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1、分段函数根的分布一、单选题1 .已知函数/(%)=篇;若关于无的方程，Q)产+何+2=O恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是()A.(-,-y)u-3,-22)B.(-L,-22)C.(-,-)u(-,-22)D.-,-22)【答案】A【解析】【分析】本题考查由方程根的个数求参，指数型函数、对数型函数的图象，属于综合题.根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，/(%)=的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.【解答】解：要使得)2+m(x)+2=0由6个不同的零点，则令/(x)=t,2+根+2=0有6个不同的实数根，根据/()=Pf+2；0,作出fM的大致图象如下
2、：由图可知：当f(x)=O时，此时由两个根，分别为一2,1,当OV3时，此时f(x)=有2个交点，/(x)=O显然不是/(x)2+mf(x)+2=0的根,设g(t)=t2+11t+2的两个零点分别为tltt2且S2，故当OVtlVltt23时，此时/(x)=t1有4个交点，f(x)=t2有2个交点，满足题意，(g(0)=2011故需要满足Ig(I)=3+mVO,解得7nv一号，(g(3)=ll+3mV0当lt0,解得-3mV-2I,g=3+mOg(3)=11+3nO综上可得3m-2y2或ZnV-冷故选：AyS-f5.TSlO时，/=41If2(x)+bf(x)+c数根，则实数b的1n-,0X2
3、/=0(瓦CR)有且只有6个不同的实/上_1./C一取值范围是,、/2.定义在R上的函数f(%)满足/(-%)=f(x),且当为).()a(W)U(4-1)(I1)C.(W)U(-1,0)【答窠】A【解析】【分析】本题考查方程根的个数，分段函数的图象,出/(X)的图象，结合图象以及方程严(工).得b的取值范围.【解答】-3-2-1O123x-1LB.d(VT)正弦型函数的值域，指数函数的值域等，属于综合题.画卜b(x)+c=0有且只有6个不同的实数根列不等式，从而求解：依题意，定义在R上的函数/(乃满足/(一%)7sin,0X2由于当0时，/(x)=2=/(%),所以f(x)是偶函数，图象从而
4、可画出fW的图象如下图所示.x三=Osin54令=f(x),u2+bu+c=Of结合图象可知,%2=此方程的两根%,如满足：u1(0,1)U1U,时，方程2(x)+bf(x)+c=0有且只有6个不同的实数根.u1+U2=-b0SbVo,u1U2=c0Lc0设h()=u2+buc,当U1(0,1),u2(1,)7(0)=OO(l)=l+b+c0CO1/cO=+co464-1-O99.lkn=-4.164当u1=I1U2(1,|)时,1+b+c=O1/bS1-20164Zl=b2-4cOC=1b-bO1644(-1-b)-IVbV-2)_2解得-3VbV-2.(b+2)2O当%=I%w(i,3时，
5、.+软+C=O-O=b2-4cOC=Y+须-bOb24cO-2f-)0，卜Vq,解得*VbV-I炉+4焦+翔0lk(+)20综上所述，b的取值范围是(今,3)U(3,1).故选：A3 .设函数f(%)=若关于的方程G)=t有四个实根不23,%G1X23xZX4),则+%2+2x3+x4的最小值为()A.yB.yC.10D.9【答案】D【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值、分段函数、函数图象的应用、函数的零点与方程根的关系，属于较难题.画出函数图象，结合图象即可得出t的取值范围，根据图象得出与+%2=2，(%3-2)(X42)=1利用基本不等式，即可求出结果.【解答】关于X的方程f(%)
6、=有四个实根的,工2，工3，%4(%123必2,所以1=(2%3-4)(4-1)(左雪则2%3+2%47,当且仅当%3=%4=4时取等号，所以石+X2+2x3+：工4的最小值是必4 .已知函数fG)=富露之言o,若f(%)=有四个不等实根与、2.3,X4,且与3%3打，求空一修好的取值范围2()A.(8,3)B.(-3,+)C.,3)D.竽3【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性和最值，利用方程根的分布、一元二次函数的图象与性质求解.作出函数y=f(x)和y=的图象，根据二次函数图象的对称性得出3+M=4,根据对数运算得出与小=1,并计算出切的取值范围，利用函数的单调性可求出代数式空
7、-与后的取值范围.【解答】由于二次函数y=x2-4x+2的图象关于直线=2对称，所以孙+x4=4,由f(%)=/(#2)，得l0g2(-XI)I=110g2(-2)bWlog2(-i)=-log2(-2)*所以O=Iog2(-Xi)+Iog2(-X2)=log2(%l%2)，可得%1%2=1，由图象知，当OVQ2时，直线y=Q与函数y=/(%)的图象有四个交点，所以f(%2)=110g2(-2)l(0,2,即O-Iog2(-X2)2,即一2Iog2(-x2)l或l或0时，函数/(x)在(-,-lU1,+)上有一个零点，因为当0QV1时，函数f(x)在(-,-lUl,+8)上有两个零点；又函数/
8、(%)在R上有3个零点，所以函数fW在(-1,1)上有且只有一个零点，即方程(-I)X2+(+2)%-I=O在(-1,1)上有一个根，由d=(+2)2+4(-1)=a(a+8),当=0时，方程(-l)x2(+2)x-1=0的根为X=I(舍去)，故=0时，方程(-l)x2+(a+2)x-I=O在(-1,1)上没有根，矛盾当O0,设9。)=(。-1)/+(+2)x-l,x(-1,1),函数g(x)=(-I)X2+(+2)x-1的对称轴为x=等;1,/一/a函数g(%)的图象为开口向下的抛物线，由方程(a-l)x2+(a+2)x-I=O在(-1,1)上有一个根可得g(l)0,g(-l)0,(a1)(
9、a+2)10,所以OVQV1,即0Q1时，则函数人力在(-,-lU+)上有一个零点；又函数/(%)在R上有3个零点，所以函数/(x)在(-1,1)上有且只有两个零点，即方程(a-l)x2+(a+2)%-1=0在(-1,1)上有两个根，由g(x)=(a-l)x2+(a2)x-l,x(-1,1)可得函数g(x)的图象为开口向上的抛物线,函数g(x)=(a-l)x2+(a+2)x-1的对称轴为x=9殍，/一/Q则=(a+2)2+4(a-l)=a(Q+8)0,-IV臀vl,g(l)0,g(-l)0,所以Q4,(a1)+(a+2)10,(a1)(a+2)10,满足条件的Q不存在，当aV0时，则函数f(x
10、)在(-,-lU1,)上有一个零点；又函数/(x)在R上有3个零点，所以函数/(x)在(-1,1)上有且只有两个零点，即方程(a-l)x2+(a+2)%-1=0在(-1,1)上有两个根，由g(%)=(a-1)/+(a2)x-l,x(-1,1)可得函数g(x)的图象为开口向下的抛物线,函数gM=(a-l)x2+(a+2)x-1的对称轴为X=粤，/一/a则4=(a+2)2+4(a-I)=Q(a+8)0,-1y-1,g(l)0,g(-I)V0,所以QV8QO,(-1)+(+2)1O,(1)(+2)1O,所以QV-8,即QV-8时，函数/(%)在R上有3个零点.综上得实数的取值范围是(-,-8)U(0
11、,1).故选：B6.已知函数f(X)=，nXt：若当方程/(%)=rn有四个不等实根与，2，3，工4(%1%2%32x1X2=2,(4-x3)-(4-x4)=1且/+必+孙+工4=8,则不等式化匕/+%/+%2?Z+11恒成立，可化为：k11一出+,)恒成立,求出11一居+F)的最大值,可得Zc的范围，进而得到实数k的最小T344-1值.【解答】解：函数/(乃=)?”S；：!4的图象如图所示：JftX),%一当方程f(%)=m有四个不等实根工1，%2，%3，%4(/X232x1X2=2,Zn(4-x3)l=n(4-x4)b即(4-a),(4-x4)=1，且+%2+%3+%4=8，若不等式k%3
12、%4+xl2+x22Nk+Il恒成立，3,%41O则k土豆孕恒成立,43%T由II-(X彳+超)_Ii-(XI+工2)2+2-1肛_13-(勺+七)2X3X4T4(x3+x4)-1616-4(%1+%2)1 3=WK%1+%2)-4+(勺+3)-4+8，GI+%2)-40所以(%+小)-4+(町+：2)-4+8W2苧2当且仅当(%1+%2)-4=(1+2)-4,=4时取等，故k2-苧，故实数k的最小值为2-容故选C.7.定义maxp,q=偿：亍,，设函数f(%)=max2lxl-2,x2-2ax+a,若R使得f(x)O成立，则q,PO,因为当1或XV-I时，2团一2O,当一1x1时，2x,-2
13、O,所以当1或不O,若命题VxR,f(x)O为真命题，则当一1%1时，X22ax+0恒成立，所以(x2-2ax+)min0,其中x-1,1,设g(%)=X2-2ax+(-1x1)当-l时，函数g(%)在-1,1单调递增，所以当=-1时，函数g(x)取最小值，所以l+2+0,所以Q矛盾；当l时，函数g(x)在-1,1单调递减，所以当=1时，函数g(x)取最小值，所以l-2+0,所以0,所以OVaV1,所以当00为真命题，所以若BxER使得f(x)0成立，则的取值范围为(-,0Ul,+).故选：A.8 .已知函数=，下列关于函数y=f(X)+加的零点个数的判定，正确的是()A.当=O,mIUN,有
14、且只有1个零点B.当0,m1时，有3个零点C.当Q0,m一1时，有4个零点D.当O和QO时，m-l时，可得=一JI1o或t=e-me,可得X的个数为1+2=3个，即8正确;当v,7710,可得的个数为1个，即C错误;当VO,-IVmVo时，t=011gt=em,由le-me,可得零点的个数为3个，故。错误.故选8.9 .已知函数fQ)=俨，若函数g(x)=/(%)-k一2XKkR)恰有4个零点，则k的取值范围是()-XtX0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围.【解答】解：若函数g(%)=/(x)-kx2-2x(kR)恰有4个零点，则f(%)=k-2%有四个根，即y=/(%)
15、与y=h(%)=|/一2%有四个交点，当k=0时,y=/()与y=I2%=2枚|图象如下:两图象有2个交点，不符合题意，当kVO时，y=k-2用与X轴交于两点Xl=O,X2=（20时，y=k2-2对与X轴交于两点Xi=0,X2=（x2）K在0,6内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=/与y=kx2-2在4,+8）还有两个交点，即可,K即/=kx2-2在+8）还有两个根，即上=X+1在+8）还有两个根，函数y=x+q2（当且仅当X=。时，取等号），所以OVaV1,且k2rLK所以k22,综上所述，k的取值范围为(8,0)u(2,+8).故选：D.10 .设%表示不超过实数X的最大整数
16、，则方程2-2%-1=0的根有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数、函数图象的应用及函数零点与方程根的关系，属于中档题.将方程的零点个数转化为两个函数图象的交点个数，作图即可求解.【解答】解：方程2-2x-l=0根的个数等价于函数y=2-1的图象与函数y=2%的图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中，分别画出函数y=2-1与函数、=2x的图象，其中，y=2*-1的图象由丫=2”的图象向下平移一个单位得到，(-2,-1x00,0X1or12,1XV2y=2=4,2x36,3%y)B.3,+8)C.(-,yD.(一？,0)【答案】C【解析】【分析】本题考查
17、函数的奇偶性，函数解析式求解，以及不等式恒成立问题，函数最值求解，属于较难题.由y。)，g。)的奇偶性，求得f。)与g(%)的函数解析式，将不等式恒成立问题转化为沪Rmin,(x(0,ln2),进一步分析求解即可得解.【解答】解：.(x),g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且/(%)+g(%)=ex,f(-x)+g()=/W-9W=L，./()=j(ex+ex)f9(%)=g(e-ex).关于工的不等式2/(x)-ag2(x)0在区间(0,ln2)上恒成立，由于g2(%)在区间(0,ln2)上恒不等于0,上式等价于第=皆用在区间(0/n2)上恒成立，等价于0Cf+Rmm(%(0n2).
18、(ex-ex)令t=e*0-，(0,ln2),.t(0,则4(er)河=J14/46440,(外一厂)2一产-1产十d%9+8l9Q等故实数Q的取值范围是(一8,争.故选C.12 .已知g(x)为偶函数，九为奇函数,且满足g(%)-(x)=2*.若存在%-1,1使得不等式沉g(x)+(不)0有解，则实数m的最大值为()A.-1B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性，考查了分析推理能力先由已知推出g(x)+(x)=2x(2)f联立，得g(x),(x),再根据Tng(x)+(x)0,得到Tn卷浮=W=I-岛，再由y=l-岛为增函数，所以当-l,l时，即可得出实数
19、m的最大值.【解答】解：因为g(x)-h(x)=2x，所以g()-九(T)=2x,又g(%)为偶函数,h(%)为奇函数,所以g(x)+/Ia)=2T，联立并求解，得g(x)=竽二，MX)=注2.由thg(x)+九(*)。得Tn%+；一下=1-因为y=1一岛f在区间-1,1上为增函数，所以在区间-1,1上，(1-)ma=故选B.13 .设函数/(%)在(-8,+8)上满足f(2-X)=f(2+x),/(5-X)=/(5+x),且在闭区间0,5上f(%)的零点只有1和3,则方程f(%)=0在闭区间-2020,2020上的根的个数为()A.1348B.1347C.1346D.1345【答案】B【解析
20、】【分析】本题考查方程根的个数的判断，函数的周期性和对称性，属于较难题.根据已知条件可得函数的周期及一个周期里根的个数，再分区间-2020,2)和2,2020讨论即可.【解答】解：f(x)在R上满足/(2-x)=(2+x),/(5-x)=(5+x),则f(%)图象关于直线x=2和直线=5对称，且f(%)=/(4-)，/(x)=/(10-x),所以f(4-X)=/(10-x),即f(x)=f(+6),所以f(x)的周期为6,又在闭区间0,5上f(%)的零点只有1和3,即/(1)=/(3)=0,则f(7)=0,/(-3)=0,且当X2,5时，通过f(x)图象关于直线%=5对称，得其/(x)值对应着
21、X5,8时的/(x)的值，则/(x)在闭区间2,8上只有3和7两个零点，即f(7)=/(3)=0,同理可推得f(不)在-4,2上也只有两个零点，因为-2020=-63372,则f在-2020,2)共有337X2=674个零点，因为2018=6336+2,且在x(2018,2020时f(x)的图象与x(2,4时f(x)的图象相同，则/(x)在2,2020上有3362+1=673个零点，则方程/(x)=0在闭区间-2020,2020上的根的个数为674+673=1347个.故选B.14 .若q1,设函数f(x)=Q”+%-4的零点为m,g(x)=log。+%-4的零点为九，则，+；的取值范围()A
22、.6，+8)B.1,+)C.(4,)D.，+8)【答案】B【解析】【分析】本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值.考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系.是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题.把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m,n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果.【解答】解：函数f(x)=。*+%-4的零点是、=优:与丫=4一%图象交点4的横坐标，函数。(工)=Iogx+x-4的零点是y=IogaX与y=4-X图象交点8的横坐标,由于y=谈与y=IOgM互为反
23、函数，其图象关于直线y=对称，直线y=4-%与直线y=%垂直，故直线y=4-%与直线y=%的交点(2,2)即是A,8的中点，m+n=4,4+；=*+%+；)=*2+；+小1,当且仅当m=n=2时等号成立，故工+11,mn故所求的取值范围是1,+8).故选B.15 .已知函数f(x)=7+52x-x0,若存在与)=物)=制)，且与，外，七两两不相等，则Xl+X2+工3的取值范围为()A.(-1,1)B.(-1,1C.(0,lD.0,1【答案】C【解析】【分析】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.由题意根据分段函数解析式画出其图象，不妨设y=Tn与y=x2
24、+2x-2(%0)的两个交点的横坐标为Xl，X2与y=%-5(%0)交点的横坐标为,然后求出与+%2，以及%3的范围即可求出所求.【解答】解：画出函数f(%)=x25/承图象如图所示：(xz+2x-2,xO设f(%)=fQ2)=f(%3)=m,则方程f(工)=Zn有3个根,根据图可得3my=m与y=x-5(x0)交点的横坐标为则+X2=-2,当Tn=-2时，3最大，由h一5=-2解得工3=3.当m接近一3时，接近最小，由必一5=-3解得工3=2,即孙(2,3,X1+x2+%3的取值范围是(0,l.故选C16 .已知函数f(%)=蓝联”募2则函数F(X)=(切一2/(%)-飘零点个数是()A.2
25、B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数零点与方程的根的个数的关系，指数函数和对数函数的图象与性质的应用，属于较难题.令=/(%),将方程转化为以t未知数的方程，在同一直角坐标系内分别作出y=f(。和直线,=2+卷的图象，由图象可得有两个交点，横坐标设为再考虑以工为未知数的方程/(%)=，f(%)=t2的实数根，即可得函数F(X)零点个数.【解答】解：令t=f(%),则Fa)=/(力一2-3令F(X)=0,即/()一2”号=0,转化为y=/W和直线y=2+景的交点，在同一直角坐标系内分别作出y=f(t)和直线y=2t+蔡的图象，如图所示：由图象可得有两个交点，横坐标设为亡1，
26、2,则M=0,2t23,再考虑以X为未知数的方程f(x)=，/(x)=以的实数根，/(x)=t1=0时有一个根，为X=3；2亡22时有两个.综上可得Fa)=0的实根个数为4,即函数Fa)=/(/(x)-2(x)-募的零点个数是4.故选C17 .已知函数f(%)=器需1,若对任意的与，x2,X3ER,/(x1),/(x2),/()均可作为同一个三角形的三边长，则A的取值范围是()A.-,4B-)C.-1,4D-l,4)【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.因对任意实数与、必、X3,都存在以
27、/(9)、/(X2).“%3)为三边长的三角形，则f()+f(%2)人工3)对任意的修、的、也恒成立，将解析式用分离常数法变形，由基本不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由k-l的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k,转化为，(与)+/(小)的最小值与人心)的最大值的不等式，进而求出实数A的取值范围.【解答】解：因对任意实数与、小、与，都存在以f(%l)/(X2)”%3)为三边长的三角形，故f(%l)+f(%2)f(%3)对任意的%1、算2、x3WH恒成立.“、一e2x+kex+l_e2x+ex+l+(k-iyex_1(A-I)/=e2x+ex+1=e2x+ex+l=1+e+fex令亡=婚+会+心3(当且仅当=0时，等号成立)，则y=l+F(t3),当上一10,即kl时，该函数在3,+8)上单调递减，则y(L警,当左一I=0,即Zc=I时，y1,当klVO,即k1时，V2/(X1)+/(X2)竽且1,1/c4；当k=1时，./(Xl)=/(x2)=f(工3)=1，满足条件；当kVl时，.等f()+(%2)V2,且竽f(%3)l,故”胪1,-cl:综上所述：gk4.故选A.
