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1、微专题31三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理.【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如y=asinx+bcosx题型二：二次函数型，形如.y=sin2x+Z?sinx+c题型三：形如y=a(sinx+cosx)2+b(snx+cosx)+c(sinxcosx)题型四：分式结构，形如y=一+)CCOSX+J【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如y=sinx+Z?CoSX例1.求函数y=sinx+Gcos
2、x的周期，最大值和最小值.【解析】解：化简可得y=sinx+Gcosx=2(-sinx+-cosx)22C4.兀=2(cos-snx+sincosx)33=2sin(jc+y).原函数的周期为7=2乃，最大值为2,最小值为-2例2.已知函数/(x)=2si11(sinx+3cosx)-1.(1)求函数/(x)的最小正周期和增区间；(2)当xw0,时，求函数/(x)的最大值和最小值.2【解析】解：(I)f(x)=2sinx(sinx+j3cosx)-1=2sin2x+23sinXCOSx-1=3sin2x-cos2x=2sin(2x-)6.,T=-=11,22x-2k11-,2k11+-=xek
3、11-k11-keZ.62263.函数的增区间为：伙乃一2,k11+,k三Z63(2)x0,刍时=2x-工,；2666l2%-=-g即X=O时，fMmin=一1,66当=3即x=g时，/UU=2.623例3.已知函数f(x)=(V5sinx+cosx)CoSX+?的最大值为2.(I)求/哈)的值；(II)当xeO,/时，求y=(x)-lM(x+)T的最值以及取得最值时X的集合.ftrl解：(I)/(x)=(sinx+cosx)cosx+加=GsinXCoSX+cos?+?=sinZx+I+c；2+/n=sin(2x+)+加+；的最大值为2,177?4=2,口J得m22/W=sin(2x+)+1
4、,6/.f()=sin(2-+)+1=sin+1=+1.J1212632(11)当x0,|1时y=(x)-1卜(x+)-1=sin(2x+2)sin(2x+。)=(*sin2x+cos2x)(；sin2x+与cos2x)oFGFcCGI一=sm2x+cos2x+sin2.rcos2x=+sm4.r,4442当X=工时，Pxexx=-,ymax=2:88wt4当X=9时，即XwxIX=网时，ymin-.884变式1.已知函数/(x)=SingX-GCOSgx(1)求/(幻的最小正周期和对称轴；(2)当xwX,红)时，求/(x)的最大值和最小值.64【解析】解：(1)函数/(x)=Sin1.K-退
5、COS1.X=2sin(x-二)；2223故函数的最小正周期为半=4开，2-x-=k11+-,伏Z),整理得x=2A%+2,(ZeZ).2323故函数的对称轴方程为x=22r+2,(ReZ).3(2)由于xX,里)时，64ml冗，兀19万、23424故SindX-g)-*,l232当X=工时，函数取得最小值为一也，当工=2时，函数取得最大值为1.626变式2.已知函数幻=cos4+2,求：近cos(2x+?)(1)函数的周期；(2)当X为何值时函数/(x)取得最大值？最大值为多少？【解析】解：(1)/(X)=登出一+22cos(2x+-)4(cos2x+sin2x)(COS2x-sin2x)s
6、in2)=Sin2x+8s2x+2=2sin(2x+-)+2,42(2)令2x+工=2左乃+2(&z),解得：x=k11+-428故x=r+巳（左z）时，f（x）取得最大值2+J.8题型二i二次函数型，形如y=asin2x+Z?sinx+c例4.函数V=-COS12X+Sinx的值域为（）A.-1,1B.-,-H4【解析】解：y=-cos2X+sinX,C.D.-1,=sin2X+sinx-1，,J5=(snx+-)，24当S加r=_g时，ymin=-Q5当Sinx=I时.y皿=-j=l,故函数的值域为：-3,1.4故选：C.例5.函数y=SinO+SilIK-1的值域为(A.-1,1B.-1
7、)C.一D.-1,-4【解析】解：y=sin2x+sinx-l,令Sinx=f,则有y=J+-lr-l,1,函数的对称轴：r=-开口向上,2当及f=l时，函数取最值，代入），=/+/-1可得y二，1.24故选：C例6.函数），=852工+5出工-的值域为（）22A.-1,1B.-，1C.,-1D.-1,444【解析】解：函数V=-cos2x+sinx-=-(1-2sin2x)+sin,-=sin2x+sinx-l=(sinx+-)2-222224-lx1,.当SinX=g时，函数y有最小值为一SinX=I时，函数y有最大值为1,故函数)，的值域为-：，1,故选：B.变式3.函数f(X)=COS
8、2x+6cos(y-x)的最大值为()A.4B.5C.6D.7【解析】解:/(x)=cos2x6s(-)=-2sin2x+6sinx+l,令r=sinx,r-l1则函数/(x)可转化为关于f的二次函数y=-2/+6/+1,r-l,1,图象开口向卜.，对称轴为r=3,2所以函数y=-2+6f+l在-1,1上单调递增，所以当f=l时，函数取得最大值为5,故选：B.变式4.已知4VT,则函数丁=8521+收8$工-1)的最小值是()A.1B.1C.2k+1D.2k+1对称轴为X=-K14【解析】解：.y=cos2x+A(cosxI)=2cos2+Acosx-Z-1令r=cosx,则y=2+灯一左一1
9、(一啜)1)是开口向上的二次函数,当1=1是原函数取到最小值1故选：A.变式5.已知函数/(x)=7(sinx+cosx)+!cos4x在x0,2时有最大值为1，则实数一的值为1222【解析】解：函数/(X)=ZW(SinX+cosx)4+gcos4x?(1+2sinxcosx)2+cos4%2zzz(l+2sin2x+sin22x)+(1-2sin22x)2=(?-1)sin22x+2wsin2x+n+g.当n=l时，函数化为：2sin2x+l+1.当sin2x=l时，函数取得最大值，2+1+=2.满足农意.222当相1时，函数化为：(ml)(sin2x+/1.)2+,当sin2x=l时，函
10、数取得最大值,m-2W-I可得?-1+2，+7+,=工，解得z=l,不满足题意.22当犯，时，当sin2x=/1.时，函数取得最大值，此时！/_=,解得?=3，不满2m-n-2m-24足题意.,当_1加时，sin2x=l时函数取得最大值，此时有771-1+2/+机+,=2,解得，=1不满足题意.222综上，n=1.故答案为：1.变式6.已知函数/(#=261114%+854幻+?因114+8$幻4在工60,马上的最大值为5,求实数m的值.2【解析】解：设=sinx,h=cosx11.x0)2则a1+b2=sin2Jt+cos2x=lab=sinXCOSX=-sin2x，2.,.；2X)=2(a
11、4+Z?4)+n(当7=1时，/(x)=+3=2sin2x+3,在X=X时取到最大值5,符合题意；4当Z1时，/(X)=4(m-l)力+2+1!-，2(/n-1)?1由抛物线性质，知：当71时，fWma=/(g)=4(6-DX；+4mx；+2+m=4m+1=5,解得m=l,不符条件，舍去；当TWVl时，若赞Jn则啖m1.2(1tn)22f()mu=/oz.wJ=1=5，解得n=,不符条件，舍去；2(-ni)m-4若gvHl,则/()WU=/(g)=4m+l=5,解得AW=1,不符条件，舍去；若7(sinx+cosx)+c(sinxcosx)例7.函数y=sinxcosx+sinx+cosx,x
12、0,的最大值是_；+及【解析】解：令f=sinx+cosx=夜Sin(X+马，,x0,可得x+工434412.冗、,11,/.sn(x+)-r1*.ZVI，sinxcosx=-2/_11)/.函数y=sinxcosX+sin%+cosx=+r=(r+1)2-122故当f=时，函数y取得最大值为g+故答案为：i+2.2例8.求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.解析解:令F=SinX+cosjt=/2Sin(X+)4Wz/7,23+2V2ye产2+1)=-.变式8.设=sinx8sx,b=sinx+8sx.(1)求,h的关系式；J-y2i舱,则SinXcosx=,2故y=g/+
13、r_g=g+)2_(倡I)2),对称轴是，=-1,故当/=应时，y有最大值g+例9.己知SinX-CoSX=，(I)用/表示sir?X-COS3X的值；(II)求函数y=sinx-COSX+sinx8sx,x0,乃的最大值和最小值.(参考公式：a,-b3=(a-b)(a2+ab+b2)y)【解析】解：由SinX-COSx=f,得1-2SinXcOSX=,即SinXCoSX=21/23113(I)sin3X-cos5X=(sinx-cos)(1+sincosx)=/(1+)=:22(II)由题设知：=2sin(x-),-4444-n(x-)1,24.y=t+-!-=-t1(2)若x(O,g,求y
14、=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.【解析】解：(1),O=SinX+cosx,:.b2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=1+2tz；+r+-=-(r-i)2+1,且T,2j,2222.当f=l时，%=1;当=-1时，Jwzn=-1.变式7.已知x-m，,求函数y=(sinx+l)(cosx+l)的最大值和最小值.62【解析】解：函数y=(sinx+l)(cosx+l)=sin,cosx+sinx+cosx+1.4,r=sinxcosx=2sin(x+-)4r7tTt.7Ur7V37T.X9-J9/.X4,J9624124.,116-2.Sm(X+-)1,44又尸
15、=1+2sinxsx,t2-1.sinxcosx=，2t211.八，.y=-+i=-+i)*22对称轴：Z=1区间走二1,在对称轴的右边，为递增区间.2.v-lf3l2,23(2)由(1)a=-(b2-1)Z?=/2sin(x+)(1J2.24y=a+b=(b2-)+b=(b+)2-1,.h=j2时，y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值为g+.题型四：分式结构，形如y=smx+?ccosxJ例10.求函数)，=3(SinX+2)-5的值域.SinX+2【解析】解：ltly=3(sinx+2)5=3_J.sinx+2sinx+24当SinX=I时，ymu=当SinX=T时，yMUt=
16、-2，函数的值域为例I1.已知x0,211),求函数)，=8SX的值域SinX+2【解析】解：)，=三空SinX+2/.ysin%+2y=1-cosx，：.ysinx+cosx=l-2y,y2解得O效J,：*n(r+。)=1-2y,其中tan。=p2_T+y2l-2y.Sin(X+6)=/,+F.XO,211).x+G,211-).-lin(x+,+),y-,0)(0,-函数的值域为：-亭,亭故答案为:变式10(1)求)，=8S值域2Cosx+1(2)求5=1+sinx的值域3+cosx【解析】解：（1）由y=CoSX可得,cosx=2sx+1i-2y由于一题OS一，即为I言(l-y)(3y-
17、l)(三)?”解得y.l或为g,则值域为（-,J1C1+sinx(2)y=-，3+cosx/.3y+yCosx=1+sinx,即SinX-ycosx=3y-l,yy2sin(x+0=3y-1，3y-l.Sin(X+。)=/,F又一掇Mn(X+。)1,3解得0效卜4即函数），=si”的值域是0,当3+cosx4【过关测试】一.选择题1 .函数y=sinMcosx-sin%）,xR的值域是（）AWB.印竽ITD.呼年【解析】解:函数y=sinX(CoSx-sinx)=sinXCoSx-sin2x=-sin2x-+cos2x-sin(2x+222242v-l三in(2x+-)14故选：D.2 .函数
18、丁=4*-勺八式)的值域为()A.-1,IB.-2,2c4,110.7)【解析】解：函数丁=$皿21-$(/?)的值域为-1,1,故选：A.3.函数y=si?X-SinX+l(xR)的值域是()31A.-,3B.1,2C.1,3D.-,3Ia【解析】解：令SinX=f,则V=*-+=-)?+,ie-l,1,由二次函数性质，当时，y取得最小值当F=T时，y取得最大值3,.y,3故选：A.4 .函数/(x)=sin2+6cosx-j(x0,g)的最大值是()A.1B.3-C.-y3-D.-4443【解析】解：f(x)=sin2x+3cosx-=-cos2x+y3cosx+-44令，=cosX,.X
19、0y,/.r=cosx0,1,则原函数化为=一/+右+工，4其对称轴方程为/=立，2.当，=亭时，y有最大值为1.故选：A.5 .设当=。时，函数f(x)=SinX-2cosx取得最大值，则8s6=()A.毡B.或C.-亚D.-亚5555【解析】解：由题意可得/(。)=Sine-2cosO=J?(ASine-方CoSe)=有，12/.=sinT=COSe=1.55再结合SinO+cos*=1，求得Sine=4=,CoSe=-7=,555故选：C.6.当OxC时，函数/(x)=2ms,+8s加的最小值为()2sin2xA.2B.23C.4D.43【解析】解：当OvxO,2,如一，、2cos2x+
20、Ssin2X2cos2+8sin2x1“C/14.函数f(x)=+4tanx.2J4tanx=4,sin2x2sinxcosXtanxVtanX当且仅当tanx=时，取等号，2故/(x)的最小值为4,故选：C7 .已知函数/()=*1.,则/*)的最大值为()sinx+2A.-2B.-1C.OD.1【解析】解：f(x)=sin2=sinx2-4,sinx+2sinX+24令f=sinx+2,Z13,则y=，+4,t由对勾函数的性质可知y=f+；-4在1,2上单调递减，在(2,3上单调递增，当F=I时，y=l,f=3时，y=g,所以函数/(x)的最大值为1.故选：O8 .已知当彳=-匹时，函数/
21、(x)=sinx+cosx取到最大值，则/(x+四)是()44A.奇函数，在X=O时取到最小值B.偶函数，在X=O时取到最小值C.奇函数，在X=ZT时取到最小值D.偶函数，在X=万时取到最小值【解析】解：由于当K=-乙时，函数/(x)=sinx+cosx取到最大值，4S(a+=ya2+1解得a=1,22故/(x)=cosX-sin=Vcos(x+)，4所以/(X+阴)=COS(x+万)=一COSx,故函数/(x+四)为偶函数，在X=O时，函数取得最小值一1.44故选：B二.填空题9.函数y=Jsin2x+si,xR的值域是.【解析】解：.函数1 C.21.Cl-cos2xI2z2C2.12,z
22、,冗、V=-Sinzx+sn=-sn2x+=+(sin2xcos2x)=-+sn(2x),2 222222224一掇Ikin(2x-?)1,/.-sin(2x-,一也别,雪也，2222故函数的值域为-冬提冬；1,故答案为-也1.也+1.222210 .i()=3sin3+cos3x,若对任意实数X都有(x),a,则实数a的取值范围是.【解析】解：.不等式(x),。对任意实数X恒成立，令Zr(X)=|f(X)H币sin3x+cos3x,则a(x)w,f(x)=j3sin3xcos3x=2sin(3x+)6.-2期(x)2.货户(X)2F(X)M=2.a.2.即实数的取值范围是4.2故答案为：a.
23、2.11 .若X=工是函数/(x)=3sin2x+cos2x的一条对称轴，则函数/(x)的最大值是6解析解：f(X)=3sin2x+cos2x=9+a2sin(2x+。)(其中tan。=1)，又X=工是函数的一条对称轴，6.2-+=-+k11即6=2+&乃，kZ.626由=3tan0=3tan(-+k11)=3tan=W，66f9+=9+3=23.函数f(x)的最大值是2J故答案为：23.12.函数/(x)=sin(2x+1)-3cosx的值域为.317【解析】解：/(x)=-cos2-3cosX=-2cos2x3cos+1=-2(cosx+-)2+一掇Ik)SX1.当COSX=I时，ftni
24、nM=-4,故函数/(x)的最小值为-4,.当8S=-3时，/0)最大为U,故函数/的最小值为“，488.(x)的值域为T，8故答案为：T,.813 .函数y=(2+sinx)(2-8SX)的最大值是.【解析】解：函数y=(2+sinx)(2-8SX)=4+2(sinX-sx)-sinxcosx,设f=sinx-coSX，则f=sin(x-为1.2；4t2=l-2sinxcosx，.I-Z2/.Sinxcosx=，2ZICl-r2lz23y=4+21=-(f+2)+一,222,r-2,2l,函数)，单调递增;.”=应时，y取得最大值是2+g.故答案为：2+2.214 .函数y=如空的值域是_.
25、2-COSX【解析】解：由丁=叵町得GSinX+ycosx=2y,2-cos%/3+VSin(X+)=2y,/2y/.SIn(X+)=I_，7-r0-1,1,解得一掇a137故答案为：-1，115 .若x(0.工)则2tanX+tan(-x)的最小值为22【解析】解：2tanX+tan(x)=2tanx+2tan%VX(0,y),.UmxO,.2tanX+-tanX.2J2tanx=22(当且仅当tanx=正时，等号成立)VIanX2故答案为：2版.16 .当0x匹时，函数/(。J+8S2%+8sin?”的最小值为_.2sin2x【解析】解：COSX/.4sinx,、l+cos2x+8sin2
26、x8sin2x+2cos2x4sinxf(x)=sin2x2sinxcosxCOSX而且仅当4si112=cos2X时等号成立.故答案为：417 .已知函数/(x)=SinX+75COSX,则/(x)的最大值为.【解析】解：函数/(x)=SinX+Gcosx=2sin(x+,.(X)的最大值为2,故答案为：2.18 .当0xtanx-tan工，,244/(x).4.19.函数/(x)=2sin(2x-为在x-工，。上的最大值为644【解析】解：.x-工，-,4411、444则当3x+(=函数/(幻取得最大值，此时/(X)=后呜=&,当3+(=半时，函数/(x)取得最小值，此时f(x)=si吟=
27、-应，即/(x)值域为-,m21.(1)求函数y=3-4cos(2x+M),xe-巳的最大值和最小值及相应的X值.336(2)求函数y=cosx+2sinx-2,xA的值域.(3)若函数/(X)=-Sin2+cosx+2,x0,工的最小值为，求”的值.22【解析】解：(1)y=3-4cos(2x)xe-,.当2x+至=O时取最小值，最小值为T,x=-,362+X=型时取最大值，最大值为5,即X=1.336.x=-工时，y取最小值为-1,6X=?时，y取最大值为5;(2) y=cos2X+2sinX-2,=-sin2x+2sinx-l令SinX=f,/-lI,y-t+2/11t11,由二次函数图
28、象可知，对称轴为1,.y在定义域T,1上单调递增，y的值域为-4,O.，函数y=cos2+2sinx-2,xR的值域T,0：(3) /(x)=-sinC6.ICOSZXSin2x+1Ir211/711IR=2=cs=cos2x+-sin2x+=(z-cosIx+sin2x)+1=z-sin(2x+)+1，24422223即/(幻=VSin(2x+g)+l，令2%乃一2碘x+乙2k11+-,keZ解得匕r-kk兀+巴,kwZ,x+acosx+2,x0,./(x)=cos2x+6tcos+1,x0,令CoSX=f,r01,/.f(t)=t2+at+,r0,1,由二次函数性质可知：0,当对称轴即2不
29、成2当人-日取最小值,222 .已知函数/(x)=2-cos2(x+-SinA.(1)求函数y=(x)的单调递增区间；(2)若函数g(x)=(x+)(OVoV马的图像关于点(工,1)中心对称，求y=g(x)在C白上的值域2263【解析】解：(1l+cos(2x+-).Ccos2.vcos-sin2siij-+1._C-cos2x-sin2x+11C/(x)=2-csi(x+i)-sin1x三253l=221.三2-21三所以函数的单调递增区间为伙乃-三,以+2,kz.1212(2)因为g(x)=f(x+)=sin2(x+)+=-sin(2x+2+)+l,又g(x)的图像关于点(1,1)中心对称
30、，jr2乃1所以TT+Ze+=攵乃,ZZ,解得*=-+-kr,kZ,因为OVe所以sin2xw旁,1,所以g(x)el-.24即y=g()在巴刍上的值域为.632423 .已知函数/(x)=2SinXCoSx-2cos。.(1)求函数y=(x)的最小正周期和严格递减区间；(2)若g(x)=(x)+l,x0,-J,求函数y=2*)的值域.2g(x)+2【解析】解：(1)/(x)=2sinXCosx-2cos2x=sin2x-(I+cos2x)=J1sin(2x-)-1,4所以最小正周期T=二=乃，2令24一工(2A%+M,2k11+)AeZ,则x伏乃+四，k11+)ZeZ,42288故最小正周期
31、为乃，严格递减区间为(如r+池，+),Z.88(2)(x)=/(x)+1=/2sin(2x-),4因为w0,所以2-工，,所以g(x)T,2,2444故y=2g(x)-2(g()+2)-4=24卜2,-2+22.g(x)+2g(x)+2g(x)+224.已知函数f(x)=(sinXcosx)2-23cos2x+(I)求/(x)的单调递增区间；(2)求函数y=f(r+三),x呜的值域.【解析】解：(1)由三角函数公式化简可得：/(x)=l+sin2x-23.-cs2x3=sin2x-3cos2x+l=2sin(2x-y)+l由24一乙强必T一代2k11+-k11-ck11+-,keZ,23212
32、12.(x)的单调递增区间为：k11-,k11+-lkeZ1212(2)由(1)1111y=f+)=2sin(2x-)+1126砥k,.-亚、2666殁)in(2x)1，326.函数的值域为：0,325.已知函数/(x)=(SinX+8SX)*+cos(2x+马一1.求：6(1)函数/*)的最小正周期；(2)方程/)=0的解集；(3)当x工刍时，函数y=(x)的值域.44【解析】解：(1)函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos(2x+工)-l=l+sin2x+且cos2x-sin2x-l622sin2xJ3.11、=-+cos2x=sn(2x+),故它的最小正周期为旦=乃.2(2)由/
33、(x)=0,可得sin(2x+?)=O,，2x+?=4乃，ZZ,求得工=自?左Z,故方程/(%)=0的解集为lx=?后,ZZ.(3)当x-军,巳时，2x+-C,，/.sin(2x+-)-i14436632故函数y=f(x)的值域为126.已知函数/(x)=2sin(2x+工)+mR,。是常数6(1)求/(,)的值(2)若函数/(外在-工,刍上的最大值与最小值之和为1.求实数的值.44【解析】解：(1),f(x)=2sin(2x+)+a,awR,6f()=2sin(1)+=2+(3分)336(2)因为-,44A11r11111/.2,x+-633.sin(2x+)w-*，1.(6分).-J+期(
34、X)2+a.(9分)即)=2+,ymin=y+a,由已知得-J5+2=.a=3-l.(12分)27.已知函数/(x)=Jsincos-sin2；.(1)求/(幻的最小正周期；(2)求f(x)在区间-万，0上的值域.【解析】解：(1)f(x)=V2sin-cos-sin2=2.-sin.r-J_CSA=sin(x+)-2222242.J(幻的最小正周期为斗=2万/r、rCl43万TT.71。21.7.212C(2)X-7909.X+9-,.Sin(X+-)-1.*.Sin(X+)-1,0，故/(%)的值域为28.求函数y=si?的值域.sx+2-1【解析】解：.函数y=sm1.,Asinx-I=ycosx+y2y-y=Ot即SinX-ycosx=(近一l)y+1,COSX+2-l即Jl+y2sin(x+)=(y/l-l)y+l,即Sin(X+0)=(%.+J2根据ISin(X+。)|”1,求得I(巴一+11,1,平方化简可得(2-2)F.2(-l)y,+7即My-I)0,解得V1，或为0，即函数的值域为y.l,或为02321212
