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1、第10讲放缩法赋值找零点在基础篇我们学过了零点问题，会利用函数单调性和零点存在定理来确定零点，要应用零点存在定理就必须找到一个点的值大于零或者小于零，而这个点不需要很精确，就可以完美地使用放缩法来近似计算.可将这个找点判定正负号的过程称为赋值.常用的赋值方法如下：1 .直接常数赋值法：代入一个常数点就可以判定出函数值的正负号，这个点也通常是一些特殊点，比如/(0)J(I),f(e)等.2 .参数放缩赋值法:有时代入常数点后，会得到一个含参数的函数值，比如/=aea+3na,这时，无法直接判定出正负号，这个时候就需要利用参数赋值，结合放缩法来判定正负号.3 .双量最值放缩赋值法:参数赋值和常数赋
2、值都无法直接得到点，就需要一个既有参变量(参数)又有常量(常数)的范围点，通过两个量取最值的方式放缩，来判定出正负号.参数放缩赋值法参数放缩法赋值是放缩法的一个应用，难度较大，当然下面的很多例题用参变分离法会非常简单，当然这里为了讲解赋值法，就不考虑参变分离法了.这类赋值法的一般解题思路如下：第一步:判定可行性，在赋值之前，需要利用极限来判定赋值的可行性，赋值也只不过是极限更精确的取点方式，所以如果极限判定出不存在零点就不用臼费功夫了.前面讲过，极限也可以作为粗略的解题步骤.第二步:放缩找点，结合函数单调性和前面所学的放缩法找到含参赋值点，这里需要注意，找大于零的点，则需往小放缩，找小于零的点
3、，则往大放缩.第三步:赋值验证，含参赋值点不仅要满足不等式，还要满足自身取值范围.【例1】函数/(x)=g+2x+(2-c)lnx,若曲线=(x)在点X=I处的切线/与C有且只有一个公共点，求正数。的取值范围.【解析】易得切线y=4x+-2,代入尸/(x)整理得以幻=和2卜2(1)+(2-a)lnx=0,题设等价于函数g(x)有且只有一个零点，gx)=a22x+2.=X(x-1)(oi+-2)9X令g，(X)=O可解得百=或电我们来讨论两个点是否在定义域内，以及比较两个a点的大小.2/7(1)当0时，即2时，可知当xl时，gO,g(x)单调递增.a当OVXVl时，g)v,g(x)单调递减.x=
4、l是g(x)唯一的极小值点，也是最小值点.且g=0,故2满足题意.(2)当20O,即0vv2时，由，(幻=0=西=1,x,=2g.aa当为=，即=l时，g(x)=WL0，g(x)单调递增.又g=0，.a=l满足题X设. x x2,即 Ol 时，1 x2-a,g(x)-V2使得8(%)。，此时要找函数值大于零的点,所以要往小放缩，我们不难看出，当xal时，(2-)111x0,所以直接对g(x)进行去项放缩，g(x)-(x2-l)-2(x-l)=(x-l)(x+l)-2(x-l)-x-2=O.2v7L2|_2_右左42-a二.存在=.aag(%)M焉一1)一2(%一I)=(XoT)(+l)-2(-
5、l)0-2=0.在(。，Xo)内，g(x)存在零点，.g(x)至少有两个零点，不合题意.当2z,即l2时，在(七，1)上，gg(D=在(，与上g*)单调递增，.在(o,与上希望存在修，使g(s)o此外要找到函数值小于零的点，应往小放缩，不难看出，当0xv三vl时段(2-i)o,-2(-i)v2.-2I去项、放缩得g(x)2+(2-)lnx=O=0均=e2-“(其中不等式e7V-).2.存在巧=eH与ql,并注意到微(4一1)0, -2(巧-1)2.二在1，亍aX内g(x)存在零点,从而g(x)至少有两个零点，不合题意.综上所述，=l或42.【例2】函数/(x)=lnx-r(eR).若方程/(x
6、)=-2有解，求的取值范围.【解析】方程/(X)=-竺口/有解=函数(X)=心工_火+伫112有零点22(a-)x2-ax-1n(x)=(x-l)(cr-l)x-l.XX(1)当。=1时，z(x)=lnx-x(x-I)-X=-1巧，则百为极小值点，MD=-O,我们直接通讨参数放缩赋值法可得.要使得MXO)0,则需要往小放缩，当xl时，利用去项放缩法可得,.ci2(a1)r,2c.h(x)-ax+x=xx-a=O=a=1.22)a-又力(2)=ln2+Xo(2-a)=ln2o,由零点定理得(X)有零点.(3)当时，即不易知X=I是(幻的最大值点，令力(X)ia=力(1)0=-1。1，MX)无零点
7、.于是剩下Mx)max=(l)N0=aT，由常数赋值法得力(2)VO,.Z(X)有零点.当一IVaVl时，A(x)max=(l)0-1a1或4-1.【例3】已知函数/(x)=e+/(R),若/()在R上有且只有一个零点，求。的取值范围.【解析】(1)当0时，/(x)0,不合题意.(2)当=0时，/()=/有唯一零点，符合.(3)当v时，一方面/(0)=v0.当XVO时，f,M=aex+2x0f此时/(x)单调递减.只要找到一个点与0即可.若N为某个负常数，因负数。的任意性，无法确保f(x)O,故西须与。有关.必须选取一个含参数的值作为赋值点，选取过程会结合放缩法的运用.当XV-IVo时，禾Ij
8、用单调性放缩可得/(x)=e+*i+一n+#白一%0,且当x0时/(%)=aex+2x0./(x)单调递减.在(to,0)内f(x)有唯一零点.当x0时，须/(x)无零点，而/(0)0,f(x).er记g(x)=-(x0),g(x)=2,令g(x)=O=Ab=2，ee当0xO时，g(%)单调递增.当x*o时，g(x)-.eee4=0xkciz.e*评注:对于(3)题为何放缩找点的方法有很多种，比如当xa+X2=0,【解析】得Xl=-W/.加=-4-a+#=0,且当x0时f,(x)=aex+2xOf/(x)单调递增，而/(e)=l-eO,利用函X数单调性放缩找到西=e的左边xX2=ei.由参数放
9、缩赋值法可得/(eT)=(JeT)-l0.在(0,：)上，/=-L注意至J(2)的结论InXV),由参数放缩赋值法可得f二=21/=2(InL_L-I0.同理f(%)有a)aaa2a)ea2aJ且只有一个零点.由得/(x)有两个零点.综上所述，当0或a=4时，/a)有1个零点；当0。x放缩找点，3e-,同时利用不等式ex/。)，放缩验证a1fea=aea=a-e二与三个赋值点-,4,6。都是可以的.alCraCLae那这三个赋值点是如何找到的呢？1L2LL我们还是从不等式InXL开始探究：InH2W(x)ee(大于U.a也就是，要找小于零的点，就把函数往大了放缩，尽可能放缩为累函数不等式，进而
10、解不等式，找到点，在这个点均=(大于L)的基础上继续放缩羡又可以得aaaaa到其他点.双量最值放缩赋值法如果用参数赋值法找点实在找不到，而用直接常数赋值法也不行，我们需要把两者结合起来取最值，结合函数单调性来判定函数的符号.【例11设函数/a)=/*-Hnx,讨论/0,故r。)无零点(2)当O时，F(x)零点的个数即g(x)=2xe?A-(0)零点的个数.在(0,+oo)上g()单调递墙又g()=a(2e-1)0,下一步寻找正数XO,使g(%o)g(O)=-O,故应将与锁定在0右侧一点点.下面用两种方法来找赋值点，双量最值放缩赋值法:取XO=mine，；1,g(xo)2xqe*-a=-20,依
11、据零点定理途径，存在一个零点.参数放缩赋值法:要取小于零的点，需要往大放缩，当0xl时，由常用指数不等形+整体代换可得F=一，于是当OVXV即0v2xvl时，e2ex1-x2-2xo*aov-g(x)=0,x1=a,即X在。的左边，g(x)a,取g()0,当xl时,/(幻0,/(x)单调递增.当XVI时，r*)0,/(x)单调递减.(X)min=/=Yl时，直接用常数赋值法可得f(2)=0.另一方面，当XVl时，可利用两种赋值法得到.双量最值放缩赋值法：存在bvmin,呜卜使S)S-2)卜。3-1)2=4力(人一1)0，.在X=I两侧，/(X)各有一个零点，满足题意.参数放缩赋值法：当x0起主导作用的那一项显然是(x-l)2,而et(0,l)变化幅度不大，是比较理想的放缩目标.当x(x-2)+a(x-I)22-2+a(x-1)2=(-1)(2+ax-a)2(x-1)(2+0r)=0=0(-l)(2+ro)=0.a.在X=I两侧，/(幻各有一个零点，满足题意.(2)若40,当xl时，/(x)l时，f(x)有两零点.(x-2)et(x2-4x+5lex=g(x)=-r+a(x1)有两零点，但gXx)=J0=g(x)单调递增.(X-I)(-l)此时f(x)不存在两个零点.综上，的取值范围是(0,+00).
