学案空间向量的应用142用空间向量研究距离夹角问题.docx

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1、空间向量的应用1. 4.2用空间向量研究距离、夹角问题【第一课时】【学习目标】1 .用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题。2 .能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题。【学习重难点】重点：理解运用向量方法求空间距离的原理。难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法。【知识梳理】一、自主导学(一)、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离1 点到直线的距离已知直线/的单位方向向量为山A是直线/上的定点，P是直线/外一点。设羽=a,则向量而在直线I上的投影向量而=(a)。点P到直线I的距离为PQ=Ja2-(a-)2.2 .两条平

2、行直线之间的距离求两条平行直线/,加之间的距离，可在其中一条直线/上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离。点睛：点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题。(二)点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面。的法向量为n,A是平面内的定点，P是平面外一点。过点尸作平面的垂线/,交平面。于点Q,则点P到平面的距离为PQ二誓。点睛：1.实质上，n是直线/的方向向量，点尸到平面。的距离就是存在直线/上的投影向量评的长度。2 .如果一条直线/与一个平面。平行，可在

3、直线/上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面的距离求解。3 .两个平行平面之间的距离如果两个平面仪,4互相平行，在其中一个平面。内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面用的距离求解。二、小试牛刀1.已知正方体A8CQ-A4G的棱长为2,Ei尸分别是GC,OIAl的中点，则点A到直线所的距离为。2.在正四棱柱4BCQ-ABGQ中，底面边长为2,距离为。【学习过程】一、情境导学如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某 B 人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路I 上选择一个点，修一条公路到达A点，要想使这个 E 路线长度理论上最短，应该如何设计？H问题：空间中包括哪些距离？求解

4、空间距离常 居 用的方法有哪些？K答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两BB侧棱长为4,则点B到平面Aoc的个平行平面的距离；传统方法和向量法。二、典例解析例1.已知直三棱柱ABC-A出G中，AA1=1,AB=4,BC=3,NABC=90。，求点B到直线AiCi的距离。/、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确。延伸探究1例1中的条件不变，若M,N分别是45,AC的中点，试求点Cl到直线MN的距离。延伸探究2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的

5、直三棱柱，求点B到ACi的距离。M,N分别为AB, SB的中点，如图所示。求点8到平面CMN的距离。M例2在三棱锥S-ABC中,LABC是边长为4的正三角形,平面SAC-L平面ABC,SA=SC=2如求点到平面的距离的主要方法（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离。（2）在三棱锥中用等体积法求解。（3）向量法：d=呼（为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段）Inl跟踪训练1在直三棱柱中，AA=AB=BC=3,AC=2f。是AC的中点。（1）求证：BC平面455（2）求直线BC到平面48。的距离。金题典例如图，在直三棱柱ABe-AIBIG中,NABC=90。,BC

6、=2, CCi =4,点 E 在棱 BBl上，EB=l,DfF,G分别为CG,BC,AICl的中点，石”与BQ相交于点儿(1)求证：81O_L平面AB。；(2)求证：平面EG/平面ABQ；(3)求平面EG厂与平面A8O的距离。总结：求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解。注意：这个点要选取适当，以方便求解为主。【达标检测】1 .两平行平面,A分别经过坐标原点。和点42,1,1),且两平面的一个法向量n=(-l,0,1),则两平面间的距离是()AJB.22C.3D.322 .若三棱锥P-A8C的三条侧棱两两垂直，且满足BA=PB=PC=I,则点P到

7、平面ABC的距离是()3 .如图，正方体A8CZ)-ABGO的棱长为1,。是平面48GQl的中心，则0到平面ABCiDi的距离是(A.-B.24C.立D.渔224 .RtMBC的两条直角边3C=3,Ae=4,PCj_平面ABC,PC彳，则点P到斜边AB的距离是。5 .棱长为1的正方体ABCD-A山IGol中，M,N分别是线段88,BIG的中点，则直线MN到平面ACDi的距离为。课堂小结运用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间

8、的额距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论。参考答案：知识梳理二、小试牛刀1 .答案：经解析：如图，以点。为原点，DA,DC,。所在直线分别为X轴、y轴、6Z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),E(0,2,1),F(l,0,2),EF=(1,-2,1),F=(1,0,-2),EF=yJl2+(-2)2+I2=6,.：直线石尸的单位方向向量1,-2, 1),.:点A到直线EF的距离d=yFA2-(Yj=E=等。2.答案：g解析：以。为坐标原点，DAfDC,。所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),Di(0,0,4)

9、,5(2,2,4),则前=(2,2,0),A=(-2,0,4),F=(-2,-2,0),设平面AOC的法向量为n=(x,y, z),则得2% + 2y = 0, ,l-2x + 4z = 0.取Z=L则x=y=2,所以n=(2,2,l)0所以点Bl到平面AD1C的距离“画面=。【学习过程】例L解：以3为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(4,0,1),C.(0,3,所以直线AlCl的方向向量K*=(-4,3,0),西二(0,3,1),所以点B到直线AQ的距离d=BCz-1FCj=2=JlO-(|)2=羡。延伸探究1解：如例1解中建立空间直角坐标系(图略)。则M(2,0,1),N(2,

10、|,0),Ci(0,3,1),所以直线MV的方向向量为而=(O,|,-1),MC=(-2,3,0),所以点Cl到MN的距离t=JMq2-MQ-2=喑。延伸探究2解：以B为坐标原点，分别以BA,过8垂直于BA的直线，88为X轴，y轴,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则8(0,0,0),A(2,0,2),C(l,3,2),所以4Cl的方向向量砧=(-l,3,0),FG=(1,3,2),所以点B到直线4。的距离d=辰扇葡=J-m2=网=E例2思路分析借助平面SACL平面ABC的性质，建立空间直角坐标系，先求平面CMN的法向量，再求距离。解：取AC的中点0,连接OS,OB.VSA=SCfAB=BC,

11、：AC_LS。，ACLBO.丁平面SAuL平面ABC,平面SACn平面ABC=AC,：5。_1_平面48。.又8。U平面ABC,/.SO.LBOo如图所示，分别以O4,OB,OS所在直线为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系。町z,则8(0,23,0),C(-2,0,0),5(0,0,22),M(l,3,0),M0，3,2)oZCM=(3,3,0),MN=(-f0,2),MF=(-1,3,0)。则n= 3x + 3y = 0,n = -% y2z = 0,设II=(x,y,Z)为平面CMN的一个法向量,取z=l,则X=V,=-6,Zn=(2,-6,l)o:点5到平面CMN的距离介鬻=竽。跟踪训

12、练1(1)证明：连接ABi交AlB于点E连接。及=BiC平面480.(2)解：因为BC平面48D,所以BIC到平面AiB。的距离就等于点与到平面48D的距离。如图建立坐标系，则6(0,22,3),8(0,22,O),A(-1,0,3),dK=(O,22,3),DF=(O,22,0),D7=(-l,0,3)。设平面AlBD的法向量为n=(x,y,z),所以=0所以n=(3,0,1)。I-X+3z=0,所求距离为仁嚅=甯。金题典例思路分析：根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距。(1)证明：如图所示建立空间直角坐标系，设A8=,则A(m

13、0,0),B1(0,0,0),Ci(0,2,0),F(0,1,0),(0,0,1),A(,0,4),B(0,O,4),D(O,2,2),gQ,1,0)。所以瓦方二(0,2,2),AB=(-afO,O),FD=(0,2,-2)0所以昭F=0+0+0=0,取BD=0+4-4=0.所以瓦方1说，BDIBDf所以8iO_LA8,BiDLBD.又ABCBD=B,所以8O_L平面ABD.(2)证明：由(1)可得荏=(m0,0),FD=(0,2,-2),GF=0,0),EF=(O,1, -1),所以荏=2而，BD=2EF,所以而祝EVIBD.所以G厂48,EF/BD.又GFCEF=F,ABCBD=B,所以平

14、面EG尸平面48Z).(3)解：由(1)(2)知，瓦方是平面EG尸和平面ABo的法向量。因为平面EG/平面ABO,所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为D.因为丽二(0,0,3),瓦方二(0,2,2),所以d=喀票=万=乎。即两平面间的距离为厚。IBIOl22+2222【达标检测】1 .答案：B解析：丁两平行平面分别经过坐标原点。和点A(2,1,1),0A=(2f1,1),且两平面的一个法向量n=(-l,0,1),:两平面间的距离公看=/笋=冬故选B.2 .答案：D解析：分别以%,PB,尸C所在的直线为X轴，)，轴，Z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(l,0,0),8(0,1,0)

15、,C(0,0,l)o可以求得平面ABC的一个法向量为n=(l,1,1),则PAn3a=-=0Inl33 .答案：B解析：建立坐标系如图，则A(l,0,0),B(l,1,0),D(0,0,1),O%1)。,:荏=(0,1,0),河=(-1,0,l)o设II=(1,y,z)是平面ABGG的一个法向量，则(竺J解得y=0,z=Ln=(l,0,1)。(D1n=-1+z=0,又成=&f-1)，:点。到平面ABCQ的距离为鬻4号4.答案：3解析：以点C为坐标原点，CA,CB,CP所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。则A(4,0,0),B(0,3,0),尸(0,0,0,所以而二(-4

16、,3,0),AP=(-4,0,所以点尸到AB的距离“IW16+ *解析：如图，以点。为坐标原点，DAfDC,Oq所在直线分别为X轴，y轴，2轴建立空间直角坐标系。贝JO(0,0,0),C(0,1,0),D1(O,0,1),M(1,1,A(l,0,0),/.AM=(0,1,0,AC=(-lf1,0),砺=(-1,0,1)。设平面AC。的法向量为n=(x,y,z),则吃=0,即产+y=0,AD1=0,+z=0.令X=1,则y=z=l,n=(l,1,1)。.:点M到平面ACD1的距离J=,n2又雨而十不/，故MN平面ACD1,故直线MN到平面ACDi的距离为多【第二课时】【学习目标】1 .理解两异面

17、直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角。2 .理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角。3 .理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小。【学习重难点】重点：理解运用向量方法求空间角的原理。难点：掌握运用空间向量求空间角的方法。【知识梳理】一、自主导学1 .利用向量方法求两异面直线所成角若两异面直线八，/2所成角为仇它们的方向向量分别为a,b,则有cos0=cosva,b=-。ab特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是(0,外，而两个

18、向量夹角的范围是O,事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系。2 .利用向量方法求直线与平面所成角若直线/与平面所成的角为仇直线/的方向向量为a,平面a的法向量为n,则有Sine=ICoSa,n=n特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角。3 .利用向量方法求二面角(1)若二面角a-l-的平面角的大小为,其两个面a,的法向量分别为n1,n2,则ICoSa=ICoS=黯(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角。在二面角-/的两个半平面,夕内，各取一条与棱/垂直的直线，则当直线的方向向量的起点在棱上时，两个方向向量的夹角即为二面角的大小。

19、特别提醒：由于二面角的取值范围是O,而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定，因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角，从而求得其大小。二、小试牛刀1.若异面直线4,/2的方向向量分别是a=（0,2,1）,b=（2,0,4）,则异面直线人与的夹角的余弦值等于（）A.-5B.-5C.公5D.252 .若直线/的方向向量与平面。的法向量的夹角等于120。，则直线/与平面。所成的角等于（）A. 120B. 60C. 150D. 303 .二面角-/中，平面的一个法向量为m=（当，J,-）,平面尸的一个法向量是2=（,2）,那么二面角-/的大小等

20、于（）A. 120B. 150C. 30。或150D. 60。或120【学习过程】一、情境导学地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）为23。26：黄道面与天球相交的大圆为“黄道”。黄道及其附近的南北宽9。以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内。黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫。从春分（节气）点起，每30。便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来。地轴春分日（3月21日前后）冬至日（12月22日前后：问题：空间角包括哪些角？求解空间角常用的方法有哪些？答案：线线角、线面角、二面角；传统方法和向

21、量法。二、典例解析例1.如图所示，在三棱柱ABC-A向Cl中，A4底面ABC,AB=BC=AAifNABC=90。,点、E,尸分别是棱A3,8乱的中点，试求直线政和BG所成的角。B1 .利用空间向量求两异面直线所成角的步骤。（1）建立适当的空间直角坐标系。（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标。（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角。（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。2 .求两条异面直线所成的角的两个关注点。（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。（2）范围：异面直线所成角的范围是（0,琲，故两直线方向向量夹角的余

22、弦值为负时，应取其绝对值。跟踪训练1如图,在正四棱柱ABCD-A山ICQ中,AA=2AB,则异面直线A4与ADl所成角的余弦值为。例2.如图所示，四棱锥P-ABCD中,必_L底面ABCD,AD/BC,AB=AD=AC=3fPA=804,M为线段A。上一点，AM=2MD,N为PC的中点。(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。跟踪训练2在棱长为1的正方体ABCDAiBiCin中，E为CG的中点，则直线AlB与平面8。E所成的角为().A.-6B.-3C.-2D.例3,如图，在正方体ABEF-OeEF中，M,N分别为AC,3月的中点，求平面MMI与平面MNB所成锐二面

23、角的余弦值。利用平面的法向量求二面角利用向量方法求二面角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来。跟踪训练3如图，在直三棱柱ABC-A出G中,44尸3。二48=2,43_1_8。,求二面角84。的大小。金题典例如图，四棱柱ABCD-A向CQ的所有校长都相等，ACBD=OtAiCiQBiDi=Oif四边形ACCiAi和四边形均为矩形。（1）证明：。10L底面ABCD延伸探究1本例条件不变，求二面角RAc-。的余弦值。延伸探究2本例

24、四棱柱中，NCBA=60。改为NCAA=90。，设E,产分别是棱8C,Co的中点，求平面ABIE与平面ADiF所成锐二面角的余弦值。向量法求二面角（或其某个三角函数值）的四个步骤（1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；（2）求出两个半平面的法向量n,n2;（3）设二面角的平面角为仇则ICOSa=ICoSVl11,nz;（4）根据图形判断。为钝角还是锐角，从而求出仇或其三角函数值）。【达标检测】1 .平面。的斜线/与它在这个平面上射影的方向向量分别为a=（l,0,1）,b=（0,1,1）,则斜线/与平面。所成的角为（）A. 30B. 45C. 60D. 90o2 .已知向量m,n分别是直线/和

25、平面。的方向向量和法向量，若cos=-,则/与“所成的角为（）A. 30B. 60C. 120D. 1503 .在正方体ABCQ-Al囱GZ）I中，M、N分别为棱BC和棱CCl的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A. 30B. 45C. 90D. 604 .在三棱锥P-ABC中，ABLBCfAB=BC=PAf点。，。分别是AC,PC的中点，OP，底面ABC则直线0。与平面P8C所成角的正弦值为。5 .如图，四棱锥RABCO中，PBj_底面ABCZCDLPD,底面ABC。为直角梯形，AD/BCfBBCfA8=AO=P8=3点E在棱以上，且PE=2EA.求二面角A-BE-O的余弦值。参考答案

26、：知识梳理1 .解析因为ab=4a=5,b=25,所以cos。=ICoS=器I=图=：。答案：B2 .解析：因为直线/的方向向量与平面。的法向量的夹角等于120。，所以它们所在直线的夹角为60。，则直线/与平面。所成的角等于90。-60。=30。0答案：D3.解析：设所求二面角的大小为仇则ICOSolW辛=所以。=30。或150。答窠：Clln22【学习过程】例1.思路分析：建立空间直角坐标系，求出直线环和BG的方向向量的坐标，求它们的夹角即得直线EF和BCx所成的角。解：分别以直线84,BC,BBI为X,y,z轴，建立空间直角坐标系(如右图)。设AB=I,则3(0,0,0),0,0),F(0

27、,0,),C(0,1,1),所以丽=(-：,0,)跖二(0,1,1)。于是鬲,=所以直线即和BG所成角的大小为6。跟踪训练1解析：以。为坐标原点，DAtDC,所在直线为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。孙z,设AB=L则(1,1,0),4(1,0,2),A(l,0,0),D(0,0,2),布=(0,1,-2),4D=(-1,0,2),COSV砧，河=黑暮=m故异面直线A方与An所成角的余弦值为1 1ABAD15555答案：I思路分析：(1)线面平行的判定定理=MN平面(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角=直线AN与平面PMN所成角的正弦值。(1)证明：由已知得AMwAO=2.

28、如图，取BP的中点T,连接AT,77V,由N为PC的中点知TN/BCf77V=C=2.又初/B3故TNAM支TN=AM,所以四边形AMNr为平行四边形，于是MNATo因为ATU平面RIB,MVC平面以以所以MN平面布艮(2)解：如图，取BC的中点七，连接4及由AB=AC得4f_L8C,ArfUAELADf且AE=yjAB2-BE2=J2-()2=5o以A为坐标原点，荏的方向为X轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A.孙z。由题意知P(0,0,4),f(O,2,0),C(5,2,0),N冷1,2),PM=(0,2,-4),PN=(y,1,-2),前若，1,2)。设n=(x,y, z)为平面PM

29、N的法向量，则nPM= 0,TrPN = 0,2v-4z=0,即层可取n=(0,2,l)o于是ICOS1=第。(+y.2z=0,网MNl25所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为警。跟踪训练2解析：以D为原点建立空间直角坐标系，可求得平面BDE的法向量n=(l,-l,2),而瓦R(O,1,1),所以COSe=亲=M则9=30。，故直线AIB与平面BM:成60。角。例3.思路分析：有两种思路，一是先根据二面角平面角的定义，在图形中作出二面角的平面角，然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角的大小；另一种是直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得二面角的大小。解：设正方体棱长为1.以8为坐

30、标原点，BA,BE,BC所在直线分别为X轴，)，轴，z轴建立空间直角坐标系以町z,则“G，0,1),Ng0),A(l,0,0),B(0,0,0)。(方法1)取MN的中点G,连接BG,AG,则G6,因为ZkAMMZkBMN为等腰三角形，所以AGJ_MMBGLMN,故NAGB为二面角的平面角或其补角。又因为刀=6，而=所以cos瓦，而=需=d=g244/244/IGMIGBl1333y88故所求两平面所成锐二面角的余弦值为(方法2)设平面AMN的法向量III=(x,y,z)。由于AM=(T，O,J,AN=(-0)，,11n.i4=O-%-z=0,1,即4?令x=l,解得y=l,z=L于是Ill=(

31、1,1,1)。n1AN=0,-X+-y=0,、22同理可求得平面BMN的一个法向量H2=(l,1,1),所以cos=T2=W,n2333故所求两平面所成锐二面角的余弦值为(跟踪训练3解：如图，建立空间直角坐标系。则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B(0,0,2),Ci(0,2,2),即丽=(1,1,0)是平面4GC的一个法向量。设平面。的一个法向量是=(羽y,z),C=(-2,2,-2),石瓦二(-2,0,0),所以n1F1=-2x=0,nl1C,=-2x+2,-2z=0,令z=l,解得x=0,y=l,故II=(0,1,1)。设法向量n与前的夹角为,二面角Bl-AIC-

32、G的大小为仇显然。为锐角。因为COSo=IeOS创=3鬻=%解得。吟所以二面角B-AC-C的大小为京金题典例(1)证明因为四边形ACG4和四边形3。B均为矩形,所以CGJ_AC,DDiLBD15LCCDDOO,所以。Oi_LAC,OOiA-BDf因为ACn8。=0,所以。iO_L底面ABCD(2)解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCO为菱形，ACLBD.又0i0_L底面A8CQ,所以OB,0C,OOi两两垂直。如图，以。为原点，OB,0C,Ool所在直线分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系。设棱长为2,因为NaM=60。，所以O8=5,OC=I,所以。(0,O,O),B(3,0,

33、2),Ci(0,1,2),平面BDQiB的一个法向量为II=(0,1,0),设平面OGBl的法向量为m=(x,y,z),则由西，m，西，所以IV5+2z=(y+2z=0,(z=-3,则x=2,y=2V3,所以m=(2,23,-3),所以ICoS=售胃=萼=Up。lmnl1919由图形可知二面角G-OBL。的大小为锐角，所以二面角C-OB-D的余弦值为甯。延伸探究1解：建立如图所示的空间直角坐标系。设棱长为2,则A(0,-1,2),B(3,O,O),C(0,1,O),ZX-3,0,0)。所以前二(-5,1,0),砧二(0,2,-2),CD=(-3,-1,0)o设平面AiBC的法向量为III=(J

34、,y,z),则上型=0,即付-2的=0,ITlIBC=0,1-V3x1+%=0,(x=3,则y=z=3,故III=(V3,3)。设平面AICZ)的法向量为H2=(x2,”，z2),则2竺=0，即产为=。，n2CD=0,(-3x2-y2=，取MS则*=Z2=3n2=(3,-3,-3)o所以ICoSl=由图形可知二面角B-AIC-D的大小为钝角，所以二面角B-AIC-D的余弦值为李延伸探究2解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1,贝IJA(0,0,0),(l,0,1),E(l,0),D(0,1,1),F(,1,O),E=(1,0),砥二(1,0,1),F=(,1,0),

35、砧=(0,1,l)o设平面ABIE的法向量为III=(X1,yi,z),n.(n1AB10,(XI+Zi=O,则，_,即1令y=2,则#=-1,z=l,n1AE=0,(Xi-y1=0，所以m=(l,2,l)0设平面ADlTr的法向量为H2=(X2,z2)0Ti2AD1= 0, ,n2,AF = 0,y2+ 2 = 0，+为=令X2=2,则*=-l,Z2=l.所以112=(2,-1,l)o所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为cos=g=?=Je【达标检测】1 .解析：/与所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，因为cos=,所IaIIbl2以va,b=60oc答案：C2 .解析：

36、由已知得直线/和平面法向量所夹锐角为60。，因此/与所成的角为30。答案：A3 .解析以。为原点，分别以ZM,DC,Dq所在直线为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCDAiBGrh中棱长为2,rM、N分别为棱BC和棱CCl的中点,ZM(1,2,0),N2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),MN=(-f0,1),AC=(-2f2,0),设异面直线Ae和MN所成的角为仇。CoSo=黑黑=万%=%IMNIlACl2222则又。是锐角，：。=60。:异面直线Ae和MN所成的角为60。，故选D.4 .解析：以。为原点，射线。4,OB1OP为X,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，设A8=,则OP=JlL而=(-j,0,华a),可求得平面PBC的法向量为n=(-l,-1,旧,所以COSV而，n=舞=票，设而与面PBC的角为仇贝IJSine=甯。答案：5 .解：以B为原点，以直线3C,BAtBP分别为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。设平面EBO的一个法向量为m=(x,y,1),因为而二(0,2,1),FD=(3,3,0),由.四=0,得g+：=。以卜=彳kn1BD=0,(3x+3y=0.y=-2于是吁&31)。又因为平面48七的一个法向量为H2=(l,0,0),所以CoS=嘉=邛。故二面角4-8E-。的余弦值为冬