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1、中考特色题型专练之最值问题三角形题型一、将军饮马1 .如图，已知点。、石分别是等边ABC中BCAB边上的中点，AB=6,点尸是线段Ao上的动点，则+E/的最小值为（）A.3B.6C.9D.33【答案】D【分析】本题考查轴对称求最短距离.连接CE交AO于点F,连接即，此时8广十瓦的值最小，最小值为CE.【详解】解：连接CE交AoT点尸，连接8尸，.BF=CF,BE=E=-AB=3t2:.BF+EF=CF+EF=CE,此时所的值最小，最小值为CE,.CE=62-32=33族+EF的最小值为动，故选：D.2 .如图，在等边“1BC中，Ao是高，点G是边AC上的动点，若A=4,AF=3,则EG+FG的
2、最小值等于（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，作点尸关广AC的对称点尸、连接EF交Ae于点G,连接所、GF、AF1,则尸G=尸G,当E、G、9三点共线时，EG+FG=Gf+G/=E尸的值最小，求出NEAF，=90。，利用勾股定理求出石F=5即可.【详解】作点/关于AC的对称点尸，连接EF交ACF点G,连接石尸、GF、AF,则尸G=尸G,当E、G、F三点共线时，EG+AG=GE+GU=E尸的值最小，二ABC是等边三角形，AO是高，：.NBAC=60o,/BAD=NCAD=-NBAC=30,2由对称可知，AF,=AF=3,ZCAD
3、=GAF,=30,AEA=NBAC+NGAF=90,:,EF,=yAE2AP2=42+32=5，EG+FG的最小值等于5.故选：B.3.如图，等腰JlBC中，A/J.BC于点H,点。为48的中点，Sz8c=12,A8=6,点E为AH上一点,连接BE力石，如果m=BE+DE,那么机的最小值为.【分析】本题考查等边三角形的性质,轴对称解决线段和最小的问题,根据等边三角形三线合一,得到点反C关AH对称，进而得到m=3E+0E=CE+OECO,根据三角形的面积求HJCo的长即可.【详解】解：连接8,CE,等腰JlBC中，AHJ.BC于点”，点民C关于44对称，：,BE=CE,：.m=BE+DE=CE+
4、DECD,Y点。为AB的中点，：CDlAB,SABC.=ABCD=2fVA=6,.CZ)=4,m的最小值为4；故答案为：4.4.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90o,E是AB上一点，BE=I,AE=3BEtP是AC上一动点.则/归+庄:的最小值是.【答案】5【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质，作等腰直角三角形ABC关AC的对称直角三角形AOC,连接DEDP,由关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE,交AC于尸，连接6P,则此时依+总的值最小，进而利用勾股定理求出即可.【详解】解:如图：作等腰自：角三:角形ABC关于AC的对称巴角三角形
5、ADC,连接DE,DPt由轴对称的性质可得P8=PD,AD=AB,：PE+PB=PD+PE,当?、D、E三点共线时，PD+PE最小，即此时PB+依最小，.等腰直角三角形48C中，AB=BC,NABC=45。,由釉时称的性质可得Nc4。=NCAB=45。，VBE=1.AE=3BEf：.AB=AD=4BE=4fE=3:DE=yJE2+AD2=5P8+PE最小值为5,故答案为：5.题型二、两定一动1 .如图，在必8C中，A8=13,8C=10,力是BC中点，E/垂直平分A8,交A8边于点E,交Ae边于点F,在叱上确定一点，使|P8-也最大，则这个最大值为（）AA.10B.5C.13D.6.5【答案】
6、B【分析】本题考查三角形三边关系,延长3。交直线叱于P,在所上任取一点P不与点尸重合，连接PB,产。，根据三角形三边关系证明此时，PB-叫最大，最大值等于8。氏即可求解.【详解】解：如图，延长BC交直线E产于P,在E尸上任取一点P不与点P重合，连接PB,PD,.P,B-P,DfyB-P,D,，此时，pB-也最大，最大值等于B力长，。是BC中点，/.BD=-BC=-10=5,22.PB-叫最大值=5,故选：B.2 .如图，若，ABC为等腰直角三角形，AC=BC=5/88=15。，P为Co上一动点，PA-P目的最大值A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】本题主要考查轴对称一一最短路线问题，等腰
7、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作人关于CD的对称点4,连接43交8于P，则点P就是使|PA-P8的值最大的点.此时B4-PB=8.结合条件证明V48C是等边三角形，即可求得答案.【详解】解：作人关于8的对称点A,连接AB交8于F，则点P就是使RA-PB的值最大的点.此时PA-PB=tB,连接AC,如下图： ABC为等腰直角三角形，AC=BC=5,NABC=90,/.ZCAB=ZABC=45, /88=15。， ZACD=75,ZCAA1=15, C=A,C,：.,C=BCfZCAA,=ZCA,A=15t ZACv=I50。， ：NAeB=90。，.,.ZAC=60o. VA,BC是
8、等边三角形，.A,B=BC=5,即：IPA-咫的最大值是5.故选：C.203.在AABC中，ZfiAC=90o,AB=5,AC=-,D,七分别为射线BC与射线AC上的两动点,且3。=A,连接AO,BE,则AP+BE最小值为;IA-5用的最大值为.【答案】3屈10【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理：过点8作FGJ使得BF=AB=5,过点A作AG_1.GF于点G,连接。尸，证明&ABE均Ba)得出8尸=8EA1.+BE=4)+AF,则当。在线段AF上时，AO+8E取的最小值，最小值为AF的长，延长BG至H使得由=A=5,连接则IAo-BEI=IAD-”QAH进而勾股定理，即可求解：
9、【详解】解：如图，过点8作尸G_1.BC,使得Bb=48=5,过点A作AGJ_G尸于点G,连接。尸，在一A见防。中,AE=BD如图所示，延长BG至H使得3=A8=5,连接Q,则。=DF=3，77G=HB-BG=5-4=1,AG=3,AD-B|=AD-HDAH=yHG2+AG2=1232=K),故答案为：3io,io.4.如图，四边形ABCQ中，ABCDfNABC=90o,AB=5,BC=3,8=3,点尸为直线Be左侧平面上一点，.,BCP的面积为则IQA-Pq的最大值为.B【答案】32【分析】本题考查三角形三边关系的应用、勾股定理、平行线的性质，关键是得到点尸的运动路线.过?作于H,由三角形的
10、面积公式求得=1,则点P在平行于5C且与BC的距离为1的直线/上运动，作C关于直线/的对称点C，连接AC并延长交直线/于P,连接PC,则IAP-Pq=IAP-PClAC,当A、C、P共线时取等号，此时最大值为AC的长度，过U作CMAM利用勾股定理求解AC即可.【详解】解：过?作于从8C尸的面积为|,BC=3,：.1.BCPH=1.X3PH=3,则尸=1,22点P在平行于BC且与BC的距离为1的直线/上运动，作C关于直线/的对称点C,连接AU并延长交直线/于P,连接PC,则IAP-M=IAP-PClAC,当A、C、P共线时取等号，此时最大值为IAP-Pq=AC的长度，过U作CMJ.AM于M,BM
11、=CC=2OC=2,CM=BC=3,在RlZXAAfC中，AM=AB-BM=3,:AC=A2+CM2=32+32=32，故答案为：32题型三、两动一定1.在某草原上，有两条交叉且笔直的公路。4、OB,如图，ZAO3=30,在两条公路之间的点尸处有一个草场，OP=4.现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧,分别记为M、N,存在M、N使得.PMN的周长最小.则PMN周长的最小值是（）.A.4B.6C.8D.12【答案】A【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题、等边三角形的判定和性质.作点尸关于白线。4的对称点尸,作点尸关于宜一线。8的对称点G,连接尸G,分别交。4、。8于M、Nt得到.PMN的周
12、长的最小值为尸G,再证得.产0G为边长为4的等边三角形即可得出答案.【详解】解：作点尸关于直线QA的对称点尸，作点P关于直线OB的对称点G,连接尸G,分别交。4、OB于M、N、如图：MP=MF,NP=NG.JMN的周长的最小值为尸G,由轴对称的性质得：ZFOA=ZAOp,/POB=NGOB,OP=OF,OP=OG,ZAOP+POB=ZAOB=30P,OP=4,.ZFOG=ZFOA+ZAOP+ZPOB+ZGOB=60p,OF=OG=4,.“心为边长为4的等边三角形，.FG=4,:ZMN的周长的最小值为4.故选：A.2 .如图所示，点尸为N。内一定点，点A,B分别在No的两边上，若HVW的周长最小
13、，则NO与N4P3的关系为（）A.O=ZAPBB.AO=IZAPBC.ZO+ZAP5=180oD.2ZO+Z4PB=l80o【答案】D此时推出【分析】作点尸关于OM的对称点，点尸关于ON的对称点产，其中Pv交OM于A,交,ON于B,/RW的周长最小值等于PP的长，由釉对称的性质可知AOPP是等腰三角形，所以POP=2Aa),p=J8。一,“8。一片所以幺=+=WzA即得出答案.【详解】解：如图，作点P关J：。M的对称点P，点P关于。V的对称百产，连接。尸，OP,。尸，其中尸尸交。Af于A,交QV于8,此时PAB的周长最小值等于”的长，由轴对称性质可知：OP=OP,OP=OPntZAOP=ZAO
14、Pt,ZBOP=ZBOPft,.PfOPf,=IZAOP,E180o-ZPzOP*180o-2ZAOB22.ZAPB=zr+ZPr=1800-2ZAOB,即2NO+NAPB=180。，故选：D.【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键.3 .如图，在五边形ABCDE中，NBAE=120。，N8=NE=90。，AB=BC,AE=DEf在8C、OE上分别找到一点M,N,使得-AMN的周长最小，则ZAMyV+4WM的度数为【答案】120【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M,N的位置是解题关键.根据要使A
15、MN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于BC和的对称点A,4，即可得出ZA+ZzT=ZHAA=60。，进而得出NAN+N/WM=2(NT+NA”)即可得出答案.【详解】解：作A关于BC和ED的对称点A,*,连接A，A,交8C于交即于M则AA即为CN的周长最小值.作EA延长线A”，,：NBA=120。，/.ZHAA=60,/.ZA+ZA*=ZMA=60,*.*ZA=ZMAAIZAT=ZNAEt.ZA+MAA=ZAMN,ZA,+ZNAE=ZANM,ZA+ZM4A,+ZNAE+ZA=ZAMN+ZANM=2(ZA,+Z4ff)=260=120,故答案为：120。.4.如图，在
16、四边形ABCO中，ZB=ZD=90PtAB=2,AO=3,点M,N分别在边8C,CD,当NAW+NA7W=12O。时，二AMN的周长最小，则它的周长的最小值为.D【答案】419【分析】本题主要考查r等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键.作A关于8。和8的对称点A，A2,连接AA2,交BC于必，交CD于N,过人作A?G_1.BA于G则AA2即为AAMN周长的最小值，求出AAz的长即可.【详解】解:如图：作A关于BC和C。的对称点4人，连接A4,交BC于M，交CD于M，过外作&G_1.8A于G,AyD=AD=3,A2B=AB=I1NNlAo=N
17、MAO,NMAB=ZMiA2D,3AD=IZAMA,NBAM=14M4，VZAffV+ZATW=120,即ZA1,+ZA1A,=120,：.NNlAz)+NBAMl=60。,NNlAMl=60。，ZGW=60,即NGA2A=30。，/.AG=AA1=3,2?：.A)G=AA,2+AG2=yjb232=3y3,AG=AA1+GA=4+3=7,142=5a2G2+1G2=27+49=419.故答不为4117题型四、周长最小1 .如图，在BC中，AB=AC,ZB=60o,AoIBC于点O.尸是AO上的一个动点，PE_1.AC于点E,连接CP.若AZ）=6,则尸C+PE的最小值是（）【答案】B【分析】
18、本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称一路线问题，作B_1.AC于E,交A。于P，连接PC,PB,根据等边三角形的判定与性质可得3=Ao=6,点C关于Ao的对称点为点3,从而得出当尸、B、七在同一直线上且8EJ.AC时，PC+PE的值最小，为BE,即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.【详解】解：如图，作于交4。于尸，连接PC,PB,.ABC是等边三角形，.ADlBCtBE,1AC,.BE,=AD=6fBD=CDf点C关于Al）的对称点为点B,PC=PB,:.PC+PE=PB+PEt当P、B、E在同一直线上且班:_1.AC时，PC+PE的值最小，为BE,.PC+PE的最小
19、值是6,故选：B.2 .如图，在RtAABC中，NACB=90。，AC=3,BC=4,A。是/84C的平分线，若P,Q分别是A。和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A.2.4B.3C.4.8D.5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题,角平分线定义,勾股定理,作点Q关于A。的对称点Q,连接尸Q,CQ过点C作C7/J.A8于点H,根据角平分线定义以及对称可以得到PC+PQ=PC+R2C”,利用勾股定理求出48的长，再利用三角形面积求出8的长即可得到结果.【详解】解：如图，作点。关于的对称点Q,连接PQ,CQ1t过点C作CH_1.A8于点”，AO是一48C的角平分线，。与0关于AO对
20、称，.点。在AB上，PC+PQ=PC+PQCH,AC=3,BC=4,AB=JAC2+BC?=5,-ACBC=-ABCHUlJ-34=-5CH,2222:.CH=2At.CP+PQ2AfPC+PQ的最小值为2.4.3 .如图，在JlBC中，AB=AC=S,NAAC=I50。，点、P,。分别在边A8,BC上，则A2+PQ的最小值为一.BPA【答案】4【分析】作点A关于直线BC的对称点E,连接反、AE.PE,作EF1.AB于点F,由AB=AC=8,NBAC=150。，求得ZABC=NC=15。，E8=48=8,则ZA8E=3(r,所以Er=3E8=4,由EQ+PQPE,PENEF,且硕=AQ,得AQ
21、+尸Q4,即可得出答案.【详解】解：作点A关于直线BC的对称点E,连接反、AE.PE,作EE_1.AB于点尸，VAB=AC=SfZBAC=150,/.ZABC=ZC=(180o-150o)=15,BC垂直平分AE,.*.EB=AB=8,：,ZEBC=ABC=5ot：.ZE=2ZABC=30o,.NBFE=90。，：.EF=-EB=4i2：EQ+PQPE,PEEF,且EQ=4Q,，AQ+PQEF,即AQ+PQ4f.4Q+PQ的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知
22、识，正确地作出辅助线是解题的关键.4 .如图，在等腰VlBC中，AB=AC=5,A。是.ABC的高，BC=6,E、/分别是AB、Az)上一动点,则8尸+所的最小值为.【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接CECE,由等腰三角形的性质得到Ao垂直平分BC,BD=CD=3,则BF=C尸,故当C、E、尸三点共线且CE_ZAB时，斯+所有最小值，最小值为CE的长，利用勾股定理求出A。的长，再运用等面积法求CE的长度即可.【详解】解：如图所示，连接CRCE, 在等腰.ABC中，AB=AC=5,AO是ABC的高， A。垂直平分BC,BD=CD=3,：BF=CF,：.B
23、F+EF=CF+EF,，当C、E、F三点共线，且CElA时，CF+E尸有最小值，即此时4户十所有最小值，最小值为CE的长，由勾股定理得AD=yAB2-BD2=4， ：Sahc=-BCAD=-ABCE，tc221124-64=-5CE,解得：CE=-,22524.Bb+所的最小值为F24故答案为：y.题型五、两定两动1.如图，在平面直角坐标系XOy中，已知A(0,4),直线/：y=H(A0)与X轴相交所成的锐角为75。.若尸是y轴上的动点，M,N是/上的动点，则AAf+M尸+PN的最小值为()【答案】AC.4D.42【分析】如图所示，直线OA、丁轴关于直线y=依对称，直线0E、直线y=关于y轴对
24、称，点4是点A关于直线y=的对称点，作HEj_。于点E,交轴于点P,交直线N=收于作尸N人直线y=依，垂足为N,此时AM+尸M+W=AM+W+尸E=AZ最小（垂线段最短），在Rl.AEO中利用勾股定理即可解决.【详解】解：如图所示，直线OA、y轴关于直线y=对称，直线。、直线y=丘关于y轴对称，点4是点A关于直线y=去的对称点,作A，EJ_O石于点七，交轴于点尸，交直线y=收于作用V人直线y=收，垂足为N,：PN=PE,AM=AM,：.AM+PM+PN=A,M+PM+PE=A,Et），=依仗0）与X轴相交所成的锐角为75,：ZAOE=ZAOM=ZAOM=90o-75o=15o,JZAOE=ZA
25、OE+ZAOMZAOM=15+15+15=45,：Z-EAO=90o-ZA,OE=90o-45o=45o=ZAOE,.AE=EO,设4E=x,V（0,4）,直线OA、轴关于直线y=履对称，在RIAAEO中，ZA,EO=90o,OA=QA=4,EO=AE=X,EO2+A,E2=AtO2,即/+/=42,解得：x=2或x=-2应（负值不符合题意，舍去），AE=2应，AM+M尸+PN的最小值为2人.故选：A.【点睛】本题考查轴对称一最短问题、垂线段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知识.解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置.2 .如图，NAO3=30,点、M、N分别在边。A、OB上，且OM=
26、3,QN=5,点尸、Q分别在边03、OA上，【分析】作M关于。8的对称点心，作N关于OA的对称点M连接Mw,即为MP+PQ+QN的最小值;证出AONM为等边三角形，AOMAT为等边三角形，得出NMoAf=90。，由勾股定理求出MW即可.【详解】解：作M关于08的对称点f,作N关于OA的对称点M,如图所示：连接MN,即为MP+PQ+QN的最小值.根据轴对称的定义可知：ON=ON=5,OM,=OM=3,NNOQ=NMOB=30,ZNON,=60otNMoAT=60。，IAONN为等边三角形,AOMAf为等边三角形，/.NNoM=90,在RsMoW中,MN=？7F=S故选：A.【点睛】本题考查了轴对
27、称-最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键.3 .如图，已知正比例函数y=H(k0)的图象与X轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标为(0,4),P为)轴上的一个动点，M.N为函数=收(40)的图象上的两个动点，则AM+M9+ZW的最小值【答案】23【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形30。角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的尸的位置是解答本题的关键.作直线OC与y轴关于直线y=履对称，直线。与直线y=关于y轴对称，点A是点A关于直线y=的对称点，作4E_1.QD,作PN1.MN,此时AM+M尸+/W最小，AM+PM+PN=A:
28、Ef在RlAAEO中，利用勾股定理得到答案.【详解】如图，直线。C与N轴关于直线丁=丘对称，直线0。与直线y=关于轴对称，点4是点A关于直线y=kx的对称点，作AE_1.OD,垂足为七，交轴于点尸，交直线y=收于点作PN1.MN,.PN=PEtAM=AMtAM+PM+PN=AM+PM+PE=AE,此时AM+M尸+/W最小，在RsAEO中，ZA,E0=90o,OA=41AOE=3ZAOM=o,：.OE=-OA,=2,A!E=2-OE2=42-22=23，AM+叱+取的最小值为26，故答案为：2石.4.如图ZAob=30。，点M、N分别在边。4、OB上，且。M=4,ON=Io,点尸、。分别在边08
29、、OA上,则当MP+PQ+QN取最小值时，Snoq+Sqop+SMOP=.0PB【答案】20【分析】作M关于。8的对称点M1.作N关于04的对称点N,连接MAT,即为叱+尸。+QN的最小值;证出VQVN为等边三角形，VQMM，为等边三角形，得出NWOM=90。，SNOQ+S如+S即为RlzQ的面积.【详解】解：作M关于OB的对称点,作N关于。4的对称点N,如图所示:连接MN/则MP+PQ+QN=MP+PQ+QNMN,即MN为M+PQ+QN的最小值.根据轴对称的定义可知：NNOQ=MOB=30,NoNN=胡，.VONMZJ等边三角形，YOMM枕等边三角形,：.Z7VO=ZON+ZAlOB=600
30、+30。=90，VOM,=OM=4fONt=ON=IO,SNOQ+SQp+SmopSnoq+SQoP+Sm.op=SMON=1.OM1.OM2=4102=20.故答案为：20.【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，涉及轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识点,属于填空题中的压轴题，通过轴对称变换找到MP+PQ+QN取最小值时P,。的位置是解题的关键.题型六、中位线最值1.如图，在平行四边形48C。中，ZC=120o,Ao=4,AB=2,点、G分别是边。、BC上的动点.连接A、G,点七为AH的中点，点F为G”的中点，连接瓦则瓦的最小值为（）BGC,HA.1B.3-lC.2-3D.当【答案】D
31、【分析】如图，取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作ANJ.BC于M首先证明NAC=90。，求出4C,AN,利用三角形中位线定理，可知所=；AG,求出AG的最小值即可解决问题.【详解】解：如图，取40的中点M,连接CM、AG.AC,作4V_1.3C于N.四边形ABCo是平行四边形，ZBCD=120,工/0=180。一NBcD=60。，AB=CD=2,*：AM=DM=DC=2tVCZW是等边三角形，DMC=ZMCD=o,CM=DM=AM,ZMAC=ZG4=30,/.NACD=90。，AC=yAD2-CD1=23在RtZXACN中，ZAGV=ZDAC=30,：.AyV=-AC=3,2：AE=EH
32、,GF=FH,：.EF=-AG,2Y垂线段最短，当点G在点N时，AG的最小，即AG的最小值为AN的长，此时片也最小,AG最小值为5,痔的最小值为乎.故选：D.【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明AC0=9Oo,属于中考选择题中的压轴题.2.如图，抛物线y=g-l与X轴交于A,8两点，。是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,则线段OE最小值是()A.2B.逑C.2D.322【答案】A【分析】本题考查了抛物线与X轴交点坐标的计算
33、，三角形三边不等式，三角形中位线定理，先计算交点坐标，再确定点8、。、C共线时，OE就最小，计算即可.【详解】解：抛物线y=d-l与X轴交于A,8两点，x2-l=O,解得x=3,A-3,(-3,0),8(3,0),；.OB=3,D是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点,0C=4,根据勾股定理，得BC=yOB2+OC2=5YE是线段AO的中点，。是AB中点,，。是三角形AB/)的中位线,.oe=1.bd,2当BD最小时，OE取得最小值，即点8、。、C共线时，8。最小，此时OE就最小.如图，连接BC交圆于点。,，OE=Z.所以线段OE的最小值为2.故选：A.3.如图，一次函数y=2x与反比
34、例函数y=*0)的图象交于A,点P在以。(-2,0)为圆心，1为半径的3OC上，Q是AP的中点，已知。长的最大值为彳，则k的值为.3【分析】连接5尸，根据中位线定理可得8尸长的最大值为2x1=3,当成过圆心C时，BP最长，过8作轴于。，设8(/,2/),则CD=-(-2)=r+2,BD=-Z,根据勾股定理可得BC?=CfP+瓦立列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解.【详解】解：连接B尸，由对称性得：OA=OB,而。是的中点，：.OQ=3BP33T3的长的最大值为7，则8尸长的最大值为2x7=3,22如图所示：当BP过圆心。时，BP最长，过8作BO_1.x轴与CP=I,:.BC=
35、3-1=2,B在直线y=2x上，设3,2，)，则8=f-(-2)=f+2,BD=-Z,在Rl88中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2.22=(r+2)2+(-2r)2,整理得：5/+4/=0,4解得：Z1=O(舍去)，或，2二-bB在反比例函数y=勺攵0)的图像上，,4(8325I5；25故答案为：【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大.4.如图，在边长为2的正方形ABCZ）中，E,尸分别是边45,BC上的动点（可与端点重合），M,N分别是EO,E尸的中
36、点，则MN的最大值为.【答案】2【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时MN有最大值是解题关键.连接DF,则MN是1）EF的中位线，MN=g。/，当。尸最大时，MN有最大值，求出即可.【详解】解：连接。尸，如图：M，N分别是EO,E产的中点，二MN是ADE尸的中位线，MN=；DF,当。尸最大时，MN有最大值，JE,尸分别是边A8,BC上的动点，二当尸与B重合时，OF最大为BO的长,正方形边长为2,.BD=DF=22+22=22，.MN的最大值为应，故答案为：y2.题型七、两点最值1 .正方形A3CZ),BEFG如图放置，AB=6,AG,C石相交于点P,。为AD边上一
37、点，且OQ:AQ=I:2,则。的最大值为()A.323B.32+iC.7D.53【答案】B【分析】如图，连接AC,取AC的中点0,连接。，延长AO至E,使小=2,连接CE,OP,利用等腰直角三角形性质可得AC=4O=6,由。Q:AQ=I:2,可得OQ=2,A=4,利用勾股定理可得CE=210,再由三角形中位线定理可得OQ=M,再证得AABG绦CBE(SAS),进而得出OP是ZXACE的中线，即OP=3五，由PQOP+OQ=3j+f6,即可求得答案.【详解】解：如图，连接AC,取AC的中点0,连接。，延长Ao至E,使。E=2,连接CE,OP,Y四边形ABC。、5G是正方形，B=6,AD=CD=A
38、B=BC=G,BG=BEtZADC=ZABC=CBE=q,：.AC=2AD=62DQ.Q=2,12DQ=-AD=2tAQ=-AD=4f：.QE=DQ+DE=2+2=4,AQ=QE.即。是AE的中点，又点。是AC的中点，/.OQ=CEf ZCDE=90,:CE=yCD2+DE2=62+22=2K)/.OQ=；CE=M,AB=BC在二ABG和ACBE中，/ABC=NCBE=90,BG=BEABGCBE(SAS)t ABAG=ZBCe, ：NBCE+NCEB=90。,：.N3AG+NCEB=90。，；ZAPC=/BAG+NCEB=90, 点。是AC的中点， OP=-AC=32,2在AOPQ中，PQO
39、P+OQ=3fI+M,，PQ的最大值为30+屈，故选：B.【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键.2 .如图,在四边形ABC。中，ABCD,ABJ_5C,AB=4,BC=6,E是直线AO上的任意一点,且矩形4EFG的一边始终经过点C,连接AG,则AG的最大值为()A.213B.C.8D.y【答案】C【分析】本题主要考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理等知识点，确定点G的运动轨迹为以BC为直径的半圆是解题的关键.根据矩形的性质结合圆周角定理得到点G的运动轨迹为以BC为直径的半
40、圆，如图：取BC的中点。，点。即为圆心，连接Ao并延长交BGC于点G,此时AG最大，AG=AO-OG.然后根据勾股定理及线段的和差即可解答.【详解】四边形BEFG为矩形，且其中一边始终经过点C,/.ZBGC=90,点G的运动轨迹为以BC为直径的半圆，即BGC（点8除外）.如图：取BC的中点。，点。即为圆心，连接A。并延长交BGe于点G,此时AG最大，AG=AO+OG.OB=OG=-BC=3,AB=ABA.BC,2.AO=AB2+OB2=5AG=5+3=8.故选：C.3 .如图，在正方形ABC。中，AB=4,点石和厂分别为A。、A8上的动点，且花=8/，以E尸为底边在石侧构造等腰二EFG且满足型
41、=或，连接8,则CG的最小值为EF2【答案】2【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点G作GH上EF于H,过点H作PQA8与过点G作GQ_1.PQGQ_1.P。的垂线相交于点Q,根据中位线定理设PE=X,则M=8F=2x,根据二=在推出黑=1.再证明-EPsaGHQ得出”Q=2x,GQ=4-2x,EF2HG2过点G作GT_1.3C于丁，利用勾股定理表示出CQ的长即可得出结果，正确作出辅助线构造相似三角形，根据勾股定理得出CG的长是解题的关键.【详解】解：如图，过点G作GH_1.M于，过点作R2A8与过点G作GQ_1.PQ的垂线相交于点Q,则NG
42、HE=4GHF=/HQG=/HPE=90,VEG=FG,GH1.EFf：.为E尸的中点，：.EH=FH,而PQ肛.PEEH、=1,APHF：AE=2PE,AF=2PH,设PE=x,则AE=B/=2%,.AF=4-2xf：.PH=2-X,.EG5=9EF2,FG5.=9EF2=5,FH.FH1=一,HG2EH1.=9HG2ZPHE+NPEH=NPHE+NGHQ=90,：.ZPEH=NGHQ,又,/HPE=NHQG,HEPs_GHQ,HQ=2xfGQ=4-2x,过点G作GT_1.BC于丁，则Br=X+4-2x=4-x,.*.CT=X,GT=4(2x+2x)=2-xf：,CG=yx2+(2-x=2(x-1)2+2,当X=I时，CG有最小值为忘，故答案为：y/2-4.线段48=41.M为的中点，动点尸到点M的距离是1,连接PB,线段M绕点尸逆时针旋转90。得到线段PC,连接ACf则线段AC长度的最小值是.【答案】2瓜-近【分析】全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、平面直角坐标系的建立都是本题的考点，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键.以点M为原点建立平面直角坐标系，过点C作轴，垂
