《复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx（25页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、专题7.4复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】【人教A版(2019)姓名：班级：考号：题型一卜复数的四则运算QI1. (2023下河北邢台高一统考期末)已知复数Z满足IZ+2i=5,z=+(3-)i(0).(1)求Q；(2)若复数Zl满足ZlZ+2)=+2i,求【解题思路】(1)根据复数的模长公式即可求解.(2)根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解.【解答过程】(1)由题意得z=+(-3)i,z+2i=+(l)i所以a?+(aI)2=25=Q=4或a=-3(舍去)，故a=4(2)设Zl=%+yi(x,yR),则Z7=X2+y2f%2+y22(x+yi)=4+2i所以望=4,解得浮,或
2、X二所以Zl=1+i或-3+i.2. (2023高一课时练习)计算：(1)(1+2i)+(7-Ili)一(5+6i)；(2)5i-(6+8i)-(-1+3i)；(3)(a+b)(2a-3bi)3i(a,bR).【解题思路】根据复数的加减运算法则即可求解【解答过程】(1)(1+2i)+(7-Hi)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-151；(2) 5i-(6+8i)-(-13i)=5i-(7+5i)=-7；(3) (Q+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i(a,bR).3. (2023高一课时练习)设f(z)=z-2i,z1
3、=3+4i,Z2=-2i,求：(1)，2)的值；(2)f(Z+Z2)的值.【解题思路】直接利用复数的加法，结合函数的解析式，求解即可.【解答过程】Zi=3+4i,Z2=-2-i,则为-Z2=5+5i,z1+z2=1+3i.fz)=z-Zif(I)/(z1-z2)=-Z2-2i=55i-2i=5+3i,(2)f(z1+z2)=z1+Z22i=1+3i-2i=1i.4. (2023高一课时练习)已知复数的+瓦3a2+b2ifa3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3R),分别记作次,z2z3,即Zl=Ql+bi,Z2=a2+b2iz3=a3+b3i,求证：(I)ZlZ2=Z2Zi:(2)(z
4、1z2)z3=Z1(Z2Z3);(3)z1(z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明(I)(2)(3)【解答过程】(I)Z1Z2=(1+b1)(a2+i)=a1a2b1b2+(a1b2+a2b1)i*Z=(a2+i)(a1+b1)=a1a2-b1b2+(QIb2+劭瓦)则Z/2=Z2zI-(2) (Z1Z2)Z3=(a1+i)(a2+b2i)(a30=%的b2+(a1b2+a2b1)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3(a1b2+d2b1)b3+b3(a1a2-b1b2)+a3(a2+。2瓦)3z1z2z3)=(a1+b1i)(a2+i)(a3+0=
5、(%+b1)a2a3-b2b3+(a3b2+a2b3)i=a1(a2a3一)-bda3b2+。2左)+%(。3人2+a2b3)+1(a2a3-)i=(QIa2瓦()。3(.a2+a2b1)b3+b3(a1a2b1b2)a3(a1b2+a2b1)i,则(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3).(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+a3)+S2+坛川=。式。2+。3)-0(力2+%)+a(+b3)+b1(a2+a3)li*Z/2+Z/3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=-b1b2+(QIb2+%瓦川+如。3-Ihb3+(QIb3+a3h1)i=a1a2b
6、1b2+a1a3b1b3+(a12+a2)+(%3+)i=a1(a2+Q3)-bg+b3)+a1(b2+b3)+b1(a2+a3)li*则Zl(Z2z3)=Z1Z2+Z1Z35. (2023全国高一专题练习)已知复数Zl=cosa+isina,z2=COSB-isin0,a,6均为锐角，且IZl-z2=等.(1)求cos(a+/?)的值；(2)若COSa=求COSP的值.【解题思路】(1)先求出Zl-Z2=(cos-cos/?)+i(sin+sin/?),利用IZlz2=+即可求出cos(+/?)的值；(2)利用平方关系求出sin(+0)=支sin=1,再利用和差角公式即可求得.【解答过程】(
7、1)因为复数Zl=COSa+isin,Z2=cos0-isin0,所以一z2=(coSa-CoS0)+i(sinsin/?).所以ZZ2=y(cosa-cos/?)2+(sin+sin/?)2=22(cosacos?sinasin)=22cos(cr?)因为IZl-z2=等，所以2cos(+.)=等，解得：cos(+?)=|.(2)因为,/?均为锐角，所以OVa+夕V兀，所以Sin(Q+)=yl-cos2(?)=Jl-0=g.因为此为锐角，Ce)Sa=g,所以Sina=Vl-cos2a=J1所以CoSH=CoSKa+。)a=cos(+0)COSa+sin(+0)sin04334=55+5524
8、256. (2023下黑龙江鸡西高一校考期中)已知复数Zl=-2+i,z2=-l+2i.(1)求Zl-Z2*zl+z2(2)比较IZl-z21-z1+Z2的大小.【解题思路】(1)根据给定条件，利用复数加减法计算作答.(2)由(1)的结论，利用复数模的定义计算，再比较大小作答.【解答过程】(1)复数4=-2+i,z2=-l+2i,所以Zl-Z2=(-2+i)-(-1+2i)=-l-i,zl+z2=(-2+i)+(-1+2i)=-3+3i.(2)由(1)知，z1-z2=(-l)2+(-1)2=2,z1+z2=(-3)2+32=32,而V3,所以-Z2V区+Z2.7. (2023全国高一专题练习)
9、计算.(部+鬻+i)4c(l-4i)(l+i)+2+4i(3)-；(4暗+富-23+i旭、2。22(4-8i)2-(-4+8i)2十ki7iJ十-7i-【解题思路】(1)根据复数的四则运算法则，结合(1+i)2=2i,i的乘方的性质运算即可.(2)根据复数的乘方运算法则运算即可.(3)先由复数乘法法则和加法法则化简分子，再利用除法法则求结果即可.(4)根据(1+i)2=2i,(l-i)2=-2i,结合i的乘方的性质运算即可.(5)根据复数四则运算法则，结合(l+i)2=2i,结合i的乘方的性质先计算各部分的值，再相加即可.【解答过程】(1)原式=件当 . TE = (-2仔H)(I-2技)=1
10、3i= . 1V = fl = _1，l+23i(l+23i)(l-23i)13* l+ii，(Sr.阀F=L(4-8i)2-(-4+8i)2 _-7i- - U，原式=i + i 0 = 2i.8. (2023下湖南岳阳高一一校考期末)设复数Zi = q +历，z2 = c +di,其中q、氏c、dR现在复数系 中定义一个新运算8),规定：ZiZ2 = (qc + bd) + (d + bc)i.(1)已知|(2-。(8)(% +力=或，求实数X的值；(2)现给出如下有关复数新运算G)性质的两个命题：Zl 0 Z2 = Z7 0 ;若Zl Z2 = Of 则Zl =。或?2 = 0.请判定以
11、上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.+当需祖=i6+直管名=-i+i.1.2J(3)+(2)5原式=G+争升=G+Ti-j)2=(-s+i)2=z-z-i=-J-Ti-(3)原式=胃=三i=三S=等=I-Lzjx(l+i)6+(l-i)6_(l+023+(l-02J3_(2i)3+(-2l)3_-8i+8i_W尿八=)(i+i)=2=2=u【解题思路】(1)根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论；(2)根据复数新定义设Z=+bi,z2=cdi,根据运算逐个求证即可.【解答过程】(1)由定义，有1(2-i)G)(%+i)=(2x-l)+(2-x)i=2即(2%-l)2+(2-x)2=2,
12、整理得，5x2-8x+3=0,X=1或X=|.(2)设Zl=+bi,z2=cdi,则ZlQz2=(ac+bd)(ad+bc)i=(acbd)(ad+bc)i,五亥=(a-bi)8(c-di)=(ac+bd)-(Qd+bc)i,所以Zlz2=70是真命题.设Zl=Q+bi,z2=cdi,则ZIz2=(ac+bd)+(ad+bc)i=0,所以ac+bd=0tad+be=0,则Q=l,b=1,C=Ld=1是其一组解，故得不到Zl=0或Z2=0.是假命题.复数的四则运算与复数特征的综合应用9. (2023下河南郑州高一校考期中)已知Z为复数，Z-6和亮均为纯虚数，其中i是虚数单位.(1)求复数Z的共聊
13、复数2；(2)若复数-=+三i在复平面内对应的点位于实轴下方.，求实数机的取值范围.zm1m-2【解题思路】(1)设Z=a+bia,be/?),可知Q=6,根据复数的除法运算，化简根据题意，即可得出b=2,根据共挽复数的概念，即可得出答案;(2)代入化简可得复数为3-二二+,根据复数的几何意义，结合已知可得(m 1 0-10求解即可得出答案.【解答过程】(D设z=a+bi(a,bR),则Z-6=(a-6)+bi.因为z-6为纯虚数，所以a=6,且b0,所以Z=6+bi,tt-piz_6i_(6i-b)(3-i)_6-3b18+b川3+-3+(3+i)(3-j)1010因为拼为纯虚数，所以6-3
14、b=0,所以b=2,所以，z=6+2i,所以2=6-2i.(2)由(1)知:Z+Aj=3-i-+-=3-+(-l,2m-1m-2m-1m-2m-1m-2J所以，复数在复平面内对应的点为(3-高,忌-1).(m1Ol-20,解得巾4,且ml,-A-I0m-2所以，实数m的取值范围为(一8,1)U(1,2)U(4,).10. (2023全国高一专题练习)复数Z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(nR),求实数m的取值范围使得：(I)Z为纯虚数；(2)z在复平面上对应的点在第四象限.【解题思路】(D根据Z为纯虚数，列出方程，即可求解；(2)根据Z在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即
15、可求解；【解答过程】(1)z=(1+i)m2(8+i)m+156i=(m28m+15)+(2m6)i,若Z为纯虚数，则m2-8m+15,解得：7n=5.(.m2-m-60(2)由题意知，T1?-8m+151,解得：一2m3.(m2-m-60),z1+z2ER.(1)求实数的值；(2)若zC,z-z2=2,求IZI的取值范围.【解题思路】(1)由已知求得z+Z2,再由虚部为0求解实数的值：(2)数形结合求解IZI的取值范围.【解答过程】(1)因为4=1+(。2-IO)i,z2=(2-5)i,所以Zl+Z2=1+(a2-10)i+(2a-5)i=1+(2+2a-15)i.又因为Zl+z2ER,所以
16、a?+2a15=0,解得。=-5或。=3.又因为Q0,所以Q=3.(2)由(1)知Z2=L设Z=X+yi,由IZ-z2=2=x+(y-l)i=2,所以JX2+(y-1)2=2,得/+(y-I)2=4,而(y-I)2=4-X2,*0(yI)24,-2y-12故y1,3.*.z=x2+y2=yj4-(y-I)2+y2=y2y+3,V-Iy3,2y+31,9,故zW1,3.12. (2023上山东日照高二统考期中)己知i是虚数单位，复数Z的共枕复数是兄且满足z+25=3-2i.求复数Z的模|z|；若复数z(2-mi)在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.【解题思路】(D利用复数及其共辄复
17、数、复数的相等、复数的模运算即可得解.(2)利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.【解答过程】(1)解：设Z=Q+bi(0,bR),W1Iz=a-bi,.*.z+2z=a+b+2(-b)=3a-bi=32i,=1b=2f.z=12i,则IZl=Vl222=(2)解：由(1)知，z=l+2i,z(2mi)=(12i)(2mi)=(2+2m)+(4-m)i,由题意，复数z(2-mi)在复平面内对应的点在第二象限，.(2+2m0fe2z11/1.j4、八，解得：m-1,0即实数m的取值范围为(-8,-1).13. (2023下河北石家庄高一石家庄一中校考期末)已知复数Z=q+i,z
18、2=1-i,其中是实数.(1)若/=-2i,求实数的值；(2)若攀纯虚数，求/+g)2+偿Y+-+g)2023.【解题思路】(1)根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出。的值.(2)利用复数除法结合纯虚数的定义，求出幺，再利用i乘方的周期性求解作答.Z2【解答过程】(1)复数Zl=Q+L则/=(+i)2=(2-1)+2i=-2i,又是实数，因此F:一I=I,解得Q=-I,i2a=-2所以实数。的值是一1.(2)复数Z=+i,Z2=1TqR,贝七=合=耨黑=(*+=等+等i,(=0因为至是纯虚数，于是，解得=l,因此三i=i,Z2等0次又产=ij2=-1/3=_ji4=1,则?Ni4n3
19、=i,i4n-2=-l,i4n-1=-i,i4n=1,即有N*,i4n-3i4n2+i4n_1i4n=O,所以尹)2(7)3+-+)2023=505(i+i2+i3i4)i+i2+i3=i-1-i=-1.14. (2023上浙江高二校联考开学考试)已知复数Z满足=二=G是虚数单位)Z-I2求Z的值；(2)若复数(Z-n)2-55在复平面内对应的点在第三象限，求实数W的取值范围.【解题思路】(1)利用复数的除法运算求出Z即可.(2)由(1)的结论，结合复数的乘方运算，再利用复数的几何意义列出不等式组求解作答.【解答过程】(1)由等=9,得z=l+等=1+猾察=l+2iZ-I21-1(l-)(l+
20、)(2)由(1)知，(Z-Tn)2-55=(1-m+2i)2-5(1-2i)=(l-m)29+4(1-m)i+IOi=(m2-2m-8)+2(7-2m)i,由复数(Z-m)2-52在复平面内对应的点在第三象限，(7X)7解限m4,所以实数?的取值范围为G，4).15. (2023下辽宁沈阳高一沈阳二中校考阶段练习)在复数Z满足z+i和2均为实数；5为复数Z的共枕复数，且z(l+i)=2+l;复数z=+bi(R,bi)(2+i)2a-bla+2b.则z+i=q+S+1)li=7i7i=-+-b.(b+1=Ozn_O若z+i和自均为实数，则(3=0，解得j匚:，所以Z=2-i；若选：设z=Q+bi
21、(,bR),则Z=Qbi,因为Z(I+i)=z+1,则(Q+加)(1+i)=Q-历+1,整理得(Qb)+(+)i=(+1)-bi,所以Z=2-i；若选：因为小4%+5=0,则(2)2=1,解得=2i,旦Z=q+i(aR,60,解得一2VmV:或OVm1,Im2+m-20所以实数m的取值范围为(一2,-JU(0,1).16. (2023下辽宁锦州高一统考期末)已知i是虚数单位，a,bER,设复数z1=2a5i,z2=2b+i,z3=a+bi,且Z3=1.(1)若Zl-Z2为纯虚数，求Z3；(2)若复数Z1，Z2在复平面上对应的点分别为A，B,且。为复平面的坐标原点.是否存在实数a,b,使向量而逆
22、时针旋转90。后与向量方5重合，如果存在，求实数小人的值；如果不存在，请说明理由；若O,A,8三点不共线，记4480的面积为S(a,b),求S(a,匕)及其最大值.【解题思路】(1)计算Z1-Z2,然后使其实部为零，虚部不为零，再结合Z3=1可求出a,b的值，从而可求出求Z3；(网=I函一一(2)方法一：由题意可得I耐.诋=0,然后解关于a,b的方程组可得结果，方法二：设|。川=08=r,(=11 (rcos(a+三)=2q贝USina=工,coSa=生，再由题意得/TTs,从而可求得结果，rr(rsin(a+)=-3设向量瓦5,赤的夹角为仇06r,设复数Z3所对应的向量为近则S(a力)=?的
23、函sin。，化简后再利用Idba同可求得其最大值.【解答过程】(I)因为复数Z=2a-5i,Z2=28+i,a,bR,所以Zl-Z2=(2a-2b)(3+l)i,而z-Z2为纯虚数，因此2a-2b=0,即a=b又因为Z3=+bi,且Z3=1,所以?+/=1,由1I a = b所以Z3=J一争或Z3=苧+争.(2)存在，理由如下:0A = 0B法一：由题意知：OA.OB = Q、Z3 = 1402 + 3 = 4b2 1 得( 4b - 3 = O、 2 + 2 = 1因为。8逆时针旋转90。后与OA重合,法二：设I万?|=|而I = r, 是以X轴正半轴为始边，08为终边的角，则Sina =
24、JCoSQ = B且Q=b=-当时，满足=a?+b2=1所以Q=-pb=-y.因为复数Z,Z2对应的向量分别是画,而(为坐标原点)，且。，A,B三点不共线,所以设向量编,丽的夹角为仇08r,设复数Z3所对应的向量为沅，则=(2a,-y3),0B=(2b,l),0C=(,b)且|近I=1,因此AOB的面积S(力)=g西I西Sin仇=BwI函Jl-CoS28=lJM2.B2-(4三cos=/|西2.|网2_(网网)2=j(42+3)(4b2+1)(4bV3)=+3b,设”=(1,3),则S(Q,b)=nOC同c=2,(,瓜I D =5 且/ + / = I,即(2ka = 2时等号成立,题型三k
25、_复数范围内方程的根的问题当且仅当b所以S(,b)=+5b,其最大值为2.17. (2023下上海奉贤高一校考阶段练习)设虚数zi、Z2满足比=Z2.(1)若Z”Z2又是一个实系数一元二次方程的两个根，求Z、Z2;(2)把(1)中虚部大于零的根记作3,对任意整数m,计算3加+口皿+1+3皿+2；(3)若Zi=I+0(i为虚数单位，A为实数)，z12,复数；l=Zz+3,求国的取值范围.【解题思路】(1)设出Zl的代数形式，利用实系数一元二次方程的两个虚根互为共规复数列式求解作答.(2)利用复数的加减及乘法运算计算作答.(3)根据给定条件，求出1的范围，再将忱|表示为A?的函数，求出函数的值域作
26、答.【解答过程】(1)设Zl=Q+bi,bR,则z2=(+i)2=a2-b2+2ab,又Z1,Z2是虚数，即有b0,因为Z、N?是一个实系数一元二次方程的两个根，则Zi、Z2互为共筑复数，因此二=J，解得Q=-，b=f，所以ZI=T-争，Z2=-+餐或Z=+Ji,Z2=-1-i.122Z22122422(2)由(1)知，=-+i,则1+3+3?=1+3(l+3)=1+(2+3i)(Z+亘i)=1-1=0,222222对任意整数m,m+m+1+m+2=m(l+2)=0.(3)由Z=l+ki知kR,k0,又IZil由,BP1l+k22,则0vM,A=zf+3=(1+Iri)2+3=4Zc2+2k,
27、所以|川=(4-Zc2)2+4k2=(c2-2)2+1213,4).18. (2023全国高一专题练习)关于X的实系数一元二次方程/+nx+n=0.(1)若方程有一个根是2-3i,求n+九的值；(2)当Ti=3时，方程的两个虚根右,不满足忱i一小1=22,求Tn的值.【解题思路】(1)将2-3i代入方程，根据实部、虚部为0求得m,n的值;(2)用求根公式直接求出两个虚根与,必，代入|小一2=2求m的值.【解答过程】(1)因为23i为方程/+nix+n=0的一根，所以(2-3i)2+m(2-3i)+n=0,即(+2m-5)-(12+3m)i=0，所以n+2m5=O且12+3m=0,故m=-4,n
28、=13,所以m+n=9(2)方程/+mx+3=O有两个虚根，则A=m2-120,故一25mi,则IZ-z1+IZ-z2=3百的几何意义即为复平面内z(,b)到ZIQ苧)及(2,-苧)的距离之和为31因为ZI到z2的距离为苧-(-苧)=33,故z(,b)在线段z2上.故当z(2,0)时IZI取得最小值2,当Z在Zl或z2时，IZl取得最大值J22+(手J=乎，故IZl的取值范围为2,手.20. (2023下高一课时练习)已知关于X的方程2-23+小一4。+4=0仅/?)在复数范围内的两根分别为Q、/7.(1)若该方程没有实根，求实数4的取值范围；并在复数范围内对/-2。+2-4。+4进行因式分解
29、；(2)若+网=3,求实数的值.【解题思路】(D若该方程没有实根，则AVO,解之即可，由/-2以+2-4+4=0,可得。一一(21-ai)2=O,即可在复数范围内对/一2ax+2-4+4进行因式分解；(2)分A0和A0两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案.【解答过程】(1)解：若该方程没有实根，则A=42-4(24+4)0,解得Q即(xa+2VlclT)(XQ2Vlui)=0所以在复数范围内对/一2ax+a2-4a+4=(x-a+21-ai)(xa-21ai)；(2)解：当A=4M4(q2-4。+4)zo,即q1时，则a,夕都是实数，由韦达定理可知脸：器2/故Ql都是非负数，所以q+I3I
30、=a+夕=2。=3,所以a=*当AV0,即aVl时，方程有两个共辗虚根，设为m+i,m-ni,(m,nR),Ja+=2a=2m人a=(a2)2=m2n2,故Ial+IOI=2m2+n2=2a-2|=3解得Q=(或(舍去)，综上所述，a=4或321. (2023全国高一专题练习)设a,bR,己知与，不为关于X的二次方程/+2ax+b=O两个不同的虚根，(1)若6=2,求实数Q的取值范围；(2)若IM-X2=2,-=1,求实数a,b的值.21【解题思路】(1)由题可得二次函数y=x2+2ax+b的判别式小于0,列式求解即可.(2)利用韦达定理代入I/-次1=2可求得a,b的关系,再化简3+恐=1利
31、用韦达定理表示,换成a,b的形式进x2xI行求解即可.【解答过程】由题二次函数y=x2+2ax+2的判别式小于0,故4a2-8V0,解得Q(-2,2).(2)由1，%2为关于X的二次方程/+2ax+b=O两个不同的虚根可得与x2=-2a,x1x2=b,又乂一句=2则IJ(Xl+g)2-4%iX2=2,f2-b=1,因为M-b0)；复平面上表示幺的点在直线+2y=0上;Z(-i)0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答:已知复数Zl=1+i,Z2=+3i;(i为虚数单位)，满足(1)若Z=L+工，求复数Z以及|z|；ZIZz(2)若Z2是实系数一元二次方程/+mx+4-3n=O的
32、根，求实数m的值【解题思路】选条件，根据22纭=。2+9=10求出的值；选条件，求出包在复平面上表示点的坐标，代入直线方程求出的值；选条件，计算Z(-i),根据z-i)O求出a的值；计算Z和IZl的值：(2)根据Z2是实系数一元二次方程的根，石也是方程的根，利用根与系数的关系求出加的值.【解答过程】选条件：z2=10(0).因为Zl=1+i,Z2=a+3i所以z2至=2+9=10解得a?=i,又Q0,所以=1：选条件：复平面上表示红的点在直线X+2y=0.z2因为Zl=1+i,Z2=a+3i,所以合悬=黑+其表布的点为黑，蓊，有黑+2x晟=0,解得=L选条件：z1(-i)O.因为Zl=l+i,
33、所以z(-i)=(1+i)(-i)=(al)+(a-l)i0,所以解得a=l.z=2+=w+=；IZl=Je2+(一y=1：(2.2是实系数一元二次方程/+mx+4-3m=0的根，则西也是该方程的根，所以n=-(z2+)=-(l+3il-3i)=-2.24. (2023下上海闵行高一校考阶段练习)已知关于工的实系数一元二次方程2/-4(n-l)x+m2+1=0(1)若？H=2,求方程的两个根；(2)若方程有两虚根ZqZ2，0I+z2l=4,求m的值；(3)若方程的两极为间,不，其在复平面上所对应的点分别为48,点A关于y轴的对称点为C(不同于点A),如果布而-l,求m的取值范围.【解题思路】(
34、I)利用求根公式计算可得；(2)由AVO求出Tn的取值范围，依题意可得zi、Z2互为共枕复数，则Z=2,即可求出m的值；(3)分A0和A0两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可.【解答过程】(1)当m=2时方程为2-4x+5=0,则A=(-4)2-425=-24,所以方程的根为/=竽=竽、X2=匕等=T(2)因为方程有两虚根Z1，Z2，所以A=16(Tn-I)2-42(m2+1)=8(m2-4m+1)0,解得2-3n2VJ或Tn-1；若AVO,即2-5vmV2+5时,设/=a+bitX2=a-bi(a,R),则A(,b),B(a,-b),C(a,),所以布=(,
35、-b),OC=(-,b),所以砺OC=次一/1,即小+从2,又%】+&=2=2(m-1),x1x2(a-bi)(+b)=所以嘤1,解得ml或m-l,所以lm2+5;综上可得m的取值范围为(一8,-1ul,+).题型四复数综合25. （2023高一课时练习）己知：对于任意的多项式“幻与任意复数z,/（z）=OQX-Z整除/（幻.利用上述定理解决下列问题:（1）在复数范围内分解因式：x2+x+l;（2）若*2+%+1=0,求71+%22+%23的值；（3）求所有满足/+1整除/n+n+1的正整数构成的集合A.【解题思路】（1）令/+%+I=0求得复数范围内的两个根为士i,即可因式分解:（2）根据/
36、+%+1=0求出复数根，找到根的次方的规律性变化的特点即可求解；（3）分n=3k,n=3k+l,n=3k+2,kWN三种情况讨论求解.【解答过程】（1）令/+X+1=0解得两个根口小，这里3=一：+亨i,2=所以/+1=(x+-yi)(Xiyi).(2)由知/+%+1=0解得两个根XI=-T+争，*2=(一今，1 13.213.314IlG1=-2+Tbxi=-2-Tbxi=1*xl=-2+lft所以=XJ=1,同理诏1=3=lf所以/1+x22+23=21(2+x+1)=0.记/)=1+”+1，/+%+1=0有两个根3,小,这里3=一)争,3=1,f()=2n+rt+1=0(2)=4n+2n+1=2+1=0,故在这种情形有/+x+1整除/n+n+,当n=3k+2,kN时，f()=2n+n+1=0,(2)=4n+2nl=2+l=0,故在这种情形有/+%+1整除/n+n+I9
