2024二次函数与相似三角形.docx

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1、二次函数与相像三角形一.解答题(共8小题)1. (2024青海)如图，已知抛物线经过点A(2,O),B(3,3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3) P是抛物线上其次象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说2. (2024临沂)如图,抛物线经过A(4,O),B(1,O),C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过P作PMJ_x轴，垂足为M

2、,是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与AOAC相像？若存在，恳求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得ADCA的面积最大，求出点D的坐标.3. (2024西安模拟)如图，已知抛物线y=a2+b+c(a0)经过A(-1,O),B(4,0),C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式；(2) E为抛物线上一动点，是否存在点E便以A、B、E为顶点的三角形与ACOB相像？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4. (2024洛阳一模)抛物线y=a2+bx+c(a0)的顶点坐标为(2,-1),并且与y轴交于点C(0,3),与X轴交

3、于两点A,B.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点如图1,过点P作PD_LBC,垂足为D,求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；如图2,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,过点P作y轴的平行线PQ,与直线BC交于点Q,问是否存在点P,使得以M、P、Q为顶点的三角形与ABCO相像？若存在，干5. (2024秋松江区月考)如图，已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C(1)求抛物线的函数解析式.(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标.(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM_Lx

4、轴，垂足是M,是否存在点p,使得以P、M、A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.X6. (2024常德)如图，已知二次函数尸-L(+2)(ax+b)的图象过点A(-4,3),B48(4,4).(1)求二次函数的解析式：(2)求证：AACB是直角三角形；(3)若点P在其次象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直X轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与AABC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.7. (2024鄂尔多斯)如图，抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.(1)求抛物线的解析式；

5、(2)若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、0、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请干脆写出点D的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PMJ_x轴，垂足为M,是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.8. (2024鄂州)如图，在平面直角坐标系XOy中，直线y=x+2与X轴交于点A,与y轴交于点C抛物线y=a2+bx+c的对称轴是X=-g且经过A、C两点，与X轴的另一交点为2点B.(1)干脆写出点B的坐标；求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求PAC的面

6、积的最大值,并求出此时点P的坐标.（3）抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直X轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相像？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.B3-2二次函数与相像三角形参考答案与试题解析一.解答题(共8小题)1. (2024青海)如图，已知抛物线经过点A(2,O),B(3,3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上其次象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A为顶点的三角形与ABOC相像？

7、若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)依据抛物线过A(2,0)及原点可设y=a(x-2)x,然后依据抛物线y=a(x-2)X过B(3,3),求出a的值即可；(2)首先由A的坐标可求出OA的长，再依据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线X=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1,代入抛物线解析式即可求出其横坐标；(3)，分&PMASCOB和4PMASBOC表示出PM和AM,从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标.【解答】解：(1)依据抛物线过A(2,0)及原点，可设y=a(x-2)(X-0),又抛

8、物线y=a(x-2)X过B(3,3),3(3-2)a=3,*a=19抛物线的解析式为y=(x-2)x=x2-2x；(2)若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D(1,-1)；若OA为平行四边形的一边，则DE=OA,点E在抛物线的对称轴上，.点E横坐标为1,点D的横坐标为3或-1,代入y=2-2x得D(3,3)和D(-1,3),综上点D坐标为(1,-1),(3,3),(-1,3).(3) Y点B(3,3)C(1,-1),BoC为直角三角形，ZCOB=90%且OC：OB=I:3,如图1,若.PMASCoB,设PM=t,则AM=3t,二.点P(2-3t,t),代入y=x2-2x得(2-3t

9、)2-2(2-3t)=t,解得t=O(舍),如图2,若APMASBOC,设PM=3t,则AM=3点P（2-t,3t）,代入y=x2-2x得（2-t）2-2（2-t）=3t,解得t=O（舍），t2=5,P（-3,15）综上所述，点P的坐标为（-工，工）或（-3,15）.【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相像三角形的判定和性质等学问点，综合性强，同时也考查了学生分类探讨，数形结合的数学思想方法.2.(2024临沂)如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PMJ_x轴，垂足为M,是否存

10、在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与AOAC相像？若存在，恳求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得DCA的面积最大，求出点D的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)已知抛物线经过C(0,-2),则可设该抛物线的解析式为y=a2+b-2,再把A(4,0),B(I,0)代入即可；(2)ZkOAC是直角三角形，以A,P,M为顶点的三角形与其相像，由于点P可能在X轴的上方，或者下方，分三种状况，分别用相像比解答；ADE,它们 运用代数式(3)过D作y轴的平行线交AC于E,将乙DCA分割成两个三角形CDE,的底相同，为DE,

11、高的和为4,就可以表示它们的面积和，即ADCA的面积，的变形求最大值.【解答】解：(1)该抛物线过点C(0,-2),设该抛物线的解析式为y=ax2bx-2.将A(4,0),B(1,0)代入，,16a+4b-2=0a+b-2=0此抛物线的解析式为y=-l2x-2.(2)存在.如图，设P点的横坐标为m,则点P的纵坐标为-1m2m-2,当IVmV4时，AM=4-m,PM=一ln2-2，22又ZCOA=ZPMA=90,当里奥2时，AAPMSAACO,PMOC彳；?=2,即4-m=2(-lro2+m-24-m=m+5m-4,m2-6m+8=0,(m-2)(m-4)=O解得：m=2,m2=4(舍去)二.P

12、(2,1)当妈A=A,APMSCAO,PMOA2那么有：24-m=-lro211-22(4-m)=-Am2+-m-2,22m2-9m+20=0,.(m-4)(m-5)=O,解得：mi=4(舍去)，r112二5(舍去)，当IVmV4时，P(2,1),类似地可求出当m4时，P(5,-2),当mVl时，P(-3,-14),当P,C重合时，AAPM之ACO,P(0,-2).综上所述，符合条件的点P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)或(0,-2)；(3)如图，设D点的横坐标为t(0VIV4),则D点的纵坐标为-22+g-2.22过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y=l

13、-2.E点的坐标为(I,It-2).2.DE=-lt2+-2-(11-2)=-lt2+2t.2222.,.SDAC=-(-i2+2t)4=-t2+4t=-(t-2)2+4.22当t=2时，ADAC面积最大./.D(2,1).【点评】本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相像三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形.3.(2024西安模拟)如图，已知抛物线y=a2+bx+c(a0)经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式；(2)E为抛物线上一动点，是否存在点E便以A、B、E为顶点的三角形与A

14、COB相像？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)本题需先依据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=a2+bx+2,再依据过A,B两点，即可得出结果；(2)由图象可知，以A、B为直角顶点的AABE不存在，所以AABE只可能是以点E为直角顶点的三角形.由相像关系求出点E的坐标.【解答】解：(1)该抛物线过点C(0,2),可设该抛物线的解析式为y=a2+bx+2.将A(-1,0),B(4,0)代入，得Iab+2-0,解得2,116a+4b+2=0匕/二抛物线的解析式为：y=-l2+2.22(2)存在.由图象可知，以A、B为直角顶点的AABE不存

15、在，所以AABE只可能是以点E为直角顶BC=如2+产如.在RlBOC中，设BC边上的高为h,则32h=224,BEAsaCOB,设E点坐标为（x,y）,.AB=JzL.箴祈.y=2将y=2代入抛物线y=-l2+2,22得X=0,X2=3.当y=-2时，不合题意舍去.E点坐标为（0,2）,（3,2）.【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及相像三角形的性质的运用，勾股定理的运用,解题的关键是正确求出函数的解析式.4.(2024洛阳一模)抛物线y=a2+b+c(a0)的顶点坐标为(2,-1),并且与y轴交于点C(0,3),与X轴交于两点A,B.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是位于直线BC下方

16、的抛物线上一动点如图1,过点P作PD_LBC,垂足为D,求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；如图2,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,过点P作y轴的平行线PQ,与直线BC交于点Q,问是否存在点P,使得以M、P、Q为顶点的三角形与ABCO相像？若存在，干【考点】二次函数综合题.【分析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2-1(a0),将点C的坐标代入即可得出答案；(2)过点P作PEIIy轴与直线AB交于点E,由PE与y轴平行，得到NBEP=NBCO,求出OB与OC的长，得出SinNBCO的值，即为SinNBEP的值，设P的横坐标为m,分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PE

17、的长，由PD=PEsinZBEP表示出PD,利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；由直线BC的解析式知NOBC=NoCB=45。.又由题意知NQPM=NeoB=90。，所以只有QPMSCOB.【解答】解：(1)抛物线的顶点为(2,-1),.可设该函数解析式为：y=a(x-2)2-1(a0),又抛物线y=a2+bx+c(a0)与y轴交于点C(0,3),.3=a(0-2)2-1,解得a=l,该抛物线的解析式是y=(x-2)2-(或y=2-4x+3)；(2)过点P作PEIIy轴与直线BC交于点E,如图1,PE与y轴平行.ZBEP=ZBCO,对于抛物线y=2-4x+3,令y=0,得到x?-4x+3=

18、0解得：x=l,X2=3抛物线与X轴的两交点为A(1,O),B(3,0)设B、C所在直线解析式为y=kx+b则有(3k+b=0解得(k二一1Ib=3b=3.直线为y=-x+3,BO=3,CO=3,依据勾股定理得到BC=32.sinzBEP=Sin=ZBCo=立BC2设P点的横坐标为m,将x=m代入直线解析式得：y=-m+3：代入抛物线解析式得：y=m2-4m+3,EP=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m.DP=EPsinZBEP=(-m2+3m)2ZL-返2228/-返0,2_当m=乜时，MP的最大值为色色.28假设存在点E,使得以M、Q、P为顶点的三角形与ABCO相像.由(1)知，该

19、抛物线的解析式是y=24x+3,即y=(-l)(-3),该抛物线与X轴的交点坐标分别是A(I,0),B(3,0)./C(0,3),易求直线BC的解析式为：y=-x+3.ZOBC=ZOCB=45o.又点M是对称轴上的一点，对称轴为：直线x=2,/.M(2,1)如图2,连接MP.图2.QPIIy轴,只有NQPM=ZCOB=90o.以M、Q、P为顶点的三角形与BCO相像,.ZMQP=ZPMQ=45,只有QPMSCOB.设Q(x,-x+3),则P(x,1),l=x2-4x+3,解得x二2y,ZQMP=90o;易知，直线AM：y=x-I,联立抛物线的解析式有：x2-4x+3=x-1,解得Xi=KX2=4

20、；当X=I时，y=-x+3=2;当x=4时，y=-x+3=-1；.Q3(1,2)、Q4(4,-1).Q(2-2,I+2)或Q(22,1-2)或(I，2)或(4,-1).【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的学问有.：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及相像三角形的判定；留意解(2)时，只有ZQPMsACOB一种状况.5.(2024秋松江区月考)如图，己知抛物线经过A(-2,O),B(-3,3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的函数解析式.(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AoDE是平行四边形，求

21、点D的坐标.(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM_LX轴，垂足是M,是否存在点p,使得以P、M、A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a,bx+c(a0),把点A(-2,O),B(-3,3),O(0,0),代入求出a,b,c的值即可；(2)首先由A的坐标可求出OA的长，再依据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴宜线X=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1,代入抛物线解析式即可求出其横坐标；(3)分PMASCOB和PMASBoC表示出PM和AM,从而表示出点P的坐标，代入求

22、得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标.【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=a2+b+c(a0),将点A(-2,O),B(-3,3),O(0,0),代入可得：,4a-2b+c=0,9a-3b+c=3，c=0a=l解得：,b-2,c=0所以函数解析式为：y=2+2x;(2)AO为平行四边形的一一边，/.DEIIAO,DE=AO,.A(-2,0),DE=A0=2,四边形AoDE是平行四边形，丁D在对称轴直线X=-I右侧，D横坐标为：-1+2=1,代入抛物线解析式得y=3,二.D的坐标为(1,3)；当D点在对称轴直线X=-1的左侧时，依据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为(-3,

23、3),综上点D的坐标为(1,3)或(-3,3)；(3)假设存在点P,使以P,M,A为顶点的三角形与ABOC相像，设P(x,y),由题意知x0,y0,且y=x2+2x,由题意，ZiBOC为直角三角形，NCoB=90。，且OC：OB=I:3,若PMASCOB,则里更，BOCO即x+2=3(x2+2x),得Xl=-,X2=-2(舍去)3若PMASABOC,邈则,COBO即：x2+2x=3(x+2),得：x=3,X2=-2(舍去)当x=3时，y=15,即P(3,15).故符合条件的点P有两个，分别(，M)或(3,15).39【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相像三角形

24、的判定和性质等学问点，综合性强，同时也考查了学生分类探讨，数形结合的数学思想方法.6. (2024常德)如图，已知二次函数V=-L(x+2)(ax+b)的图象过点A(-4,3),B48(4,4).(1)求二次函数的解析式：(2)求证：ZkACB是直角三角形；(3)若点P在其次象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直X轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与AABC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】综合题；压轴题.【分析】(1)将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式；(2)依据二次函数解析式，求出点C的坐

25、标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可；(3)分两种状况进行探讨，4DHPSBCA,PHDSBCA,然后分别利用相像三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标.【解答】解：(1)由题意得，函数图象经过点A(-4,3),B(4,4),故可得:3$( - 4+2) (-4a+b)(4+2) (4a+b)解得:a=13 b=-20,故二次函数关系式为：y=A(+2)(13-20).48(2)由(1)所求函数关系式可得点C坐标为(2,0),点D坐标为(里，0),13又,丁点A(-4,3),B(4,4),AB=J(4+4)2+(4-3)AC=J(-2+4)2+(0-3)2=13

26、bc=7(4+2)2+(4-0)2=2V13.满意ab2=ac2+bc2,.ACB是直角三角形.(3)存在点P的坐标，点P的坐标为(一封，理)或(-122,284).13131313设点P坐标为(x,工(x+2)(13x-20),则PH=(x+2)(13x-20),HD=-x+里,4848137 (x+2) (13x - 20)-若DHPSBCA,则且上以，即图-=3ACBC13213解得：X=-且或X=理(因为点P在其次象限，故舍去)；131313 13代入可得PH=N即Pi坐标为(-封，理)；W (x+2) (13x - 20) x+v7若PHDSBCA,则典生，即图-=-JjBCAC52

27、13解得：X=-承或X=理(因为点P在其次象限，故舍去).131313 13综上所述，满意条件的点P有两个，即Pl (一包，)、P2 ( -122, 284).13 1313 13代入可得PH=%，即P2坐标为：(-挚，284).【点评】此题属于二次函数综合题目，涉及了相像三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要留意细心求解.7. (2024鄂尔多斯)如图，抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、0

28、、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请干脆写出点D的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PMLx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】综合题.【分析】(1)依据顶点坐标设出抛物线的顶点式解析式，将原点坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；(2)分三种状况考虑，D在第一象限，其次象限以及第三象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出D坐标即可；(3)依据题意画出图形，依据B横坐标为-3,代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B坐标，进而求出BC,BO,OC的

29、长，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC为直角三角形，若P、M、A为顶点的三角形与BOC相像，设P(m,n),由题意得m0,n0,且n=m2+2m,依据相像得比例，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而求出n的值，即可确定出P的坐标.【解答】解：(1)抛物线的顶点为C(-1,-I),设抛物线的解析式为：y=a(x+l)2-1,抛物线经过(0,0),将x=0,y=0代入抛物线解析式得：0=a-l,解得：a=l,y=(x+l)2-1=x2+2x,令y=0时，x2+2x=0,解得xi=0,X2=-2,A(-2,0)；(2)如图所示，分三种状况考虑：当Dl在第一象限时，若四边形AODIEl为平

30、行四边形，AO=ED=2,抛物线对称轴为直线X=-1,Di横坐标为1,将x=l代入抛物线y=2+2x=l+2=3,即Dl(1,3)；当D2在其次象限时，同理D2(-3,3)；当D3在第三象限时，若四边形AE2OD3为平行四边形，此时D3与C重合，即D3(-l,-1);(3)存在，点B在抛物线上，/.当X=3时，y=9-6=3,.B(-3,3),依据勾股定理得：BO2=9+9=18;CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,.BO2+CO2=18+2=20,.BO2+CO2=BC2,/.BOC为直角三角形，假设存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与ABOC相像，设P(m,n),由题意得m0

31、,n0,且n=r112+2m,2若AMPSBOC,则里里，即J=1D髻RBOCO182整理得：m+2=3(m2+2m)=0,BP3m2+5m-2=0,解得：m=-tm2=-2(舍去)，3m=2时，n=-+-?=,3939P(1,1)；392若aAMPsCOB,则里里，即嘤=EL咎!，COBO218整理得：m2-m-6=0,解得m=3,m2=-2(舍去)，当m=3时,n=9+6=15,：.P(3,15),综上所述，符合条件的点P有两个，分别是Pl(，1)，P2(3,15).【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的学问有：待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的性质，相像三角形的判定与性质，利用了数形

32、结合及分类探讨的思想，分类探讨时留意考虑问题要全面.8.(2024鄂州)如图，在平面直角坐标系XOy中，直线y=J+2与X轴交于点A,与y轴2交于点C.抛物线y=a2+bx+c的对称轴是x=-且经过A、C两点，与X轴的另一交点为点B.(1)干脆写出点B的坐标；求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直X轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与AABC相像？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)先求的直线y=

33、L+2与X轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得2点B的坐标；设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x-l),然后将点C的坐标代入即可求得a的值；(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-Im22-2m,然后利用三角形的面积公式可求得Sapac=2PQx4,然后利用配方法可求得PAC2的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；(3)首先可证明ABCSACoSCBO,然后分以下几种状况分类探讨即可：当M点与C点重合，即M(0,2)时，ZkMANsBAC;依据抛物线的对称性，当M(-3,2)时，4MANsABC;当点M在第四象限时，解题时，须要留

34、意相像三角形的对应关系.【解答】解：(1)y=+2当x=0时，y=2,当y=0时，X=-4,.C(0,2),A(-4,0),由抛物线的对称性可知：点A与点B关于X=-乜对称，2点B的坐标为1,0).抛物线y=a2+b+c过A(-4,0),B(1,0),可设抛物线解析式为y=a(x+4)(X-1),又抛物线过点C(0,2),2=-4aV=-X2x+2.22(2)设P(m,-m2-m+2).22过点P作PQx轴交AC于点Q,Q(m.lm+2)2PQ=-m2-m+2-(m+2)2221 2=-m-2m,2.Spac=-PQ4,2=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,.当m=-2时，PAC的面积

35、有最大值是4,此时P(-2,3).(3)在RIAAOC中，tan/CA0=RsBOC中，tan/BCo=22.ZCAO=ZBCO,.ZBC0+zOBC=90o,ZCAO+ZOBC=90,.ZACB=90o,.ABCSACoSCBO,如下图：当M点与C点重合，即M(0,2)时，MANSBAC;依据抛物线的对称性，当M(-3,2)时，MANSABC;当点M在第四象限时，设M(n,-In2-+2),则N(n,0)22.MN=ln2-2,AN=n+422当&J=I时，MN=Ian,即J+-2=工(n+4)AN-22222整理得：n2+2n-8=0解得：n=-4(舍)，n2=2.M(2,-3)；当典/时，mn=2an,即工I?+3n-2=2(n+4),AN-I22整理得：n2-n-20=0解得：n=-4(舍)，112=5,M(5,-18).综上所述：存在Ml(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与AABC相像.【点评】本题主要考查的是二次函数与相像三角形的综合应用，难度较大，解答本题须要同学们娴熟驾驭二次函数和相像三角形的相关性质.