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1、北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何期末综合复习卷一、单选题1 .41,2,2）,8（3,-1，8）,则A，8两点的距离为（）A. 7B. 3BC. 7D. 492 .如图，四面体SxBC中，。为BC中点，点E在40上，AD=3AEf则说二（）B. -SA+-S+-SC366D.-S+-SB+-SC2363 .已知平面。的一个法向量m=（,T,2,平面月的一个法向量=（-3,2,2）,则平面a与平面的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不确定4 .如图，在三棱锥P-ABC中，己知24=P8=!aC=,AB=BC=I,平面2平面ABC,则异面直线PC与A6所成角的余弦值为（）
2、A.&B.BC.BD,也63335 .已知三棱锥ABC。的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A(2,0,0),6(2,1,0),C(0,2,0),0(0,1,2),则该三棱锥的体积为(A.2_3B.C.D.6 .如图，在四棱锥A-BCDE中，DE/CB,BEI平面AeC,BE=3,AB=CB=AC=2DE=2,则异面直线QC与AE所成角的余弦值为（）AI30R213r1313O131313267 .如图，PA_1面43。,ABCZ）为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD,下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）C. PD与ABD.尸打与C。8.在正方体A8CO-A18GA中，E是GC的中
3、点，则直线BE与平面片8。所成角的正弦值为（）AMRMri5ni555559.已知四边形ABCO为正方形，P为平面48C。外一点，PDAD,PD=AD=2f二面角P-AD-C为60。，则P到AB的距离是（）A.22B.3C.2D.710.如图所示，在空间四边形QlBC中，OA=a,O8=b,OC=c,点M在OA上,且。M=2MA，N为3C中点，则MN（B.aHbC3222 2-1D.a+-bc3 3211 .已知在正四面体ABCO中，点E是C。上靠近C点的三等分点，点尸是边AC的一动点，若E尸与面88所成角的最大角为。，则Sine为（）BfcT12 .在棱长为2的正方体ABCO-A18CQ中，
4、点E在棱AA上，AE=3AxEt点G是棱Co的中点，点尸满足B/二%5b（o1C也是空间的一组基底.16 .如图所示，在平行六面体48S-AI4GA中，ACJBQl=F,若AF=XAB+yAD+z,则x+y+z=.三、解答题17 .在直三棱柱ABC-AlBICl中，ABlAC,AB=AC=2,AA=4,点D是BC的中点;Cl（I）求异面直线AB,AG所成角的余弦值；（II）求直线ABI与平面CIAD所成角的正弦值.18 .如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCo是平行四边形，ZABC=120o,AB=1,BC=4,PA=15，M,N分别为5C,PC的中点,PDtDC,PM上MD.（1）证明：
5、AB1PM；（2）求直线AN与平面灯）所成角的正弦值.19 .如图甲，正方形AAA；A边长为12,AA1/BBlCCifAB=3,BC=4,AA分别交8片，CG于点P，。，将正方形AAAA沿84，CCl折叠使得4A与AA重合，构成如图乙所示的三棱柱ABC-AgG，点M在该三棱柱底边AC上.(2)若直线与平面APQ所成角的正弦值为空，求AM的长.1520 .如图，四棱柱A8CO-Al8C。中，底面ABCO是正方形，平面AA8与J_平面ABCDfAiDlCtAAi=2AB.(1)求NA4B的大小；(2)求二面角4一8。一用的余弦值.21 .如图，三棱柱ABCAAG所有的棱长为2,AB=AC=6,M
6、是棱BC的中(I)求证：AMJ平面A8C;(II)在线段BxC是否存在一点P,使直线BP与平面A山C所成角的正弦值为之叵?20若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由.22 .如图，四棱锥尸一ABCD的底面是矩形，PD_L底面Ae8,PD=DC=I,M为BC的中点，且P3J.AM.(1)求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值.参考答案1. C【分析】利用空间两点间的距离公式直接求解即可【详解】解：IAB=22+32+62=7.故选：C.2. B【分析】由向量线性运算的几何含义知SE=SA+AO,Ao=(AC+AB),ac=SC-SA32AB=SB-SA,即可得SE与SA,SB,SC的线性
7、关系式.【详解】四面体S-ABC中，。为BC中点，点E在力。上，AD=3AEfZS：=SA+-AD=SA+-x-(AC+A)=5A+-AC+-AB=SA+-(SC-SA)+3326661 211-(SB-SA)=-SA+-SB+-SC.6366故选：B3. B【分析】可计算两个向量数量积，看其值是否为零来判断位置关系.【详解】_2因为“=qx(-3)+(T)x2+2x2=0,所以加_L，所以平面与平面夕垂直.故选：B.4. A【分析】取AB的中点为O，连接尸。，证明PD_L平面ABC,ABlBC,然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.【详解】取A8的中点为O,连接尸)因为ZA=PB,所以P
8、D_LAB，因为平面R45JL平面ABC,平面PABC平面ABC=AB，尸Du平面PAB所以尸DJ_平面ABC因为PA=PB=AC=,AB=BC=I2所以ABLBC如图建立空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),P(O,1,1),C(2,0,0)所以AB=(O,2,0),尸C=(2,1,一1)BPC26所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为l-11=-F=PC266故选：A5. B【分析】在平面直角坐标系中找出点的位置，数形结合计算可得；【详解】解：如图在空间宜角坐标系上找出点的位置，取OC的中点尸，连接。尸，显然_1平I112面ABC,SAeC=KXIX2=1，DF=2,所以%
9、8c=SabcDF=-l2=故选：B【分析】UUKl取BC的中点尸，以尸为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得向量CD=(0,1,3)和AE=(-3,1,3),结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，取BC的中点F,连接AR,DF，可得DF/BE,因为班：！平面ABC,所以)/_1平面A5C,又由AB=CB=AC且产为BC的中点，所以A/_L3C,以尸为坐标原点，以。尸所在直线分别为x,z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示，则a(G,O,o),(0,1,3),C(0,-l,0),O(0,0,3),故CO=(0,1,3),Af=(-3,1,3),/UUD UlllL 贝 I cos (C
10、D, AE10130i13 13UU11ULKCDAEIliIl1j1I11-ULTtutitItlICoMEl故选：A.7. A【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证P4J_ZM、ABLPDPA-LCD,而B。不一定与PC垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.【详解】由尸A_L面AB8,ABCI)为矩形，A：ADU面A3C，则QAj_AO,而AC与AO不一定垂直，不一定有80_1面PAC,故Bo不一定与PC垂直，所以PC与B力数量积不一定为0,符合题意：B：由A知BAj_AD，又AA_LA6且ABCa4=A,则DAJ_面248,又PBU面Q43,所以M_LA，即尸5与。
11、，数量积为0,不合题意;C：由上易知EAI.AB,又DA_LAB且DAPA=Af则AB_1面PA,又尸Du面PAB,所以A3_LPZ),即P方与A3数量积为0,不合题意；D：由上知R4LA3,而A5/CD,所以PA_LC,即PA与CO数量积为。，不合题意；故选：A.8. B【分析】以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与8。的法向量=*,y,z),然后利用向量法可求COS小BE,从而求直线BE与平面BIBD所成角的正弦值.【详解】解：以o为坐标原点，以OA为X轴，以OC为y轴，以OA为Z轴，建立如图空间直角设正方体的棱长为2,则。(0,0,0),8(2,2,0),4(2,2,2),E(0
12、,2,l)/.BD=(-2,-2,0),BBl=(0,0,2),BE=(-2,0,1)设平面耳8。的法向量为=(X,y,z),nA.BD111BB,-2x-2y = 012z = 0则 = (TI,0),口口nBE10.cos=，n-BE5设宜线BE与平面BIBD所成角为。，则Sin=cos=普,故选：B.9. D【分析】先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.【详解】因为ABC。为正方形，所以LOCDCLAD由=2PDC为二面角P-AD-C的平面角，即NPOC=60。.PDlAD如图所示，过P作。_L。C于.,.DC1AD1PDl.ADfDC尸Z)=。，AoJL面尸。C.,，4DJ面P
13、”.又PHA.DC,ADDC=DS-PHL面ABCD,在平面AC内过作“EJ_A8于E,连接PE,MJPEABt所以线段PE即为所求.以H为坐标原点建立空间直角坐标系H-xyz,则”(0,0,0),41,2,0)1(-1,2,0),石(0,2,0),尸(0,0,后)所以PE=仅,2,-JJ),PE=O+22+(-3)2=7故选:D.【点睛】方法点睛：距离的计算方法有两类：(1)几何法：利用几何图形求值；(2)向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.10. B【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可.【详解】12211MN=ON-OM=-(OI3+OC)OA=a+-b+-c23322故选
14、：B11. D【分析】将正四面体放入一个正方体中，且建立如图所示空间直角坐标系，求得平面8C。的一个法向量，设CR=XCA02l,表示出E户，由Sine=卜os=ri可求得11HfI最大值.【详解】如图所示，将正四面体放入一个正方体中，且建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为3,则A(0,0,3)倒0,3,0),C(3,0,0),0(3,3,3),E(3,1,1),则5C=(3,-3,0),D=(3,0,3),EC=(O,T,-l),CA=(-3,0,3),设b=4C4=(-3儿0,3l),04l,则M=EC+Cb=(-3Z-1,34-1),设平面BCD的一个法向量为=(Ay,z),nB
15、C = OCBD = O3x-3y = 03x+3z = 0则 y = l,z= 1,即 =(1,1,- 1),则 sin = cos | =|叫二6MWl同9储+1+(34-1)2当;I=O时,Sine=0,当OC41时，sin”一3八，则当=2，即4=2时，Sine取得最大值，此V-+9231时。最大，且Sine=2巨.3故选：D.【点睛】关键点晴：本题考查线面角问题，解题的关键是将正四面体放入一个正方体中，利用向量关系表示出Sin夕12. B【分析】以。为坐标原点，分别以D所在的直线为x,y,Z轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG与平面ABCO所成二面角的余弦值为亚求出义的值
16、，画出截面3图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案【详解】解：如图，以。为坐标原点，分别以OAoCoA所在的直线为,y,Z轴，建立空间直角坐标系，则G(O,l,O),E(2,),F(2,2,2l),所以G=(2,G户=(2,1,24),设平面77G的一个法向量为7=(X,y,z),则3丸3,取 z = l,则 “ =(,4H, 1),8 243mGE=2x-y+-z=OmGF=2x+y+2z=0平面A8CD的一个法向量为n=(0,0,1),由题意得mnHH(y)2(-A)2+l水113T解得;I =:或;I = S (舍去),J420延长M,A8,设瓦AB=I,连
17、接/G,交BC于K，延长/G,交4。的延长线于L，连接包，交DDl于H,则五边形EFKG”为截面图形，由题意求得EF=有，FK=卜+(；=亭，GK=J,HG=*,EH=后,FH=2屈,截面五边形EFKGH如图所示，则等腰三角形EFH底边切上的高为6,等腰梯形”GK尸的高为亭，则截面面积为S=k2J+,(0+2)且=坡2224【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面分G与平面A5CO所成(锐)二面角的余弦值为亚求出；I=!，属于中档题3413 .(2,2,2)【分析】由空间向量的线性坐标运算可得答案.【详解
18、】因为油=(2,3,1),AC=(4,5,3),所以8CAC-AB=(4,5,3)-(2,3,1)=(2,2,2),故答案为：（2,2,2）.14 .16【分析】的范围，再由以。为原点，分别以QA,DC,DD1为X,y,z轴建立空间直角坐标系，N（OM,Ol,Ol,由MNJ.AC，得到。，的关系，确定N-AtDAtDI求解.【详解】以。为原点，分别以D4,DC，DDl为X,y,z轴建立空间直角坐标系：则A(1,0,1),C(OjO),M(g,1,0),设N(OM力),0l,08=gxSMDXlal=l=-15，直线ABI与平面CIAD所成角的正弦值为：延考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所
19、成的角.18. (1)证明见解析；(2)巫6【分析】(1)要证ABJ_RW，可证由题意可得，PDlDC,易证OM_L0C，从而OC_L平面RW,即有OC_LPM,从而得证；(2)取AO中点E，根据题意可知，ME,0M,PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PDW的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.【详解】(1)在aDCM中，Z)C=1,CM=2,NDCM=6。，由余弦定理可得OM=JL所以ZM2+oc2=C2,.OM_L.由题意。C_LpZ）且PDCoM=。，.fCL平面包M,而PMU平面也加，所以QCJ_PM,又ABI/DC,所以ABJ_HW
20、.(2)由QW_LMr),ABLPM，而AS与DM相交，所以M_L平面AeC，因为AM=币,所以PM=26，取AO中点E，连接ME,则ME,DM,RW两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(-3,2,0),P(0,0,2。,D电0,0),M(0,0,0),C(3,-l,0)又N为PC中点，所以N(g,-1,AN=仕g,-,J.I22JI22J由(1)得CQ_L平面P力M，所以平面尸DM的一个法向量=(OJO)5.nANn215从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为SIn=小-=.IAMIn/2725+26【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABJ.AW
21、,可以考虑DCj_PM,题中与OC有垂直关系的直线较多，易证CJ平面灯加，从而使问题得以解决：第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.19. (1)证明见解析；(2)AM=3或AM=【分析】(1)在图乙中，过M作MNCQ,交AQ于N,连接PN,证明四边形脑VPB为平行四边形，然后得到尸N即可；(2)分别以84，BC,BBl为X,yfZ轴，建立空间直角坐标系，然后算出平面APQ的法向量坐标，设AM=；IAC，得M(3-32,4l,0),然后由条件建立方程求解即可.【详解】(1)证明：在图乙中，过M作MN/CQ,交AQ于N,连接PN,则MNHPB
22、,JMZVPB共面且平面MNPB交平面APQ于PN,VAB=3,8C=4,AC=5,又A4AA为正方形，715QC=7,tan。AC=3，由AM=亍，有MN=3=BP,四边形Wg为平行四边形，BMHPN,又PNU平面AP。，W平面AP。，：,平面APQ.(2)由(1),AC2=AB2+BC2,ABBC.由题图知，P3=A3=3,QC=7,分别以BA,BC,BBl为x,ytZ轴，建立空间直角坐标系,jJ-11PK/b/A4则A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),Q(0,4,7),BC=(0,4,0),AP=(TO,3),AQ=(-3,4,7),设平面APQ的法向量为=(x,y,z
23、),lAP=-3x+3Z=0,则n-AQ=-3x+4y+7z=0,令x=l,得=(L-L1),设AM=44。得M(3-3Z,42,0),V直线BM与平面APQ所成角的正弦值为巫,15.13一74而(3-3)2+1623153315解得或4=TT，即=3或AM=.20.(1)；(2)37【分析】(1)由题意，根据面面垂直的性质定理有AD_L平面A884,所以AO_L48,又易证AC平面ABQ,所以ACLAB,从而得A1B_L平面ABCO,所以ABJ.A8,最后在Rt.ABA.中解三角形即可求解;UU(2)以8为原点，AC，BD，84；分别为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角坐标系,求出所需点坐标
24、，平面用8。的法向量为勺，平面AO8的一个法向量,利用向量法即可求解二面角Ai-BD-Bi的余弦值.【详解】解：(1)因为平面AA8与J平面ABCD,平面4A88c平面A5CD=A5,且Ar_LA5,所以AoJ又A,0J,AC,BDLAC,AiDoBD=Df：.AC_L平面AiBD,ACLA1B,又ACAD=A,AiBAB,在RLABA中,A4=2ABf“AnAB1所以CoSZAAB=而二子71所以/AA3=；(2)以8为原点，AC，BD，BA分别为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角坐标系.设ACQBO=O,令AB=2,则有4卜形,虚,0),8(0,0,0),0(0,应,0),1(,O,23)
25、.则8。=仅,20,0),BB1=(2,-,23),设平面的法向量为VDB-W1=OI-则八,可得一解1=(而0,T)IBBl21=0一u因为AC1平面A1OB,所以平面AiDB的一个法向量%=(LO，)，所以COSVMP2 =ln242t即所求二面角的余弦值为叵21. （1）证明见解析；（三）存在，CP=-CBx=412【分析】(1)由题意，证明AM，BC与AMJ,AM,根据线面垂直的判定定理即可证明M1(2)建立恰当的空间直角坐标系，令PC=入BC,求出所需点的坐标，向量的坐标，法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可.【详解】解：（1）证明：1B=lC=2,BC=2,是3。中点,.lfBC
26、,lM=1,又AAI=2,AM=L.AM2+A1M2=AA；f.AiM_L平面ABC,(2)建立如图所示的空间直角坐标系M-yz,由(1)知平面A3C的法向量为M4=(G,O,o),a(3,O,o),1(0,0,1),B(OJ,O),C(O,-1,O),BIC=BC-BBl=BC-AAi=(3,-2,-l),令尸C=43C=(,U,-l),(O1)则BP=BC+CP=(0,-2,0)+(-32,2,=(-32,22-2,2),设直线BP与平面A山C所成角为。，则sin=Icos1=,1 1382-8A+42033解得;I=二或4=二(舍)，42所以当CP=2C4时，满足题意，此时CP=J(芋)
27、+(-j+(-(j=苧.22. (1)2；(2)叵14【分析】（1）以点O为坐标原点，DADC、OP所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，设3C=20,由已知条件得出。氏AM=Cb求出的值，即可得出3C的长；（2）求出平面QAM、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）尸）_L平面ABC,四边形ABCD为矩形，不妨以点O为坐标原点，DA.DC、OP所在直线分别为X、丁、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。一勾区,设BC = 2,则。(0,0,0)、P(OQ 1)、8(21,0)、M(a,0)、A(2,0,0),则 P8 = (2,l,T), A
28、M= (-,1,0),PB工AM,则 P3AM =-2+l = 0,解得。=乎，故 BC = 2a = & 设平面P4的法向量为m = （%,y,zj,贝IJAM =*,1,0 , AP = (-,0,1),tn. AM =x1 yl = OL(L 2 11,取XI=J5,可得加= (2J,2),tn AP = -2xi + z1 = O设平面PBM的法向量为=（毛,%匕2），BM =,o,o , Bp=(Sti),n BM =X)=O12 -,取%=1，可得 = (0,1,1)，n BP = -Jlx2 - y2 + z2 = Ocos =m n3314Wl V7 2 14所以，sin=JI-COS?Cm,几=，因此，二面角APM3的正弦值为画14
