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1、专题10含参函数的极值、最值讨论考点一含参函数的极值【例题选讲】例1设。0,函数4r)=x2-(+l)x+4(l+lnx).(1)若曲线)，=Kt)在(2,2)处的切线与直线y=-+l垂直，求切线方程.(2)求函数Kr)的极值.解析(1)由已知，得了(x)=X-(+l)+“xO),又由题意可知)，=%)在(2,A2)处切线的斜率为1,所以/(2)=1,即2-(+l)+=l,解得=0,此时区2)=22=0,故所求的切线方程为y=-2,a2-(l)xa(-l)(-)(21fW=-(+l)+-=-_Br0).当OVaVI时，若(0,。)，则/(x)0,函数外)单调递增；若x(mI),则/(x)V0,
2、函数外)单调递减；若x(l,+),则/(x)0,函数人处单调递增.此时x=是人处的极大值点，x=l是人外的极小值点，函数火x)的极大值是4a)=%+Hn,极小值是川)=一今(-I)2当。=1时，/(X)=七1.K)，所以函数兀0在定义域(0，+8)内单调递增，此时7U)没有极值点，故无极值.当时，若XW(0,1),则/()0,函数Ar)单调递增；若XW(1,。)，则/(x)V0,函数1为单调递减；若W(m+),则/(x)0,函数Kr)单调递增.此时X=I是r)的极大值点，x=a是Kr)的极小值点，函数Kt)的极大值是川)=一去极小值是加)=52+ana.综上，当OVaVI时，兀0的极大值是一%
3、+Hnq,极小值是-劣当a=1时，火外没有极值；当al时“X)的极大值是一*极小值是一52+Hna.例2已知函数式X)=InX一以(aR).(1)当时，求/(%)的极值；(2)讨论函数人只在定义域内极值点的个数.11112X解析(1)当a=时，r)=ln-中，函数的定义域为(0,+8)且/(彳)=；-2=”7，令/(x)=0,得x=2,于是当X变化时，%),加)的变化情况如下表.X(0,2)2(2,+oo)f0一In2-1故外)在定义域上的极大值为y(x)et大o=y(2)=ln21无极小值.I1一(2)由(1)知，函数的定义域为(O,+),f(x)=a=当a0在(0,+8)上恒成立，则函数在
4、(0,+8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x(,J,则/(x)0,若XWG，+oc),则/()O时，函数y=(x)有一个极大值点，且为x=.3I例3设於)=Xinx-2ax2+(31)x.若g(x)=(x)在1,2上单调，求的取值范围；(2)己知人r)在x=l处取得极小值，求。的取值范围.解析(1)由/(幻=12一30+3m即g(x)=ln-30r+30,x(0,+),g(x)=：3,g(x)在1,2上单调递增，.-30对Wl,2恒成立，即吟对xl,2R亘成立，得好!；g(x)在1,2上单调递减，一300对xl,2恒成立，即。弓:对我七口，2讨亘成立，得“,由可得的取值范
5、围为(一8,u,+。(2)由(1)知，当0时，/(x)在(0,+oo)上单调递增，.e(0,1)时，/(x)0,4幻单调递增，力外在X=I处取得极小值，符合题意；当01,又/在(0,上单调递增，.W(0,1)时，/(x)0,(x)在(O,I)上单调递减，在(I,5上单调递增，7U)在X=I处取得极小值，符合题意；当=g时，=1,/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，x(0,+oo)时，/(x)0,KX)单调递减，不合题意；当白g时，0O,火x)单调递增，当(l,+8)时，/(x)0,函数g(x)单调递增；当00,X(0,幻时，g(x)0,函数g(x)单调递增，XW七，+，)
6、时，(x)0时，g(x)的单调增区间为(0,/)，单调减区间碣,+8).(2)由(D知，/(l)=0当0时，/(X)单调递增，所以当X(0,1)时，/(x)V0,人用单调递臧；当X(l,+8)时，/(x)0,“X)单调递增.所以Rr)在X=I处取得极小值，不合题意.当OVaVT时，方1,由(1)知/(在(0,灯内单调递增，可得当XW(0,1)时，/。)V0，当XW(1，幻时，/(幻0.所以儿1)在(0,1)内单调递减，在(1,期内单调递增，所以Kr)在x=l处取得极小值，不合题意.当=T时，方=1,/(x)在(0,I)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，所以当x(0,+8)时，/(x)0,/
7、U)单调递减，不合题意.当时，0*,段)单调递增，当(1,+8)时，/(x)0.(1)求函数Ar)在区间(0,+8)上的零点个数；(2)函数尸(幻的导数尸=。)加：)，是否存在无数个(l,4),使得Ina为函数Fa)的极大值点？请说明理由.解析(ia)=(x岸当Oaq时，)vo,於)单调递减；当以时，)o,y单调递增，所以当Xe(0,+8)时，)min=7(g，因为t)勺9)=一表0,4+()=10，所以存在we1+5使AXo)=0,且当OOyo时，A)vo,当QM)时，/)乂).故函数r)在(0,+)上有1个零点，即即.(2)方法一当Gl时，InG0.因为当x(0,Ina)时，exa0.由(
8、1)知，当X(0,沏)时，於)0;当Xea0,+8)时，贝普乂).下面证：当w(l,e)时，Inaa0,即证y(ln4)0,所以gx)在(1,e)上单调递增，由g(l)=-g0,所以存在唯一零点7oW(l,e),使得/(o)=O,且x(l,的)时,g(x)0tg(x)单调递增.161e*所以当Xe(1,e)时，g(x)maxg(l),g(e).由g(l)=%0,(e)=60,得当(1,e)时，g(x)0.故y(ln0)0,OVlnaa0.当OaVlna时，ex-a0tx)0,尸(X)单调递增；当InaaaO时，d一。0,4x)0,F,(x)=(ex-a)0,尸(X)单调递减.所以存在a(l,e
9、)(l,4),使得Ina为尸(x)的极大值点.方法二因为当XW(0,Ina)时，ex-a0.由(1)知，当X(0,xo)时，7(x)0;当X(xo,+8)时，兀0乂).所以存在无数个。(1,4),使得Ina为函数F(X)的极大值点，即存在无数个。(1,4),使得Ina%o成立，由(1),问题等价于存在无数个(l,4),使得41n)0成立，因为y11n)=(ln-1-5+I=Hna一4一点+1,记g(x)=xln-x放+1,x(l,4),(x)=ln%-,(1,4),设x)=gO,所以增递调上7俘在3n2=I,g为因所以存在唯一零点fo(,2),使得gpo)=O,且当x(,fo)时，g(x)0,
10、g(x)单调递增;-31F所以当XW2,2时，g(x)min=go)=folno-布一之+1,由g（三）=0,可得Info=呈代入式可得g(x)min=go)=-o+l,当meg2)时，g()=-t+=(62)-*-*0,所以必存在(,2),使得g(x)0,即对任意(,2),in)0,g(x)O,Jg(X)在(0,+8)上是增函数，函数g(x)无极值点.cQr2+(l)x+1GT)(X+1)zs1当白0时，g(x)=,令g(x)=O得X=-.当x(,)时，g(x)O;当X七，+时，g(x)0时，函数g(x)有极大值专一In,无极小值.2.设函数/(x)=2-(4+l)x+40+3ex.若曲线y
11、=U)在点(1,川)处的切线与X轴平行，求。；(2)若人幻在x=2处取得极小值，求。的取值范围.2 .解析(1)因为/(x)=4x2-(4+l)x+4+3e*,所以/(幻=G?一(2+l)+2e/(I)=(Ia)e.由题设知/(l)=0,即(1)e=O,解得=l.此时y(l)=3e0.所以a的值为1.(2)f(x)=r2-(2+l)x+2eA=(Orl)(x2)et若则当XW弓，2)时，/(X)0.所以Kr)在x=2处取得极小值.若W，则当x(0,2)时，l20,67-lj-l0,得x2；令/(x)0,得x0或0xO,得Ql或x0；由gx)0,得40,当40时，-y-00,g(-ya)2(ya
12、)i-3(-a)a=2a(ya1)0,故。0时，g(x)在(一8,0)上有唯一零点；令g(l)=-1一1,故一l0时，g(x)在(0,1)上有唯一零点；又一1QVo时，g(2)=4X),所以g(x)在(1,+8)上有唯一零点.综上可知，实数。的取值范围是(一1,0).4 .已知函数25时，f(x)=a-2-=-.,-内a-ya2-3*2-81.、由/(x)=0得Xl=4M=4且Mx0由/(x)0得XlVXVX2,由/(x)x2t.函数八r)的单调递增区间为H=哗三，乎三丹，单调递臧区间为(o,纥哗三)，H邛三，+J.综上所述，当2i时，函数AX)的单调递减区间为(O,+oo),无单调递增区间；
13、当a25时，函数段)的单调递减区间为(0,纥*可，g乎三，+J,单调递增区间为(竺乎三，孚可.由(1)知，当y存在极值时，22.即方程2-r+l=0有两个不相等的正根XI,x2,X1+%2=O,XX2=l0.,.J(x)+J(x2)=a(x+42)(才+忌)一(Inxln也)=4(X+m)8+x2)221也11)8及)=菱一+1Ing=+l-In2.“21依题意彳+li5+52,即/16,.04或aV4.又2”4,即实数4的取值范围是(4,+).5.(2018全国11I)己知函数AX)=(2+x+r2)ln(l+x)Zr.(1)若=0,证明：当一lxO时，段)0时，&)0.(2)若X=O是儿0
14、的极大值点，求a.Y5.解析(1)证明：当=O时，(x)=(2+x)ln(l+x)-2x,/(x)=ln(l+x)一市:.V设函数g(x)=(x)=ln(1+X)-RP则(x)=4w当一IVXVO时，g(x)V0;当x0时，g(x)O.故当工一1时，g(x)(O)=O,且仅当X=O时，g(x)=O,从而/(x)0,且仅当X=O时，/(x)=0.所以大X)在(-1,+oo)单调递增.又(0)=0,故当一IVXVo时，儿00时，Ar)O.(2)(i)若0,由(1)知，当x0时，7W(2+DIn(l+x)2x0=40),这与X=O是人工)的极大值点矛盾.fi25)若v,设函数拗尸号*=Ed+x)在不
15、/由于当xVmin1,时,2+xr20,故与/(x)符号相同.又Zi(O)=J(O)=O,故x=0是凡r)的极大值点当且仅当x=0是的极大值点.,_1_2(2+彳+加)一级(1+2公)_工232/+4口+64+1)“(X)=T+x-(2+x+r2)2=(x+l)(ar+x2)2,如果6o+l0,则当OVXV一彗，且IXIVminI,时，(x)0,故X=O不是。)的极大值点.如果6+lV0,则2f+40r+6+l=0存在根XIV0,故当X(即，0),且IXIVmin1,时，(X)O;当x(0,1)时，厅(x)V0.所以X=O是(K)的极大值点，从而=0是“V)的极大值点.综上，=-考点二含弁函数
16、的最值【例题选讲】I例1已知函数y(x)=ln-0v(ER).(1)求函数兀0的单调区间；(2)当00时，求函数7U)在1,2上的最小值.解析(1(幻=：一。(工0),当W0时，/(K)=:一。0,即函数代6的单调递增区间为(O,+oo).当。0时，令/)=-=0,可得x=5，当OVXV5时，Fa)=三”0；当A：时，/=三竺0时，函数段)的单调递增区间为(0,5),单调递减区间为弓，+8).(2)当011,即时，函数Ar)在区间1,2上是臧函数，所以Rr)的最小值是12)=ln2-2.当时2,即0。4时，函数人到在区间1,2上是增函数，所以亢0的最小值是AI)=-a.当VV2,叫VaVI时,
17、函数於)在1,上是增函数,在.21上是减函数.又l2)-U)=ln2-a,所以当aVaVln2时，最小值是41)=一。；当In2a0时，求函数Ar)的单调递增区间；(2)当。0,XX),所以2ar+l0,令/(外乂)，得Ql,所以凡外的单调递增区间为(1,+oo).(2)当。Vo时，令/(x)=0,得Xl=-工，x2=l,当一方1,即一:av时，兀0在(0,1上是减函数，所以/W在E，1上的最小值为11)=l-当今1,即一ltz-T时，於)在一方上是减函数，在一/，1上是增函数，所以兀目在士，1上的最小值为彳一,=1一七+皿-24).当一去即a1时，TW在修上是增函数，所以加)在3，1上的最小
18、值为4)=g%+ln2.r3/一W+ln2,a1,综上，函数段)在区间修，1上的最小值为外)min=I-+in(-2),l-1-4,-T0,求函数/(x)在区间rn，2m上的最大值.1lnx(,(x)0,解析(1)因为函数的定义域为(0,+),且/(X)=-71.,由八得05l%0,z(x)e.所以函数/(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+),x0,且f(x)梗大值=f(e)=-l,无极小值.2e,ein即00tNN?当me2n,即时，函数/(x)在区间(?，e)上单调递增，在(e,2。上单调递减，所以/(X)rnax=(e)=1=-1J当tf1Q时，函数f(X)在区间加，
19、2词上单调递减，所以/(x)rna=/(M=等1.综上所述，当0C时，/(x)max=乎一1.例4已知函数/)=：+,ga)=%2：一雪(加，R),且曲线y=yw在点(1,川)处的切线方程为y=x-I.(1)求实数W的值及函数人幻的最大值;ln%)(2)当(-e,3时，记函数g(x)的最小值为b,求6的取值范围.解析(1)函数人外的定义域为(O,+oo),f(x)=tn=I,w=0./(I)=M=I,因为外)的图象在点(1,川)处的切线方程为y=-l,所以1.nn1l./U)=f+=0,所以大幻=丁，/(X)=2令/(x)=0,得x=e,当0x0,式幻单调递增；当xe时，/(x)0,大外单调递
20、臧.所以当x=e时，Ar)取得最大值，最大值为/(e)=(2)因为g()=x2)2=Hnx一号一彳，所以(K)=Inx0r=(乎一)当w(,0时，+8时，g(X)00,g(x)无最小值.当=0时，g(x)=lnx,由Ua)X)得Ql,由/(x)0得Oxl,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，g()的最小值力=g(l)=-l.当(-e,0)时，由(1)知方程皆一。=O有唯一实根，又C)=-e,y(l)=O,段)在1)上单调递增，所以存在Q,1),使得g)=0,即Inz=当XW(0,。时，*(x)0,所以g(x)在(O,Q上单调递减，在“，+8)上单调递增，g(x)的最小
21、值b=g(f)=Anf一n2f=竽一f,令人=竽-f,wQ,1则)=股0;当X(0,9时，/()O;当XWg0)时，/(x)V0.故在(一00,0,(0,+8)单调递增,在像0)单调递减.(2)满足题设条件的,力存在.当o时，由(1)知，yw在0,1单调递增，所以y在区间0,1的最小值为负0)=6,最大值为八1)=2arb.此时,力满足题设条件当且仅当6=-1*2a-b=1即=0,b=1.当3时，由(1)知，Rr)在0,1单调递减，所以x)在区间0,1的最大值为10)=6,最小值为八1)=2+b.此时,力满足题设条件当且仅当20+b=-1,b=l,即=4,b=.当0V3时，由(1)知，兀在0,
22、1的最小值为=一若+。，最大值为匕或2。十4若一冬+8=1,b=l,则o=3击，与OVaV3矛盾.a3若一行+8=1,2a+b=l,则=3小或=3小或=0,与OVaV3矛盾.综上，当且仅当。=0,6=-1或=4,=1时，段)在0,1的最小值为一1,最大值为1.【对点训练】1 .已知函数g(x)=lnx+x2(+2)x(R).(1)若=1.求g(x)在区间1,e上的最大值；(2)求g(x)在区间1,e上的最小值人3).I(2X1)()1.解析(1).Z=1,；g(x)=lnx+f3x,r(x)=-2-3=V1,e,g(x)O,g(x)在U,e上单调递增，(x)max=g(e)=e2-3e+1.,
23、.m,jlu,a,2x2-(+2)x+(2-6)(x-1)(2)g(x)的定义域为(O,+),(x)=+2-(+2)=当叁1,即a2时，g(x)在口，e上单调递增，Qa)=g(l)=一。一1；当lfe,即2q2e时，g(x)在1,?上单调递减，在g,e上单调递增，=gg)=Hn-ja2-a;当如,即白2e时，g(x)在1,e上单调递减,（八）=(e)=(le)+e2-2e.a,a2t综上，h（八）=。呜，一a,2a2e,2e.2 .已知函数x)=(-)e(eR).(1)当=2时，求函数Kr)的图象在X=O处的切线方程；(2)求函数Al)在区间1,2上的最小值.3 .解析/(x)=(x+1-)e
24、(1)当=2时,/(x)=(-l)e,-0)=-2,/(O)=-I,；所求切线方程为y+2=-%,即x+y+2=0.(2)令/(x)=0得X=。一1.若Tl,则把2.当xl,2时，/(x)0,则危)在口,2上单调递增.，火联加=JU)=(I。把；若。一12,则心.当xl,2时，/(x)0,则於)在口,2上单调递减.U)min=-2)=(2-a)e2;若1-12,贝J243./(x),火X)随X的变化情况如表：X1(1，-1)a1ST，2)2f()O+於)极小值r)的单调递减区间为(1,-l),单调递增区间为31,2),(x)min=-l)=-e1.综上可知，当a2时，x)mi11=(l-a)e
25、;当色3时，y(x)mi11=(2-)e2;当2a3时，x)mi11=-ert,.4 .已知函数Kr)=Or-InX,F(x)=ex+r,其中Q0,0.(1)若人力和F(X)在区间(O,In3)上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；(2)若(-8,-,且函数g(x)=xevI2r+Ax)的最小值为M,求M的最小值.1 QX13 .解析(1)由题意得x)=。一=1,F(x)=er+a,Q0,V0,即尸(%)在(0,+8)上单调递增，不合题意，当。ln(-),由P(X)0,得Ooyn(一a),；尸(X)的单调递减区间为(0,ln(),单调递增区间为(ln(0),).x)和尸在区间(0,E3)上具
26、有相同的单调性，ln(一以n3,解得方一3,综上，的取值范围是(一8,-3.(2)g,(x)=ex-+rettr-=(vl)fer,-由eaxl-=0,解得a=,X.入)XX,m1InXInx-2、QI.,设Pa)=,则MX)=，当心笺2时，pO,当(KrVe2时，p%r)O,从而P(X)在(O,e?)上单调递减，在d，+8)上单调递增，P(X)min=Me?)=已，当沼时，O,g(x)O,g(x)单调递减，当工(一!，+)时，0v+lO,g(x)O,g(x)单调递增，.g(x)min=g(-5)=M,设f=-g(O,e2,M=h(t)=-n/+l(Oe2),则)=一为0,人在(0,上单调递减
27、,(r)(e2)=0,即怩O,M的最小值为0.4 .已知函数应r)=r+lnx,其中为常数.(1)当。=一1时，求人幻的最大值；(2)若_/(用在区间(0,e上的最大值为一3,求。的值.4.解析(1)易知7U)的定义域为(0,+),当。=一1时，Ar)=-+lnx,/(%)=1+：=与W令/(x)=0,得x=l.当0xO;当Ql时，/()0. x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.()InaX=/(I)=-1.当。=-1时，函数Kr)在(0,+8)上的最大值为-1.(2(X)=+：,x(0,e,*仁，+)人1.GZ若色T，则/(X)O,从而兀0在(0,e上单调递增，ma=Ae)
28、=e+lO,不符合题意.若a0得+0,结合X若(0,e,解得0x一；令人4)0得。+：0,结合XW(0,e,解得一卜Ee.从而危)在(0,T)上单调递增，在(一,J上单调递减， /(x)max=/(-)=l+ln(-).令-l+ln(一)=-3,得ln(一)=-2,即a=一?. -e20时，若/(x)在区间1,e上的最小值为一2,求。的取值范围.I2*3x+15.解析(1)当。=1时，/(x)=2-3x+lnx(x0),所以r(x)=2-3+q=,所以八1)=-2,(l)=0.所以切线方程为y+2=0.(2)函数/(x)=ar2-(6t2)xlnx的定义域为(0,),C1.120x2-(2)1
29、(Zr-l)(a-1)当白0时，()=2o-(+2)+i=-3令f(x)=O,解得X=T或x=!当0卜1,即l时，/(X)在1,e上单调递增.所以/(x)在口，e上的最小值为/(1)=-2,符合题意；当l(e,即*“O+豺213令/(x)=0,得Xl=菱，X2=2兀0与)随X的变化情况如下:X(-8,)12（三）(|,+8)/()+O一O+负力4ei4所以小)的单调递增区间是(一8,(|,+),单调递减区间是&I).当;VXl时，ytr)在仍，,)上单调递减，在G，+8)上单调递增.所以兀r)在力，+8)上的最小值为O=乎;当b时，氏0在仇+oo)上单调递增，e3e所以Kt)在力，+8)上的最
30、小值为Hb)=+(洒2=3+4庐.例2己知函数/(x)=Hna+/?)一5.(1)若=l,8=0,求大用的最大值；当/0时，讨论Ar)极值点的个数.解析(I)当。=1,/?=0时，y(x)=ln-也，此时，人工)的定义域是(0,+),12Jx/(x)=j-2,由/(x)0,解得04V4,由/(x)4,故外)在(0,4)上单调递增，在(4,+)上单调递减，故人r)max=4)=21n2-2.(2)当匕乂)时，函数的定义域是0,+，Jw=M-亲一安*”，当HO时，/()0时，设(x)=-+2crj-bt(i)当4az-4b0即OVaW或时，f(x)0即公证时，记方程z(x)=O的两根分别为箝，及，
31、由于G+41=20,yxyx2=bOf故x,心都大于0,即/(x)在(0,+)上有2个变号零点，故此时40的极值点的个数是2.综上，g2时，y极值点的个数是0；公电时，力力极值点的个数是2.例3设函数外)=+屋”31).求证：危)有极值；(2)若K=Xo时KV)取得极值，且对任意正整数。都有XO(?，)，其中川，Z,求一团的最小值.解析(1)由题意得/(X)=Inae,令人。)=/。)=炉In。一广。则Zfa)=tf(ln)2+er0,所以函数(x),即/()在R上单调递增.由/W=O,得arevlna=,因为1,所以OVeX=AZ0,得工=心8所士?当xlg所，G时，W0;当XVIogae亡时，W0.所以函数人幻在(一00,IOgae七)上单调递减，在Gogaqt，+8)上单调递增，因此，当X=IOge6时函数y(x)取极值.(2)由(1)知，函数Kr)的极值点沏(即函数/(X)的零点)唯一.由/(D=乎-e,令g()=乎,则gU)=，由ge时，g,（八）O.所以g（八）在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减
