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1、人教B版（2019）必修三第八章向量的数量积与三角函数恒等变换章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.已知448C是边长为4的等边三角形为所在平面内一点,则PA（P8+PC）的最小值为（）A.-8B.-6C.-4D.-22.若两个非零向量of满足|+川=|-/?|=2|,则向量+方与4一人的夹角是（）A.-B.C.-D.空26333.若tan住一=2cos*in,则tat2=()4)cosa-2snaA.lB.33yD.-34.己知向量,力满足Ial=3，|力|=应，（-匕）包=1，则向量，匕夹角的大小等于（）A.30oB.45C.60oD.120o5在AABC中,已知AC=4,向量A
2、B在向量AC方向上的投影向量为，J，80=20。，则AC8O=()A.12B.8C.6D.46已知sin(e-I=那么COSIa+3sin2a=()AUB.-lC.-D.-99997.已知力是单位向量,若+则。在b上的投影向量为（）A.7B.aC.D.-b33338 .己知向量。=（1,2）,。=（-&2,1）,壮丸力的夹角为,若存在实数用使得WCoSe-后0,则2的取值范围是（）B.(0,+)(ID.-,-I2二、多项选择题9 .如图,平行四边形4?C。中,ab=2,AD=4,N84O=二,七为CO的中点4七与交3于E则（）A. BF在AB方向上的投影向量为OCAQAB = 2 1 - b.
3、af=-ab+-ad33D.F = 2710.如图，已知点。为正六边形ABCQE尸的中心，下列结论中正确的有（）A.OA+OC+O8=0B1(OA-AF)(EF-DC)=OC.(OAF)BC=(AFBC)OAD.OF+OD=FA+OD-CB11.已知点。为AABC所在平面内一点，且2。4+3。8+4。C=0,则下列选项正确的有()14.AO=-AB+-AC39B.直线AO过BC边的中点C9S-71JAAOB*ABOC-4JD.若IoAI=IOBl=IOCI=1,则OCAB=义16TTTT12 .已知向量Q=(l,0),b=(cos,sin),，则a+b的值可以是()22A.2B.3C.2D.2
4、梃三、填空题13 .设向量e；，4为单位正交基底,若a=2ee；石=e；+Ze；，且岳则k=14 .己知忖=&,。=(1一几)+,若。.。=0,4.。=1,则丸=15 .已知=(-2,11b=(/几4),若_1_(-Z?卜则血=-16 .古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得,阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点AB的距离之比为定值义(几0且；IHl)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系Xoy中,A(-2,0),8(2,0),点P满足粤=3,则paPB的最小值为.PBFAS四、解答题17 .如图,在中,NBAC=容AD=3DB，P为
5、CD上一点,且满足AP=mAC+；AB,若ABC的面积为2。.(1)求加的值；(2)求MI的最小值.18 .如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=5(X)m,一艘船从点A出发航行到河对岸，船航行速度的大小为同=IOkmh,水流速度的大小为同=4kmh,设W和岭的夹角为6(0。180。).（1）当cos。多大时，船能垂直到达对岸？（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？19 .如图，AB为半圆。的直径，IABI=2,C为A3上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明ACJ.BC；（2）若。是A8上更靠近点8的三等分点，。为AC上的任意一点（不含端点），求QACB的最大值.20
6、.如图，在平行四边形ABCO中，AP.LBD,垂足为P,AC与8。交于点0.(2)设A8=6,AC=8,ZBAC=,AP=xAB+yAC1求yx的值.AD = 2, ZBAD = 20o.(2) AE = -AB ,3BF = -BC t 求 AAoE的值. 2a22.如图,在四边形ABC。中,/5=60。，=3,8。=6，且40=/180，4。48=-5.(1)求实数/1的值;(2)若MN是线段3。上的动点,且IMVl=I,求DM-DN的最小值.参考答案1 .答案：B解析：取BC中点。,以O为原点,OCoA为Xj轴建立如图所示平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0),(0,2,设Pay
7、),贝IJEA=(-x,25-y),尸8=(-2-x,-y),尸C=(2-x,-y),所以P3+PC=(-2x,-2)，所以PA(PB+PC)=(-x,23-y)(-2x,-2y)=2x2-43y+2/=2x2+(y-3)2-3-6,当且仅当x=0,y=J时等号成立，所以PA(尸3+PC)的最小值为6故选：B.2 .答案：D解析：a+b=a-b=2a,.2-2-2.22 a+2ab+b=a-2ab+b=4。 ab=OiI昨GIaI，.(a+b)(a-b)=-2a2，设+Z?与aZ?的夹角为。，Z)3+8)(a-Z?)1cos=a+ba-b2夕0,兀,故选：D.3.答案：C解析：因为tan但=2
8、cos + sin, 4) cosa-2sina可得 l-tana_ 2 +tana1 + tan a 1 - 2 tan a整理得2tana.誓二1所以tan 2a2 tana1-tan2 atan2 -l3l-tan2 a故选：C.4 .答案：B解析：因为o=3,b=,(叫力=1,所以Qd=1，即如-忖=1,所以.6=3Sl/ab3V2所以cos=第=荻*丁因为0,句,所以=45故选：B.5 .答案：B解析：如下图,若BELA。，则AB在AC方向上的投影向量为A3cosN8AC1ACAC又向量AB在向量AC方向上的投影向量为1f，AC则IABIcosZBAC=1,即AE=LCLL.22-2
9、22.所以ACBO=AC-(AC-AB)=-ACACAB=-(AC2-AFAC)=8.3333故选：B.6 .答案：A解析：因为Sin(N-)=-变,可得sin(-3=也，6363乂由cos2a+3sin2a=2(gcosIa+*sin2a)=2cos(2-)=2cos2(-)=2l-2sin2(-三)=2(l-2)=.故选：A.7 .答案：D解析：根据已知可得4(+35)=+34仍=+30=0,所以,=.3所以,在方上投影向量为华舒-).hb3故选:D.8 .答案：C解析:WCoS-y5mO,则n尸的重心，直线A。过E尸中点，而EF与BC不平行，所以直线AO不过8。边的中点，B错谖；又Sad
10、OE=S小EOF=DOF，而SADOEEOF=,所以SaaoSoc=2U,C正确；若04=08=OC=1,且2c，I16OC=(2OA+3OB)2=4OA+2OAOB+9OB,所以OAOB=,而4T1rT11r2n-_r23OCAB=-(2OA+3OB)(OA-OB)=-(2OA+OAOB-3OB)=-,D正确.故选4416ACD.解析：由向量=(1,0),b=(cos,sin),可得Ial=1,b=lfab=cos，则I+=Ja2+b2+2ab=j2+2cos6.因为6,，所以CoSeE0,1,22所以2+2cos?2,2,即I+A2,2，故选项ABC符合题意.故选ABC.13 .答案：2解
11、析：因为向量q，e；为单位正交基底，a=2ee2,力=d+公2，_1力所以(20-助日+g)=0,即2e+(2-l)e1e2-ke2=0所以2-2=0,即2=2故答案为：2.14 .答案：!或0.5解析：,卜T,c=(l-4)+HbJl4=0,c=l,.c=(l)+4j4=(-)a+ha=(12)=2(1-2)=1,故a=；故答案为:：215 .答案：-L2解析：因为2=(-2,1),5=(n,4),贝IJ0-/?=(2-机,一3),且4，(。一)，贝J2x(2z)+1x(-3)=0,解得m=一3故答案为：一.216 .答案:-3解析：设点尸(x,y),由科=3可得专+2,42i=3,整理可得
12、f+y2_5+4=0,PB(x-2)2+/化为标准方程可得-J+=1因为。为AB的中点,所以，尸AP8=(P0+QA)(P0+08)=(P0+QA)(P0QA)=p0T0A=PO2-4,记圆心为呢,),当点尸为线段OM与圆卜_|J+y2=(的交点时，IPOl取最小值,此时,0o=-g=1,所以,PA尸B=Pq2-4l-4=-3.故答案为：3.17 .答案：工3(2)当匕=2Lc=竽时取得等号解析：(1)建立如图所示直角坐标系,设Ae=b,AB=c,则B(c,O),C-,，7由AO=3DB得(,),I4)因为CPQ三点共线,所以co/PO,所以3c b 一+ 4 2c bn+4 2=0,解得m
13、= - 3因为SascCSin与二从=26，所以L =苧,当且仅当b = 2Lc所以历=8，递时取得等号.3218 .答案：（1）CoSe=-W5（2）不是最短，理由见解析解析:（1）船垂直到达对岸,即y=匕+%与匕垂直，即（匕+v2）v2=0,所以匕-y2+v2=0，pv1v2cos+v22=0,所以40COSe+16=0,7解得CoSe=.5（2）设船航行到对岸所需的时间为f,rllld0.51则t=1=.WJsinOIoSin夕20sin故当，=90。时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸时，由（1）知90。，并不是最短.19 .答案：（1）证明见解析(24解析：（1）证明：建立平面直
14、角坐标系如图所示.由题意可知IOBl=1,A(-l,0),以1,0),设CQb),则108ROCl=Ja2+尸=,a2+b2=.由于AC=(4+l,b),BC=(a-,b)f所以ACBC=/-1+/=11=0,故AC_L8C,即AC_L3C.(2)由题意知NCO5=1，则cg岑)连接0Q，设NQOB二。，则夕(,Q(CoSasin。).因为QA=(-I-CoSe,-Sin)所以Q4CQ=-!-LCOSe+NsinJ=sin(j-乙，222V6)2 56,6又eg,所以q故当。4专,即当时，丽而取得最大哈20 .答案：（1）2解析：(1)在平行四边形ABCO中，APtBD,垂足为P,/.APAC
15、=AP-2A0=2AP(AP+PO)=2APAP0=8,aAP=Jl 481 +21 明I a。ICOSNBA+1=j9 + 232- + 4 = 7.(2)答案：-解析：因为A户=A3 + 37 = AB + a。，DE = AE-AD = -AB-ADf 23所以 A尸OE = (a8 + Jao(1a8-Ao = ,A82-3A8AO-!ao2(2 八3) 362= LlABi2 -I AB IAD cosZBAD-1 ADI262, 74 = -.HAPI2=4,解得IAPl=2,故AP的长为2.(2),AP=xAB+yAC=xAB+2yAOf且8,P,。三点共线,.,.x+2y=1.
16、TTX.-ABI=6,IACI=8,ZBAC=-,3.ABAO=AB-ACcosZBAC=2.2由AP可知4PB=(xA月+2),A0)(A0-AA)=O展开得2yAO-xAB+(X-2y)ABAO=O,化简得到y=3x,联立(D解得R=Ly=-故y-=2.77721 、(I)答案：7解析：I峰Cl=I48+AE)I=J(AB+JD)?1 c 5.1=932 36 Ik 2； 2=Jab2+2abad+ad222 .答案：（1）A=-；6（2）.2解析：（1）AD=BCADHBCNB=60,.NDAB=120。，.ADAB=623cosl20o=-,(2)过A作AoJ,3C,垂足为。，则08AB=3,OC=2,AO=空，2222以。为原点,以BQOA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示:
