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1、微专题13泰勒展开式【知识拓展】1.泰勒公式形式泰勒公式是将一个在刈处具有阶导数的函数利用关于(xx。)的次多项式逼近函数的方法.若函数7U)在包含回的某个闭区间小句上具有阶导数，且在开区间(。，加上具有5+1)阶导数，则对闭区间s，句上任意一点了,成立下式：ZyZyIf(次)(X-XO).f(X)9.JM(XO).fix)=(xo)+ii+7；(X-Xo)2HF-;(X-xo)zt+Rn(X)14H其中：/)3)表示外)在N=.处的阶导数，等号后的多项式称为函数y在Xo处的泰勒展开式，剩余的凡是泰勒公式的余项，是a&)的高阶无穷小量.2 .麦克劳林公式ZVZJ(O)XJ(O)-JW(0)1x
2、)=O)+-i+-x2+-+z-炉+RG)虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取XO=O的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.3 .常见函数的麦克劳林展开式(外。)是高阶无穷小量)：(l)er=1+xty-7-+();ZIlr(2)sinx=-+-卜(-1Wl-1)!+。俨一】)；2y.4y6j-2COSX=I-亍+/卞+(-1)“)！+o(P);fX3Xn+l(4)ln(l+x)=-T-,(-l)/,-7o(-+1):Zjnr1(5)_X=1+-+x2+jdt+o(xn)；,l,a(a1)o,la(a1)(aw1)(6)(1+x)a=+ax-x2,;y,+o(x
3、t,).ZJn：4 .两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)Y-1(1)对数型超越放缩：-lnx-l(xO);ln(1x)=-x13F(-1)m-Rll(x)(i).上式(i)中等号右边只取第一项得：ln(l+x)x-l)结论，用工一1替换上式结论中的X得：InXWX-l(x0)结论，对于结论左右两边同乘“一1”得一lnx21Qln:21x,用替换X得：1lnx(x0)结论.(2)指数型超越放缩：x+lev(xl时，对于上式结论e1X=!21x=-e结论.e1X【类型突破】类型一比较大小1991()1例1已知。=同，b=e-嬴，C=In砺，则,b,C的大小关系为()A.abcB.acbC
4、.cabD.bac(2)(2022新高考I卷)设a=O.le。，Z?=1,C=-MO.9,贝J().abcB.cbaC.cabD.ac一而+1=顶，C=In砺V101._L八厂1001100,故逃C.(2)根据题意，构造函数为O=Xex,Yg(%)=z7力(x)=-ln(l-),则可以看到。=40.1),8=g(0.1),C=力(0.1).由于0.1较小，所以对上述三个函数在X=O处进行三阶泰勒展开：fiix)=xl+x+$+看+o(炉)=x+x2+*+*+(x3),g(x)=，-11xx2x3o(x3)1=xx2x3o(x3),A311X3h(x)=x2r+o(x3)=xx2+yo(x3).
5、在X=O.1处,显然Z?=g(0.1)%0.Ul0=(0.1)比0.1105c=力(0.1)%0.1050,故bac.规律方法涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式,可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用如下超越不等式或其变形公式解决问题：X-11-lnx-l(x0),x1evj1).训练1(1)设=lnl.01,6=果,(其中自然对数的底数e=2.71828)则()A.abcB.acbC.cbaD.cabaB.bacC.abcD.acb答案(I)D(2)A解析(1)由lnx21-3等号当且仅当X=I时取到，故X=LOI时0c,排除A,B.下面比较,6大小,
6、由lnx-1得，In1.01a,所以CVaVA(2)根据题意，构造函数五为=1-5,g(x)=cosx,以X)=野，则可以看到：=Q),b=gQ1c=h由于0.25较小，所以对上述三个函数在x=0处进行四阶泰勒展开:r2r2r4r2r4Xx)=l-y,g(x)=l十+丁+o(d),h(x)=1-TT0(4)显然，在X=O.25时，=娟Vb=g(0vc=4),故ab1).(1)解因为yU)=ln(-1)k(x1)+1(AR),所以“r)的定义域为(1,+),Fa)=占一七若ZWO,则/(x)0,於)在(1,+8)上为增函数；1-4LE若0,则/00=-7-k=;,当IVXVJ+1时，/(x)0,
7、当x+l时，/(x)o时，yu)的单调递增区间为(I,(+I),单调递减区间为&+1,+8)(2)证明当k=时，由(1)可知yu)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(2,+o0),有r)W(2)=0在(1,+8)恒成立，且“X)在(2,+8)上是减函数，即Ina-I)Vxl1在x(2,+8)上恒成立.令1=2,则ln2层一1,即21nn(n-l)(1),.里写N*且Ql),+12.In2,In3,In4.Inh.2.3.n-n2-n亍+不/尹+丁=日口In2In3In4.Innn(n-1)_r*.a.即亍+丁+亏HlR7，三N)成立.规律方法在证明不等式或根据不等式求参数的范围时，要仔
8、细观察，发现其中所含的超越不等式，需证明后再用来解决问题.+x(xy训练2已知兀T)=Inm，证明：当x(0,1)时，五为2卜+引.xfljc证明In(l+x)=-2+yF(1)m1H,In(1x)=-yydF(-l)2w,+s所以 In (1+X)-In(I-X)=2故当 j(0, 1)时，HX)2X2G) 2-1【精准强化练】一、基本技能练1.已知 =e002, 0=1.012, C=In 2.02,则()A.abcB.bacC.acb 答案AD.bca2 P V4Ynl+,解析 因为e=+x+于+-+擀-+正+1- 吸OVeV1),， J 4H X 7? I 1 ) O O72 O 02
9、3所以 e02= 1 +0.02+华+*+ QLO20 2,Z?= LOl2= 1.020 1, c=ln 2.02%c,故选A.2.已知实数mb, C满足4c=/,且a+。+C=In3+b),则()A.cabB.cbaC.acbT).bco,7U)单调递增,当x(i,+8)时，/()vo,人不)单调递减,所以Kr)WyU)=0,即InXWL1,所以ln()Z?-1,所以a+b+cWa+Z?1,即cW1,又公=从0,所以V0,由+bO,所以方一0,所以b2cr1即aca2i所以CV4,所以CVaVA3 .已知=sin,h=yc=,则()A.cbaBaVbVcD.caZ?C.acb答案D解析由S
10、inX=X本+5Fo(x2w1),可得%jv3sinx0),所以sin(盖，3),而号43.06V3.14V7T,所以盖:,MPsin3e(t3选94 .设=21n1.01,b=n1.02,c=4-l,则().abcB.bcaC.bacD.cai.02,故bg(x),故ac,Q令函数/?a)=ln(l+2x),由泰勒公式得，z(x)=2-2x2+x3+o(x3),又s()2x2x2+4x3+o(x3),在X=O附近，MX)Vg(X),所以bc.综上，bvc0；(g)lnxx1.A.0B.1C.2D.3答案C解析令7U)=-sinx,x(0,+o),贝UF(X)=1cosx0,所以“r)在(0,
11、+8)上单调递增，所以y(x)y(O)=O,即xsinxO,即xsinx,x0,故正确；令g(x)=-lnx,x(0,+),1X1则(x)=1所以当OVXVI时，g，(x)V0,当xl时，gO,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以g(x)2g(l)=1,即xlnxO恒成立，所以xlnx,故正确；令(x)=er-(x1),h,(x)=CA1,当/VO时，(x)V0,当x0时，,(x)Ot所以a(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以6(x)2(O)=0,即以一(x+l)20,所以e2x+l,当且仅当x=0时取等号，故错误.故选C.6.已知m,a
12、,。3,o成等比数列,且m+2+3=ln(01+2+3+04),若OValVI,则()A.mVa3,72aC.tz3,a2a4D.1a3,a20,则ov%v,令Fa)V0,WJx,所以yu)在(O,D上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以y(-)maxX1)0,则大力=InX%+IWO即InKWxT,所以。1+。2+。3=1!1(。1+。2+3+。4)。1+。2+。3+。41,故421,又41,67243,。4成等比数列，且OVaIV1,设其公比为q,则宾=/1,即ql,所以mV4,a21B.aft+a11C.存在无穷多个ZN,使以=23X2D.HF-l,则后一扇单调递增且大于0,所以半1
13、单调递增，所以m+l,即1,故A正确;令y=ev-l(x0),则了=一10,所以y=e-l在(0,+8)上单调递增,且当且仅当X=O时，y=0,所以y=ex-10,即cax1.因为atl-an0,且4aianeaianaan1,/.a,+-an(a,l1)20,故B正确；V=2=23x,2,2=16=23X2-2,3=416,5233-2,由归纳法可知,an+=41123+l,故不存在无穷多个kN*,使改=23-2,故C错误;。+1晶一4+1得1Can+-1an1an累加可得:即，v一-a-cinan-1a11+1I1I1,111l11.1一十一十十一V-十一十十a。2a11a-aa1a31a
14、nrl,可知D正确.On+118 .(2023宁波模拟)设=/b=ln%C=Sinm则()B.bcaD.cabA.abcC.cbat11222得人=InW=In(I+尸-2-X3JC5X2+1由Sinx=X-+(-ir(2n+1),+e(x2-1)得C=SinJg!-7-a,cayxB.yxzC.xzyD.zxy答案A解析由el+x+,得x=e0031+0.03+0.032=1.03045,y=W=1.0609,z=ln(e06+e04)ln2e06+04=ln2+lne=ln2+90.69+0.5=1.19,zyx,选A.10 .已知函数7U)=c,g(x)=ax+.(1)若氏r)2g(x)
15、恒成立，求实数。的值；lnX1(2)若x(0,1),求证：X+-01(x)单调递增，h(l)=e-,+-10时，MX)在x(-8,Ina)上单调递减，在x(ln,+8)上单调递增，所以6(x)的最小值为力(Ina)=aana10,即1Ina(20,即InQ+10.1a1设s(a)=lna+-1,所以9(a)在(0，1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增,即e(a)min=矶1)=0,故In1WO的解只有4=1.综上，a=.(2)证明先证当x(0,1)时，ex+l恒成立.令f(x)=eA-X1,f(x)=d-10,所以X)在(0,1)上单调递增，又心Of(0)=0,所以elx+L所以要证三+%：1，C人即证1Inxx2-0.设F(x)=ln-21,则F,(x)=-2x2=(-1)2xF(l)=l0,即原不等式成立.1-InXi所以当x(0,1)时，-,+-l.Jlx，x加微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦m上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了,加微对接暗号：123
