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1、第14讲导数的概念及运算思维导图题型1：导数的运算考向1：求切线方程导数的概念及运算I考向2:求切点坐标题型2:导数的几何意义及其应用二；1考向3:由曲线的切线(斜率)求参数的值庞围)考向4:两曲线的公切线问题常见误区未辨明求切线方程中在与过的不同致误知识梳理1 .导数的概念函数y=(x)在X=Xo处的导数一般地，称函数y=，/(X)在X=XO处的瞬时变化率Iim/(/()=Hm%为函数y=r)在X=Xo处的导数，记作/3)或y/A=xo即/(KO)=Iimv,.f(xox)f(Xo)丁=hm7.xxox(2)导数的几何意义函数r)在点W处的导数人即)的几何意义是在曲线y=)上点Pa。，光)处
2、的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数Sa)对时间f的导数).相应地，切线方程为y加=/(XO)Cl一冲).(3)函数Ar)的导函数称函数/(X)=IinVWu-为Ar)的导函数.AxOl2 .基本初等函数的导数公式原函数导函数j(x)=c(c为常数)/(X)=OAr)=5Q*)f(x)=nx,11J(x)=sinx/(X)=COSUJ(X)=COSX/(X)=-Sinu段)=QX)且存1)f(x)=axn-a7(x)=eA/W=exyW=kr(x0,0且wlnTW=Inx(x0)W=3 .导数的运算法则(i)g)=Fa)ga).(2) U)g(x)Y=()g(x)+A)g().f(x)f(X)g
3、(X)f(x)g,(X)(3r7-X,-l*J、Z()0).1_g(x)Jg(x)7,4 .复合函数的导数复合函数y=7S(x)的导数和函数y=7(),=g(x)的导数间的关系为yx,=yufux,f即y对X的导数等于y对的导数与对X的导数的乘积.题型归纳题型I导数的运算【例1-1】(2020春房山区期末)已知函数/(X)=-1,则它的导函数尸(幻等于()A.3x2evB.xvx(3+x)C.r(3+x)-lD.3x2ex-1【分析】根据题意，有导数的计算公式可得数r()=(V)-(1)f=(y+(y,化简变形即可得答案.【解答】解:根据题意，函数/*)=XV-1,其导数r(x)=(D-(1)
4、，=(yet+xexy=3x2ex+ex=x2et(3+x)；故选：B.【例1-2】(2020春南阳期末)已知：函数/(x)=Xsx,其导函数=cosxsinx.若函数g(x)的导函数g(x)=xsinx,且g(g=O,则g()的值为()A. -1B. 1C. -D. + 【分析】求出函数g(x)的解析式，计算gS)的值即可.【解答】解：由题意设g(x)=sinx-XCoSX+c,则g(x)=8SX-COSX+xsinX=xsinx，符合题意，故g(g=l+c=0,解得：c=-l,(x)=Sinx-XCOSx-I，g)=n-cos-=-故选：C.【跟踪训练1-1】(2020新课标IlD设函数/
5、Q)=，二，若(1)=-,则=x+a4【分析】先求出函数的导数，再根据/(1)=-,求得。的值.4【解答】解：.函数)=-,.r)=l上F,x+a(x+a)故答案为：L【跟踪训练1-2】(2020春金凤区校级期末)已知/(x)=x3+rr(1)+2x,则跟(1)的值为一.【分析】根据题意，求出函数的导数，令x=l,可得/(1)=3+2-+2,变形解可得广(1)的值.【解答】解：根据题意,/(x)=+(1)+2x,其导数r()=3f+2r(1)x+2,令X=I,得r(1)=3+2f(1)+2,所以r(I)=-5,故答案为：-5【名师指导】1 .求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2 .常见
6、形式及具体求导6种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数鼎的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型2求切线方程【例2-1(2020春蓝田县期末)曲线y=sinxcosx+l在点(0,1)处的切线方程为()A.x-2y+2=0B.x+2y-2=0C.x+y-l=0D.-y+l=0【分析】求出原函数的导函数，得到函数在X=O处的导数，再由仃线方程的斜截式得答案.【解答解:由y=sinxcosx+l,得y=COS
7、?x-sin?x=cos2x,/-0=cos=1-，曲线y=sinxcosx+l在点(0,1)处的切线方程为y=口+1.即-y+l=0.故选：O【例2-2已知函数段)=xlnx,若直线I过点(0,1),并且与曲线y=/相切，则直线/的方程为.【解析】因为点(0,1)不在曲线(x)=xln%上，所以设切点为(即，泗).又因为/(x)=l+InX,所以直线/的方程为y1=(llnXo)X.)o=xolnX0，所以由，、解得必=1,yo=O.Vo1=(1+lnXO)Xo所以直线/的方程为y=-l,即Xy1=0.【跟踪训练2-1(2020海东市模拟)已知函数/(X)=空!竺，则曲线y=(x)在点(0,
8、0)处的切线的方程x+1为.【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再由直线方程的斜截式彳;【解答】解：由/(X)=2竺.得/x)=2(A+1)COSA；2sinx,x+1(x+l)/(0)=2，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的方程为y=2x.故答案为：y=2%【跟踪训练2-2】(2020江西吉安一棋)过点P(IJ)且与曲线y=/相切的直线的条数为()B. 1A.OC.2D.3【解析】当点尸为切点时，vy=3,-1=3,则曲线y=x3在点P处的切线方程为y-i=3(1),即3xy2=0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(X0,yo)(xol),则k=)_:=_；=.
9、届+xoXo1)11.V=3x2,.yx=M)=3扁2-Xo-1=0,即=1(舍)或出=-5，过点尸(1,1)与曲线y=x3相切的直线方程为3-4y+l=0.综上，过点尸的切线有2条，故选C.【名师指导】求曲线过点P的切线方程的方法当点P(X0,泗)是切点时，切线方程为yyo=(Jto)(-xo).(2)当点尸(即，和)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P5,);第二步：写出过点产但，Xl)的切线方程)，一人即)=/(加)。一即)；第三步：将点P的坐标(相，刃)代入切线方程求出即；第四步：将汨的值代入方程y)=D(-X)可得过点P(X,外)的切线方程.题型3求切点坐标【例3-1
10、】(2020春大兴区期末)过点P(0,2)作曲线y=!的切线，则切点坐标为()XA.(1,1)B.(2,1)C.(3,)D.(0,1)【分析】设切点的坐标为(九)，求得函数y=L的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的X斜率公式，解方程可得切点.【解答】解：设切点的坐标为(见)，y=的导数为y=VXx可得切线的斜率为左=-，m-21又切线过P(0,2),可得达一=一二，m解得w=l则切点为(U)故选：A.【跟踪训练3-1】(2020沈阳三模)过点(O,T)作曲线/()=/X(X0)的切线，则切点坐标为.【分析】由已知结合直线的斜率公式及导数的几何意义即可求解.【解答】解：因为/(7)
11、=u*0),所以f(x)=Irvc2=2lnx,设切点为(x0,%),幻=2,根据题意可得工=比上1,二.%=1,x0=4e即切点坐标(&1).故答案为：(五,1).【名师指导】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.题型4由曲线的切线(斜率)求参数取值范围【例4-1】(2020春海淀区校级期末)曲线y=V+底+1在点(TM+2)处的切线斜率为8,则实数。的值为()A.-6B.6C.12D.-12【分析】求得y=d+0+l的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率.，解方程可得的
12、(IL【解答】解：y=+尔+1的导数为y=4x3+2x,可得在点(-1M+2)处的切线斜率为Y-2=8,解得=-6.故选：A.【例4-2(2020春渭滨区期末)函数/(X)=公2-gd(O)的图象存在与直线-y+2=0平行的切线，则实数的取值范围是()A.(一oo,-1B.1,+oo)C.(-,-1J1,+)D.(-,-)5,+)【分析】易知切线斜率为1,由题意可知，只需r&)的值域中含有1即可.由此构造。的不等式，解出。的范围.【解答】解：fx)=2ax-x2,(x0).由题意，只需r()=2-=,(%0)有解，则只需y=ra)(xo)的值域中包含1即可.当&()时，f,x)0时，T(X)的
13、开口向下，在对称轴X=L处取得最大值，a故rd)=2,-U.l,即/.1,结合0得，a.l即为所求.aaa故选：B.【跟踪训练41】(2020春未央区校级期末)直线y=r+l与曲线相切，则。的值为一.【分析】求出原函数的导函数，设直线y=r+l与曲线y=-e相切于(,-*),得到函数在X=XO处的导数，再由题意列关于KO与的方程组求解.【解答】解：由y=f,得y=j,设直线y=-x+l与曲线y=相切于,-),则川小=d-.一：=7J解得-6寸=-0+Ia=2二.a的值为2.故答案为：2.【名师指导】1 .利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方
14、程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.2 .求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.题型5两曲线的公切线问题2【例5-1(2020上饶三模)已知/(x)=e*与g(x)=J(x?+2x+1)有相同的公切线/:y=丘+8，设直线/与4X轴交于点P(X0,0),则与的值为()A.1B.0CeD.e【分析】分别设出切点，然后利用导数表示出切线方程，再利用是公切线，列出方程，求出切点，问题即可获解.【解答】解：对于F(X),设切点为(见尸),因为Ira)=*,ticf,(m)=em+l.故切线方程为：y-
15、em+lem(x-rn).即尸文+尸(1-M：2对于g(x),设切点为(，(2+2n+1).422g,(x)=-(2x+2),:.g,(n)=-(2n+2).4422故切线为：y-(n2+2+1)=(2n+2)(x-zz),4422即y=-(2?+2)x+-(l-ZZ2).442em+l=-(2n+2)根据为公切线得：4,ezw+,(l-w)=-(l-)4解得TW=1.故切线为y=%.令y=O得%=0.故选：B.【跟踪训练5-1】(2020遂宁模拟)若存在0,使得函数/(x)=6+40x:与g(x)=W一在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为()【分析】设公共点为(x,y),然后根
16、据公共点处函数值相等、导数值相等，列出关于公共点满足的方程组,将X消去，得到关于匕，的等量关系式，整理成b=z(a)的形式，求函数的最值即可.【解答】解:设公共点为(x,y),(x0)且广(x)=曰-+4,g0)，+4=22)解得X=M或-。(舍).将=%代入式整理得：b=-3a2-6a2ln(3a),(0)令(a)=-3a2-6a2ln(3a)，(0),、3hd)=-6a-12aln(3a)+6a=-2aln(3a)+,3a令(a)=0得，a=J，且Xc(,5)时,()0；文(,+8)时，H(a)0.故力(a)在(O,)上递增，在(-L,h50)上递减.3e3e故力(a)w=力故人的最大值为WKK3e3e23e2故选：C【名师指导】解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线I在y=y(x)上的切点Pl(X1,於1),在y=g(x)上的切点P2(2,gS),则/(x)=gS)=/(x1)-g(x2)
