设计性试验和综合性试验.ppt

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1、实验一 复利问题,实验目的,1.加深对函数极限概念的理解2.讨论极限在实际问题中的应用3.会用Matlab命令求函数极限,掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令limit,实验要求,基础实验一 函数极限(设计性实验),实验内容,复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利

2、息，称为连续复利问题。若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？,基础实验一 函数极限(设计性实验),实验方案,设本金为p，年利率为r，若一年分为n期(即储户结算频率为n)，每期利率为r/n,存期为t年，依题意，第一期到期后利息为,本金*利率=p*r/n,第一期到期后的本利和是,本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n),基础实验一 函数极限(设

3、计性实验),因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为,第二期到期后的利息应为,p(1+r/n),本金*利率=p(1+r/n)*r/n,第二期到期后的本利和是,本金+利息=p(1+r/n)+p(1+r/n)*r/n,=p(1+r/n)2，,第n期到期后的本利和是,p(1+r/n)n,存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为,p(1+r/n)tn,随着结算次数的无限增加，即在上式中n,t=1年后本息共计,10.6184(万元),基础实验一 函数极限(设计性实验),随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。实际上，若,年利率为r，一年

4、结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元。它表明在n时，结果将稳定于这个值。而且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。,基础实验一 函数极限(设计性实验),实验过程,a=100000*exp(3/50)一年结算无限次，总结算额有上限为,syms n ra=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf)a=100000*exp(r),syms n,a=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf),基础实验一 函数极限(设计性实验),实验二 最优价格问题,实验目的,1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微

5、分学中的实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值,实验要求,掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff,基础实验二 函数的导数(设计性实验),实验内容,某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论 2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大,基础实验二 函数的导数(设计性实验),实验方案,基础实验二 函数的导数(设计性实验),基础实验二 函数的导数(设计性实验),f=inline(-x*(100-(

6、x-1000)/25)a=fminbnd(f,1000,3500)x=-f(a)f=Inline function:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750 x=122500,(1),实验过程,基础实验二 函数的导数(设计性实验),基础实验二 函数的导数(设计性实验),基础实验二 函数的导数(设计性实验),(2)f=inline(-(980+x)*(100-x/25)a=fminbnd(f,0,2500)f=Inline function:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760,实验过程,基础实验二 函数的导数(设计性实验),实验三 相关变化率,实验目

7、的,实验要求,1.加深对复合函数、相关变化率的理解2.通过实例学习用微分知识解决实际问题3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分,掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令,基础实验二 函数的导数(设计性实验),有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求 1.当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？2.何时梯子的上下端能以相同的速率移动？3.何时其上端下滑之速率为4m/s？,实验内容,基础实验二 函数的导数(设计性实验),设t=0时，梯子贴靠在墙上，在时刻t（秒）时，梯子

8、上端离t=0时位置的距离为S米，梯子下端离开墙脚的距离为x米，则有,实验方案,基础实验二 函数的导数(设计性实验),1.梯子的上端下滑之速率,当x=1.4m时，,2.梯子上、下端相同速率处，,即,(舍去),基础实验二 函数的导数(设计性实验),即当梯子下端离开墙脚的距离是3.54m时，梯子的上、下端的相同的速率移动.,3.,即,解得 x=4，-4（舍去）.即当梯子下端离墙脚4m时,其上端下滑之速度为4m/s.,基础实验二 函数的导数(设计性实验),实验过程,(1)syms x t f=5-sqrt(52-x2);x=3*t;a=compose(f,x);c=diff(a,t);b=subs(c

9、,t,x/3);d=subs(b,x,1.4);numeric(d)ans=0.8750,基础实验二 函数的导数(设计性实验),(2)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-3,x)a=5/2*2(1/2),(3)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-4,x)a=4,基础实验二 函数的导数(设计性实验),基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),实验一 树的高度问题,实验目的,1.加深对积分概念的理解,2.使用积分理论解决实际问题,3.熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程,掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令,实验要求,有一种快

10、速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值(如作为木柴)，人们要求该树在5年内(t=6，在种植时已生长一年)至少生长6m，如果树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有经济价值。,实验内容,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),实验方案,树的高度，由题意可得,将t=1代入，得,即,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),syms t f=int(1.2+5*t(-4)f=6/5*t-5/3/t3 clear syms c c=solve(1.2-5/3+c-1,c)c=1.4666666666666666666666666

11、666667,即种植树5年后，树高8.66m，比种植时的1m长高了7.66m，超过至少生长6m的要求，种植此树有经济价值。,实验方案,实验过程,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),实验二 生日蛋糕问题,掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令,实验目的,1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解2.通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算 等实际应用问题3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令,实验要求,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果口腔医学的

12、悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函：r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5，0h1(单位m),实验内容,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。,实验内容,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),实验方案,首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示，,绕水平中心轴旋转而成，若高为H(m)，半径为r(m)，密度为k(kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积

13、(m2)为,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示：,绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为,以此类推，如果蛋糕是n层的，,实验方案,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),每层高为H/n，半径分别为r1，r2，rn，则蛋糕的质量和表面积为,事实上，蛋糕边缘圆盘半径,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),(0h1),此时，数学家的生日蛋糕问题就转化为求上面两个数值积分。,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为 W=5.4171(kg)，S=16.0

14、512(m2),syms h r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5;quadl(pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).2,0,1)ans=5.4171 r0=subs(r,h,0)r0=1.6000 quadl(2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5),0,1)+pi*r02 ans=16.0512,实验方案,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),实验三 还款问题,实验目的,1.加深了解一元函数积分法2.定积分在经济数学中的实际应用3.熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程,掌握定积分概念，Matlab软件求定积分,实验要求,基础

15、实验三 一元函数的积分(设计性实验),现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同。10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款多少？,实验内容,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),实验方案,这类问题属于贴现问题，若第t年还款为万元，则第t年还款的贴现值为,n年的贴现值为,每年付款数目相同，共10年，这是均匀现金流，付款总值的现在值等于现价扣去首付。,依题意：,设每年付款A万元，则第t年付款的现在值，,由连续贴现公式应为,因付款流总值为250万元，,即有,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),得A=33.2447（万元），故每年应付款33.2

16、447万元,实验方案,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),clear syms t A a=int(A*exp(-0.06*t),0,10)a=-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A b=solve(-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250,A)b=-15/(exp(-3/5)-1),实验步骤,基础实验三 一元函数的积分(设计性实验),基础实验三 二元函数的积分(设计证性实验),实验一 通信卫星在地面上的覆盖面积,实验目的,1.加深对曲面积分概念的理解2.会用积分理论解决实际问题3.会用Matlab命令求曲面积分，用数值解法求二重积分,1.掌握曲面积分的应用2.

17、了解二重积分的数值解法,实验要求,实验内容,基础实验三 二元函数的积分(设计证性实验),通讯卫星覆盖地面剖面图,基础实验三 二元函数的积分(设计证性实验),将地球视为球体（地球半径为 R=6378km），以球心为原点建立如,图所示的坐标系。因上半球面方程为,故被卫星覆盖的地表面积为,所以卫星的覆盖面积为,基础实验三 二元函数的积分(设计证性实验),实验方案,S=2.1694e+008.,基础实验三 二元函数的积分(设计证性实验),基础实验三 二元函数的积分(设计证性实验),实验过程,M源程序：clear allclcFrt=inline(6378*r./sqrt(63782-(r.*cos(t

18、).2-(r.*sin(t).2);R=6378;h=35800;r1=R*sqrt(1-(R/(R+h)2);s=dblquad(Frt,0,r1,0,2*pi)对二重积分作数值计算运行结果：S=2.1694e+008,综 合 实 验,某养殖中心新建立了一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，开始计划为每3m3放入一条鱼，鱼塘的平均深度为6m，鱼塘的平面示意图如图所示，他关于x轴对称，假设在钓鱼季节结束时所剩的鱼为开始的25%，如果一张钓鱼证平均可以钓20条鱼，试问：最多可以卖出多少钓鱼证？,实验一 钓 鱼 问 题,实验内容,问题易归结为计算鱼塘的平面面积，而由题目已知条件知，鱼塘面积的

19、求解即是一个定积分过程，且这里定积分计算过程中采用的分割很特殊，是等分，于是建立适当坐标系，便得一系列数据，由此可构造一个三次拟合函数，从而由定积分定义得出鱼塘的面积，一旦确定鱼塘平面面积，则可确定鱼塘体积，之后便易根据题目要求建立等式。,使用matlab中命令ployfitXdata,Ydata,3构造一个 三次拟合函数。,实验方案,实验一 钓 鱼 问 题,(2)算出鱼塘平面面积以及体积。,(3)根据题目要求有,实验方案,解出x,取整即为钓鱼证的最大个数,实验一 钓 鱼 问 题,Xdata=0:5:45;Ydata=0,260,400,500,570,580,550,430,270,0;p=

20、polyfit(Xdata,Ydata,3);y=polyval(p,x);s=integrate(y,0:0.01:45,0);function v=f(x)v=(1/3)*(2*s*6)*(1-0.25)-20*x;z=fzero(f,20),输出结果：,Z=2691.4091,即钓鱼证的最大个数为2691,实验过程,实验一 钓 鱼 问 题,高级动物的血管系统遍布全身，其几何形状直接影响到机体在完成血液循环过程中所消耗的能量血管应如何分布才能使血液循环过程所消耗的能量最小？本实验仅讨论血管在分支点的几何形状问题，即血管在分支点处粗细血管半径的比例和分岔角度取何值时使消耗的能量最小。,实验内

21、容,实验二 血管在分支点的几何形状,实验方案,首先作如下几个假设：,在血液循环过程中能量的消耗主要是用于克服血液 在血管中流动时所受到的阻力和为血管壁提供营养。,2.(几何假设)设血管在分支点只分成两条较细的血管，联 接分支点的三条血管在同一平面内且有一条对称轴。若 不然，会增加血管的总长度，使总能量消耗增加。,实验二 血管在分支点的几何形状,4.(生理假设)设血管壁所需的营养随管壁内表面积和管壁 的厚度增加而增加，管壁的厚度与管壁半径成正比。,实验方案,3.(力学假设)设血管为刚性体(实际上血管有弹性，这种 近似对结果影响不大)，即血液的流动视为粘性流体在 刚性血管内流动。,实验二 血管在分

22、支点的几何形状,如图所示，设血管从粗血管中的A点经过一次分支分别向两条较细血管中的B和B点供血，C是血管的分岔点，B和B是关于对称轴AC的对称点，H为A、B两点间的垂直距离L为A、B两点的水平距离，r为分岔前的血管半径，为分岔后,的血管半径，,为分岔前单位时间血流量，,为分岔后单位时,为B、C两点间的距离。,为A、C两点间的距离，,间血流量，,实验二 血管在分支点的几何形状,这里，k为比例常数。,由假设3及流体力学定律可知，粘性物质在刚性管道内流动所受到的阻力与流速的平方成正比，与管道半径的四次方成反比。于是血液在粗细血管内所受到的阻力分别为,和,3.(力学假设)设血管为刚性体(实际上血管有弹

23、性，这种 近似对结果影响不大)，即血液的流动视为粘性流体在 刚性血管内流动。,实验二 血管在分支点的几何形状,由假设4，在单位长度的血管内，血液为管壁提供营养所消耗的能量,其中b是比例常数，,用于克服阻力及为管壁提供营养所消耗总能,故血液从A点,4.(生理假设)设血管壁所需的营养随管壁内表面积和管壁 的厚度增加而增加，管壁的厚度与管壁半径成正比。,流到B和B点，,量为,(1),实验二 血管在分支点的几何形状,设分岔的角度为,则,将（2）式代入（1）式，得,现求当,所消耗的总能量,最小。令,(2),(3),实验二 血管在分支点的几何形状,由（4）式和（5）式，得,由（6）式和（7）式，得,(4)

24、,(5),(6),因,，故,上述结果与生物学所得的结果基本吻合。,实验二 血管在分支点的几何形状,M源程序:clear allclcsyms k q r b a L H t r1;E=(L-H./tan(t)*(k*q2/r4+b*ra)+(2*H/sin(t)*(k*q2/(4*r14)+b*r1a);Er=diff(E,r);Er1=diff(E,r1);Et=diff(E,t);x=0:0.1:2m=(x-4)./(x+4)theta=acos(2.m)plot(x,theta,r-.)r_rr1=4.(1./(x+4);,实验过程,实验二 血管在分支点的几何形状,hold onplot

25、(x,r_rr1,b:o)title(theta(a),rate of r and r1(r_rr1)xlabel(a);legend(theta,r_rr1,1)运行结果：,实验二 血管在分支点的几何形状,一警察发现一被谋杀者，时间是上午9点钟，当时测得尸体的温度为32.4C，一小时后，尸体的温度变为31.7C,尸体所在房间内的温度为20C.假设人体的正常温度为36.5C(提示：热物体的冷却速度和其自身温度与外界温度的差值成正比),实验三 预测谋杀案发时间,实验内容,由常识知道，一热物体，其温度下降的速度与其自身温度同外界温度的差值成正比关系，温度越小，下降的速度就越小，随着热物体温度的继续

26、下降，其温度趋于所在周围空间的温度，,实验方案,实验三 预测谋杀案发时间,设,为尸体的温度，,为时间，,为比例常数，则可知温度,由于温度,是下降的，所以,应取负值，设,由于该方程为一阶可分离变量型的微分方程，不难看出他的解。,的下降速度，即温度的变化率为,故上面的方程变为,实验三 预测谋杀案发时间,利用Matlab软件来解上述方程，运行dsolve(DH=-k*(H-20),H(9)=32.4)输出结果ans=20+62/5*exp(-k*t)/exp(-9*k)即方程的符号解为H=20+12.4*exp(-k*t)/(-9*k),继续运行solve(20+12.4*exp(-k*10)/ex

27、p(-9*k)=31.7)输出结果ans=.58107630807280745919650652048340e-1即k=0.0581,所以方程的解为H=20+20.9177*exp(-0.0581*t),实验过程,实验三 预测谋杀案发时间,可以画出温度-时间函数曲线进行进一步分析，请读者自己练习，由问题分析得，谋杀发生的时间为身体的温度,=36.5C,，运行语句,时对应的时间,4.0832239175116866677070845804921,输出结果为ans=,solve(20+20.9177*exp(-0.0581*t)=36.5),实验三 预测谋杀案发时间,从而得出结论：谋杀时间,即凌晨

28、4点6分左右,实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,全球最大的飞机制造商波音公司自1955年推出波音707开始成功的开发了一系列的喷气式客机。问题：讨论该公司对一种新型客机最优定价策略的数学模型,实验内容,定价策略涉及诸多因素，这里考虑以下主要因素：价格，竞争对手的行为，出售客机的数量，波音公司的客机制造量，制造成本，波音公司的市场占有率等。,实验方案,实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,客机的价格记为p,根据实际情况，对于民航飞机制造商，能够与波音公司抗衡的竞争对手只有一个，因此他们可以在价格上达成一致，具体假设如下：,(1)型号：为了研究方便，假设只有一种型号的飞机,(2)销售量：其销售

29、量只受飞机价格p的影响，预测以此价 格出售，该型号飞机全球销售量为N,N应该受到诸多因 素的影响，假设其中价格是最主要的因素。根据市场历 史的销售规律和需求曲线，假设该公司销售部门预测得 到 N=N(p)=-78p2+655P+125,实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,(4)制造数量:假设制造量等于销售量，记为x,既然可 以预测该型号飞机全球销售量，结合波音公司的市 场占有率，可以得到 X=hN(p),实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,(3)市场占有率，既然在价格上达成一致，即价格的变 化是同步的，因此，不同价格不会影响波音公司的 市场占有率 因此该占有率是常数，记为h,数学模型如下：

30、MaxR(p)=px-C(x),其中C(x)=50+1.5x+8x3/4,x=hN(p)N=N(p)=-78p2+655p+125 p,x,N0,实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,(5)制造成本，根据波音产品分析部门的估计，制造成本为 C(x)=50+1.5x+8x3/4,(6)利润，假设利润等于销售收入去掉成本，并且公司的 最优策略原则为利润R(p)最大，利润函数为,R(p)=px-C(x),由以上的简化分析和假设得到波音公司飞机最佳定价策略的,h=0.5;a=0;b=10;d=(b-a)/n;fFor i=1:n+1pr(i)=a+(i-1)*d;p=pr(i);,实验过程,采用图形方

31、法求解，具体用matlab做出目标函数曲线图，得到一个直观的印象，matlab程序如下：,实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,n=-78*p2+655*p+125;x=h*n;r=p*x;c=50+1.5*x+8*x(3/4);lr(i)=r-cendplot(pr,lr);grid onXlabel(价格p)Title(利润曲线R(p),实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,从运行结果可以看出利润在8和9中间已经开始为零了，且根据目标函数的特点可以断定在最优定价策略下价格大致在6到7之间，再用图形放大法(根据图形依次改变自变量的范围和步长，即在程序中改变第二行和第三行语句，将最优解的范围限制的越来越小，直到找出满意的近似解为止)，根据分析图形，可以n取100不变，去见依次取为6,76.2,6.36.28,6.296.285,6.2876.285,6.2862,图2.2.2为最终运行结果，经分析可以进一步估计出 p=6.2859,R=1780.8336,实验四 波音公司飞机最佳定价策略问题,注：以上市场占有率为h=0.5，对于市场占有率h的其他取 值可以类似的进行，读者可以自己练习,