A8于点M,交CO于点M点E是线段MN上一点，
30、P,Q分别在射线MB,ND上,连接PE,EQ,P/平分NMPE,Q/平分NoQE.H图1图2图3(1)如图1,当PE_LQE时，直接写出NPFQ的度数;(2)如图2,求NPEQ与NPFQ之间的数量关系，并说明理由;，过点作P”_LO/(3)如图3,在(1)问的条件下，若NAPE=45,NMND=75交QF的延长线于点H,将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5,直线MN旋转后的对应直线为MW,同时口”绕点P逆时针旋转，速度为每秒10,ZXFP”旋转后的对应三角形为AFPH,当MN首次落到CO上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过f秒后，Mw恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的f的值.
31、45 .如图，NBCD、H为AB、Co之间一点，E为直线CO上点C左边一点:(1)如图1所示，H尸平分NGHC,ZF=ZCHF,AAHG=FCE,求证：ZA=2ZFCE；(2)如图2所示，ZAHG：GHF：NFHC=L2：3,。尸平分N”CE,NF=54,求46 .已知：ZA0B=a(0o+ZF=90o,JFH-LBE,JNBGH+NoBE=90,：/FGD=ZBGH,：.ADBE=AF,故正确；.8E平分NABa.*.ZABE=ZCBEt/BEF=CBE+/C,2ZBEF=ZABC+2ZC,ZBAF,=ZABC+ZC,：2NBEF=NBAFMC,故正确；Y/AEB=NEBC+NC,.ZABE
32、=ZCBEt/.AAEB=AABE+C,.ZAEBZFEG,C.AFEGZABE+ZC,故错误；(三)ZABD=90o-NBAeZDBE=ZABE-ZABD=ZABE-90o+/BAC=NCBD-/DBE900+ZBACfVZCfiD=90o-ZC,ZDBE=ZBAC-ZC-ZDBE,由得，/DBE=NF,ZF=ZBAC-ZC-ADBE,：.2ZF=ZBAC-ZC,故正确；故选：C.2.如图，A8。，尸为AB上一点，FD/EH,且尸E平分NAFG,过点尸作尸G_LEH于点G,且NA尸G=2NO,则下列结论：/0=40。；(g)2ZZHZE7C=90o；尸。平分N/7FB：产”平分NGFD其中正
33、确结论的个数是()【解答】解：延长尸G,交CH于I.9.,ABCD,：.ABFD=AD,ZAFI=ZFIh,JFDEH,：.AEHC=AD,丁尸七平分NAFG,/.ZFIH=2ZAFE=2ZEHC,3ZEC=90o,ZEHC=3O,ZD=30o,2ZD+ZE7C=230o+30=90, /0=40错误；2NZ)+NEHC=90正确， 尸E平分NA/G,ZAFZ=30o2=60o, ；NBFD=30,ZGro=90o,.NGFH+NHFD=90,可见，N7)的值未必为30,NGFH未必为45,只要和为90即可,，尸。平分777平分NGFO不一定正确.故选：A.3.如图，ABCD,尸为AB上一点，FD/EH,
