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1、6.3.1二项式定理素养目标定方向位学习目标1 .能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2 .掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.3 .会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.陶核心素养1 .通过二项式定理的学习，提升逻辑推理素养.2 .借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养.A必街知识探新知识点1二项式定理二项式定理(a+b)=C7+C1E8+或，-/+C沿5N*)二项展开式公式右边的式子二项式系数Ca0,1,2,，)二项展开式的通项公式=C练一练：1 .思考辨析(正确的画“j”，错误的画“X”)(D(a+8)展开式中共有项.()(2)在二项式定理公式中，交换
2、搭的顺序对各项没有影响.(X)(3)C%i/是(a+6)”展开式中的第项.(X)(4)(口8)与(0+6)”的二项式展开式的二项式系数相同.()2 .e2+C2T+d2i+等于(C).2B.21C.3D.1解析原式=(2+l)=3.知识点2二项展开式的特点(D展开式共有+1项.(2)各项的次数和都等于二项式的幕指数.(3)字母a的凝指数按降凝排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0,字母人的舞指数按升第排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为想一想：1 .二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指，&,，C,而项的系数是指该项中
3、除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与d。的值有关.2 .二项式(a+6)与S+a)展开式的第A+1项是否相同？提示：不同.(a+b)展开式中第+1项为CM-次而(力+3)展开式中第+1项为一ka.练一练：1. (1x)展开式中炉项的系数为(D)A.-720B.720C.120D.-120解析或(-x)3=-120/2. (1+2x)5的展开式的第3项的系数为9第3项的二项式系数为2_.解析=6(2才)2=。22=40f第3项的系数为40,第3项的二项式系数为=10.,关健能力攻重整题型探究题型一二项式定理典例1 (D求2心的展开式.(2)化简(*2尸+5(才-2)+10(*2
4、)310(,-2)25(t-2).分析(1)直接利用二项式定理展开即可;(2)对式子进行变形，逆用二项式定理.解析(1)(方法一：直接展开并化简)(2+)c3(2)+C;*MA+C；即2+C：*(2叱(右)CJ-281= 16x 32x+ 24 +-. X X(方法二：先化简再展开)=AC?(2r),C1(2x)311C5(2t)2l2(2x)iC,1O=-2(l6x3224Z81)=16x32x24-XXX(2)原式=C?(x-2)+C；(2)+Cl(X2)3+CW(-2)+Cl(-2)+CKX2)1=(42)+l-l=-l)5-l.规律方法求二项展开式的常见思路(D简单的二项式问题，直接运
5、用二项式定理展开.(2)较复杂的二项式问题，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便.提醒：形如(a6)含负号的二项展开式中会出现正、负间隔的情况.1对点训练(1)用二项式定理展开(24一汨；(2)化简：点+1)Ca+l)i+CXx+l)L2+(1)Ad(X+I),+(1)7：解析(1)方法一：(2x)=Cg(2x/+以(2x)+CW(2x尸(一方)+以(24.()jc2*()1c()= 32x5-120/4-180X135 l 405 2437y+87-32Z方法二：(2x给5=笔券=，以(4*3)5+cX4,)4(-3)+Cs(4)3(-3)2+C5(
6、4)2(-3)3+Cj(4)(-3)4+d(-3)5=(1024-38402+5760-4320/+1620?-243)=32/-120/+- X135 405 243-7+87-32Z,原式=CX+D+C(x+DI(T)+比CrM)I(1y+Cf(+l)T(-l)*+c(1/=(才+1)+(1)”=/题型二二项式系数与项的系数问题典例2(D求二项式(2/：Is的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；求G的展开式中V的系数.分析利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.解析由已知得二项展开式的通项为Tm=以（2校6一，（一；），3金=（-Dr26rX2,_9,
7、A=-12a2.第6项的二项式系数为点=6,第6项的系数为点（-1）2=-12.4=c-f-)=(-)rar2r,9-2r=3,r=3,即展开式中第四项含其系数为（一1尸宫=-84.规律方法1.二项式系数都是组合数（r0,1,2,，n）,它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第r+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C：.例如，在（1+2x）7的展开式中，第四项是看=Gl77（2力3,其二项式系数是以=35,而第四项的系数是CT=280.1对点训练在的展开式中,求:(l)K=7J+l=Cj(2/)8(2)
8、PB的通项是心（2丁）（1）第5项的二项式系数及第5项的系数;（2） V的系数.解析所以第5项的二项式系数是森=70,第5项的系数是点-2=1120.7由题意，得16一鼻=2,解得r=6,O因此，六的系数是(1)6点287=112.题型三多项式的展开问题典例3(D(-x2)的展开式中，的系数为一40(用数字填写答案)：(2)在(+1)(*2)7的展开式中的系数是644.解析(1)(方法一：转化法).(VX2)4=(x2)(+1”=C2X1Ci*.2)+C殳(2)2C?x2)3+cl-(一2)门(CM+cld%d+d),一的系数为一2C；Cl+4C1Cj+(-8d)d+16CCl=-40,故答案
9、为一40.(方法二：生成法)(三一X2)4表示4个因式(1一2)的乘积，系的系数可以是：从4个因式中选一个因式提供六，其余的3个因式中有一个提供(一力，有2个因式都提供(-2)；也可以是从4个因式中选3个因式都提供(一力，剩余的1个因式提供(一2),可得犬的系数,故父的系数为C；-C；(1)C2(2)2C(-1)i(-2)=488=-40.(2)1d(-2),+ld(-2)2=560+84=644,所以在(产+1)(42)7的展开式中V的系数是644.规律方法多项式展开的方法求多项式的展开问题，通常将其化归为二项式问题，逐次使用二项式定理展开即得其展开式.这里要注意的是：(D如何分组转化，这要
10、视具体问题而定，一般地可以通过分组转化为二项式问题.(2)有些可以直接变形为二项式定理的问题，就要首先变形化为二项式问题，如=(WW)T(L了等.(3)求多项式展开式中特定项的系数问题，除将其展开求解外，还可以用生成法直接利用计数原理列式求解.1。对点训练(叶1+今的展开式中的常数项为(D)A.32B.90C.140D.141(2)(2022新高考I)(1一方(才+力8的展开式中优的系数为一新(用数字作答).解析+I+)=l+(+处=以+以口+年+斗+C：Q+?,上式共有7项，其中第一、三、五、七项存在常数项，因此，这四项的常数项之和即为原式的常数项，且各项的常数项如下：C+dd+c；d+CC
11、e=1+30+90+20=141,即1+1+胃6的展开式的常数项为141.(2) (x+y)*展开式的通项T=Cr/,F=O,1,，7,8.令片6,得A+令/=5,得而=戊，所以(IT(X+4的展开式中。的系数为Cy=-28.易错警示混淆项的系数与二项式系数典例4设(-)SM)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1：2,求含f的项.错解(x4尸的展开式中第二项与第四项的系数分别为Cl,C,则Ci：C=I：2,化简得-37-1O=O.又7W,所以/7=5.因为(x啦”展开式的通项为7i+1=(-2)J令54=2,则4=3,所以含f的项为(一出尸点=-2O5f.辨析错解将二项展开式的某项的系数”与
12、“二项展开式的某项的二项式系数”混为一谈，从而导致错误；(a+6)的展开式中的第+1项的二项式系数是Cfa=O,1,2,，)，仅与，k有关;第4+1项的系数不是二项式系数比，但有时这个系数与二项式系数相等.注意二项式系数e定为正，而对应项的系数可能为负.正解由题设，得=cy,(-2)=-27Z,r,=ez3(-2)3=-22C113,于是有-22C2,化简得“J3-4=0,解得=4或所以(x啦)的展开式的通项为.=(-2),令4仁2,则4=2,所以含V的项为(一5)七I=I2/课堂检测固双基,三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三B三三三三三三三三三三三三三三BZZ1.化简(xD+4(x
13、1)+6(xl)+4(-1)+1得(B)A.-1),B.xC.(a+1)4D.x解析原式=Cr-l)+l4=/2.已知(l+x)=及+劭(1x)+/(1x)+ao(l-彳)，则徐等于(D)B. 5,5C. 90D.180解析因为(l+x)=(2+1X)，所以a=C；o(2)2=45X4=180.(X3在 2 3r7 )B的展开式中常数项是.解析*尸资4/A8-qkA=(T)30凯*3,当8g=0,即4=6时，刀=(DJC：=7,4.在(丁一日”的展开式中，第4项的二项式系数是理第4项的系数是二解析瑶8-3a,当A=3时，ZJ=T)d=2121一万%所以第4项的二项式系数为瑶=84,项的系数为一万.
