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1、递推法与数列法凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”.该类问题求解的根本思路为：逐个分析开始的几个物理过程利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式（是解题的关键），最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题；无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用.凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复.随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化.该类问题求解的根本思
2、路为：逐个分析开始的几个物理过程；利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式（这是解题的关键）；最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解.无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用.等差：S=错误!未指定书签。=C+错误!未指定书签。-U为公差）.等比：S=错误!未指定书签。（q为公比）.运用数列的思想可以解决一些往复运动的问题。如等比数列与等差数列在物理题中的应用。其一般步骤为：根据物理知识列出一般数学关系式；分析关系式遵循的数学规律，找出通项，根据数列规律求出物理量。运用极限的思想能够解决在理想状态下的物理问题的解等。数学中的数列与物理学中的运动学的数理结合问题，在求解该问题中，
3、正确写出某一物理量的通项表达式是解题的关键。例5一个球从Ioo米高处自由落下，每次着地后，又跳回到原高度的一半再落下，假定球与地面每次碰撞过程中没有能量损失，空气平均阻力大小不变，问等到球停止运动，停留在地面上时，球总共经过的距离为多少米？【分析】此题是数学中的一个求无穷等比数列各项和的问题，如果用数学知识来计算求解比拟复杂，我们采用逆向思维，利用物理学中功能原理那么很容易求解。【解答】：设球的质量为m千克，空气平均阻力大小为f牛顿，g为重力加速度，S为球总共经过的距离。球从100米高处自由落下，着地后只回到50米处，说明球的重力势能减少了，减少的原因是空气阻力作了负功，那么有Wf=f*d二E
4、代入数值得f（100+50）=100mg-50mg,求出f=13mg,同理由功能原理有：100mg=fs,100mg=13mgs,s=300（米）。1.把长为s的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端由静止出发，以加速度a运动，当它到达每一等份末端时，加速度增加an,那么汽车到达终点站B时的速度是多少？解析：依题意有：第一段的末速度v12-0=2a1snS第二段的末速度：v22v12=2ad1nn第三段的末速度：v32-v22=2a+幺-nn第n段的末速度：vn2vn12=2a+nn以上n个式子累加得：(+-)(/?-1)“一乂S乂n-as(3n-)n2n即:回亘,Vn22 r . / IMSVn
5、 -v_! = 2aa + n-)- n nvn.l2-匕/=2aa+(w-2)-nnVo2-Vzl_32=2aa+(n-3)-nnv32-v22=2a(a+2)nn22zlasv2-v1=2(d+-)n2Gv1=lari两边同时累加，消去得2CSrn(n-i)a.vn=2a-an+n2nCSr a(n-)2.如下图，个相同的木块(可视为质点)，每块的质量都是m, 为/,第个木块到桌边的距离也是/,木块与桌面间的动 摩擦因数为开始时，第1个木块以初速度。向左滑 行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木 左 块都粘在一起运动.最后第个木块刚好滑到桌边而没有 掉下.(1)求在整个过程中因
6、碰撞而损失的总动能.求第i次(i7 - 1)碰撞中损失的动能与碰撞前动能 之比.从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均n nl n2 UQ .nee 4jt ；T 第I8JS图假设正4,/=0.10m,UO-3.0ms,重力加速度g=10m/s?,求的数值.解：(1)整个过程木块克服摩擦力做功n(n+V)m11glCw=mg.!+mg.21+Umg.nl=2根据功能关系，整个过程中由于碰撞而损失的总动能为E尸ELW得-巡也也包22(2)设第/次(/Wn-1)碰撞前木块的速度为u,碰撞后速度为uj,那么(7+1)u,=imu碰撞中损失的动能时与碰撞前动能E”,之比为1.21/八.
7、2AEla5加片5(+1必修(E)P1.21.Kt-imUjNEKit-L(/61)EKii+初动能部=欣/2第1次碰撞前EKl=EkqRngl第、次碰撞后二EKIAEK、=EkE2=E2fmgU2第2次碰撞五二E=NQmg)I=EKC一mgl/2第2次碰撞后Ek；=E2fE2=E3-5mgl3第3次碰撞前后小二七心-Nmg)l-=EKOI3-14mgl3第3次碰撞后EIEqFEk3=Ek/&-7mgl/2据题意有EKo/4-IwngH2=咫)/带人数据，联立求解得/=0.15例12小球从电二45加高处自由落下，着地后又跳起，然后又下落，每与地面碰撞一次速度就减少为原来的k倍，假设Z=；,求小
8、球从下落开始直至停止所用的总时间。g取10%碰撞时间忽略不计1。解析：要求小球运动的总时间，必须根据小球运动的特征，由运动学公式将小球每碰撞一次在空中运动的时间求出，然后再累加求和。小球从4处下落到地面时的速度vo=J2g4,运动时间r0=J-0第一次碰撞后小球的速度vl=kv0=ky2gh0小球再次与地面碰撞前做竖直上抛运动，这一过程小球运动的时间a=生=2k同理可推得：第n次碰撞后，小球的运动速度为匕=被J2g%运动时间为tn=2c,Il,由此可知，小球从下落到停止的总时间为：(c + k + - - + kn +)上式括号中是一个无穷递减的等比数列，其首项为k,公比也为k,用数学中等比数
9、列求和公式求的：t=9so例13如下图，小球从长L的斜面顶端自由滑下，滑到低端时与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的求小球从开始下滑到到最终停止于斜面下端共通过的路程。解析：物体咋斜面上下滑和反弹上升加速度相等，设为物体在第一次碰撞前后加速度分别为v1 = J2,2反弹的路程为：。=匕一 ,2a第n次碰撞前后速度及弹起路程分别为：物体在第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为：v2=J2al=J2al47244V2=5V-G=右=堂L匕=/不=()h,反74匕7 = (W)匕，2c4 o= 1).断开轻绳，棒和环自由下落.短，无动能损失.棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计.求：图8-7棒第一次
10、与地面碰撞后弹起上升的过程中，环的加速度.从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s.从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，摩擦力对环和棒做的总功W.2007年高考江苏物理卷【解析】(1)设棒第一次上升的过程中环的加速度为a-由牛顿第二定律有:a环=错误！未指定书签=(k-l)g,方向竖直向上.棒第一次落地前瞬间的速度大小为：邙=错误!未指定书签。设棒弹起后的加速度为a由牛顿第二定律有：a陵=一错误！未指定书签。=一(4+1)g故棒第一次弹起的最大高度为：H=一错误1未指定书签。=错误I未指定书签。路程S=什2=错误!未指定书签。H.解法一设棒第一次弹起经过a时间后与环到达共同速度必环的
11、速度=一+a坏亡1棒的速度=P+a蜂&解得：a=错误!未指定书签。错误!未指定书签。=一错误!未指定书签。环的位移力/=-a+错误I未指定书签。a坏必=一错误1未指定书签。H棒的位移力4=乙力+错误！未指定书签。H朴七=错误！未指定书签。hXl=力环1力样1解得：M=一错误未指定书签。棒、环一起下落至地，有：V2-V,2=2gh*t解得:V2=T同理，环第二次相对棒的位移为：X2=h*2-h科2=一错误!未指定书签。乂=一错误！未指定书签。故环相对棒的总位移X=M+x2Fm=一错误!未指定书签。所以沪=AGgX=一错误!未指定书签。.解法二经过足够长的时间棒和环最终静止，设这一过程中它们相对滑
12、动的总路程为/,由能量的转化和守恒定律有：mgH-mgH-/)=kmgl解得：/=错误!未指定书签。故摩擦力对环和棒做的总功为：勺一侬/=一错误!未指定书签。.答案(1)(-1)g,方向竖直向上错误!未指定书签。H一错误I未指定书签。【点评】高考压轴题中常涉及多个物体屡次相互作用的问题，求解这类题往往需要应用数学的递推公式或数列求和知识.一对滑动摩擦力做功的总和吃一心S总，s&为相对滑动的总路程.对于涉及两个对象的运动过程，规定统一的正方向也很重要.总质量为M的火箭竖直上升至某处的速度为,此时向下喷出质量为叫相对于火箭的速度为U的气体，此时火箭的速度为.MvmuM一弹性小球自7=5m高处自由下
13、落，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的7/9,不计每次碰撞时间，计算小球 从开始下落到停止运动所经过的路程和时间.命题意图：考查综合分析、归纳推理能力 B级要求.错解分析：考生不能通过对开始的几个重复的物理过程的分析，归纳出位移和时间变化的通项公式致使无法对数列求和得出答 案.解题方法与技巧：数列法)设小球第一次落地时速度为I/O,那么：Vq=，2叫=1 Om/s那么第二，第三,第+ 1次落地速度分别为:答案：V=7V=Vq9小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为Ao=5m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是：2(J)V1a2Z. 1 = 2 = 2 X Vq2g2g7
14、1 0 (-)29小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为Z2,27A2=2-=1O(-42g9由数学归纳法可知，小球第次到第+1次与地相碰经过的路程为Ln7O=IOX一.9故整个过程总路程S为：s=A+4+。777=5+102+(-)2可以看出括号内的和为无穷等比数列的和.由等比无穷递减数列公式$=工得:1-4s = 5+1021m=20. 3 m2小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间：20to=1sVgo小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间为：V17t=2=2X-s7同理可得：tn=2C-)ns9t=to+tlt2,7=1 +2 (-) 97=1 +2-1- 977 (-
15、) 2 + - -/7 sS=1+7s = 8 s .例2如图24-2所示，y轴右方向有方向垂直于纸面的匀强磁 电量为q的质子以速度P水平向右通过X轴上P点，最后从y轴上的附点射出 的距离为凡 质子射出磁场时速度方向与y轴负方向夹角8=30 ,求： (1)磁感应强度大小和方向.适当时候，在y轴右方再加一个匀强电场就可以使质子最终能沿y轴正方向 质子经过P点开始计时，再经多长时间加这个匀强电场？电场强度多大？方向如做匀速直线运动.从 何？料图 24-2场，一个质量为加，磁场.例点到原点0命题意图：依质子在复合场中运动为背景，设置命题，考查综合运用数学知识解决物理问题的能力B级要求.错解分析：考生
16、无法运用几何关系来确定带电粒子匀速圆周运动的圆心位置，进而没能据几何关系求出半径，无法画出所求示意图，致使无法对整个物理过程作深刻的分析求解.解题方法与技巧：先找圆心.过及点和P点的切线作垂线，其交点即为粒子做匀速圆周运动的圆心O,那么由几何关系，设粒子运动半径为广，有：2r+rcos6Oo=H,得r=一H3r11vmv3mv.,上七y“心E又由r=，B=,万向垂直于纸面向里.qBqr2Hq（2）沿y轴正方向做匀速直线运动，说明外应沿+y方向，由左手定那么，尸潘水平向左（沿一X方向）.那么g应水平向右（沿+X方向）.这样y方向不受力，粒子做匀速直线运动，满足E=Bv,所以应从尸点经,厂时加这个
17、匀强电场，其场强周期4T 2m 4兀H “ ITTIH 4rH L C 3mdT=经七=_ T=V=E=Bv=qB3v3v37IHqM=(M-in)V+tnwU=W-VM(M-m)v+m(u+v)M=(M-w)v+tnu+tnvMjLlmu=MV1.MN-mumu=M减少量等于增加量6.数列两物体在光滑水平轨道上发生正碰，试证明：碰撞后两物体以共同速度运动时，碰撞过程中系统的动能损失最大.证明：略.1木板受力沿斜面向上，Ff=Mgsina人受力沿斜面向下，Ff+mgsina=ma2人受力沿斜面向上，Ff=mgsinab2m木板受力沿斜面向下，Ff+Mgsina=Ma?量不同反响不同的化学方程式
18、二合一，两种极端情况浓缩在一起，方程组解.题24.20分C如下图，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M=2kg的小物块A。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带始终以，2WS的速率逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量/7Flkg的小物块B从其上距水平台面/FLO加处由静止释放。物块B与传送带之间的摩擦国数=0.2,/=1.077o设物块A、B中间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A静止且处于平衡状态。WgHOWsL1求物块B与物块A第一次碰撞前速度大小；2通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边曲面上？3如果物
19、块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块B第次碰撞后的运动速度大小。【答案】1Ws2不能3（；）”【解析】1设物块B沿光滑曲面下滑到水平位置时的速度大小为Vo由机械能守恒知mgh=；机说%=7设物块B在传送带上滑动过程中因受摩擦力所产生的加速度大小为ang=ma设物块B通过传送带后运动速度大小为匕有V2-Vq=-2al结合式解得三=4Ws由于vw=2ms,所以v=4mz即为物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小2设物块A、B第一次碰撞后的速度分别为V、6取向右为正方向，由弹性碰撞知-ZHV=wv1+MV-mv2=nv12+-MV222121 4解得匕=y=$即碰撞后物块B安水平台而向右勺速运动设物块B在传送带上向右运动的最大位移为那么0-v；=-2ar4=-mtn9所以物块B不能通过传送带运动到右边的曲面上3当物块B在传送带上向右运动的速度为零时，将会沿传送带向左加速。可以判断，物块B运动到左边台面是的速度大小为继而与物块A发生第二次碰撞。设第二次碰撞后物块B速度大小为氏同上计算可知吆=：匕=c)2，错误!未指定书签。物块B与物块A第三次碰撞、第四次碰撞，碰撞后物块B的速度大小依次为v3=V2=()3Vv4=v3=()4v错误I未指定书签。那么第次碰撞后物块B的速度大小为匕=g)l，错误未指定书签。
