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1、微专题14拉格朗日中值定理【知识拓展】1.拉格朗日中值定理：若yu)满足以下条件：(1VU)在闭区间加内连续；(2VU)在开区间(，力上可导，则在m，与内至少存在一点使得了=/一/(。)b-a2.几何意义：弦AB的斜率虫=/3三=/(a)，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦A8【类型突破】类型一证明不等式2例1已知函数/(x)=2+F+lnx(xO)fKr)的导函数是/(x),对任意两个不相等的正数XI,X2,证明：当时，f(x)f(X2)X-X2.证明由於)=x2+1+lnx,得/(x)=2x丞+*令g(x)=(x),则由拉格朗日中值定理得73)-f02)=g)-g3)=g)(
2、LX2).下面只要证明：当4时，任意0,都有g4)l,4ci则有g(x)=2+了-Fl,4即证“44时，42+三恒成立.这等价于证明x2+1的最小值大于4,由2+=2+34,当且仅当X=/时取到最小值，又“W4m一X2.规律方法能利用拉格朗日中值定理证明的不等式的特征：既有两自变量的差，又有两函数(或导数)值的差.2训练1(2023杭州调研改编)已知函数7U)=f+嚏+Hnx(Q),对任意两个不相等也F皿Fr.7,一f(Xl)+f(X2)(x+x2的正数Xi,X2,证明：当W0时，2次2证明不妨设X1X2,即证兀_/1产)#1”2)-J(X1).由拉格朗日中值定理知，存在4c(m中)，e2(三
3、,力，贝小的，且於2)(审)=加可，产件-以尸/)宁，又/(x)=2l+:,7(x)=2+?.当0时，,(x)0.所以Fa)是一个单调递增函数，故了&)0时，Xx)r等价于-Wa,由拉格朗日中值定理，存在m0,使彳心二泮=(xo),%CoS 刈+23i故只需。词(XO)恒成立即可.r2C0SX+1/(X。)(2COS)2规律方法利用拉朗日中值定理求参数的步骤：(1)分离参数；构造成&综三产-的形式，求其最值(范围).训练2(2023济南模拟改编)设yU)=(+l)lnx+qx2+1,当一1时，若对任意的Xi,%2三(0,o),Iy(XI)y(X2)24xlX2成立，求。的取值范围.解由拉格朗日
4、中值定理，可知必存在xo(O,+),.f(x)f(X2)d+1,使何，(&)=，/(xo)=-+20xo,当aO时，/(xo)=vo2axoO,由题意了(xo)4,.()一4,-4x 12x2+1(2x1 ) 22x2+l2-2,【精准强化练】即-2.一、基本技能练1.(2023福州模拟改编)设/(X)=EX2+(i)n%,求证：当l-1.X-X2证明由拉格朗日中值定理可知只需证/(x)1对x(0,1)恒成立，(a- 1) x+ Ca-1)1a-1x2一由/(x)+1=x+-(a-)=因为l0,则/(x)+l0,所以/(x)1.2 .设OVy,证明：pyp-y)jf-yftl知产一】在小力上单
5、调递增，Pyf厂pg厂pp7,从而有py,x-y)pQi1-y)pxP,(xy),即有pypl(-y)-yf)0时，问题转化为a-对任意QO恒成立，r,.ex-exf(x)f(O)则丁,由拉格朗日中值定理知在(0,+8)内至少存在一点Jeo),使得了(O=/(x)/(0)x-0，又(J=*+e=,由于,(=e4r-eeo-eo=O(O),故八。在(0,+8)上是增函数，则/miny(0)=2,所以。的取值范围是(-8,2.二、创新拓展练4 .已知函数/(x)=x3+Zlnx(kR),/(x)为r)的导函数，当女23时，证明：对“,rTJr(XI)+/(X2)f(XI)f(X2)任意XI,X2三
6、IL+o),且XX2,有0.2Xl-Xl证明由拉格朗日中值定理知，存在(X2,Xl),使得吗二产,f,只需证/5)y(皿)内(1W/231)即可.由)=3+(x21),令g(x)=3f+gx21),Hr-3(Xl)+身(股)一即证明2g(0(1X2X),只需证明曲线y=g(x),X三(X2,Xl)严格落在点(X2,g(T2)和(X1,g(x)的连线的下方，即证当Z23时，函数g(x)在1,+8)上是下凸的，k2k由)=6-7,g(x)=6+y可知，I,、,.2k63+2Z-当忆23时，gQ)=6+p=320(当且仅当X=1,A=3时，g(x)=0),所以g(R)”(X2)丁(1W22,都有f(Jn)+/(X2)J(Rl)/(X2)2XlX2力口微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦m上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了,加微对接暗号：123
