《微专题3 凹凸反转.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微专题3 凹凸反转.docx（14页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、微专题3凹凸反转【知Ii只拓展】1 .凹函数、凸函数的几何特征图象上任意孤段位于所在 弦的上方的函数为凸函数图2图象上任意瓠段位于所在 弦的卜.方的函数为凹函数图12 .凹凸反转很多时候，我们需要证明但不代表就要证明yu)mmo,因为大多数情况下，Ia)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.如要证明yo,可把正幻拆分成两个函数g(x),/),放在不等式的两边，即要证g(x)%(x),只要证明了g(x)min%(x)max即可,如图3,这个命题显然更强,注意反过来不一定成立.很明显，g(x)是凹函数
2、，/Z(X)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充.凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.3.六大经典超越函数的图象和性质(基本储备知识)(DX与方的组合函数的图象与性质函数
3、J(x)=xexex-)=7-)=图象定义域R(一8,0)U(0,+)R值域T+8)(8,0)Ue,co)(-8,；单调性在(一8,1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增在(一8，0),(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减最值)mn=K1)=-7V当X0时，Ax)min=_/(1)=ex)max=D=(2)X与InX的组合函数的图象与性质函数/(x)=JdnX、InXyu)一X朋FX图象定义域(0,+8)(0,+8)(0,1)U(1,+)值域V+8)(-8,(8,O)Ue,+)单调性在(0,在增3上单调递减，+g)上单调递在(0,
4、e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增最值TWmin=七)=Tx)max=e)=V当l时，yU)min=(e)=e【类型突破】类型一化为咪In占意型例1已知函数U)=l+m+l)x+lnx,证明：对任意x0,1(1+a)xJ(x).2e2证明把段)代入化简，得V-即证丫呼o).2ev2令g)=-o),rll2ex2(X2)贝Ug,(x)=p.当x(0,2)时,g(x)O,g(x)单调递减；当x(2,+8)时，gO,g(x)单调递增.，g(x)最小=g(x)做小=g(2)=,g(x)2今当且仅当x=2时取等号.InY令(x)=-(xO
5、),rITnx贝h,(x)=F,当x(O,e)时，hf(x)OtMX)单调递增；当x(e,+),(x)-(x0).设fix)=XInx(x0),/(x)=Inx+1,当x(,时，/(x)o,/U)单调递增,X21X设机(X)=最一(XO)，则机任)=一3一，当x(o,1)时，Ma)o,Wa)单调递增，当x(l,+),Ma)m(x)恒成立,X2即JdnX亘成立.12即对一切x(0,),InX晟一嬴恒成立.类型二化为ax吟型例2已知函数r)=eAlnX+与一，证明：(x)l.2eIV2丫证明要证明於)=eAlnX+1一1,两边同乘以I，得XInX+/*VVCzY2即证明xlnx.aX2(x)=xl
6、nX,g(x)=晟一由l(x)=lnx+l知，力(X)在(0,上单调递减，在(土，+8)上单调递增,所以力%1 Y而g(x)=f知，g(x)在(0,D上单调递增，在(1，+8)上单调递减，所以g(x)g(l)=一5所以有幽尢)2(：)=一=g(l)2g(x),又等号不同时取到，所以有h(x)g(x)9即y(x)l得证.21训练2(2023湛江模拟节选)设凡)=。2；1,证明：y(x)+x2-x+lO.37X证明把兀0代入化简得eH2詈+l0,37r即证ex-1+-1,当x0时,左边OVeAW1,37右边=-2+-1-1,O37X此时er-2+g-l恒成立，O37r当x0时，要证ex-1,O日r
7、v已(I1137即证/一卜+口+0，ev(IA37令g(x)=I，=-+J+y,rtlex(%1)贝”gf(x)=p，在(O,1)上，g(c)g2力(x),37r故当x0时，ex-2+W-I成立，O21综上，/(x)+2-10成立.类型三先放缩、再反转例3已知函数fix)=axnxx2,若0W1,求证：x)ev-sinx+1.证明：/(x)=adnx+/,所以待证不等式为adnx+x20时，sinxxi，只需证x2+axnxex-x+1,即证宁号+1.令g()=呼+1，g3=(mx)(0Otg(x)单调递增；当x(e,+),gf(x)O,g(x)单调递减，易得g(x)最大=g(x)仅大=g(e
8、)=?+1+1,ev-x1(er+1)(-2)令力。)=-p-，Ia)=p，当x(O,2)时，,(x)O9(x)单调递增，e21易得(x)最小=%(X)机小=h(2)=-.由于中_+1)=_4：故式成立，原不等式得证.规律方法1.先放缩，再利用凹凸反转法证明不等式，实质是证明了强化了的不等式，即证明了原不等式成立的充分条件.2 .常用到的放缩(l)evx+1(当x=0时取到等号)；(2户2ex(当x=l时取到等号)；(3)lnxW-l(当x=l时取到等号)；(4)乎;(当x=e时取到等号)；(5)0sinxxtanx,.,(X-H)(1-inx)，f训练3已知/(%)=-,求证：Xx)x+l,
9、即kl，所以yU)vl+e-ErHy(X+1)(1-nx),即要证/l+e2,只需证1-x-xlnx0),则f(x)=In-29当x(0,e-2),f(x)O,XX)单调递增,当x(e,+8)时，)o,心:)单调递减，易得f(x)ma=f(x)根大慎=e2)=l+e2,所以有1xjdnxl+e-2,从而有x)0),求正实数m的取值范围.解不等式等价于er(mr2+x+z)W-Inx,令g(x)=er(w2+x+zn),h(x)=xnxfg(x)=ex(-)(-mx+m-1),令g(x)=O,解得x=l或x=l5，V0,11.m当om时，一o,所以g(x)在(O,1)上单调递增，在(1,+8)上
10、单调递减，故g(x)ma=g(l)=e,(2w-F1),欲使不等式恒成立，则g(l)(l)e1(2n+l)l,e1解得0时，0151存在g(l)z(l),从而不等式evlnwx2(1er)x+nO不恒成立.e1综上，当00),若7U)有两个零点，则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1(11-C.T,eD.二，eIeLeJ答案(I)C(2)A解析法一取=e,则yU)=xeg(x)=e(l+亭力，得y11)=g(l)=e,知两函数图象至少有一个交点.由fix)=XP得/(x)=+1)T,当xvi时,/(x)一1时，f()o9y单调递增，当f+8时，y()+.由g(x)=el+-付g(x)=F
11、，当OO,g(x)单调递增，当XfO时，g(x)-8,当xe时，g(x)O,当X-+8时，g()-0.根据以上信息，画出U)=xeSg(x)=e(l+曲的图象如图所示.因为yu)=g(l)=e,/(l)=g(l)=2e,所以两曲线在点(1,e)有相同的公切线.由g(x)=al+2阴与y=e(l+2曲图象间的伸缩关系，易知，当e时，两个函数图象有两个交点.故选C.法二取。=2e,同法一可知两函数图象有两个公共点，故选C.(2次x)有两个零点，等价于aerx+(a-2)ex-=0有两个不同实根，即aee+l)=2evx有两个不同实根，等价于方程a(er1)=2有两个不同实根.等价于函数g)=(ex
12、+l)与函数h(x)=+2的图象有两个公共点.V1Y因为hx)=-r.V所以当XVl时，2,(x)0,力(X)单调递增；当41时,(x)0,所以g)=(e+l)的图象单调递增.根据选项，对。取特殊值，=l,=e,这三个值较为特殊.其中。=1更为特殊简单，此时两个函数的图象均过点(0,2).从简单的情形入手，根据上述信息，画出函数g(x)=eHl与函数z(x)=E+2的图象如图所示.容易证明这两个函数的图象在公共点(0,2)处有相同的切线y=x+2.由图象知两函数的图象分别在公切线的上方和下方，背靠背向上向下凹凸反转.由g(x)=(ex+1)与y=ev+1图象间的伸缩关系可知要使函数g(x)=4
13、(ex+1)与函Y数力(X)=晟+2的图象有两个公共点，则0“0时，人幻49+1.证明要证/U)rex+,只需证exInxe,即exev0),则hf(x)易知力(X)在(,F)上单调递减，在R+s)上单调递增，则z()min=破)=0,所以lnx20,ex再令9(x)=exev(x0),则x)=eev.当Ox0,当Ql时，(x)0,即9。)在(O,1)上单调递增，在(I,+8)上单调递减,则0(x)max=-i)=O,所以ex-ev0,因为KX)与9。)不同时为0,所以e-ex0时，证明危)-2x+x2+x3-2elnx.解,.y(x)=x2+2-2xer,.(x)=2x+2-2ev-2xex
14、=(2x+2)(l-er),由f(X)Of得X=-1或X=0.列表讨论，得：X(一8,-1)-1（一1，0）O(O,+)f()O+O於）极小值极大值12 当X=-I时，W=-D=1-2+2-=-1,VV当=o时，y(x)粒大值=/(0)=0.(2)证明要证明兀r)2x+f+30),2elnX令g(x)=2er-X22x(0),h(x)=(x0),(x)=2(ev-l),)=2(-1)0, g，(x)在(0,+8)上单调递增，g3gg(0)=2,2e(1InX)hf(x)=F,可得MX)在(O,e)上递增，在(e,+8)上递减,*h(x)WMe)=2,又g(x)与(x)取最值点不同,：g(x)z
15、(x)在(0,+8)恒成立,所以当x0时，J(x)2x+x230在(0,+8)上恒成立.证明由题意知，危)一2+x=InX+:一看,设g(x)=Wnx+1,则g看,X即证 xlnx+1,在(0，上，g,(x)o,g(x)单调递增.所以ga)eg(3=iT，Y1X设力。)=6，则h,(x)=-r,在(0,1)上，z,(x)O,力单调递增；在(1,+8)上，,(x)o在(0,+8)上恒成立.二、创新拓展练4 .(2023南通模拟改编)设函数兀T)=InXeLx,g(x)=a(x21)一：.若/U)g(x)在(1,+8)恒成立，求实数。的取值范围.e1解由题意得：Inx一装0,ZIa)在(1,+8)
16、上递增，%()h(l)=0,三Pk(x)O.若aW0,由于xl,故a(x21)Inxg(x),即当r)0.当aO时，设h(x)=a(x2-)lnx,ri20x2-1贝Uhf(x)=,若总1,即。舄时，易得下1，才V，人。)单调递减,x，+L x)单调递增,故。，即存在/=才71,使得/U)g(),故0；时，yu)0,即故_*_1，1.IuI1I1X32x+1X2-2x+1因此s(x)X_;+了_：=-AAA故Sa)在a,+8)上递增,故Sa)s(i)=o,即a2时，U)g(x)在(1,+8)恒成立，综上，当，+8)时，危)g()在(1,+8)恒成立.力口微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦m上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了,加微对接暗号：123
