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1、第二章 结构分析的有限元法,2.1 有限元法发展简况,利用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小位能原理,St.Venant扭转问题的近似解,有限元法的研究,现代有限元法,飞机结构分析,1943Courant,应用数学家、物理学家、工程师,1960Tumer、Clough,第一次成功尝试,第一次用三角形单元,平面应力问题解答,提出了有限单元法的名称,各种非线性问题多物理场耦合问题多尺度问题,商品化有限元软件,20世纪70年代国外,几何非线性：因几何变形引起结构刚度改变材料非线性：弹性（超弹和多线性弹性）、粘弹性、非弹性状态非线性：接触问题,2.1 有限元法发展简况,固体力学,流体力学传热学电磁
2、学,学科应用,力学计算,结构优化,计算功能,计算技术,纯粹数值技术,前、后处理技术的高度智能化和与CAD的集成化,2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤,经典的解析法,从连续体的微分方程入手，寻求满足微分方程和定解条件的适合全域的解析解，一旦得到解析解，就可知道域内任意点的解,大多数问题，特别是实际问题,很难甚至无法用解析法得到问题的解析解,在整个求解域上满足控制方程,在边界上满足边界条件的场函数,寻找,很困难,有限元法,单元,节点,有限元模型,2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤,有限元法基本思路,抛弃,寻找一个满足整个求解域的场函数的思路,把求解域划分成有限个四边形,单元,对每一个单元通
3、过插值的方法，用其节点上的位移建立该单元的位移函数,1,2,3,每个单元都有与其对应的位移函数表达式,用全部单元域之和代替整个求解域，用全部单元的位移函数之和代替满足整个求解域的位移函数,4,对单元进行力学特性分析，建立单元节点力与单元节点位移的关系，并将结构的外载荷等效移植到节点上，再在节点上建立力的平衡方程，求解后得到节点上的位移，继而得到各个单元的应力,5,以节点位移为未知量，通过求解力的平衡方程获得节点位移，然后按单元计算应力,2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤,有限元法求解步骤,1,离散化,将结构（求解域）划分为有限个单元，让全部单元的集合与原结构近似等价,划分单元时，二者在几何
4、形体上越逼近越好，特别是在位移和应力急剧变化的地方,2,选择单元位移函数,在有限元法中，需要用单元节点位移通过插值方法建立单元位移函数（单元位移模式），即用单元节点位移来描述单元位移。,单元位移函数的合理与否，直接关系到有限元分析的计算精度、效率和收敛性。通常取为多项式形式,2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤,3,单元特性分析,（1）依照应变与位移之间的几何关系，根据所选择的单元位移函数，建立单元应变与单元节点位移之间的关系式。据此式，在求出节点位移后，可以求得单元应变。,（2）依照物理关系（胡克定律），建立单元应力与单元节点位移之间的关系式。据此式，在求出节点位移后，可以求得单元应力。,
5、（3）根据虚位移原理或最小势能原理，建立单元刚度方程，即单元节点力与单元节点位移之间的关系式。此步骤核心是计算单元刚度矩阵。,4,外载荷处理,将外载荷（体力、面力等）等效移植到节点上。,2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤,5,建立节点上的力平衡方程,按照有限元法的统一格式，形成如下形式的以节点位移为未知量的代数方程组,由各个单元的刚度矩阵组装成的总体刚度矩阵,待求的节点位移列阵,按节点编号顺序形成的节点载荷列阵,6,处理边界条件、解算节点位移,(2.1),按照实际位移边界条件，对式(2.1)进行整理，解之，可得单元节点位移。,有了节点位移，即可根据单元特性分析中建立的关系式，求应力、应变、
6、内力等。后处理：对所选应力、应变等，以彩色云图或图表的形式显示计算结果。,2.3 有限元程序的结构简介,对一个题目或一个实际工程问题进行有限元分析，大体上分3个主要步骤,有限元建模,有限元求解,计算结果分析与整理,前处理,求解器,后处理,程序结构,2.3 有限元程序的结构简介,有限元建模,形成有限元分析所需用的有限元计算数据,可视化 有限元模型前处理中，可以用图形显示所建立的几何模型、单元网格、约束条件等,2.3 有限元程序的结构简介,有限元程序的核心部分,主要完成有限元模型的力学计算，即根据前处理形成的有限元计算数据，完成以下工作：,计算单元刚度矩阵,计算节点载荷,组装总体刚度矩阵,将载荷等
7、效简化到节点上,形成总体有限元平衡方程,求解节点位移,计算应力、应变、内力等,2.3 有限元程序的结构简介,根据计算者的要求对计算结果进行检查、分析、整理、打印输出等,进行数据检索,响应量合成,绘制变形图、应力图、应变图、曲线图等,可视化的方式分析、观察计算结果,计算者进行有限元分析的工作量主要体现在前处理和后处理方面,2.4 算例,任意区域三角形单元网 格剖分示意图,典型三角形单元,单元内任意点(x,y)的位移,坐标x和y的函数,建立单元位移函数通过插值方法建立，即用单元的节点位移来表示单元内任意点的位移,1.单元位移函数,2.4 算例,典型三角形单元,单元位移函数选用坐标x和y的一次多项式
8、,待定系数,未知量,求解(2)(3)得到,2.4 算例,2.4 算例,代入,将求得的,得到用单元的节点位移表示的单元位移函数,式中,是单元形状函数，简称形函数,是常数，取决于单元的三个节点坐标,返回P24,2.4 算例,三角形单元的面积A,单元位移函数表达式,2.4 算例,写成矩阵形式,简写为,其中，,表示单元内任意点处位移的单元位移函数列阵,为形函数矩阵,返回P28,2.4 算例,形函数的性质,在节点上形函数的值是,式（6）表示形函数Ni在其自身节点上的值等于1，在其他节点上的值等于0，即,1,单元中任意一点上的各个形函数之和等于1，即,2,2.4 算例,由,2.4 算例,小结,（1）本节的
9、三角形单元，形函数是线性的，为x、y的一次函数；（2）在单元内部和各条单元边上，位移也是线性的，可由两个节点的位移唯一确定；（3）相邻单元的公共节点的节点位移是相等的，因此，能保证相邻单元在公共边界上以及单元内部的位移连续性。,2.4 算例,单元位移函数确定后，根据几何方程,求得单元内任意点处的应变，即单元应变,2.单元应变和单元应力,2.4 算例,由,形函数对坐标变量求偏导,式（8）代入式（7）中，得到,返回P28,由式（9）得到,2.4 算例,单元应变矩阵（几何矩阵）,分块矩阵,参数,由单元的节点坐标确定，因此，它们取决于单元形状，当单元的节点坐标确定后，它们都是常量，所以，3节点三角形单
10、元的应变矩阵B是常数矩阵,2.4 算例,根据物理方程,其中,为平面应力（平面应变）问题的弹性矩阵,平面应力问题,平面应变问题,应力矩阵S也是常数矩阵,单元应力矩阵,返回P28,（1）3节点平面三角形单元，应变矩阵和应力矩阵都为常数矩阵；（2）3节点平面三角形单元，各点的应变和应力都是相同的，且是常数，所以3节点三角形单元是常应变单元，也是常应力单元；（3）采用3节点三角形单元时，在应力变化剧烈或应力梯度较大的部位，单元划分应适当加密。,2.4 算例,小结,3.单元刚度矩阵,2.4 算例,分析,结构在载荷作用下产生变形和应力，于是在各单元之间就产生相互作用。实际上，各单元之间的相互作用是通过相邻
11、边界上（即，单元的边，实际是面）的分布力而产生的。,按照有限元方法，结构离散化为一个个单元后，单元之间的相互作用就由单元的节点力来实现，即用单元节点力等效代替相邻边界上的相互作用力，这样，节点力就与单元应力相关，而单元应力与节点位移相关，因此，单元节点力与单元节点位移相关。,建立单元节点力与单元节点位移之间的关系,表示单元节点力,单元节点位移,由（9）式,2.4 算例,由（12）式,把一个单元作为分析对象时，可以把节点力看作外力。单元节点力和单元节点位移之间的关系可由虚位移原理导出,在外力作用下，处于平衡状态的变形体，当发生约束允许的任意微小的虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于整个体积内的
12、应力在虚应变上所做的虚功。,推导,1,令单元的节点虚位移为,由P18,由(9)式,2.4 算例,2,节点力在虚位移上所做的虚功为,3,单元应力在虚应变上所做的虚功为,单元体积,4,建立单元的虚功方程为,由单元的虚功方程,2.4 算例,任意性,相等,节点力和节点位移之间的关系式就建立起来了,令,则(21)式变为,单元刚度方程,注意：这里，节点力不是结构上的外载荷，而是按虚位移原理把单元边界上的分布力近似等效到单元节点上的一种节点力。节点力在实际结构中是不存在的,总结：式（22）、（23）是由三角形常应变单元推导得到的，但是，这两式及其推导过程所基于的原理和方法具有普遍性。原则上说（22）式是位移
13、有限元分析中普遍适用的单元刚度矩阵表达式，对于不同单元，只是其中的具体计算细节不同。,三角形常应变单元的刚度矩阵分析,2.4 算例,一般情况，单元应变矩阵B是坐标的函数矩阵。,这里，三角形常应变单元，B是常数矩阵。,如果材料是线性的、匀质的，矩阵D也是常数矩阵。,单元厚度t是常量,则dV=tdxdy,因此，三角形常应变单元的刚度矩阵可以写成：,将单元刚度矩阵写成分块形式：,2.4 算例,2.4 算例,2.4 算例,4.单元等效节点载荷,应用虚位移原理进行载荷等效移植：移植后的节点载荷和移植前的载荷在约束允许的任意虚位移上所做的功相等。,单元的节点虚位移为,单元的虚位移为,划分单元时，一般都将作
14、用有集中力的地方划分为节点，集中力即可直接施加到节点上。以下说明体积力和表面力向节点移植：,2.4 算例,体积力等效移植,令单位体积的力为：,单位体积力在x轴和y轴方向的分量,令单元体积力等效的移植到单元节点上的等效节点载荷为：,由虚位移原理，,和,在虚位移上所做的虚功相等，即,单元面积,单元厚度,(16)式代入(28)式：,2.4 算例,特殊地，体积力是重力，且重力方向为负y方向，单元的单位体积力是,2.4 算例,表面力等效移植,2.4 算例,工程问题中，表面力一般都垂直于其作用面，所以，在有限元法中，要求定义的表面力垂直于其作用面，这样，可以将表面力分解到沿坐标轴方向。,令q为表面力矢量，
15、则它可以表示为：,表面力在x轴和y轴方向的分量,令表面力等效的移植到单元节点上的等效节点载荷为：,由虚位移原理，,和,在虚位移上所做的虚功相等，即,表面力作用的边界,单元的虚位移为,代入(33)式得到：,2.4 算例,2.4 算例,沿单元边界均匀分布的表面力,mi边上有垂直于边界的均匀分布的表面力q,将分解为x和y方向的均布力qx和qy，这样，mi边上的表面力可以表示为：,边的边长为,2.4 算例,5.总体平衡方程的建立,厚度为t的正方形板，左边固定，在其右上角分别作用有x、y方向的集中力F1x，F1y，建立其总体有限元平衡方程。,划分单元，所有节点总体编号,对号入座,1,2,3,2,4,1,2,3,1,2,单元刚度矩阵，其分块形式为,2.4 算例,整体刚度矩阵，其分块形式为,1,2,2.4 算例,总体平衡方程,1,2,总体平衡方程,2.4 算例,6.位移边界条件的处理及总体平衡方程的求解,2.4 算例,零位移边界条件的处理,划行划列法,对角线元素改1法,2.4 算例,2.4 算例,非零位移边界条件的处理乘大数法,2.4 算例,如果与第i个方程对应的节点位移不为0，而是某一个数值,可将kii乘以一个大数M，同时将载荷列阵中对应的元素改为,2.4 算例,4.习题作业,如图所示的平面应力直角三角形单元,直角边长分别为a,b,厚度为t，弹性模量为E，泊松比为,求该单元的刚度矩阵。,
