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1、专题04条件概率与全概率公式（4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点L条件概率知识点2.乘法公式知识点3.全概率公式知识点4.贝页斯公式拓展1条件概率的求解拓展2.全概率公式的应用突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算题型2.事件的独立性与条件概率的关系题型3.乘法公式的应用题型4条件概率的综合应用题型5.全概率公式的应用题型6.贝叶斯公式的应用题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”【方法四】成果评定法【知识导图】o【倍速学习四种
2、方法】【方法一】脉络梳理法知识点L条件概率一、条件概率的概念PD一般地，设力，8为两个随机事件，且Pa)0,我们称一例用=p为在事件4发生的条件下,事件发生的条件概率.二、条件概率的性质设Pa)o,则P(04)=L如果4和。是两个互斥事件，则P(BUCA)=P(BA)+P(CA).(3)设下和8互为对立事件，则尸(FIA)=l-PBA.例L单选题(2024全国模拟预测)我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖错头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件力为“两位游客中至少有一人选择太湖
3、毒头渚”，事件3为“两位游客选择的景点相同”，则P(8A)等于(D.【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求得尸(用力的值.136【详解】由题意，知P（八）=等=&P(AB)=工663666所以p(则=需$故选：A.知识点2.乘法公式对任意两个事件力与其若(力)0,则P(A协=产(0P(B力)为概率的乘法公式.例2.填空题(2024上山东滨州高三统考期末)甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用A、4和4表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一
4、球，用表示由乙箱取出的球是红球的事件，则尸(A?忸)=【答案展43a【分析】由题设求出P（八）=,尸(4)=凝尸琉，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可.【详解】由题意得P（八）=历,P(4)=j,p0,/=1,2,，n,则对任意的事件届0,m0,有户(41：=AJBAi=/(4(Bld),，=1,2,，n.P（八）P(B)/=1例4.(2023全国高二随堂练习)现在一些大的建筑工程都实行招投标制.在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质(含施工质量、信誉等)进行调查和评定是非常重要的.设炉”被调查的施工企业资质不好”，4=被调查的施工企业资质评定为不好”.由过去的资料知P(45)=O.9
5、7,P(Z忸)=0.95.现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率(精确到0.01).【答案】0.55【分析】由贝叶斯公式计算即可.【详解】由题意可得P(B)=0.06,P(AIB)=O.97,p(a5)=0.95,所以P(AIb)=1-P(忸)=1-095=005,P(豆)=1-P(B)=I-Oo6=0.94,P(BiA) =P(AB) _ P(B) P(AB)p(b)p(ab)P(A) P(AB)+P() P(B)P(A) + P()P(A)0.060.97 八“ 0.55.0.06x0.97 + 0.94x0.05即评定为资质不好的施工
6、企业确实资质不好的概率约为0. 55.拓展1.条件概率的求解1. (2024 广东肇庆统考模拟预测)小明去书店买了 5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是,【答案】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件力为“取出的2本中有1本是数学”，事件8为“另1本是物理或化学”，/八 CC+C 7则 P(A) =2 =MP(A8)=10所以P(MA)=爷舁6 一 7-6-107-10故答案为:y.拓展2.全概率公式的应用2.(2024上福建泉州高三统考期末)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3
7、个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P”第1次摸到红球的概率为巴；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为A；在第1,2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为心求匕舄,6,巴；对于事件ASC,当尸(AB)0时，写出尸（八）,尸(用A),P(CAB),P(ABC)的等量关系式,并加以证明.7【答案】记详见解析详见解析【分析】(1)根据全概率公式求解即可；(2)根据相互独立界件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解;(3)根据(2)猜想尸(ABC)=P（八）P(同A)尸(ClAB),由条件概率公式证明即可.【
8、详解】(1)记事件“第i次摸到红球”为4(i=L2,3,10),则第2次摸到红球的事件为A2,于是由全概率公式，得p(4)=p（八）p(4IA)+p(&p(A闾=看尹有$.(2)由已知得A=P(A44)=蓑=，2=p（八）=,A = p(4A) =P(AyA2)=IO7JO尸（八）A：。71577=P(31A2) =P(A44)=7J5=5P(A4)247-8,(3)由可得4=2学1,即P(A4A)=P（八）P(4A)P(AA4),可猜想:P(ABC)=P（八）P(BIA)P(ClA5),证明如下：由条件概率及尸（八）0,P(A8)0,得尸A)=需，PCM)=霜,所以P（八）P(BA)P(CB
9、)=P（八）.T吸=P(ABC).产（八）/IAal突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用1.多选题(2024上辽宁抚顺高二校联考期末)在某班中，男生占40%,女生占60%,在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%,在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%,从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是()A.抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为最B.抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为Wc.若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为AQD.若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为合【答案】AB【分析】A选项，设出事件，利用乘法公式求出A正确；B选项，由全概率公式得到B正确；C选项，结合B选项，利
10、用贝叶斯公式得到C错误：D选项，利用对立事件求概率公式求出答案.【详解】A选项，用A，4分别表示抽到的学生是男生、女生，用B表示抽到的学生喜欢体育锻炼.由题意得玳4)=40%，尸(&)=60%,。34)=80%(创4)=60%,Q则P(AB)=P（八）P(BlA)=32%=不，O故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为最，A正确；B选项，由全概率公式得P(8)=P（八）P(3|A)+P(4)P(Ma)=68%W，B正确.C选项，由B选项可得P(A=I鬻出哈，C错误；D选项，由C选项可得P(&=I-P(A=看，D错误.故选：AB【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算1.(2024上天津
11、和平高三统考期末)将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球.(i)若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是;(ii)若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是.131【答案】石52-/0.25【分析】放回和不放回两种抽取时，考查抽取的所有情况及不同条件下的情况，利用古典概型概率计算公式计算即可.【详解】放回的抽取时，两次抽取共有5x5=25种情况，其中两
12、次抽取颜色相同共有3x3+2x2=13种情况，其中黑色相同的有33=9种，白色相同的共有2x2=4种,13故所求概率为共；当不放回的抽取时，颜色相同的有3*2+2l=8种情况，其中其中黑色相同的有6种，白色相同的共2种，所以在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率为:=84131故答案为：;题型2.事件的独立性与条件概率的关系2.多选题(2023上山东德州高二校考阶段练习)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，4和4表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再
13、从乙罐中随机取出球，以8表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是()A.事件A与&相互独立B.尸(同4)=2C.P(B)弓D.P(AV【答案】BCD【分析】A选项，计算出P（八）,p(4),p(A4),根据P(A4)p（八）p(4),判断出A与4相互独立;BD选项，利用条件概率求出答案；C选项，利用全概率公式求出答案.51O1【详解】A选项，由题意，P（八）=K竟P（八）=GW=不J114IJJJI4IJJ而P(A4)=0工Q（八）P（八）,A错误；1 44P(Ao) = - = v , 5 11 552B选项，由P(A2)=5+2+34所以P(8闯=9器=至4,B正确;5C选项，P
14、(B)=P(BIA)P（八）+p(54)p(4)+p(（八）p（八）15 4 13 49= HX + X=一2 11 11 5 10 11 22,C正确;_LAD选项，P(A=嗡LwHgD正确22故选：BCD.题型3.乘法公式的应用3. (2024上上海高二校考期末)某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.【答案】E【分析】求出第一次取到。个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得.【详
15、解】用Aae表示第一次取到i个新球的事件，用3表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件，C21C1C13C21则=4UAL4,且4,AM两两互斥，24)=不P（八）=-=M/(4)=p=不号=*年4盟，6IQQQ11ao因此P(B)=P(4)P(B4)+P(4)P(5A)+P(4)P(3H)=gXm+gx不+所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为我.故答案为：题型4条件概率的综合应用4. (2024上天津河北高三统考期末)甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是乙命中的概率是,两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中
16、两次的概率为.13【答案】【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案.根再根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为=1,则甲乙二人全部命中的概率为IXI=J,两人至少命中两次为齐件4甲恰好命中两次为事件民P(A) = I-P(A) = I-1x1x1-2x1x1x1.1x1x2Z2 2 3 2 2 3 12P(AB)=i - 2 21 1-+ 3 2-323 五 7-1213故答案为：7767题型5.全概率公式的应用5. (2024贵州校联考模拟预测)甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相
17、同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知(1)中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】5呜【分析】(1)设出事件，运用全概率公式求解即可.(2)利用条件概率公式求解即可.【详解】(1)记取到甲盒子为事件4,取到乙盒子为事件取到丙盒子为事件取到黑球为事件BxiQ15132由全概率公式得尸(B)=尸（八）尸(BlA)+尸（八）尸(54)+尸(Aj)?(514)=；X=+=+=31236363故摸出的球是黑球的概率是5.15一X(2)由条件概率公式得P(
18、AJB)=今箸:皇吟，3故此球属于乙箱子的概率是K题型6.贝叶斯公式的应用6. (2023全国高二随堂练习)某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？【答案】0.1066【分析】首先列出条件中的概率，再根据贝叶斯公式，即可求解.【详解】设“抽查的人患有癌症”为事件C,“实验结果为阳性”为事件A,则“抽查的人不患癌症”为事件己知P(C)=O.005,P(C)=O.995,P(AIC)=O.95,p(c)=0.04,由贝叶斯公式尸(CIA)=一吧一0,1066
19、出入TMZX八Il)P(C)P(AIC)+P(c)P(Ne)0.0050.95+0.9950.04所以此人是癌症患者的概率约为0.1066.题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用7. (2024天津校考模拟预测)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率
20、为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4,从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5,从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.【答案】Iy/0.4【分析】利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率.【详解】记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件8表示“两个球都是红球”，则尸（八）=I-务高P(48)=q,-幽3109-10即从甲箱中随机抽出2个球，在Li知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为;设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件已表示“从甲箱中抽球”，事件力表示“抽到红球”，则P(C)=p(e)qq，P(
21、DlC)gp(dc)=,所以P(Q)二?(CZ)+?(8)P(CP(DlC)+PP(Dle1423=X+X=353514所以唳二笔户=H32即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是_.12故答案为：-;【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”1.判断题(2023上高二课时练习)判断正误(正确的填“正确”，错误的填“错误”)(1)P(BlA)VP(AB).()(2)事件A发生的条件下，事件8发生的概率，相当于A5同时发生的概率.()(3) P(AIA)=O.()(4) P(BlA)=P(AlB).()【答案】错误错误错误错误【分析】根据条件概率的知识进行分析，从而确定正确答
22、案.【详解】(1)P(MA)=粤黑，而0O时，P(BlA)=T7一,把公式进行变形,就得到当P（八）00寸,P(AB)=P(BIA)P（八）,故选C.考点：条件概率.8. (2023上湖北高三校联考阶段练习)某人从4地到8地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3,0.3,0.4,乘火车迟到的概率为0.2,乘轮船迟到的概率为0.3,乘飞机迟到的概率为0.4,则这个人从A地到8地迟到的概率是()A.0.16B.0.31C.0.4D.0.32【答案】B【分析】根据全概率公式结合已知条件求解即可.【详解】设事件4表示“乘火车”，事件5表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件表示“迟至IJ”,则P（八
23、）=O.3,P(OlA)=O.2,P(B)=0.3,P(OlB)=O.3,P(C)=O.4,尸(OlC)=O.4,D=(DlA)U(Z)IB)U(DlC),由全概率公式得：P(D)=P（八）P(DIA)+P(B)P(DlB)+P(C)P(OIC)=O.3X0.2+0.3X0.3+0.4X0.4=0.31.故选：B.二、多选题9. (2023全国模拟预测)某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5,则王同学()A.第二天去甲游乐场
24、的概率为0.54B.第二天去乙游乐场的概率为0.44C.第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为暂D.第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为29【答案】AC【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.【详解】设事件A：小王同学第一天去甲游乐场，事件4：小王同学第二天去甲游乐场,事件4：小王同学第一天去乙游乐场，事件4:小王同学第二天去乙游乐场,则P（八）=O.4,P(B1)=0.6,P(4A)=06,P(2)=0.5,所以P（八）=P（八）尸(4a)+p(4)p(Ab1)=o.4o.6+o.60.5=0.54,故选项A正确；P(B2)=I-尸（
25、八）=O.46,故选项B不正确；因为P(A2IA)=WAJf4)=06,j(48J=P(AI2,4)=0.5,所以p(4)p(A4)=0.24,P(4)P(414)=03,035所以P(团4)二可后=5,故选项C正确；p.lRJP（八）P(51A)3（八）1-P(44)o.4x(i-。.6)8(AJ_P(B2)P(B2)_046_23，故选项D不正确，故选:AC.10. (2023下重庆沙坪坝高二重庆一中校考阶段练习)已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号
26、盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是()A.在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为TB.第二次抽到3号球的概率为二48C.如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种【答案】ABC【分析】对于A,利用条件概率公式求解；对于B,利用全概率公式求解；对于C,利用贝叶斯公式求解；对于D,不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为Ag,2,3),则有P（八）=；，P(AJ=PH)=:,对于A,
27、在第次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为P=5,故A选项正确；对于B,记第二次在第i号盒子内抽到3号球的事件分别为用(i=l,2,3),而与&A两两互斥，和为C,P(4IA)=；,2(Al4)=；,网214)=：,即第二次抽到3号球的事件为3,3311111111P=g)=ypP(旦6TrVaT和故B选项正确；对于C,记第二次在第i号盒子内抽到3号球的事件分别为G(i=L2,3),而44,4两两互斥，和为C,P(GIA)=T，P(GIA)=+尸ClA)=/记第二次抽到3号球的事件为C,P(C)=P(ACj.)=A)qA)=7=7i=/=!Z4444O4o第
28、二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，P(AlG)=P(A)P(GlA)LP(C)1 1X,Mac)=481 1F(A)P(C2IA) 7x4 . 3P(C) 11 H4811P(AG) =P（八）P(GlA)二丁7_2P(C)11Ii48即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确;对于D,把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是C种，将每一种分组方法分成的小球放A；= 150种，故D选在3个盒子中有用种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是C;项错误；故选：ABC.11. (2023下辽宁抚顺高二校联考期中)己知A5为两个随机事件，且P(4)0,
29、P(8)0,则下列结论正确的是(A.若P(BM)=P(3),则P(AlB)=P（八）B.P(AIB)+P(司B)=OC.若8和C是两个互斥事件，则P(BDqA)=P(回4)+尸9A)D.当P(A8)0时，P(ABC)=P（八）P(BA)P(CAB)【答案】ACD【分析】根据条件概率的公式和性质逐一判断即可.【详解】因为P(BM)=今翳=P(B),所以篇1=P(4)=P(48).A正确.P(4B)+PqB)J(AI砧)=缁=LB错误.若和C是两个互斥事件，则P(8uCA)=P(BA)+P(CA),C正确.因为P(AB)0,所以P（八）尸(A5)0.P（八）P(3A)P(ClA8)=P（八）XX=
30、P(A5C),D正确.故选：ACD.12. (2024上河南南阳高三方城第一高级中学校联考期末)某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会获得奖励.已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为;且三个小组各自独立进行科研攻关，则()A.该技术难题被攻克的概率为：(B.在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组获得奖励的概率为工Io7C.在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为近D.在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率最大【答案】BD【分析】对于A项，运用对立事件概率计算即可，对于B项，分别计算三组中
31、恰有一组获得奖励另外两组未获得奖励的概率之和，结合条件概率计算即可，对于C项，由只有甲丙或乙丙获得奖励的概率及条件概率公式计算即可，对于D项，先求出恰有两个小组甲乙或甲丙或乙丙获得奖励的概率，结合条件概率求解即可.【详解】记甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题分别为事件48,C,对于A项，记该技术难题被攻克为事件M则尸(M)=JP(无后e)=1-(I-I-故A项错误;1213对于B项，记恰有一个小组获得奖励为事件必则P(R)=P(A8C+A8C+ABC)=1132111X1X-X-=.32432243由A项知，记技术难题被攻克为事件必则P(M)=411在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组受
32、到奖励的概率为P(WM)=普=2，故B项正确;JIo4对于C项，在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为311121P(ABC+ABC)IC)=4321432=,故C项错误;2对于D项，记恰有两个小组获得奖励为事件M则P(N)=a.8C+ABC+A83)=l3I1X-X在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率为P(XBClN)=Zy=,这两个41 1I-小组是甲和乙的概率为P(ABClN)=这两个小组是甲和丙的概率为64121P(AFCTN)=4；2=故D项正确.4故选：BD.三、填空题13. (2023下湖南高二临澧县第一中学校联考期中)从编号为5号的
33、球中随机抽取一个球，记编号为3再从剩下的球中取出一个球，记编号为，在ij的条件下，vi+2的概率为.2【答案】y/0.4【分析】根据事件/1以及用包含的基本事件个数，即可利用条件概率的定义求解.【详解】设事件力：ivj,事件层ji+2,则事件月外iji+2,则事件力包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4%(1,5%(2,3%(2,4%(2,5(3,41(3,5(4,5),故何)=10,事件仍包含的基本事件有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则(AB)=4,从而尸(例A)=4=|,2故答案为：j14. 一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是.【答案】y【分析】将问题转化为3个白球和3个黑球，从中任取一个，取到白球的概率来求解.【详解】由于第一次取出黑球，故原问题可转化为3个白球和3个黑球，从中任取个，则取到白
