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1、微专题13含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】I、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根
2、据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。.【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1.函数/（力=+3丹2在区间-5,5上的最大值、最小值分别是（）A.12,-!B.2tl2C.42-D.最小值是-1.无最大值444【答案】C【解析】y=f+3x+2=1抛物线的开口向上，对称轴为x=-,，在区间-5,5上，当x=I时，y有最小值；=5时，有最大值42,函数f（x）=f+3x+2在区间-5,5上的最大值、最小值分别是：42,故选：C.例2.
3、函数y=-2x+2在区间-2,3上的最大值、最小值分别是（）A.10,5B.10,1C.5,1D.以上都不对【答案】B【解析】因为y=f-2x+2=（-l）2+l,且x-2,3,所以当X=I时，ymin=f当X=-2时，ymax=(-21)21=10.故选：B.例3.若二次函数/(x)=4(x+2)(x-4)的图像经过点(0,-4),则函数/(力在Y,2上的最小值为【答案】【解析】由题知，/(0)=40+2)(0-4)=-4,解得=TI1gg则f(x)=5(x+2)(x-4)=a(xl)2-M所以当=l时，”力有最小值/=一故答案为：-T例4.已知函数y=-f+4-2,当lx4上时)，的最小值
4、是【答案】-2【解析】：y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,则二次函数在(to,2)上单调递增，在(2,)上单调递减，.在lx4上,当=4时有最小值一2,故答案为：2.例5.已知函数/=W-2x+5,XcT,5.则函数的最大值和最小值之积为【答案】80【解析】因为/(x)=2-2x+5=(x-1)2+4,所以当K=I时，/Wmin=/(1)=4,当=5时,Q)a=/(5)=(5-1)2+4=20,所以最大值和最小值之积为4x20=80.故答案为：80题型二：动轴定区间型例6.已知函数/(x)=f-吠(小0)在区间0,2上的最小值为g(m).(1)求函数g(m)的解析式.(2)定义在(f,
5、0)U(0,*o)上的函数MX)为偶函数,且当x0时，h(x)=g(x).若妆。力(4),求实数/的取值范围.所以当0m4时,【解析】(1)因为f(x)=x2-nx=4时，2,此时函数X)=(X-在区间0,2上单调递减,所以g(m)=f=4-2m.综上，g(m)=,44-2m,n4厂(2)因为x0时，M%)=g(x),所以当xO时，MX)=W4调递减，因为定义在(-8,0)U(O,+co)上的函数人为偶函数，且g)M4),所以0rv4,解得-4r00r4,所以实数f的取值范围为(-4,0)U(0,4).例7.已知函数/(x)=2+2三+m(weR).当xT,l时，设，(力的最大值为则”的最小值
6、为()A.B.0C.D.144【答案】C【解析】由f()=-(-mA+?+，故/3在(-,m)上递增，在(m,+)上递减，当mT,则xT,l上递减，故最大值M=(T)=T0,当一lml,则最大值M=f(m)=m+m2=(/+-)2一一-,2),244当相/,则xT,l上递增，故最大值M=/=3m-l2,综上，M的最小值为4故选：C例8.已知函数/(x)=x2-2(A+l)x+3.(1)若函数/(力为偶函数，求实数Z的值；若函数/(x)在区间T，3上具有单调性，求实数和勺取值范围；求函数/(x)在区间-2,2上的最小值.【解析】(1)因为定义在R上的函数/(X)=Y-2/+l)x+3为偶函数，所
7、以VXR,都有/(-%)=f(x)成立，即VxR,都有丁+2(&+口+3=/2(&+1口+3成立，解得k=-.(2)因为函数/(幻/-2伏+l)x+3图象的对称轴为X=Z+1,所以要使函数力在T3上具有单调性，则k+13,或欠+1T,即A2或k-2,则k的取值范围为(-8,-2u2,+).(3)若函数,W在-22上单调递减,则左+12,即上31,此时函数/(力在区间卜2,2上的最小值为/(2)=3-41.若函数/(%)在122上单调递增，则4+1-2,即A-3,此时函数“X)在区间-22上的最小值为-2)=11+42.若函数/(x)在卜22上不单调，则一2+lv2,即一3VZV1,此时函数“可
8、在区间卜2,2上的最小值f(k+)=2-k2-2k.341综上所述，函数“力在区间-2,2上的最小值为/。焉=2-2%-公,-322时，函数在-2xW2上递增，当x=-2时，取到最小值-2)=-4根+5；当-2-m2,即-2m2,即mV2时，函数在-2x2上递减，当x=2时，取到最小值f(2)=4z+5,综上所得，当m2时，最小值/(-2)=Ti+5；当一2机2时，取到最小值f(ri)=TW2+1，当机0求函数/(x)的单调区间；(2)求函数/(x)在一/1上的最小值.X2-OJC,xOf(x)=j(x-a)=02当x0时，f(x)=X2-ax=(x-)2-则函数/V)在区间(0,二)单调递减
9、，在区间G,+8)单调递增；222当x0,所以当1即。2时，函数/*)在递增，在(0,11递减且TYgI)=，若/(T”，即时，min=(D=l-a,若/(；)/，即2v时，/(x)min=(-)=-p肖0、1即0v2时，函数在40递增，在(0,学递减，在(别递增，且/(一)=-，24224而0vo2时，一;色乎即/()吗)，所以02时,/(n=(-)=-f,.综上所述，当OT时,mta=;当时，f3mta=例I1.已知函数a(x)=*+1.(常数R).X(1)当。=2时，用定义证明y=Mx)在区间1,2上是严格增函数；(2)根据。的不同取值，判断函数y=力(X)的奇偶性，并说明理由;令/(x
10、)=A(X)T-x+2,设/()在区间1,2上的最小值为g(4),求g()的表达式.Cf(x)=2x2+-【解析】(1)当。=2时，函数X,设.电1,2且内x2,则f(2)-/()=+-2x12-=2(Xj-X12)+(-)X2百ZX=2(x2-xl)(x2+X1)+-上=(x2-Xj)2(2+x1)一,XiX2XiX2因为o又由APX241,2,可得2(巧+%)4,二一0XlXlXIXl所以/(工2)-/(再)0，即f(xj/(彳2)，所以函数y=f()是1，2上是严格增函数.由函数*)=+:的定义域为(-oo,0)U(O,+)关于原点对称，当=o时，函数/*)=1.可得/()=_!_=_!
11、_=一/(幻，此时函数Fa)为奇函数;X-XX当O时，f(-x)=a(-)2+-=v2-,此时f(-x)-f(x)且f-x)/(x),-XX所以0时，函数y=()为非奇非偶函数.(3)f(x)=h(x)-X+2a=ax2+-x+2a=ax2-x+2a9XXX当a=O时,fix)=-X,函数在区间1,2的最小值为/(2)=-2；。时,函数的对称轴为一W若二-2=0!J(X)在区间1,2的最小值为/(2)=6-2,.g()=6-2;2a4若在区间口2的最小值为yT+2T+孙若(1=。gJ(x)在区间1,2的最小值为/(1)=3a-,.g()=31；当。0时，x=，-VOja)在区间1,2的最小值为
12、了=6-2,.g()=6-22a6-2,-4综上所述：g(。)=Irl1+2,-Ci一；4。423-l,-2例12.已知函数f(x)=x2+x-+1.xwR,R.当。=1时，求函数/(力的最小值X2+x,x1X2-x+2,x/()=1.ij-l(l),可知/(x)2;由f(x)-X2-x+2=f(x)277-(xl),可知/(x)744所以/(min=(g)=f(x)=；+x-a+fxa-x+a+1.xa1)当;,“力在/吗)单调递减，在停q单调递增，ttwmin=Qj=;2)当-TVag,/(x)(-,。)单调递减，在(,+e)单调递增，f(x)n,n=f（八）=a2+,3)当-g,/(x)
13、在(-,-3)单调递减，在(-发+00)单调递增，/(x)mi11=所以g()=2+1,一；0时，r0),Y2所以/(幻=,+2x,x,0-2x,x0(3)当xg1.2时，g(x)=x2-2x-2ax+=(x-a)2-a2-2对称轴为X=I当1+%1,即&。时，g。)在1,2上递增，所以g()min=g=-：当1+&.2,即.l时，g(r)在1,2上递减，所以g(x)mill=g(2)=l-4a：当lvl+v2,即OVaVI时，g(x)在U+可上递减，在1+。,2上递增，所以g(x)min=g(+a)=-a2-2a,-2a,a,yO综上，函数g(力的最小值g(k)min=-a2-2a,0a1.
14、1-4a,a.A例14.设函数/O)=/-4at+3(1)函数段)在区间口，3有单调性，求实数。的取值范围；(2)求函数於)在区间1,3上的最小值以幻.【解析】X)=(X-24+3-44,力在区间口,3上单调,则2l或203,13所以二或=；22(2)4g时，2l,/*)在1,3上是增函数，A()=/(1)=4-4a,13/Va5时，Ma)=/(2)=3-4/,35时/()在口,3上是减函数，（八）=/(3)=12-12a,4-4,a-2综上，()=b-42,-2题型三：定轴动区间型例15,已知函数/(x)=2+.的图象过点(0,7),且满足/(T)=f(2).(1)求函数/(*)的解析式；求
15、函数/O)在,+2上的最小值；【解析】(1)因为函数Ax)=2/+如+的图象过点(0,7),所以=T又f(T)=f(2),解得w=-2,所以/(x)=2-2x-l;f(x)=2x2-2x-l=2X-I-(2)I2)2fxa,a+23当+2;时,即-三时,函数/W在,+2上单调递减，22所以(x)lnin=f(a+2)=22+6a+3,1311当(2x+m恒成立，求实数小的取值范围.(3)设函数/(力在区间,+l上的最小值为g(),求g()的表达式.【解析】设“H=r2+c,0则/(x+l)=(x+l)2+b(x+l)+c.从而，/(x+l)-(x)=(%+1)2+6(x+l)+c-(Or2+b
16、x+c=2ax+a+b,Xf(x+l)-()=2x,2a=2a+b0a=1b=-又f(O)=c=l,.(x)=x2-x+l.(2)因为当Xe-M时，不等式/(x)2x+”恒成立,所以VV一3工+1在XW-1,1上恒成立.令g(x)=f-3x+l,X-1,1,2gminW.当Xe-1,11H4,g(x)=f-3x+1单调递减，当x=l时，g(x)*=g(l)=T，所以机一1.当+l,即-Q时，/(x)在，+l单调递减，JO%=f(+1)=/+1；当v1+l,即一;vav；时，则“力在口：单调递减，+”单调递增,0=吗)=?当“;时，则/(力在。，4+1单调递增，/(“in=/()4I.,1/1a
17、+a+,a2/311g()=j42a+b(x+)+c-(ax2+bx+c)=2x+l,由(x+l)2+g+l)+。-(02+bx+c)=2x+l,得2ov+b+=2x+l,._12a=2f=l所以1.得乙b+a=p=0所以/(x)=d+2.(2)因为八幻=/+2是图象的对称轴为直线X二,且开口向上的二次函数,当Z0时，/(幻=/+2在%匕+2上单调递增，则f*)min=f=八2;当+20,即-2时,f(X)=/+2在XWU/+2上单调递减，则/()mi11=/(r+2)=(r+2)2+2=f2+4/+6；当fvvf+l,即2Vr0时，f(x)min=/(。)=2,2+2,r0综上g)=2,-2
18、r0r+4/+6,r-2例18.已知函数/Cr)=/+*+2.(1)当=l时，求函数/(x)在区间-2,3)上的值域；当Q=T时，求函数/(x)在区间上一+1上的最大值；求/(力在-5,5上的最大值与最小值.【解析】当。=1时，x)=+2x+2=(x+1)2+1,函数在-2,1)上单调递减，在(T,3)上单调递增，.x=T,/(x)min=h/(3)=17,函数/(力在区间-2,3)上的值域是1,17)：当a=-1时，f(x)=f-2x+2=(x-iy+l,g,函数/(%)在区间r+上的最大值/a)=(/i1+i；rg,函数/()在区间f，f+l上的最大值/(/+1)=产+1；函数/()在区间
19、，+1上的最大值,(/-I)2+1,z-2r2+1.t-2(3)函数X)=X2+2=(工+炉+2一片的对称轴为X=当-a5时，函数在-5,5上是增函数，当工=-5时，函数y取得最小值为27-10a；当x=5时，函数3取得最大值为27+1Od当一5av0,即05,即一5时，函数了在-5,5上是减函数，故当X=5时，函数y取得最大值为27104：当x=5时，函数y取得最小值为27+10a.综上.，当a5时，函数的最大值为27+10a,最小值为27T0a,当0vo5时，函数的最大值为27+10，最小值为2-/,当一5a0时，函数的最大值为2710。，最小值为2/,当。一5时，函数的最大值为27TO最
20、小值为27+10。例19.已知关于X的函数y=/-2wu+4.当一2x3时，求函数y=f-2a+4的最大值；(2)当-2x3时，若函数最小值为2,求加的值.【解析】sJ=x2-2mx+4=(x-m)2+4-m对称轴为明开口向上，若mvg,则当=3时，函数y=Y-2,以+4有最大值为13-6m,若mg,则当x=-2时，函数y=f-2nx+4有最大值为8+4?.(2)若团一2,则当x=-2时函数,=炉23+4有最小值为8+4?，即8+4?=2,n=-,不符合条件；若一2z3,则当彳=，时函数y=V-2皿+4有最小值为4=2,可得m=,符合条件；若帆3,则当x=3时函数y=f-2nr+4有最小值为1
21、3-6/，即13-6?=2,解得加=?3,不符合条件；综上，加的值为0.例20.已知/(X)是二次函数，不等式力0的解集是(0,5),且/(X)在区间-2,4上的最大值是28.(I)求/(力的解析式；设函数/()在XW1.，f+l上的最小值为g(f),求g)的表达式.【解析】力是二次函数，且/(x)的解集是(5),可设/(x)=(l5)(q0),对称轴为X=2.5,J(x)在区间-2,4上的最大值是/(-2)=14.由己知得14=28/.a=2,.(x)=2x(x-5)=2x210x(xK).(2)fl(1)W/(x)=2(x-2.5)2-12.5,函数图象的开口向上，对称轴为x=2.5(讨论
22、对称轴X=2.5与闭区间上，r+1的相对位置)当f+l25时，即f1.5时，/(“在在+1上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时力的最小值g(f)=/(1+1)=2(/+1)2_10(/+1)=2?_68；当f25时，/(%)在，J+1上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时/(的最小值g(r)=f=2r2-IOr5当1.5C2.5时，函数y=力在时称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)止匕时，(/)=/(2.5)=-12.52/一6r-8,r1.5综上所述，得g(f)的表达式为：g()=72.5,1.570)(1)当=2时，解关于X的不等式-3V/a)5(2)函数y=(x)在J+2的最大值为0,最小
23、值是-4,求实数。和Z的值.x2-4x-50【解析】不等式为-3f-4x0,由f一4工一50可得一1%0可得XVI或工3,故原不等式解集为(T,l)u(3,5).(2)因为/(x)=f-2=(-f-a2由于/(0)=(24)=0,由题意f=0或r+2=2z,若f=0时,则f+l,且f(x1.1=()=Y或1.1=2)=T,当f()=2=时，=i2,。=_2不满足题意，舍去；当/(2)=4-4a=-4时，=2；若+2=为，则4f+l,且/()min=()=T或/(力加=(2-2)=Y当/（八）=-/=-4时，a=2,当=2j=2,符合题意；当。=-2,与题设矛盾，故舍去；当/(242)=(2。-
24、2)224(2-2)=-4时，a=2,t=2i综上所述：4=2j=0或=2=2,符合题意.例22,已知函数/(x)=2-2ar(0).(1)当。=3时，解关于X的不等式5v(x)7；(2)函数y=(x)在f+2上的最大值为0,最小值是-4,求实数。和f的值.【解析】3)当。=3时，不等式-5/*)7,即为-5vY-67,X2-6x7-1x7即2/，所以，-5x-6lx5所以-l%vl或5vxv7,所以原不等式的解集为(T,l)u(5,7)(2)/(0)=(2a)=0,由题意Z=O或f+2=24,这时一4_4解得,若f=0,则r+2,所以/(f+2)=(2)=Tn=2;若f+2=%，t=2a-2
25、a,所以/(0=T=f(加一2),则二2,综上，f=0,=2或r=2,=2.例23.已知wR,函数f(x)=Xk-4.(1)设=l,判断函数/(力的奇偶性，请说明理由；设0,函数外”在区间(风耳上既有最大值又有最小值，请分别求出小，的取值范围.(只要写出结果，不需要写出解题过程)【解析】当。=1时,其图象如图所示：/(x)=xx-I=X2-xyx-X2+X,X1-x2-axyx0时，由V=9-（x）,解得X=Ia,4v,2因为函数/（“在区间（弧）上既有最大值又有最小值,因为函数/（力在区间（九）上既有最大值又有最小值,如图所示：例24.已知函数f(x)=xx-m-n.(1)当f(X)为奇函数
26、，求实数?的值；(2)当机=1,时，求函数y=f(x)在0,网上的最大值.【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-0)=-/(0),所以7(0)=0,即=0,所以/(x)=xx-zw又/(-1)=f(l),所以1w=1+m,解得机=0,此时f(x)=1国，对xR,/(-x)=-xx=-f(x)所以/(4)为奇函数,故m=0.21一X-+x+n.xy1(2O)=xx-1+=52.x-xn,x1所以/(X)在I,和1,，上单调递增，在上单调递减，其中/()=+：J5)=2,/()_/(；)=2_；=(_1_)(_!_2),令2；+得，z712,所以时，/()/()，f()mix=/I2.42221
27、2时，求函数/(x)在区间，2上的最小值:(3)设0,函数/(x)在(见)上既有最大值又有最小值，请分别求出肛的取值范围(用。表示)M2,二2由二次函数的性质知,单调递增区间为2,+8).(3)=当00时，图象如上图左所示由a2y=y=x(x-a)得O,/,与Ia当。2,XW1,2时，所以f(x)=x(-x)=-2+r=-g)2+当3时，Mmin=f(1)=-l./(X)MM“=x(x-a)yx.ax(a-x),x=一丁得X=竺且.l也%m0,当机x时，函数/(x)既有最大值又有最小值，求相、的取值范围(用。表示)【解析】(1)因为(%)在R上是奇函数，所以/(-)=-/M恒成立，即T卜+4=
28、Tk-4恒成立.所以卜+4=卜一4恒成立，所以=0./.-x2+2x,(0x2)/(x)=xx-2=、当=2时，x2,(2a)因为O,所以函数)，=-炉+奴在18段)上单调递增，在(右。)上单调递减,当x时，x2-0r=-,可得X=42因为当0,mx时，函数/()既有最大值又有最小值,所以Owq,/3+1.例29.若函数y（）=r2+20r+l在-1,2上有最大值4,则的值为（）A.-B.-3C.三或一3D.488【答案】C【解析】由题意得r）=（x+l）2+l-.当。=0时，函数Ar）在区间-1,2上的值为常数1,不符合题意，舍去；3当40时，函数/（x）在区间-1,2上是增函数，最大值为（
29、2）=8+l=4,解得。=三：O当v时，函数7U）在区间-1，2上是减函数，最大值为火一D=I。=4,解得4=-3.综上可知，”的值为J或一3.O故选：C.例30函数/（力=Xk-H在区间（0,1）上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（）A.-22-2,）B.（,22-2）C.惇1D.22-2,l）【答案】D【解析】易得函数f(x)=xx-=r一必，-r+r,xO若=0,则”X)X,一八，且函数/(x)在(0,1)卜.单调递增，所以函数/(x)在(0,1)卜.无最值.-x-,x0若0,作出函数/(x)的大致图像，如图2所示，要使函数/(另在区间(U)上既有最大值又有最小0a0l直则*0)
30、出即1-+E解得：2应-23,由f-2x+4=4解得X=O或尤=2,画出二次函数y=f-2x+4(x0)的图象如下图所示，由图可知，加的取值范围是U.故答案为：口，2例32.已知函数/(x)=-g2+.若/的定义域为,值域为2肛2川，则帆+=【答案】-2【解析】因为/(x)=-gf+x=-g(x-l+g,对称轴为X=I,当lw时:/在肛M上单调递减,所以,当机时：Fa)在犯上单调递增,所以，f(m)=-m2+w=2n/(w)=-2+n=2m，/、1f(n)=-m2+rn=2mf(n)=-n+77=2n，无解;解得：ZW=-2或n=0,=2或=0,又mvl,所以加二-2,n=0;当nl1矛盾；综
31、上所述：tn=-21=0,此时，+=一2故答案为：-2.【过关测试】一、单选题1 .有如下命题：若辕函数)=(x)的图象过点(2,|,则/；函数/(力=。1+1(。0,。工1)的图象恒过定点(1,2)；函数/(x)=fl-log/有两个零点；若函数/(x)=x2-2x+4在区间0,向上的最大值为4,最小值为3,则实数加的取值范围是1,2.其中真命题的序号为().A.B.C.D.【答案】B【解析】设幕函数为=V,因为丁=/(刈的图象过点(2,),所以2。=(解得=T,则/()=p在(y,0)上递减，在(0,+8)上递减，所以/(3)0mh1)的图象恒过定点(1,2),故正确;令f()=f-ITogd=。，得2-=bg,在同-坐标系中作出y=fT,y=iog/的图象，如图所示，y由图象知：y=f-l,y=log+x有1个交点，即函数f(x)=f-l-log/有1个零点，故错误;由图象知：若/(x)在区间。,河上的最大值为4,最小值为3,则实数加的取值范围是1.2,故正确.故选：B2 .若函数/(力=/-2加+3。在区间0内上的最大值是M,最小值机，则M-z()A.与无关，且与b有关B.与。有关，且与6无关C.与有关，且与6有关D.
