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1、热点72椭圆及其应用椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。题型6椭圆的中点弦问题题型5求椭圆的离心率与范围题型3椭圆标准方程的求解题型4椭圆的焦点三角形问题题型7直线与椭圆相交弦长求解题型8直线与椭圆综合问题【题型1椭圆的定义及概念辨析】满分技巧在椭圆的定义中条件%归图O不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则：当2=花用时，其轨迹为线段匕8；当2归马
2、时，其轨迹不存在.例1（2021高二课时练习）已知尸一丹是两个定点，且I耳段=2（。是正常数），动点尸满足附|+|尸闾=+,则动点。的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.直线【答案】C【解析】因为M+L20（当且仅当。=1时，等号成立），所以I叼+IWEI,当O且。工1时，IP用+P6W6,此时动点。的轨迹是椭圆；当时，IP用+1PBi=I耳61,此时动点。的轨迹是线段耳巴.故选：C22【变式1-1】（2023贵州黔东南高三校考阶段练习）已知点A,8是椭圆：=l上关于原点对称的94两点，K分别是椭圆C的左、右焦点，若IA娟=2,则囱I=（）A.1B.2C.4D.5川【答案】C-【解析】
3、因为IoAI=1。回,|。GI=I。入I,乙Y所以四边形48乃是平行四边形.所以IBF1I=IAF21.由椭圆的定义得IA5I=2x3-IMK6-2=4.所以忸制二4.故选：C【变式12】(2023.陕西西安.校考三模)已知椭圆u+f=l的两焦点为K,F2P为椭圆C上一点且PKJ.%,贝JllmITP玛Il=()A.25B.43C.219D.38【答案】B【解析】设冏|=4啊=.因为椭圆C：!+9印的两焦点为F-kP为椭圆C上一点且2，所以n+n=4正62+n2=64,所以m+n=4/5fImn16所以比卜I啕卜他-)2=而;)2-4nm=J(45)2-32=46故选：B【变式1-3】(202
4、3江西南昌高三南昌市第三中学校考阶段练习)一动圆M与圆M:(x+l+y2=1外切,与圆“2：(工-1)2+)3=9内切，则动圆圆心M点的轨迹方程为(a4=-B.+-=l(x2)43v,cS=1D,+-=l(x-2)43v7【答案】D【解析】由题意可知：圆M：a+l+y2=i的圆心M(To),半径r=1;圆2：5-1)2+丁=9的圆心Mz(LO),半径4=3；因为IMW2=2=今-,可知圆”与圆内切于点A(-2,0),显然圆心M不能与点A(-2,0)重合，设圆M的半径为彳,由题意可知：MMl=4+1IllIIIMM,=3F,则IMMl+M%=4m%,可知点M的轨迹是以M,%为焦点的椭圆(点A除外
5、),且=2,c=l,可得从=Ja2-c2=G,所以M点的轨迹方程为+f=l(x-2).故选：D.【变式1-4（2023.全国高三专题练习）点M在椭圆奈1上，片是椭圆的左焦，N是ME中点，且ON长度是4,则Mf；的长度是.【答案】2【解析】设椭圆右焦点为外，连接MKyt由已矢口但O1-25!Ba-5M_导，O为坐标原点，因为N是MK中点，。为片鸟的中点，.M周二2ON=8,2j2再根据椭圆定义得IM国二为TgI=IO-8=2【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：（1）抓住IPFIl与IPBl之和为定值，可联系到利用基本不等式求IPQHPF2的最值；（2）
6、利用定义IPal+IPBl=2a转化或变形，借助三角形性质求最值【例2】（2023.江西抚州高三乐安县第二中学校考期中）已知F是椭圆5+1的左1F点,若A（Ll）,则附+PFI的最小值为（）装点，是椭圆上A.6-3B.6-f5C.()-JlD.6-6【答案】C22二说Lffil7TJWBlsl-+-1,Jrt-3,。-0,C=6Z-b=2,如图，设椭圆的右焦点为尸（2,0）,则IPbl+1尸尸=2=6;PA+PF=PA-6-PF,=6+PA-PF由图形知，当P在直线Ar（与椭圆的交点）上时，Il%TPFII=IA尸I=应,当不在直线AT（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，I
7、IPAI-IPriwArI=2;当尸在FA的延长线（与椭圆的交点）上时，10川-1刊71取得最小值-忘,PA+P的最小值为6_&.故选：C.【变式21】（2023.江苏南通统考三模）已知b为椭圆C:+丁=的右焦点，尸为C上一点，Q为圆历：4Y+（y_3二1上一点，则I尸Q+W的最大值为（）A.5B.6C.4+23D.523【答案】D【解析】依题意2=I,c=6,设椭圆C的左焦点为川-30）,圆+（y-3）2=l的圆心为M（0,3）f半径为1,|叫+|耳=IPa+2-归周=4+|国-归用44+|0|,当P,9Q三点共线，且Fl在P,Q之间时等号成立.而IQ用MK+1=小瓦77+1=2+1,所以P
8、0+P尸A,当P,6M,Q四点共线，且K在P,。之间，Q是GV的延长线与圆也的交点时等号成立.故选：D【变式2-2（2023全国高二课时练习）已知点P为椭圆1+卫=1上任意一点,点M、N分别为43（1-1）2+2=1和（.丫+1）2+2=1上的点，则归M+PN的最大值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】设圆1）2+y2=l和圆*+1）2+y2=l的圆心分别为A8,半径分别为大&.则椭圆（+1=1的焦点为A（TO）1（1,0）.43iPJP+PjV,4+P=2t7=4,故IPM+wf+俨用+6+4f当且仅当M,N分别在PA,PB的延长线上时取等号.此时I尸M+PN最大值为IE4|+|
9、冏+彳+弓=4+1+1=6故选：C【变式23】（2022.全国高三校联考阶段练习）设K,6分别是椭圆/（=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点。的坐标为（TI）,则PQ+P间的取值范围为（）A.2,6B.2,yC.6-2应,6+2D.6-i,6+l【答案】D【解析】根据椭圆的定义可得，p4+p闾=勿=6,则1图+归制=IPaTP用+6,因为黑图PQ11P段Q用,则当P,Q,入三点共线时，取值最大或最小.由已知得，=3,C满分技巧1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1 )定位：确定焦点在那个坐标轴上；(2 )定量：依据条件及/ =炉+c?确定。,仇C的值；(3 )写出标准方程；22、求椭圆方
10、程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为+ = l(w0,n0nn); m n3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2 + By2 =1(O,B0,且A B),将点的坐标代入,解方 程组求得系数。=a2-b2=4,c=2l7%(2,0),=10.当P点位于图中匕时，根据三角形三边关系取值最大.P+P耳I=IPaTPK+6Q用+6=闻+6.当尸点位于图中6时，根据三角形三边关系取值最大.P+IpKl=IPT%+6TQ段+6=-iU+6.故答案为：6-Ji6,6+M.【变式2-4】(2023河北唐山开滦第二中学校考一模)已知椭圆C：I+=1的左、右焦点分别为耳,巴，1612点尸在椭圆C上,且
11、。(1，3),则pq+p段的最大值为.【答案】8+3海/30+8【解析】由椭圆方程可得=4,c=2,则爪-2,0),如图，连接。4并延长,交椭圆于P.则P-+P闻=P+20-附卜8+(P11PK)8+以I,(当且仅当点Q,0P三点共线时，且点尸位于第三象限时取等号)此时IP。+1P图取最大值为8+7(I+2)2+(3-0)2=832.【题型3椭圆标准方程的求解】_V2v24例3（2022湖北十堰高三统考期末）已知曲线C:J+R=l,则“0”是曲线C是椭圆”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C4a0【解析】若曲线C是椭圆，则有：3+20解得：。
12、0,且24a3a+2故，七0，是“曲线C是椭圆，的必要不充分条件故选：C【变式3-1（2023云南昆明高三校考阶段练习）已知方程上一-二=1表示焦点在V轴上的椭圆，则5+2m2m-1实数，的取值范围是（）【答案】A【解析】方程?=-J7=I表示焦点在）轴上的椭圆,5+2/772/77-1则一（2加-l）5+2m0,解彳导一Tm2,所以椭圆的焦点在y轴上.22设椭圆的方程为卞+*=1,则=3,b=2,所以椭圆的方程为黄%L故选：C【变式33】（2022广西桂林高三校考阶段练习）已知椭圆E:Jl（bO）右焦点为（I）,其上下顶点分别为G,C22A.+=134【答案】D2,点A。，。），ACiAC；
13、l则该椭圆的标准方程为（）B.+Z=c+=iD.+/4333,【解析】根据题意可知，G(OM,G(0,-b)；所以AG=(T,6),AC2=(-,-b)l又AG_LAG,所以AG.AG=I=O,可得从=1在椭圆中，C=,又=十2,所以4=3即椭圆的标准方程为1+丁=L故选：D.【变式3-4(2023全国校联考模拟预测)已知椭圆E,+=KabO)的左顶点为A,上顶点为B,左、右焦点分别为，K,延长打;交椭圆E于点P.若点A到直线班;的距离为增，APZK的周长为16,则椭圆E的标准方程为()772222aX-y.dX-v1Cx-V-InX-y1A.77+t7=1B.+-=lC.+=1D.+=125
14、163632494810064【答案】B【解析】由题意，得4-。，。)，B(04F2(CfO),则直线%的方程为版+-。=O,所以点人到直线BF?的距离d=YW=2(。+c)二华.由月耳鸟的周长为16,得IpG|+归玛|+|耳闾=2+2c=16,即+c=8，联立，解得二手。.b2=a2-c2,所以C=卜.联立，解得妙6,c=2,所以Z,=4,故椭圆E的标准方程为是1+I=L故选：B.3JZ【题型4椭圆的焦点三角形问题】雨茄一一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立IAFll+HF2I1MF1I2+HF2I2,HF1IMF2I之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长
15、及角的有关问题(AF2=O)性质 1 : MF1I + AF2 = 2a , BF1 + BF2 = 2.（两个定义）拓展:一FlF2的周长为MFIl+AF1+F1F2=2a+2cAABFI的周长为IAFIl+AF2+BF1+BF2=4a性质2：4c2=F1F22=MFj2+AF22-2AF1AF2cos（余弦定理）【例4】（2。23全国高三专题练习）已知嚏椭圆上的点,，K分别是椭圆的左、右焦点若/6P6=W,则的面积为【答案】G【解析】椭圆小I中=4,从=3,则,-3=1,有=2Z,p1上的点,P耳+P闾=2a=4,忸&=2c=2f在空中，由余弦定理得：|6闻2=|M2+附卜2阀IlPEgS
16、w=（阳田明_3附IlP周，即4=16-3PEllPKl,得IPKllP/=4,所以s22=pg叫S呜=2【变式4-1】（2023陕西汉中校联考模拟预测）设0工为椭圆C:+y=1的两个焦点，点P在椭圆。上，若p%pR=o,则PKP5=.【答案】22【解析】因椭圆方程为C：+），=1,贝1J=右=l,c=J/从2.因PRPE=O,则冏_L时,|?用2+%F=旧用2=4c2=i6.又由椭圆定义，可得IP制+PK=2.=26,则（附|十阀I）、冏MP欧+2附HP周=20=陷叱卜巴喀也=2【变式4-2（2023浙江宁波统考一模）设。为坐标原点，为椭圆C：:+f=l的焦点，点P在。上，OP=3,则CoS
17、N耳PK=（）A.-B.0C.ID.侦333【答案】C【解析】如下图所示:不妨设IP1=叫P闻=,根据椭圆定义可得用+=勿=4,I6闾=2c=2;”p由余弦定理可知cosP鸟又因为pE”E=2po,所以（PE+尸琦=（2尸0，又QH=布，yy即可得nr+n2+2三cosZFyPF2=12,解得fn2+n2=10；Xzw2+h2=（11+）-2mn=6-2tnn=0,BPmn=3;所以可得cos-P居=m2+zi2-8=10-8=l；故选：C2mn63【变式4-3】（2023全国模拟预测）已知椭圆/1360）的上、下焦点分别为%居，短半轴长为7,离心率为;,直线/交该椭圆于HN两点，且IMM=2
18、,zEMN的周长是的周长的3倍，则ZMN的周长为（）A.6B.5C.7D.9【答案】B【解析】由题意可得b=7,由离心率为1,得=,15=3，得。=4,易知MMN的周长G=优M+6M+mn,的周长G=IEMI+1耳M+M,由椭圆的定义得内M+优M=为=8/6M+优N=2a=8,则优M+优M+mv+忻m|+|N|+|mM=4G,即4+4=4G,所以G=5,故选：B【变式4-412023河蟒皇岛高三校联考开学考试后知匕，后是椭圆uAg=l（b0）的两个焦点，点M在C上，若C的离心率ee（*,J,则使月为直角三角形的点M有（）个A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】由例5 ( 2023湖北高三校
19、联考阶段练习)已知椭圆C: Jg = l(4bO)的左右焦点为，鸟，过写的 直线与。交于M,N两点，若满足IM段,M7V,N用成等差数列，且NMKNq ,则C的离心率为( ) A B.3 C.走 D.也4322【答案】B i I(加居+MN+NR = 44,1 4ar【解析】由Ig+% %扁得到Ml-,设版| =与d , Mq+ d,在MF2N中,由余弦定理得，d +rf) ) =2-dX+f 解得21YMKN为等边三角形，!,2c22,即Ze?/+。？，可得。2从，2a22因此以6用为直径作圆与C必有四个不同的交点，因此居中以NKME=90。的三角形有四个，除此之外以NMK鸟为直角，NM8耳
20、为直角的石工各有两个，所以存在使为直角三角形的点”共有8个.故选：D【题型5求椭圆的离心率与范围】筋鬲一1、求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a,C来求解已通过已知条件列方程组，解出明c的值.(2)构造,c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2、求椭圆离心率范围的2种方法(1)几何法：利用椭圆的几何性质，设PaO,yo)为椭圆，+8=l(60)上一点，则IXo回，a-cPFb0)的左、右焦点，过K作工轴的垂线与椭圆C交于A,3两点，若ABF1为钝角三角形，则离心率”的取值范围为()A.0
21、e5-lB.yf2-eC.eD.Oe45。，可得恒周9,即2c2双，又因为从二。2一。2,可得02一/2改，Wc2+lac-a20,We2+2e-0l且0vel,解得0e)+sin(26+6)_ 2sin 2。cos 26 2sin 26cos6型0 = 2cos6, COSeCoSe因为，O = ZPFEw，所以cos6则函数f （，） = 2在浮吊 上单调递增.所以，0(r) ,即oe，bO)上两点A、B ,MAB牛=R.骗=q.比=_* ,原”产一4X1-X2 X + X2 _ X2 2x0 X1 X2 x0 a22特殊的：直线/（存在斜率）过椭圆与+，=1（“0）上两点4Bl线段48中
22、点为P（XO,为），ab则有kABkop=-p-。22【例6】(2023.全国模拟预测)已知O为坐标原点，椭圆C：一十一=1的右焦点为F,斜率为2的直线与椭圆C交于点A,B.nF+BF=22,点。为线段AB的中点，则Ioq=()A.0B.IC.5D.叵22【答案】D【解析】解法一：由题意知尸(2,0),设A(,yJ,8(2,8)，则MFI=J(X一2+#=J(X+4-Tk=2-,%,同理可得忸F=2-白.因为IA耳+忸目=2五,所以d+=4.由白=+=l两式相减得宾.处=W，因为直线相的斜率为2,所以导=2,所以y+%=T则2,一；),所以IoDl=F=卑.解法二：由题意知户(2,0),设A(
23、py),B(x29y2),D(x0,y0),则IAPl=Ja_21+y；=J(X1_2+4_gx；=2近_曰,同理可得忸尸|=2&-49，因为IA产|+|明=2&,所以为+=4.22设直线AB的方程为y=2x+J与=+J=1联立并整理得9/+8戊+2/一8=0,848所以内+X2=一/，故副=4,得/=一，又M=宥=2,所以%=2%-|=g,故2,-|,所以IoDI=J7=平.解法三：由题意知F(2,0),设Aa,y),B(x2,y2),贝!14尸I=J(XI-2+y；=”内-2了+4-TXI2=2五一日西,同理可得I叫=24-乎X2,因为IAFI+|防=2底,所以巧+=4.设。(如),则?、
24、2 = -丁-5 , A0o Z又 M=空=2 ,所以 %=；,故, oZ)I = Tl =用，故选：D.【变式T （ 2。23河南校联考模拟预测）已知椭圆C?力32）的右焦点为外的TA满足心=20P （。为坐标原点），过点A的直线与C交于尸Q两点，且八P=PQ ,若直线PQ，尸尸的斜率之3积为一“则=-【答案】3【解析】如图，取线段PQ的中点为M ，连接OM/尸，则由题意可得，陷=2|阿,又M = 20FL所以PF MO33因为直线PQ的斜率之积为-“所以=-1设尸（内，）。（孙,2），则,2 1-2 2 2-2Zb y-b 2l4 K 4两式相减可得(* + /)($W)+ (x+*)0f
25、) = 0 ,4b-敕工田.（X+ %）（%-%）a, , b2 3整理行 OGR 一一,即 GG=一了二W所以6=3 ,所以=有.【变式6-2】（2023全国高三专题练习）已知椭圆C:=1若椭圆C上有不同的两点关于直线y=4x，对称，则实数?的取值范围是【答案】【解析】设尸（x）,Q（w,m）是椭圆C上关于直线/:y=4x+m对称的两个点，3x+4=124M（X,y）是线段PQ的中点，则K+/5,两式相减得3(af)(石+w)+4(y-)(y+%)=OVx,x2zxl+x2=2x,yl+y2=2y,3x_y一为_Ja2-C2=J(G)应)=1，椭圆A/的方程为1-+V=I.由火=1,设直线/
26、的方程为y=x+m,A(xvyi)B(X2,%)y=x+m联立得,fl得4f+6贺+3病-3=0,一十)广=13又直线/与椭圆M有两个不同的交点，=36-16(3m2-3)=12(4-n2)0,解彳导一2vmv2,.3m3m2-3t.xi+x2=-lX1X2=-,*IABI=Jl+kIxX21=V2J(Xl+X2)2-43式2=/2,(3/_3)=故当根=0,即直线/过原点时，|4耳最大，最大值为卡.【变式7】（2。23.全国高三专题练习）过点时。）的直线/与椭圆U?+）/=L交于A,B两点,若/8。3的面积为m（O为坐标原点），求直线I的方程【答案】x6-l=0X = my +1C 、无2
27、+4),2 二4消去 v 得(+4)y + 2my-3 = 0 ,【解析】显然直线/不垂直于）,轴，设直线,的方程为X=冲+1，A（XQ）IU2,%）,=4n2+12(m2+4)=16m2+480f2m3y2=-*yy2=-7,m+4nr+4.r;z-2rn.12-4m2+3IyrMy+%)FMY(门)-十启千二方百于是JABo的面积为SA8。=(Iy-KIOPl=迪m=解得加=n，2旭+45所以直线I的方程为X=&V+1,即Xyy-=O.l(80)的离心率为;,且过点【变式72】(2023.江苏徐州高三统考期中)已知椭圆c：+g=(I)求。的标准方程；(2)过点(TO)的直线/与C交于AI两
28、点，当IAM若时，求直线/的方程.2 2【答案】(1)一+=1；(2)y=Gx+6或y=-643c10,Sk24公一12AB=也+1(2-y(l+2)2-4xix2=J+k2-J(_诙、)-441=11v22V3+43+4k23+4k又IABl=i所以若#4,解得女=b,所以直线/的方程为j=3311y=-3x-3.【变式7-312023宁夏吴忠高三青铜峡市高级中学校考阶段练习)B知椭圆的中心在原点,焦点在工轴上，离心率为，焦距为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点6，且斜率为1的直线，交椭圆于A,B两点，求OAB的面积.【答案】(1)4+4=1；(2)噌549【解析】(1)由题意
29、，设所求椭圆标准方程为：+/=1(。”0),因为焦距为2c=2,.c=l,又离心率e，=或,/.=5,a5再由b2【变式7-4(2023四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)设椭圆，+ 6 = l(b0)的左右顶点分别为A，4 ,左右焦点TK .已知IA闾=3 /A2玛| = 1 .(1 )求椭圆方程.(2 )若斜率为1的直线/交椭圆于A ,8两点，与以尸为直径的圆交于C 两点.若IAM = 呼ICQI ,求直线/的方程.【答案】(1 ) 4+ = l ;(2) y=i3【解析】(1 )由题意，A6 = 3 = a + c /A6 = l = -c ,解得 g = 2 , c = l ,
30、 :.b2 =a2 -C2 =3 ,所以椭圆方程为=+ = 1 . 43(2)设直线/为y = x+? , A(X,)，3(4力),由题意，以鸟为直径的圆的方程为X2 =1 ,=a2-c2=b2=4,所以椭圆标准方程为：g十m=1.54(2)由(1)知：左焦点为耳(-1,0),直线机的方程为：y=x+ly=x+则,dy2=9x2+IOx-15=0,+=154105.X1+Xj=-,X1X2=-,由弦长公式IABl=yl+k2Ja+%2-452=今叵，。至I直线AB的品巨离d=g=哼、.为它1皿立二迦.822929则圆心到直线/的距离d 二号所以卬| = 24-/ =2= 2yj2-nr ly=
31、x+mX2y2I消去,整理得7/+8,nr+4,/12=0,+=1.A0 ,解得冲x+x2 =，XM2=-7 ,又病 J + k2 x1 -x21 = Jl+ A? Xyl(Xl +x2) -4xix2 =4y V7 - m因为MBI =印仁。|,所以467-n2 122 =JXy2-m2 ,解彳导帆2 = 143又/GG.当动圆C与圆Cl内切，与圆G外切时，ICGl=I-R,ICG卜5+r,从而ICCl+QG=6GG.综上可知，圆心C的轨迹E是以G，G为焦点，6为长轴长的椭圆.易得圆G与圆G交于点卜竿,竿）与1竿,-竽），所以动圆圆心C的轨迹E的方程为5+1=1-竽.(2)设直线/的方程为y=履+1,Ma,*),N(X2,%).联立直线/与轨迹E的方程，得三+上=1 -94所以为十= 18k-2792+4，内 92+4由已知条件，得直线A”的方程为X(y+2),X2月一2(y-2),消去）并整理，彳导（9公+4）/+18米-27=OXW-则点P的坐标Cu)满足(以一2)(y+2)=%(y+2)(y-2).又），2=乜+1/=代+1,所以广吟片I把2例%=3（% +%）代入上式，得V =6x1 + 6x2 + 6x2 -2x1 _ 12x1 +4xl -=q3x2 + X13x2 + X1
