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1、5.4悬架弹性橡胶衬套特性与设计5.4.1探讨意义1探讨的意义随着时代的发展，近年来对汽车的要求是乘坐舒适，高速，操纵稳定，豪华。并且加紧探讨解决有关公害、平安措施和噪音问题。随着这些问题的探讨解决，汽车上用的弹性件的种类逐年增加，现在据说已达几百种之多。虽然防振橡胶的种类因汽车的车系、车型、车种以及因悬挂机构的不同而多少有些差异，但其有代表性的主要种类可归纳为如图5.4.Io发雄机门机展动棒股发动机启机餐动毁烧收文栗初锻“肉检材分决性S热力禽动除向。力畲我弃篇式跋立最婚防JR股口我律JK止动股事南曷动塞粒杆讨MHIt处气电管防集堆以13方折冷HSH一修能限动的止动看HIS-Bl板弹黄加*套1
2、6MtfW*jtE”一*板舞管给下忖套18例或#簧燃19收马上忖套图汽车常用的橡胶衬套用橡胶作防振材料的主要理由如下。1）橡胶的弹性模量与金属相比特别小，隔离振动的性能优越。2）橡胶是不行压缩性的物质，泊松比为0.5。能在应力与变形之间产生时间延迟，具有非线性的性质，适合作防振材料运用。3）防振橡胶本身不会诱发固有振动，出现冲击性的谐振现象。4）具有能自由选择形态的优点，可适当选择三方向的弹簧常数比。5）简洁和金属坚固地粘结在一起，可使防振橡胶本身体积小，重量轻，其支撑方法也很简洁。6）安装后完全不须要给油和保养。7）橡胶弹簧可通过不同的配方和聚合物来选择其阻尼系数。8）能在形态不变的状况下变
3、更其弹簧常数；或者在弹簧常数不变的状况下变更其形态，这也是它的优点。悬架系统承受车体重量，防止车轮上下振动传给车身，抑制簧下的不规则运动，传递动力、制动力和操纵时的侧向力等，从而保证汽车能够正常行使。悬架可分为独立悬架和非独立悬架两个大类，而且每一类型中又有多种具体型式。一般前悬架系统和操纵系统及发动机系统有亲密关系，前悬架系统的布置会干脆影响到乘坐舒适性和操纵稳定性。近年来，在轿车独立悬架系统的设计开发过程中，采纳刚度相对较小的弹簧来提高车辆的乘坐舒适性，就必定导致动行程过大等现象，从而干脆影响到车辆的转向系统。前悬架系统振动与车身晃动、路面冲击、车轮摆振等现象相关，为防止上述各种振动，车辆
4、悬架系统中运用了很多防振橡胶。橡胶衬套最初在车辆悬架系统中的大量运用，得益于其无需润滑，修理保养简洁，可以校正车辆组装时的对准定向，修正各种误差等优点，得到广泛应用。随这人们对车辆性能要求的不断提高，近年来橡胶衬套除了要具备上述功能外，还要求起到抑制振动的作用。例如，振颤现象、路面的冲击和发动机转矩变更造成的后承重板簧系统的角振动谐振，是产生车内噪音的缘由，橡胶衬套对此有影响。随着车辆性能的不断提升，影响车辆操纵稳定性、平顺性能等重要因素越来越多的集中在了车辆的悬架系统中，而在车辆悬架系统性能的分析工作中，都必需设计到悬架橡胶衬套性能，特殊对于高速行驶的车辆，橡胶弹性衬套性能的影响至关重要。为
5、此，在探讨悬架系统的工作中，这是一项很重要工作。2悬架橡胶弹性衬套分类通常的衬套按制造方法和特性可分为以下几类：A)只有橡胶的橡胶衬套；B)只有内筒的衬套；C)有内外筒的衬套。(1)内外简粘结型；(2)内筒粘结、外筒压入型；(3)内外筒都是压入型。合成橡胶衬套是汽车或其它车辆悬架系统中运用的一种结构元件。衬套实质上是一个空心圆柱体，包括内金属杆、外圆柱金属套筒和它们之间的合成橡胶。金属套筒和杆件与车辆的悬架系统的部件相联用来传递从车轮通过合成橡胶材料究竟盘的力。合成橡胶材料被用来削减连接处的振动和冲击。因为它们连接在车辆悬架系统中的不同部件上，套简和杆件承受平行和垂直于它们共同轴线的相对位移和
6、转动。就是这种相对位移使合成橡胶弹性衬套受力并允许通过衬套传递力。在分析包括了衬套的悬架系统时，工程人员越来越多的运用多体系统动力分析的方法和软件，特殊在汽车行业应用特别广泛。福特汽车公司的工程技术人员通过选择正确的衬套模型来对悬架系统的动力学特性进行预料，为了精确预料作用在悬架系统零部件上的动力学载荷，就必需对衬套的性能进行预料。在实际运用过程中，衬套特性是用力一位移关系来表达的。因此，确定正确的力-位移特性关系就成为衬套分析中的重要课题。5.4.2弹性樵胶村套静特性分析的理论及方法1橡胶村套的峥力学特性橡胶衬套一般有三类：衬套长度不变；衬套长度随半径线性变更；切应力和衬套半径无关为常数。D
7、轴向剪切特性对于长度不变的衬套式橡胶弹簧，在轴向力Pr作用下，位于距轴线不同距离的橡胶各点上承受有不同的切应力，而在距轴线等距离的各点上则由于结构和外力对称其切应力相同。在较大变形态况下，半径r处的剪切变形量d可由下式给出：=tg=tgP,(5.4.1)dr2rlG11由此得到总变形量Fr为：在近似计算时，其轴向剪切刚度为：以上是纯剪切状况下推导的公式，假如考虑弯曲变形的影响，其刚度为Pr=G-+I(5.4.3)式中:2乃Jr2n,=Ink16小伏2一1)(5.4.4)2-3(-1)2-4%2(111.2假如式(5.4.3)的括号中没有其次项，则式(5.4.3)便和式(5.4.2)相同，所以这
8、一项是反映了弯曲变形的影响。对于长度随半径线性变更的衬套式橡胶弹簧，轴向剪切变形尸,为：在近似计算时轴向剪切刚度Pr为：2G(lir2-2r,1)(5.4.5)(Gf)In产对于切应力和半径无关的衬套式橡胶弹簧，其轴向剪切刚度为:P_2l2r2Gcrr-r2-rx(5.4.6)2)同轴扭转特性图是衬套式橡胶弹簧同轴扭转时的变形图。长度随半径线性变更的衬套式橡胶弹簧的同轴扭转刚度7为:4G(1-2)1r2-r(5.4.7)切应力和半径无关的衬套式橡胶弹簧，其同轴扭转刚度7为:,，21,SGTrT=Inr(5.4.8)3)径向变形和弯曲变形特征衬套式橡胶弹簧在径向变形(图a)或者弯曲变形(图b)时
9、，橡胶的应力状态是特别困难的，并且具有剪切、压缩和拉伸应力综合的特征。所以，有关特性的计算也比较困难，这里只列出刚度的近似计算公式。径向刚度E为：_/(纥+G)4(5.4.9)本文中将对橡胶弹性衬套的轴向刚度进行基于弹性理论基础上的理论探讨。为了探讨便利，将探讨弹性衬套简化为如图5.4.2所示的弹性衬套。其内外与刚性的金属套简粘结，半径分别为。和b,长度为图中只绘出了橡胶部分。假定所探讨衬套的橡胶是均质、各向同性和不行压缩的，那么就有足够小的位移梯度，因此，可以运用经典弹性理论进行分析工作。图5.4.2（八）衬套通过Z为常数的横断面(b)过x=0的轴向横断面在衬套橡胶内建立参考坐标系，原点。位
10、于衬套轴线中心，Z轴与衬套轴线重合。相对于原点。的随意一点P在直角坐标系的坐标(x,y,Z)和其在圆柱坐标系中坐标(r,6,z)的相互关系为：X=rcosy=rsinZ=Z(5.4.10)假定衬套内套筒固定,外侧套筒受到Z轴方向力尸的作用。因而引起衬套外套筒在厂方向上偏移距离d,如图所示。这里的工作就是要找出轴向作用力厂和衬套轴向方向上偏移距离d表示的刚度b的数值。这里应用的是经典弹性力学的学问进行分析的。在弹性力学中，探讨问题的方法最终都可以归结为对三个平衡方程、六个几何方程和六个物理方程以及剪应力互等约束的十五个方程和若干边界条件的联立求解问题。由于所探讨衬套为圆柱形物体，故本文中运用的是
11、圆柱坐标系统下的方程组。依据探讨问题的特殊性，衬套在所运用到的方程为分别为：平衡方程：7.y4后三夕ZO1图轴向变形的衬套过x=0的轴向横断面几何方程：uu1vrrdr00rr+辿=0(5.4.11)MrGI二kJ图5.4.4衬套的扭转变形F=苍1(、.r=S-=1n2rz)(vA而+I(vV1urr6施和建分别为径向、切向和轴向正应变重量。物理方程(本构方程)：rr=-v(+rJE(5.4.12)rr和Cr=分别为径向、切向和轴向正应力重量。这里是E杨氏模量，是剪切模量，是泊松比。这三个常数之间的关系为:E=2(1+7)从而得到：=矽+2(2j,.+忆J,zz=+2rr+2zz)对于小应变，
12、依据不行压缩假定，有：+%+=(5.4.13)(5.4.14)(5.4.15)(5.4.16)P点位移的径向、切向和轴向重量分别、U和卬用表示。u=t(r)sinv=0w=W(r,z)(5.4.17)方程U仅取决于，而W则取决于r和z。依据如上方程，非零应变重量如下:rrwdWdz4.18)，性+吗也2rz)2dr依据(5.4.16)式，得到:故有:SISine(5.4.19)也+国Vdrr)Sine(5.4.20)G=00+2(rr+2zJ)(5.4.21)依据物理方程(5.4.13),得:CdWzr=rz=-drz0=OoZ=2z0=0/9=2%=cojrrr=+2(2jr+%)=平衡方程
13、(5.4.11)化为:由方程(5.4.21)得:Sine(5.4.22)(dU4Urr=A-kdrr4.23)zzsin。(5.4.24)这些公式完成了作用在橡胶内随意点P的非零应力重量的描述。现在考虑一个一,和原组成的微小面积，作用在该面积上体现在F方向上应力为b=cos。+crzrsin,因此得到：b2r(5.4.25)(5.4.26)F=(z.cos+zrsinrdclra0_F_-1.11将方程(5.4.21)代入(5.4.25),经整理得到微分方程:(r-a)t(l-lndr求解此方程，得到其般解为：(5.4.27)I-In-由边界条件U(4)=O确定积分常数，得到：FC=1.11-
14、1(5.4.28)整理后得到:In-1U=-(5.4.29)I-In-4回想方程(5.4.20),得到：.-1.(3(22Yr(r.9FifW=In1+In+lnl+ln1rar)aaa)1.rral1lnJ分析衬套的变形协调关系，有如下边界条件：dWdzr-a=Ow=0r=WIi=将方程(5.4.29)和(5.4.30)代入上述的边芯条件，整理得到轴向刚度:-21.I-In-IaWu+ln*ln2卒事+/aabJaaa)bbaJ(5.4.30)(5.4.31)(5.4.32)(5.4.33)(5.4.34)2径向载荷作用下橡胶弹性衬套的刚度Hin推导了依据有限傅立叶和傅立叶-贝塞尔系列削减径
15、向刚度的表达式，他的数值估值是比较笨的。对于特殊状况，他分别重新生成了长和短衬套前面建议的削减径向刚度B1.和BS的公式。在对长衬套的平面假设下他发觉：B1.=4乃bb2-a2In7ab+a(5.4.35)对短衬套进行广义平面应力(5.4.36)对于一个有限长度衬套，他建议B1.和BS应当严格在对于长和短边界下给出。考虑一个圆环形橡胶衬套,其内侧和外侧分别与刚性的圆柱体金属套管连接，半径分别为a和b,如图所示。基于经典弹性理论，Horton,Gover和Tupholme归纳出径向刚度精确的无量纲表述：2a2/+吃+。W10乃d1.(5.4.37)这里：4(/+a2)-ab(h2+3a2)1(c
16、tb)K0(aa)+I0(aa)Kl(ab)D-cta(3h2+a2)1(Ob)KO()+I0(Ob)K(ab)a2ba(b1+a2)1(ab)K(aa)-1aa)K(/?)(5.4.38)1)近似径向刚度运用如上方程，可以很近似的给出：jW1dft1。%(与+a(5.4.39)这里系数Cl和C2选做取决于D的动力系列绽开中的(1.0)-2和(Z)T分析计算是麻烦的但很简洁。简化的径向刚度对应于方程(5.4.37)近似通过如下方程给出：(5.4.40)这里：1d.C,=,Q=1 60&4而且有：d_b2n2(ba)b2n(ba)3(Z?2-a2)一2(b2-a2)4(b2-a2)16(5.4.
17、41)(5.4.42)I/ln2s)&-6阳-2*例)2 -4(b2-a2)2+S(b4-a4)96ai-+576tz402+2)(5.4.43)对于图b状况，弯曲刚度“为：M/(纥+G)121n2r(5.4.44)式(5.4.43)和式(5.4.44)中的表观弹性模量=IG,而式中的形态系数S为:/1/:rI+r2ln/12(-4)(5.4.45)i=4+0.56小3弯曲变形下橡胶弹性衬套的刚度轴向长度为1.的圆环形橡胶衬套其内侧和外侧分别与半径外a和b的刚性圆柱性金属套管联结。见图5.4.4o内套管在固定位置夹紧，一组相对于X轴幅值为M的力矩施加于外套简上，因而使外套筒产生了一个很小的角度
18、中。随后产生的结果见图中所示。弯曲刚度:b?-detA0T=-3可以计算出对于内外径为a、b,I16b21+1.2S度为1.；b2+a2)detA1F寸套的精确值。其中A=10000，o(Oa)-Jo(Qb)aa0(aa)abl。(Qb)J,C1Z0(GW)0(QZ7)+-aa/。即中abKO(Oa)-KOgb)0(z)-0(?)OaKJaa)为/()(饱)ObKOgb)hlb)K。(M+空3/(饱)+呼丝aapak0(M)+3S?abbKo(a)-Ko(b)一aKo(a)bK.(b)bS*的J(5.4.47)这里：XAX=kB=mym2gfn41(5.4.48)(5.4.49)矩阵A1就是将
19、矩阵A中的第一列用矩阵B代替的结果。(5.4.50)5.4.3弹性橡胶衬套动特性1橡胶衬套的动力学性能当应力作用于橡胶元件时，并不能马上达到相应于应力值的应变程度，应变总是多少滞后于应力。在应力状态或缓慢施加应力的状况下，这个时间上的滞后不怎么重要。但是，在动力状态或应力快速变更的状况下，这个滞后现象就不能忽视了。它是在设计橡胶弹簧时须要考虑的重要问题。1）橡胶弹簧的复数模量由于橡胶弹簧是粘弹性体，因而当它在应力作用下产生变形时，只有部分能量转换为位能，其余将转化为热量损耗掉。作为热量损耗掉的能量表现为力学阻尼。这是橡胶弹簧所固有的内部阻尼，而志向弹性材料则没有这种力学阻尼。为使分析简洁起见，
20、假设应力的变更是正弦曲线性的，同时还认为有效应力是由以下两个重量构成的：（1）弹性盈利重量，它的变更与应变同相位（曲线1）,因而该曲线在相应的垂直标尺上当然也表示应变；（2）粘性应力重量，它与应变相位差7/2（曲线2）,该重量的大小取决于应变的速率。可以证明，同为正弦曲线变更而相位差兀/2的两个上述应力重量，合成后的总应力也是一个正弦波，但是相对于弹性应力重量的曲线1推迟了一个角度（曲线3）。设力和分别为弹性应力重量和粘性应力重量的振幅，则由图中曲线3代表的总应力为：=/12+（5.4.51）而相位角a为：Iga-（5.4.52）较为便利的方法是，把弹性应力重量和粘性应力重量看作两个独立模。因
21、而有效弹性模量是一个由真正弹性重量片和粘性重量f2构成的复数模量七。它们之间的关系可由图所示的矢量图由下式表示：E卒=E+iE2（5.4.53）同样，对于复数切变模量G*也可以写出矢量式G*=G+iG2（5.4.54）式中用和Gl为模量的实数部分，石2和G2为模量的虚数部分，i=相应地，由图可以写出E2TG2tga=或tga=-（5.4.55）EIGl通常把应力和应变之间的相位角称为机械损耗角，而把吆。称为损耗因子。此外，模量的叙述部分是阻尼项，它确定了橡胶元件受应变时转变成热的能量损耗，所以通常也把心和G2称为损耗模量。2）橡胶弹簧的内部阻尼对于减振橡胶来说，目前尚没有比较满足的内阻理论，还
22、须要更多的试验数据。由于应力和应变之间存在一个相位差，因而在动力学试验中将得到一个滞后回线。假如应力和应变是正弦曲线变更的，那么这个滞后回线(动态应力和应变曲线)将是一个椭圆。此椭圆的长轴AB的斜率等于复数模量E或G“(也可以写成I目或|G|)。滞后回线的面积等于橡胶单位体积在每个循环中所损耗的能量，其值AU=mgoSin3)硫化橡胶的动态特性3影响动态特性的因素1.1正弦波振动首先探讨图5.4.5中正弦波应力与变形彼此对应的状况。把应力与变形任一方作为输入函数，而把另一方作为响应E变形：r(r)=r0cos(t)(5.4.Ia)应力：(r)=0CoS3f+6)(5.4.1b)在实际的物质中，
23、应力的相位经常比变形超前(即在外力作用之前，事实上不存在物质的变形030(5.4.62b)式中J1为存储柔性模量或动态柔性模量，(为损耗柔性模量。/=tan=J1IJx(5.4.63)是和(5.4.59)式相同的损耗系数。复数柔性模量可用下式表达：JJ-iJ2(5.4.64)上述各弹性模量与各柔性模量之间具有下列关系，可依据一方计算另一方。G*y*=g12+g12+j=1(5.4.65a)J1=G1/(G12+Gj),2=G2/(gi2+G)(5.4.65b)G=JjU；+Jgi=J2/(jl2+2)(5.4.65c)4应力一变形曲线用(5.4.56)式给出应力与变形时，从两式中消去打，即得动
24、态应力一变形曲线。(r/)2-2(r/r00)cos(+(/0)2=sin2(5.4.66)可以知道(5.4.66)式是二次椭圆曲线。如图5.4.57所示，分别平行于变形轴线及应力轴线的应力一变形曲线作一外接长方形ABc。，而以巴、Ql和P2、Qz表示一变形曲线与长方形ABCD的结点，可以看到，Pr0与A点靠近，P2.Q2与C点靠近。它们是不同于4点和C点的。4(cos3,bo)(q,ocosb)(-cos,-0)2(-zo-ocos).(5.4.67)另外，用与、R2;SS2表示应力一变形曲线与变形轴线和应力轴线的Rl(%sinb,)凡(-GSinaO)S1(0,0sin(5.4.70d)计
25、算应力一变形曲线所包括的面积，这个面积表示在一个循环中橡胶单位体积的能量损耗。W=)Bdf=WO%sinb=若G?=J2变形振幅肯定的橡胶和应力振幅肯定的橡胶，其发热量的评价函数是不相同的。事实上，在大多数状况下，动特性试验采集到的信号都是以力的正弦振动为输入的力与变形量的关系，其结果如图所示：那么，动刚度就为：S=k(5.4.73)剪切模量为：G*=坦=S也(5.4.74)Ax0A这里：测试片厚度；A：有效横截面面积；复数剪切模量的实部和虚部分别为：G二4.71)(5.4.72a)(5.4.72b)图动态应力-变形曲线图力与变形量的动特性试验曲线(5.4.75)Aro阻尼角正切:（M图三维体
26、的拉伸和切变(5.4.78)(5.4.76)5与动态特性有关的因素硫化橡胶的动态特性是一种物质常数，一般是随下列因素而变更的量。（1）温度；（2）频率；（3）平均变形与变形振幅，或平均应力与应力振幅。上述三因素中，当要考查其中一种因素的影响，例如温度影响时，须要使另外二种因素（振动数、平均变形和变形振幅）保持肯定进行试验。这样用独立变量求得的动态特性，称作温度特性、频率特性、振幅依存性。现在就变形振幅的影响稍加说明。因为变形振幅本身很小，G与变形振幅无关的范围称为线性范围。在这个范围内，动态应力一变形曲线为椭圆形，而且椭圆长轴的斜率与长短轴之比不变。超过这个变形振幅，应力一变形曲线虽可看成是椭
27、圆的，但椭圆长轴的斜率和长短轴之比有一个随变形振幅变更而变更的范围。换才之，G虽然可给以定义，但G是处于个与变形振幅有关的范围内，这种变形振幅范围叫做准线性范围。假如变形振幅再大，则动态应力一变形曲线不再是椭圆的（如新月型）。在这个范围内G已不能给以定义，完全处于非线性范围。橡胶配方中，自然橡胶和合成橡胶几乎都含有碳黑（增加性填充剂）。含碳黑的硫化橡胶的动态特性将随变形振幅而变更。这一变更将随碳黑含量的增加而增加。因此，在表示橡胶的动态特性时，除标出温度和振动频率外，指出振幅（或我荷振幅）是肯定必要的。5.4.4基于非线性粘弹性力学的橡胶弹性衬套特性探讨在上述各种方法，都是在小变形的线性假设基
28、础上，运用了经典的弹性理论来进行分析的，虽然在肯定的范围内能够比较好的反映出橡胶弹性衬套的特性，但对其非线性特性却依旧无法得到较好的结果。对于粘弹性材料而言，模量是依靠于时间引起的某些困难因素的。在进行分析之前，首先须要对涉及到的参数进行严格定义。I弹性槿曷如图a所示，静态单轴拉伸应力的定义为：Fz=/表示单轴拉伸；其它符号见图所示。物体在受到应力后将产生应变。单轴应力所引起的拉伸应变如下给出：c在经典物理中，用如下方程定义拉伸模量E和拉伸柔量D：七=一D如图27b所示，切变应力为：Fs=下标S表示切变。切应变的定义为：X八y=-=fg此处是图b所示的角度。用如下方程表示切变模量G和切变柔量J
29、：(5.4.79)(5.4.80)(5.4.81)C.1,.G=一(5.4.82)/J依据各向同性固体的弹性理论，E和G以及。和/之间存在如下关系：E=2(+)G和J=2(+)D(5.4.83)式中为泊松比。2.瞬时试验考虑到粘弹性材料的松弛对时间的依靠型，问题困难化了。在保持恒定的应力条件下，粘弹性材料的切变蠕变柔量由下式定义:J(t)=3%式中sO表示恒定的切应力。拉伸蠕变柔量为：DW=(5.4.84)(5.4.85)式中,表示恒定的拉伸应力。在保持恒定的应变的状况下，粘弹性材料的拉伸松池模量为:EQ)=(5.4.86)%式中表示恒定的拉伸应变。切变应力松弛模量为：Ga)=也Xo式中加表示
30、恒定的切应变。这里，模量和柔量的定义与静态定义不同，须要留意的是：只有在保持应变恒定的试验中，才能干脆测定G()和EQ),只有在保持应力恒定的试验中，才能干脆测定JQ)和D(r)o假如混淆了条件，测定的结果就会大错特错。3.动态试验在动态试验中，应力和应变不是阶梯函数，而是一个角频率为0的振动函数。试验中，杆状样品固定在夹盘上，在样品端部挂祛码，杆以频率。旋转。杆将发生如图5.4.9所示的变形。(5.4.87)弹性帖性(0)(b)图5.4.9动态试验时，杆的实际位置（八）弹性杆(b)粘性杆(C)粘弹性杆弹性杆的模量不依靠时间，所以假如形变是切变的，则切变量就可以写成：/=也(5.4.12)G在
31、上式中，应力可表示为：(t)=0cos69/(5.4.88)由此得到应变为：(t)=-cost(5.4.89)对完全粘性的杆件(图2-5b),其基本性状描述为：女=胆(5.4,90)dt对粘性体而言，应变速度曳与应力成线性关系，其比例常数称为粘度系数，简称为粘度。at考虑方程方.4.88)状况,方程考.4.90)变为:d_0dtGcost(5.4.91)图矢量表示积分得到：(t)-7(0)=SinSr(5.4.92)那么，粘弹性杆件的位移介于上述两种极端状况之间，就是说，应变将落后于应力，相位差在0和90之间。运用矢量分析方法进行分析。矢量。的值代表施加的应力最大值，该矢量以角频率。按反时针方
32、向旋转。应变将在肯定程度上落后于应力，通常把二者的相位差称为损耗角6。用矢量/表示应变，其旋转频率与。的频率相同，数值正比于应变极大值。应力与应变不会同时达到最大值。如图所示，分别将矢量。在矢量，上投影和矢量/在矢量b的投影综合表示在图上并将粘弹性响应分成“同相位”(应力与应变方向一样)和“异相位”(应力与应变方向垂直)重量，则同相位和异相位切变模量G和G由下式给出：G=G=(5.4.93)yY同理，将切变柔量函数/和/定义为：J=J=(5.4.94)并且有如下关系成立：tg=二=1.=J=S(5.4.95)JG通常将小6称为损耗正切。带单撇的参数称为储能函数，带双撇的参数称为损耗函数。这种称
33、呼是基于这样一个事实：同相位的应力和应变构成可以完全复原的弹性储能，而有90相位差的应力和应变构成损耗于体系的能量。此外，也有用复数模量和复数柔量术语的表示方法，这两种方法的差别仅在于采纳了复数平面。4 .BOltZnIann直加原理Boltzmann叠加原理是聚合物物理学中最简洁而又最有用的原理之一。在静态基础上考虑时间的影响。BOltZnIann直加原理指出，这两个应力将独立作用，两个应变线性叠加,如图所示。对于在时刻，=%,2，”时施加不连续的应力增量。1，。2，则有如下关系：(t)=ZbjQ-Uj)(5.4.96)r=l对连续施加应力结果如下：(t)=dI(5.4.97)JTu同理得到
34、：(5.4.98)(t)=G(-u)duJru利用分部积分方法，将方程(5.4.97)化为：(t)=J(t-u)(u)-b(w严00JYOU(5.4.99)假如假设。(-8)等于零，也可化为：t)=J(O)(r)+f(t-a)ca-da(5.4.100)%da同理得到：bQ)=G(O)y(f)+，y(a)Cda(5.4.101)方程(5.498)、(5.4.99)、(5.4.100)和(5.4.101)中的任何一个都是BOltZlnaIm叠加原理的完整描述。5 .蠕变柔量和应力松弛模量之间的关系依据方程(5.4.100)和(5.4.101),借助1.aplace变换分别得到蠕变柔量和应力松弛模
35、量之间的关系。分别对方程(5.4.101)和(5.4.101)进行1.aPlaCe变换，得到柔量和模量在变换空间中问题的解：-=1.G(t)1.J(t)(5.4.102)P利用Borel法则和1.aplace变换结果，得到转换回实空间的最终结果：r=G()J(t-)d(5.4.103)JO这是蠕变柔量和应力松弛模量之间关系的卷积积分，它是严格成立的，并仅依靠于BoIlZmann叠加原理的适用性。6 .静态性质和动态性质之间的关系依据BOlIZnlarm叠加原理可以推导出拉伸应力松弛模量E(f)和同相位及异相位的动态拉伸模量E(口)及E()关联起来的方程。依据方程(5.4.99),假定所施加的应
36、变是由下式表达的正弦变更应变：(t)=6*0(cos(wr+zsinwr)(5.4.104)式中是应变振幅最大值。得到：=Vie-if,xiE(三)ds(5.4.105)tJ。将小府项绽开：E*()=G(Sins)E(三)ds+(coss)E(三)ds(5.4.106)用复数正弦变更表达振动函数时，拉伸应力和拉伸应变之比是复数拉伸模量E(三)。动态模量函数中可由拉伸松弛模量计算得到：E()=sinyE(三)dsJOf(5.4.107)E)=UcossE(三)ds运用FoUrier变更方法，将这些关系进行逆变换，就可以得到作为动态性质函数的静态模量。作用在弹性衬套内外套简上的力与它们变形量之间的
37、关系是非线性的，这特性质显示出粘弹性特征。对于多刚体系统动力学数值仿真分析而言(如Adams软件中)，找出合成橡胶力位移之间的关系是特别重要的。在单独的探讨工作中，人们介绍尝试过了可以用于多体系统动力学分析中的力位移关系。此关系时用了力松弛函数来表达，得到了一种从衬套试验数据确定这种关系的方法。在这里的探讨方法中，由于衬套中的合成橡胶材料特性的困难性，为分析工作带拉了巨大的困难。衬套中运用的材料具有粘弹性和非线性特性，因此，对应的力和位移之间的关系是非线性的，而且与时间有关。在密歇根高校机械工程与应用力学系汽车结构耐久性仿真中心进行的衬套的力-位移响应探讨已经证明了这个事实。从一维测试中得到的
38、试验数据说明力相对于变形具有明显的非线性特性。有两种基本方法可用来确定所须要的衬套力-位移关系。第一种，在典型响应模式下应用力学中运用的标准方法来建立力-位移关系，用一个衬套合成橡胶材料的三维本构方程起先。这个本构方程在大变形和长时间条件下把应力和应变联系起来。木构方程、平衡方程和几何方程组合起来定义正确的边界值问题，这样来描述响应。因为响应的非线性性能，此过程无法导出可以进行精确数学表达力一位移关系。也可以指定力或位移，其它量通过求解边界值问题得到，这种方法可以用来计算任何给定衬套的力-位移关系。这种方法的一个缺点是非线性粘弹性响应本构方程的建立是很困难的。在各种出版文献中，这种木构方程仅有
39、很少的几个例子。而且，确定这种本构方程须要进行大量的试验工作。这种方法的另一个缺点是力-位移关系明确定义为边界值问题的解。运用这个模型须要重复计算边界值问题的解。确定力-位移关系的其次种方法是从试验数据中干脆得到。这种方法的优点是能够干脆获得多体系统动力学分析中运用的力-位移关系。其缺点是在每个衬套的设计工作中都必需重复这个过程。目前，在公开出版的文献中很难找到探讨衬套力-位移特性的内容。在少有的探讨中，运用了上面提到的第一种方法。AdkinS和Gent建立了径向、轴向、扭转和圆柱形衬套联结变形的圆锥形模式的力-位移关系，他们的结论明显是运用弹性线性理论得到的，因此没有考虑到非线性、时效性和这
40、两种模式之间的耦合作用。Morman等人用非线性粘弹性固体理论建立了合成橡胶衬套材料的模型。假定了一个本构方程，并运用有限元方法来分析在大平衡变形上叠加了小幅振动的状况。尽管他们运用的方法对探讨衬套响应是很重要的，但并不能说明瞬态响应过程，因此在多体动力学中的运用受到极大的限制。Wineman等人运用上面提到的其次种方法并建议了对于单模式衬套响应(组合了非线性带有时间性粘弹性的位移)的力-位移关系。它运用力松弛函数表达，衬套特性干脆通过试验确定。力松弛函数描述了衬套对应于每一位移的力。当前工作的目的是精确获得文献中的力-位移关系并确定他的力松弛函数特性的方法。1)基于非线性粘弹性力学的衬套轴向力一位移关系考虑衬套力-位移关系，这个关系中组合了对于粘弹性的时变和位移效应的非线性依靠关系。满足这种条件的最简洁关系为Pipkin和Rogers的聚合物非线性粘弹性响应，PiPkin-RogerS模型可以写成如下形式：F(t)=A(A(O)J)+严(A(三)(5.4.108)R(Z,t)是衬套的特性和表示依据在时刻0是作用数量的阶跃的力。也就是说，R(Z,t)可以说成是位移变更的力松弛方程，假定R(O,t)=O和R(ZQ为对应时间t的单调递增函数。由上可见，确定力松弛函数的
