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1、点、线、面的位置关系知识梳理（一）.平面公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理2,不去缱的三点确定一个平面.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1 .空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线一一异面直线；
2、1.4 异面直线所成的角：（1）范围：6（0o,90;（2）作异面直线所成的角：平移法.2 .直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3 .平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1 .线面平行：定义：直线与平面无公共点.abaa判定定理：0n性质定理：au0=abb（aa=b2 .线面斜交：直线与平面所成的角（简称线面角）：假设直线与平面斜交，那么平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：0o,903 .面面平行：定义：p=0=all判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行;符号表述：a,bua,ab=O,alla,bll
3、a=a/all (2) a y = a = allb (y = b判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：aa,al=a.面面平行的性质：（1）allall,ClUa（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：假设一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于平面。符号表述：假设任意au,都有/_La,且z,那么/_La.a,buaafb=O判定：TaCL,=性质：(l)/_La,aua=/_La；(2)ILaILh,aLa,bLaa!ib：/63.2 面面斜交二面角：定义：【如图】08_1/,。4_1_/=408是二面角。一/一耳的平面角范围：ZAOB0o
4、,180作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3 面面垂直（1）定义：假设二面角a-/-6的平面角为90。，那么。，尸;（2）判定定理：u：Ina工夕alp（3）性质：假设a_L/,二面角的一个平面角为NMON,那么NMON=90。；a1a=AB=aJ./auaaIAB热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断假设外。是两条异面直线，a,S是两个不同平面，aUa,bUB,a=/,那么（）.A. /与施。分别相交B. /与86都不相交C. /至多与86中一条相交D. /至少与榛。中的一条相交解析：假设/与&6均不相交，那么/a,1/b,从而ab与a
5、,。是异面直线矛盾，故/至少与&b中的一条相交.选D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台力比）一43Ga中，L平面/19,底面40是平行四边形，AB=2ADtAD=AlBit/.BAD=W.（D证明：AAxVBDx（2）证明：CG平面方法一：因为平面力版，且劭U平面相四所以IXDLBD.又因为月Q249,BAD=60,在月劭中，由余弦定理得Blf=Alf+Alf-2ADABcos600=3配，所以所以ADIBD.又ADCMD=D,所以如！平面ADIKAx.又/14U平面力以U,故A4M.方法二：因为。_L平面居微且副C平面版力（如图），所以应LLRZ取48的中点6,连接加(
6、如图).aGb在力勿中，由力8=2力得力G=力又NBAl=60,所以G为等边三角形，因此G。=。，故/DBG=/GDB.又NAGQ60,所以NGDB=30,故/ADB=ADG+GDB=600+30=90,所以加_L4Z又ADCw)=D,所以劭平面4U.又44U平面4加4,故被(2)如图，连接Na4G.设ACCBD=E,连接以I.因为四边形力时为平行四边形，所以反=夕由棱台定义及AB=2AD=2A知4Ga1且AiG=ECt所以四边形4戊石为平行四边形.因此CCJ/EAx.又因为Zu平面外做C1BCAH6. C取AC的中点E,取Co的中点/，EF=LBE=也,BF=同cos。=222BF37. C
7、取S3的中点G,那么GE=G尸=4,在中，EF=-atNEFG=4522二、填空题1.5cm或ICm分AB在平面的同侧和异侧两种情况2.48每个外表有4个，共6x4个；每个对角面有4个，共6x4个3.90垂直时最大4.60度5.11沿着PA将正三棱锥尸ABC侧面展开，那么A,D,E,4共线，RAA/BC三、解答题：略1 .证明：(1)连接加，.他Z在平行四边形月犯9中，因为。为力。的中点，所以。为川的中点.又为如的中点，所以PBMO因为阳仁平面力以/；物U平面所以加平面力以(2)因为/1g45,且/1%46=1,所以N%C=90,JADLAC又RL平面月8微4XZ平面力M?,所以故！被而Amm
8、=0,所以力_L平面用C2|解析(1)取AC中点尸，作EG_L面AG于G,BFEG,厂一“F=BiEGr为平行四边形FG_LAe=G为AC之中点BiE/面ACI-B七/FG从而E为8囱之中点.LBE=BiE.由(1)知G为矩形4CG4的中心，过G作直线平行于4G,交44于点P,交CG于。点，连结EP,EQt那么平面A/Cl平面PE。，即求平面AEe与平面PEQ所成的角，交线为EG,，其平面角为NAIGP,SAAi=AiB1,那么AeGAl为正方形，那么NAlGF=45.3.证明：因为HLL平面力用力，所以PD工AD.又因为四边形力吸是矩形，所以49_L6Z?.因为PDCCD=D,所以力_L平面9.又因为公平面/W,所以力1%.(2)解：由知助平面M9,所以49是三棱锥力一侬的高.因为为心的中点，且PD=DC=4,所以5三=5w=J44=4.11O又AD=2,所以匕-磔=W4。Sapx=R24.oo*3解：取然的中点机连接用DM,因为为尸。的中点，是“的中点，所以EM/PA.又因为原t平面MEW平面以明所以必平面以K此时Af=AC=AI7+)Ci=2+42=5,即在力C上存在一点M使得必平面及说且4M的长为木.
