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1、案例二精析精练课堂合作探究知识点一(1)两点之离。求法：解(2)点到直垂线，垂足为求法：一般用积相等求点到直线(3)图形与图离，叫做图形与图终转化为两点之间知识点二点重点难点突破距离与两点间距离间的距离：连结两点的线段的长度叫做两点之间的距三角形：利用向量。线的距离：如右图所示，过直线/外一点P向直线/作A,那么线段尸A的长度就是点P到直线/的距离。三垂线定理作出垂线段，通过解直角三角形求点到直线的距离；借助面的距离。形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小距形的距离。两点之间的距离是空间各种距离的根底，图形与图形的距离最,-l的距离进行求解。面距、线面距与面面距1. (
2、1)连结平面外一点P与。内任意一点的所有线段中，垂直线段最短，如以下图所示。(2)点到平面的距离的定义：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离。(3)点到平面的距离的求法：定义法：由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长。等体积转化：当过点作平面的垂线很困难时，可考虑等体积转化。向量法：向量法可分两种：一是利用向量表示点到平面的垂直线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模；二是利用法向量。2. (1)定义：一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离。(2)求法：转化为直线上的一个恰当的点到平面的距离来求解。p3.(1)定义：和两个平行平面同时垂直
3、的直线叫做两个平面的公垂线。公垂线夹：在两个平行平面间的局部，叫做两个平面的公垂线段。两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离。(2)求法：求两平行平面间的距离可转化为求点到平一面的距离：即面面距线面距点面距线面距点面距。典型例题分析题型1向量法与两点间距离【例1】如右图所示，一个120的二面角的棱上有两点AtB,AC,3。分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于AB的线段，又知AC=I,8O=2,A8=3,求C,O两点间的距离。解析求C,。两点的距离，可求CQ。答案将线段Co两点间的距离转化为向量方的模口可，再用条件表示向量CD,然后求其模。由CA_1.4B,OBJ,AB,(c4,bB
4、=180o-g4,b5=180o-120o=60oo又同2=CD=(c4+A+bB)2=C42+2+B2+2C4A+2B+2b5C4=1+9+4+221cos60o=16,.c5=4,故C,。两点间的距离为4。规律总结解决此题的关键有四点：一是将线段CD的长转化为丽的计算；二是用向量表示向量co；三是用公式力,将向量模的计算转化为向量的计算；四是注意(前,而)与(曰,瓦)互补。另外，此题不用向量法求解，而用几何法求解，那么需要作辅助线，解题过程较繁。【变式训练1】如右图所示，。一/一为直二面角，A,B在/上，4。,8)分别在,尸，平面内，且AC与/的夹角为45,BDIliAC=2,AB=2yB
5、D=4,求CZ)的长。答案如以下图，二面角。一/一夕为直二面角，且D5JU,OB1.2,又AC与/的夹角为45。，CA与AB的夹角为45。CD=26,即CZ)的长为J翦。题型2异面直线距离【例2】正方体ASCoA1MGR的棱长为1,求异面直线。4,AC间的距离。标轴、y轴、Z轴建立O(0,0,0),答案令MN为解析由于所给几何体是正方体，所以可建立恰当的空间直角坐系，用坐标向量求解。以八4,DC,所在的直线分别为X如右图所示的空间直角坐标系。那么有以下各点的坐标，1(1,0,1),A(1AO),C(0,1,0)O异面直线。A，AC的公垂线段，并设点M,N的横、纵坐标分别为7,，那么M(w,0,
6、tn,N(-71,0)oMN=(1-m-n,n-n),由公垂线段的定义可得，W=0,7VC=0,解之，1-2n-w=0,即n2n-l=0,新Ks阿咚故异面直线DA,AC间的距离为包。3规律总结解决此题的关键是利用异面直线公垂线的定义建立方程组，应用待定系数法求出公垂线段的向量坐标表示式。用空间坐标向量解立体几何问题一般有以下四个步骤：(1)根据几何图形特征(最好出现相交于同一点的三条两两互相垂直的直线)，建立恰当的空间右手直角坐标系；(2)写出定点坐标，设出动点坐标，得到相关向量的坐标表示形式；(3)运用向量相关知识进行向量坐标运算，得到相应的结果；(4)将向量计算得到的幺吉果转化为几何问题中
7、的结论。【变式训练2】直线/上有两定点4、B,线段4。，/,8。_1/,AB=AC=BD=a,且AC与8。成120角，求AB与CD间的距离。答案以8为坐标原点，建立如以下图所示的空间直角坐标系，那么A(O,O,a)yC(-a,a,a),D(,0,0)所以丽二（0,0,。）,而=深,浮,aO设48与CZ）的公垂线的一个方向向量=（X,y,z）.faz,-0,wBA=0,/2CD=O,得r-令y=3x-3y-z=O,得冗=1,所以二（1,百,0）。,即AB与Co间的距离为2题型3点面距【例3】正方体ABCOAMGR的棱长为。，过AC作一个梯形截面AMNC,而ZMAC=arccos-j=10,求顶点
8、3到截面AMNC的距离。解析由于此题中的几何体是正方体，所以可以建立恰当的空间直角坐标系来求解。因为截面AMNe是梯形，所以线段MN与AC平行，且在上底面上；再由NMAC=amcos的大小确定MN的位置，从而确定截面AMNC；最后用平面的法向10量求出顶点8到截面AMNC的距离。答案以。为原点建立如以下图所示的空间直角坐标系，那么A(,0,0),8(,0),C(0,0,0),此外，设AM=ZI漉，那么（,加,。）。由于4/1。=(0,而,。)(一4,。,0)=而2,4=Vl22a,AC=41a,a212i+2472Vio,即52=1+2.2=-2,于是。现在假设平面AMNC的法向量是=（1,#
9、）,那么由11-AC=(1,/,v)(-a9a)=+z=0,_/1及=-a+va=0-AM=(l,v)0,21(1、求得=1.y=-1,.=1,1,-2I2)故点3到平面4MNC的距离为曲J（W）（叫）规律总结求点P到平面。的距离，一般用平面的法向量法，也即先在平面。内找一点A,使得直很容易确定（例如此题选择就），然后求出平面。的法向量，最后通过解三角形得到点到面PAn的距离d=-P1.【变式训练3】在四面体P43C中，PAP8,PC两两垂直,设PA=a,PB=APC=C,点尸到平面A6C的距离为/?,求证：-=-H77hab-c答案如以下图，建立坐标系尸一孙Z,那么A(,0,0)8(0,40
10、)C(,c)AB=(-a,Z?,0),AC=(-afl,c)o设=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，那么nAB,n-1.AC,:.nAB=-ax+by=0,nAC=-ax+cz=0,于是取=(be,ca,ad)。.AP=(-afi,)在上的射影长度就是点P到平面ABC的距离，apc时yb2c2+c2a2+a2b2【变式训练4】如下左图，四棱柱A5COA1qGA,AB=1,A4=2,点、E为CG的中点，点尸为的中点。求点A到面8DE的距离。答案取DB的中点M,连接CM,尸,石尸。如上右图所示。因为F为的中点，所以B必Z)A且FM=3RD又EC=gcG且EC_1.MC,所以四边形EFMC是矩
11、形,航以EF/CM。又因为CMJ_面OBR,所以石J面。BR,设点。到面8。E的距离为d,连接Ea,有匕“叫=匕方”.。因为石尸，面DBD,所以SaBEd=SaBKEF。因为AA=2,AB=1,所以BO=BE=ED=,E/=2,所以11zvV2-?5dbd=-V22=2，所以SAOB=8X.x2x()，所以d=7=一=21.1.y/j3即点D1到平面BoE的距离为一7o题型4点线距、线面距和面面距【例4】在校长为。的正方体AG中,E、产分别是3名、Ca的中点，(1)求证：平面AIEFR；(2)求直线AO与平面AEFQl的距离。解析将这些距离转化为点面距。答案(1)证明：如以下图，以O为原点，Z
12、M,DC,。R所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。盯Z。因为丽=（,0,0）,班=（,0,0）。所以94。14，而。人匚平面4/到，040平面4瓦2，所以DA/平AEFDO上图得O（0,0,4尸（OM费），所以D1F=f,-,DF=0,a,。设二（冗,y,z）y,2）是平面ATEFDI的（2）由法向量，RDFay-z=0,2所以，Z）4t=ar=0,x=0,1y=-z.2取Z=I得=（,g,l）,所以正在上的射影长为-a.所以直线Ao到平面5方法指导在正方体中，垂直关系较多，因此求距离选择自己熟悉的方法求解。2VcAEFq的距离=一。时方法也较多，同学们可以【变式训练5】正方形
13、ABCO的边长为4,、尸分别是A3、AO的中点，尸。_1面45。,PC=2,求点B到平面PEF的距离O答案分别以C8、CD、C所在直线为工、y、Z轴建立空间直角坐标系C-yz,如右图所示。根据，那么有尸（0,0,2）、（4,2,0）、尸（2,4,0）、3（4,0,0）所以港=（4,2,2）,EF=（-2,2,）o设平面PE尸的法向量为=（1.y,z）。那么由4_可得Jny=l,z=3。所以=（1,1,3）。又8二（0,2,0）,EF=0,-2+2y=0,BEn所以点B到平面PE/的距离d=FH21111【例5】如图，正四棱柱ABCo-A瓦GA中，侧棱AA=3,底面边长为AB=2,E、/分别为棱
14、BC、耳A的中点。(1)求证：平面8。尸平面GOE;(2)求平面3/与平面CloE间的距离。解析首先用面面平行的判定定理证明(1),然后两平行平面间的距离就是平面3。尸内任一点到平面GOE的距高，转化为点面距来求解。答案(1)如图分别以OA、DC、OR所在直线为1、y、Z轴建立空间直角坐标系，那么O(0,0,0)C(0,2,0),D1(0,0,3),C1(0,2,3)B1(2,2,3)B(2,2,0),(1,2,0),尸(1,2,3),又丽=(-1,0,3),Eq=(-1,0,3),/.BF/Eq,/.BFHECx,平面BDF平面CDE.(2)由(1)可知平面/与平面GQE间的距离等于A到平面
15、GoE的距离，设平面GOE的法向量=(,y,z),由nDE=O,日n-ECi=O+2y=0-x+3z=0体几何、空间向量中转化思想方法的典型实例。【变式训练6】右图，尸为矩形ABCD所在平面外一点，PA_1.平面ABCO,假设AB=AD=PA=,求点尸到8。的距离。答案方法一：作AJ_3O,垂足为H,PA_1.PAJ_平面A5CZ),.A”为PH在平面ABCD上的射影，理得PHr上BD,.PH即为P到3。的距离，12中，可得AH=匕，5中,由勾股定理可求得尸=JpJ+a”？=U,513的距离为二。5由三垂线定在RtAABD在RtAPAH.P至BD方法二：如上图，分别以AB、AD.AP所在直线为
16、x、y、Z轴建系，那么尸(0,0,1),5(3,0,0),。(0,4,0),.PB=(3,0-1),BD=(-3,4,0),尸到3。的距离.尸到BD的距离为士。5规律方法总结1.空间中两点的距离公式假设A(XI,加4),8(工2，%/2),那么dB=A=7(x-xit+(,1-y(21-Z2)2。2 .向量的模长公式假设=(x,y,z),那么Ia=JT+。3 .点到直线的距离(1)点到直线垂线段的作法在立体几何中，点到直线的垂线段是由三垂线定理确定的。几何法题，进行求解。设/是过点P平行于小为PA闻，那么点(2)点到直线距离的求法由三垂线定理将立体几何问题转化为平面几何中的解直角三角形问向量法
17、向量S的直线，A是直线/以外一定点，向量再在S上的射影的大A到直线，的距离d=阿-“。4 .点到平面的距离的求法（1）几何法由点到平面的距离的定义转化为平面几何中的解直角三角形问题，进行求解。由点和平面内不共线的三点构成三棱锥，转化为体积问题，进而用等积法求解。（2）向量法如右图，8O_1.平面,垂足为。，那么点8到平面的距离就是线段BO的长度。假设AB是平面的任一条斜线段，那么在RO4中J网=|网coSNABo=BABO如果令平面的单位法向量为,那么8点到平面a的距离为80=ABnii求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：求出该平面的一个单位法向量；找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应
18、的向量；求出单位法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，即是点到平面的距离。定时稳固检测根底训练1.A43C中，A8=AC=5,BC=6,P4_1.平面48CP4=8,那么点尸到BC的距离是（）A.B.2y5C.35D.45PH,PH即为所2.ABC中，AC,3C的距离A.7B.8【答案】D（点拨：在平面ABC内过A作于H,连求。）ZC=90,点P在AABC所在平面外，PC=17,点P到PE=PF=13,那么点P到平面ABC的距离等于（）C.9D.10【答案】A（点拨：解决此题的关键在于找点P在平面ABC内的射影。易知点P在平面ABC内的射影在/。的角平分线上。）3 .夹在两平行平面a、内的两条斜
19、线段，A8=8cm,CO=12cm,AB和8在a内的射影的比为3：5,那么a、夕间的距离为（）A5cmB17C19D21j2+9x2=64【答案】（：（点拨：设。、间距离为d,ABCO在Q内的射影长分别为3x,5X,由,得J2+25x2=144,d=M.）4 .如右图，二面角二一/一尸为120。，A、B是棱上两点，4C、8。分别在。、夕内，AC_1./,3O_1./,且AB=AC=BO=I,那么CO的长为()A.2B.3C.2D.5【答案】C(点拨:利用而+而+而求解。)5.正方体ABCO-AqGR中，棱长为。，设点C到平面ABGA的距离为4，。到平面AC。的距离为出,BC到平面ADRA的距离
20、为4,那么有()A.d3did2B.dd2d3C.dxd3d2D.d2dx_1.BC交CB的延长线于。，连接SZXS4J_平面ABC,根据三垂线定理有SD_1.3C又SonAo=。，.3C_1.平面S4D。又BCU平面SBC,.平面S3C_1.平面AZ)S且平面S3C平面ADS=SD.过点A作A”_1.SO于，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH_1.平面S8C。.AH的长就是点A到平面S3。的距离o在RtASAD中,SA=3,Ao=ABsin60。=缶，xSAAD33a3:.AH=.=7-5=-a,5A2+AD2(3)2+(3)223S3。的距离为巳。2ABa)45GA的棱长2,七、尸、G分
21、别是G。、。出、点A到平面EFG的距离。如右图，设点A到平面EFG的距离为d,在四面体由匕W=Vo2-AO4G可得d=S皆GqA3AQQ1G-23所以A到平面77G的距离为3-O34解法二：如图，建立空间直角坐标系3-xyz,那么A(2,0,0),(0,2,1),F(l,0,2),G(2,l,0),所以EF=(1-2,1),EG=(2-1,-1),GA=(0-1,0)。设=(x,y,z)是平面EFG的法向量，那么由_1.E/7,_1.EG,得X2y+z=0,2xy-z=O,从而有x=y=z,所以可取鹿二(1.I,1)。GA,nl_i|0/TGA在上射影的长度为一l=J=X30即点A到平面E尸G
22、的距离为巨。n3338 .如以下图，空间四边形ABeD的四条边及两对角线长为相，试求点A到平面BCD的距离。【答案】设点A是A在平面BCQ上的射影，分别连接AB,AC,AO,由于AB=AC=AO,所以它们在平面BCD上的射影A3、AC、AO也均相等，所以A是等边三角形BCQ的中点，.BC=m，.正MCD的高N3mA!D=-mt,在RA4AO中，23IAAi=D2-A,D2=m,即中点A到平面BCD的离为。(2)P点到正方形(3)P点到正方形【答案】(1)以。直角坐标系，由可交于。，那么9 .如右图所示，四边形48CZ)是正方形，尸_1_平面43CD,假设AB=,PO=,求。(I)P点到正方形各
23、顶点的距离；各边的距离；两条对角线的距离。为原点，以ZM、CD、OP所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间得A(4,0,0),B(a,)C(0,4,0),O(0,0,0),P(,)。连接元和丽于是点P到正方形各顶点的距离为OP=a；E4=d2+0+=2;PC=O+2+2=%o(2)vPDAD,pBDC,.p到Ao和。C的距离都是。VPAAB=(,O,-)(OMo)=O,.PAABo那么EN直就是点尸到AB的距离，PA=ya2+0+(-a)2=Jla；同理P到8C的距离为PC=2ao(3)由图可直接得到P到对角线BD的距离就是产4=。.POAC=fa,aa(-,a,。)二。，:.PO1AC,PO就是
24、P到AC的距离10.正方体ABC。一A4GA的棱长为4,、N、E、尸分别为4A、AI与、C1D1.C的中点，求平面4N与平面EF3间的距离。【答案】以。为原点，,DC,DR所在直线为X,y,z轴，建立直角坐标系，那么A（4,0,0）,M（4,0,0）,Z）（0,0,0）,30,4,0）,（0,2,4）,尸（2,4,4）N（4,2,4）,从而而=（2,2,0）,MN=（2,2,0）,AM=（-2,0,4）,BF=（-2,0,4），.EF=W=F0EFHMN,AMHBF.EFMN,AMBF.3月.平面AMNH平面EFBDo设=(x,y,z)是平面45。的法向量，从而11EF=2x+2y=0,fx=2z,(x_解得取z=l,得=(2,-2,1)11F=2x+4z=0,Iy=-2z.ito由于A3=(0,4,0),所以AB在上的投彩长度为一rrJ=2时31y=Xl123,令x=6,得=(6,-3,2),z=-x3A到平面GOE的距离-3x27.平面明尸与平面GoE间的距离为与。方法指导平面二平面夕，那么a、夕间的距离就是a内任一点到夕的距离，这是立
