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1、专题29单变量恒成立之参变分离后导函数零点不可求型【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是式公，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若儿/)沟在X上恒成立，则y()%(l)ma;若/马。)在XW。上恒成立，则()min特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数小另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若沟(X)在XWo上恒成立，则。幺(成皿；若。与在XD上恒成立，则0(x)min利用分离参数法来确定不等式y(%,)0(xZ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为力(。)。)或方3)9(x)的形式.(2)求力在x三D时的最大值或最小
2、值.(3)解不等式/()(X)max或力()(x)min,得到。的取值范围.【例题选讲】例1已知函数7(x)=orex-lnx+b在x=l处的切线方程为y=(2el)xe.(1)求m的值；(2)若凡0wr恒成立，求实数m的取值范围.解析(I)f(x)=aQx+OreX；函数儿r)=reA-InX+b在x=l处的切线方程为y=(2e-l)-e,川)=e+力=e1,J*.a=1,b=-.r(l)=2e-l=2e-l,jve-111X1(2)由fiix)ftc得，XeX-In-lnr(xO),即mO,故MX)在Q,I)上存在零点的，即/7(xo)=%+lnxo=0,即Xoe%=-*2=G)J%,由于
3、y=xex在(O,+oo)上单调递增，故Ko=In(=Inxo,即的=，且贝r)在(0,M)上单调递减，在(须，+8)上单调递增，1+&13(X)min=。(彳0)=1区10例2已知函数兀T)=XInx+v(WR).(1)若函数7U)在区间U,+oo)上为增函数，求。的取值范围；(2)若对任意XW(1,+8),/()4-l)+or-4恒成立，求正整数k的值.解析：(1)由於)=xlnx+or,得Fa)=Inx+l,;函数4I)在区间储，+8)上为增函数，当We+8)时，/(%)0,即InX+l0在区间e?,+8)上恒成立，.d-1-Inx.又当We+)时，Inx2,),1In(-co,-3.t
4、z-3.(2)若对任意Xe(1,),Kt)网xl)+or-%恒成立，即XInX+rR(-l)+-x恒成立,也就是Zal)0.rln-Y则问题转化为AV-对任意x(l,+oo)恒成立.XInx+xXInx-2设函数力(X)=一1，则(x)=/_7，再设z(x)=-InX-2,则加(X)=IX11J人.(l,oo),f(x)0,则加(X)=XInx2在(1,+8)上为增函数,Vw(I)=I-In1-2=-1,w(2)=2-ln2-2=-ln2,切(3)=3In32=1In30.3xo三(34),使?(的)=XO-InM)2=0,，当x(l,M)时，w(x)0,(x)0,(x)O,人。)=隼F在(沏
5、，+8)上单调递增，/(X)的最小值为7(a)=*管.Jdnx+xVzn(Xo)=Xo-In必一2=0,InXo+1=xo1,代入函数h(x)=(得h(xo)=xo,V%o(3,4),且Az(x)对任意x(l,+oo)恒成立，0都有於)x+1恒成立，求a的最大整数值.解析当=2时，y(x)=2e-xer-2,*Wr=2e-(exex)1=ev-xer1,因此0,恒有/(x)r+1,即a(ex-l)0,所以ev-10,所以O),则只需“Vg(x)rnin，则g(X)=1xet+lev(ev-2)(ev-l)2=(er-l)2,令人(X)=ex2(x0),则(x)=ex-10恒成立.所以z(x)在
6、(0,+s)上单调递增.因为r(l)=e-30.所以存在唯个Xo使得力(Xo)=0,且lxo2.所以当X(0,XO)时,(x)O,g(x)O,g(x)O.所以g(X)在(O,Xo)上单调递减，在(X0,+8)上单调递增，所以g(x)min=g(X)=M)+=.CA01由eto-刖2=0,得廿0=冲+2,所以g(xo)=xo+编工77=演)+16(2，3).故。的最大整数值为2.例4已知函数y(x)=(x+a)lnv-52ar+。-1.(1)若a=l,求函数Ar)的单调区间；(2)若兀r)Hnx%一左在(1,+8)上恒成立，求整数。的最大值.解析(1)若。=1,则HX)=a+l)ln-%X,函数
7、火x)的定义域为(0,),/(x)=ln-x+.111XT_1_G_2)2-4设g(x)=ln%x+,则g(x)=展-1一/=-7-=p0,即Q)0,段)单调递增；当x(l,+8)时，g()0f即/()0,即丫_1在(1,+s)上恒成立.xlnx2v-1rt,-lnx2设贝K)=Trj，工1，则“(X)=(彳_1)21X-1设力(X)=X-In-2(xl),则Y(X)=I-;=-0,所以人。)在(1,+8)上单调递增.又(3)=3-ln3-2=I-In30,(4)=4-ln4-2=22In2X),所以根据函数零点存在定理，可知力。)在(1,+8)上有唯一零点.设该零点为松，则XOe(3,4),
8、且力(M)=M)In沏-2=0,即XO2=InX0.当X(1,沏)时，MX)0,即“(x)0,即d(x)0,故p(x)在(M),+8)上单调递增./_/.,Volno+Zrp-I所以3(X)min3(40)_.沏+1.人01由题意可知aro+l,由XoW(3,4),得4xo+l5,又aQZ,所以整数。的最大值为4.【对点精练】1.已知函数4T)=地中.(1)若函数凡1)的图象在=l处的切线为y=l,求4I)的极值;2(2)若凡恒成立，求实数a的取值范围.1/7InY1/71 .解析Wf(X)=P-,由题意可得/(1)=-P-=O,解得。=1.此时|l)=4=l,所以KV)=/U)=三#,由Fa
9、)乂)可得OGV1,由/(x)1,所以KX)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.所以r)的极大值为/U)=,不存在极小值.(2)由y(x)ev1,可得乎产er+-1,分离参数。可得，a0),令F(x)=x(ex-1)lnx2,0,F(x)=ex-1xe-=er(x+1)-=(xl)fex-*1,x0.XX令7(x)=et-3，x0,则(x)=ex+0,所以力(x)在(0,+8)上单调递增，又碣)=五一2O,所以存在唯一的即0,1),使得ZIaO)=e=0,当(Kx0,即尸(x)X),故Fa)在(0,&)上单调递减，在(的，+8)上单调递增.尸(X)min=X(e1)In沏+2=彳
10、09“一刀0-InXO+2,由MM)=ex7=0,得4OeM=I,再对xe-=1两边取对数可得0lnXO=0,所以尸(x)min=xoexo-InXO+2=1-0+2=3,所以3,即实数0的取值范围为3.2 .已知函数yU)=xe+乎(e为自然对数的底数).(1)求证：函数儿0有唯一零点；(2)若对任意X(0,),xeIrU1+打恒成立，求实数Z的取值范围.2 .解析(l)()=+l)et+ln”,x(0,+),易知当OVXVl时，/(x)0,所以於)在区间(0,1)上为增函数，又因为,Q)=-VO,D=eO,所以T(OzU)V。，即兀V)在区间(0，1)上恰有一个零点，由题可知Kr)0在(1
11、,+8)上恒成立，即在(1,+8)上无零点，所以)在(0,+8)上有唯一零点.(2)设Kr)的零点为XO,即Xoel0+乎=0.原不等式可化为度二坐二4攵，r.111r.1xer+-axeIn-1x令g。)=，贝Jg()=-,由(1)可知g(x)在(O,X0)上单调递减，在(X0,+0)上单调递增，故g(xo)为g(x)的最小值.下面分析必产+y=0,InXo=-Uo,Inxo=lnt,即xo(l-r)=l11t,若fl,等式左负右正不相等；若fVl,等式左正右负不相等，只能f=l.因此g(x)=MqnxT=_q=1,所以-4O人0即实数&的取值范围为(-00,1.3 .已知函数7(x)=5+
12、lnx,g(x)=TjTj(keR)(1)若函数人X)的图象在点(1,人1)处的切线与函数y=g(x)的图象相切，求&的值；(2)若女N*,且x(l,+oo)时，恒有r)g(x),求女的最大值.(参考数据：ln5l.61,ln6l.7918,ln(2l)0.8814)4 .解析：(I)；/(K)=5+lnx,JU)=5,且/(x)=*从而得到/(1)=1.函数段)的图象在点(1,川)处的切线方程为厂5=彳-1,即y=x+4lY设直线y=x+4与g(x)=n(AR)的图象相切于点P(Mhyo),从而可得g(xo)=l,g(xo)=xo+4,又ga)=音T?7j,解得,调=。+4，Xo=2,k=9
13、xo=-2,的值为1或9.k=.(2)由题意知，当X(1,+8)时，5+lnx*恒成立，等价于当x(l,+时，收+1)(；+InX)恒成立.,(x1)(5lnx)r11,X4Inx-设h(x)=(x1),则h,(x)=(x1),记P(K)=-4Inx(xl),X-则CO=1；=丁一0,Mx)在x(l,+oo)上单调递增.又p(5)=IIn50,；在x(l,+8)上存在唯一的实数且m(5,6),使得Mm)=，4In团=0,；当XW(1，时，Pa)V0,即Af(x)O,则人(X)在X(M,+8)上单调递增，+oo)时,MX)min=/?(?)=(m+1)(5+lnz),z._(7z+l)(n1),
14、1,由可得Inm=m-49/?(?)=w2,而w(5,6),.a+A+2菖，鲁)，又z(3+25)7.9,p(322)=22-1-n(3+22)0,m(5,3+22),8).又kN*,的最大值是7.4.设函数/(x)=ex-ar-2.(1)求应)的单调区间；(2)若=l,Z为整数，且当x0时，(x冷f(x)+x+l0,求女的最大值.4.解析(IvU)的定义域为(一8,+),f(x)=e-a.若好0,则/(X)O,所以於)在(-00,+8)上单调递增.若0,则当W(-8,Ina)时，/(x)V0;当(ln,+s)时，/()0,所以7(x)在(一8,Ina)上单调递减，在(In4,+oo)上单调递
15、增.(2)由于a=1,所以(xQf(x)+x+l=(-%)(ex-l)+x+l.x+1故当x0时，(X刈f(x)+x+lO等价于女V晟二+x(xO).令g(x)=3三i*+-则g(x)=(-1)2由知,函数A(X)=方一%一2在(0,+8)上单调递增.而(1)VO,(2)0,所以A(X)在(0,+8)上存在唯一的零点.故g()在(0,+8)上存在唯一的零点.设此零点为a,则Q(1,2).当Xe(0,),g(x)V0;当Xe(以+),(x)0.所以g(x)在(0,+8)上的最小值为g().又由g2时不等式2(-2)+g(x)o),则由题可知直线y=与函数人(X)的图象有两个不同的交点，,(x)=
16、1Jn令(X)=0,得x=e,可知人(工)在(0,e)上单调递增，在(e,+刃)上单调递减，力(x)max=4(e)=：,当XTO时，(x)-00,当X+8时，(x)O,故实数。的取值范围为(0,：).(2)当=2时，fix)=xn-x22-x,k-2)g(x)fl,x),即(-2)2-Zv-x22,所以-V丫_：.设F(K)=-T2),则尸(%)=-m2.人/人/乙)2令n(x)=x4-21nx(x2),贝J(x)=1嚏0,所以Mx)在(2,+s)上单调递增，m(8)=4-21n86-21ne3=6-6=0,所以函数加(X)在(8,10)上有唯一的零点沏，即心一4一21nxo=0,故当2VVo时，w()m时，尸(x)0,(。一4)白;lJEV-7-X0np+0I2)_独的、)F-即所以尸(x)min尸(X0)-X()-2to2-2,所以&V2，因为W(8,10),所以引(4,5),故攵的最大值为4.
