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1、控制工程基础期中小测一、如下图所示的机械系统，输入位移玉）,输出位移。1）建立系统的微分方程式；2）求系统的传递函数。卜sk2x0(t)ZZzZZ根据牛顿定律可得系统微分方程为B(.(O-(zu)+c1(xz(O-(O)=k2xo(t)口分)进行拉氏变换得B(SXi(三)sX,(三)+K(Xi(三)X。(三)=BX。(三)(1分)整理得系统传递函数为G(三)二区应=-Bs+h-Xi(三)Bs+k,+k.(2分)I14。二、求下图所示电路图的传递函数，其中“为输入电压，为输出电压，1.为电感，R为电阻，C为电容。(10分)R1根据欧姆定律可得系统微分方程为71.l+Ri+u(t)=uXt)dt0
2、1i=CMt)dt1.Ciio+RCu0(，)+Uu(，)=ui(Z)(3分)进行拉氏变换得G(三)=Uo(三)1.Cs2Uo(三)+RCsU0(三)+UO(三)=Ui(三)(3分)整理得系统传递函数为Ui(三)-1.Cs2+RCs+1(4分)三、化简方块图，写出具体步骤R(三)C(三)图略(8分)G(三)=G1G2G3+G1G41+G1G2G3+G1G4+H1G2G3+H1G4(2分)P(s=s+l四、求函数I”(s+2)(s+3)的拉氏反变换FXS)=5+1ab(2分)=1(s+2)(5+3)5+2(S+3)求得：a=-lb=2(6分)则原函数为了=(一2+23)1Q)(2分)五、设单位反
3、馈系统的开环传递函数为C(三)=S(S+4),求该系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。系统闭环传递函数为G(三)=/+4s+7单位阶跃响应为x(+752+45+715+22l(s+2)2+3-(s+2+3(3分)经过拉氏变换得单位阶跃响应原函数为xo(O=(l-e2tcos(30-e2tsin(V3O)-1(0,)八、3(2分)单位脉冲响应为77XO(三)=Xj(三)G(三)=1=zC八、0z52+45+7(5+2)2+3(3分)经过拉氏变换得单位脉冲响应原函数为=AejSin(后)l(r)(2分)六、系统结构如下图所示，试求系统的最大超调量b%和调节R(三)25S(S+5)C(三)化简框图的G
4、(三)=25+5s+25（5分）%=16.3%k=l2s(5分)=M=et/sn(5%)s-.4(2%)七、系统方块图如下图所示，输入w=54w，求系统在厂”）、）各自单独作用下的稳态误差和两者共同作用时的稳态误差。0.051y2+1.251y+5稳态误差传递函数输出：=0.05/+.25s+555552.5(0.055+1)0.05/+1.255+5510.05-+1.255+5(打稳态误差传递函数输出：G(三)=稳态误差：0.05?+1.255+5512.5(005s+l)_1.25稳态误差：0.05/+1.255+55551.2555+=共同稳态误差555544八、系统的方块图如下图所示
5、1.求系统的单位阶跃响应；2.当输入正弦信号M%)=2sinji山时，系统的稳态响应。3.求系统的阻尼比和固有角频率。X(三)+Y(三)WT101.传递函数：+45+10110阶跃：752+45+10拉氏反变换:110_15+4Ss1+45+10S52+45+109I-e2tsin(V602e2tcos(V)2G(G)=G(10)三10-(o+4jco+10,一丁JA(M)=乎O(TiU)=-1输出x()=乎sin(i?-y)3.4=孚n=M第2草系统的数学模型（习题答案）2.1 什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运
6、动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。2.3 图（题2.3）中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中Xi表示输入位移，X。表示输出位移，假设输出端无负载效应。uIxo(b)题图2.3解：图（八）：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得ClarGCM9=E九整理得d2x9dx9dxim2+（Q+s）=q工at*atat将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
7、ms：+（勺+于是传递函数为M)=Q图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A,并设A点位移为X,方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程:修(XrX)=Cab.)K：%=CcF:消去中间变量X，可得系统微分方程u(A+4)等+2=如年GICtt对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为二的$图(C)：以右的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程C年+(4+&区=C9+&Xi对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即Cf(O)=Xo(O)=C则系统传递函数为t(
8、三)CSKl丽=(&+&)2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压与。）和位移Z为输入量；电压七和位移毛为输出量；,勺和心为弹簧弹性系数：/为阻尼系数。题图2.4解Ig)方法一：设回路电流为根据克希霍夫定律，可写出下列方程组:Ur=I/7dt+UcUC=Ri消去中间变量，整理得：duRCjdt=RC虹dt方法二:C(三)_R_RCSUr(三)-RCS+1K4Csdudu=RC工+u,.=RCydtdt一察）=也(C)也=V=&Cs+lUrG)a+&+_1.(舄+与心+112Cs=(6+凡)。丝+/=凡。也+%i2dt12dtrS）由于无质量，
9、各受力点任何时刻均满足Z/=o,则有:fdxrfdxr=-+=T-kdtkdt（4）设阻尼器输入位移为儿，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程/f)=母=FFxCuXr结论：3）、S）互为相似系统，（c）、3）互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。题图2.5【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。UC(三)_%+X&1.CR/rG)R1+(+R2)/1.s-+R1(舄+&)。+(RlR2。+上)$+舄CsCsRlH2S(三)_1Cr_RACC2$+(RG+R2C2)s+1国_(R_1.)+R+_1._RAcGS2+(Ce+&。2+
10、RCz)s+1,C1s”C2SS2/泅加)Ur(三)Rl+-(R2+1.s)7?2+心Rl1.cS2+(RlR2。+1.)S+Rl+R2(/?+)/?(d)=Fr+rX-1-Ur(三)(/?+)/?+(/?+)/?+R+GSC2SGSC25Cs-2GC2y2+2RGs+l2c1c252+(2ec1+/?c2)j+i2.6求图（题图2.6）所示两系统的微分方程。题图2.6解（1）对图（八）所示系统，由牛顿定律有KrA到=叫财m刚0=0（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有甯）*5。二四电其中kfs+k32.7 求图（题图2.7）所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Gn为圆周阻尼，J为转动惯
11、量。圆周半径为R,设系统输入为（即M（t）,输出为9（即题图2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：（M=J正CQ啊R-X）（JW-x）=BriH-Cx消除中间变量X，即可得到系统动力学方程mw-K三l-J）9,+（R2km+Cmc+kJ）8（cR2+Cm）i=N+&+JM2.8 求图（题图2.8）所示系统的传递函数（尸9为输入，玖C9为输出）。解分别对m1,m2进行受力分析，列写其动力学方程有/_ir2_)=0时:若以E)为输出，有Ge=黑=：若以致$)为输出，有G“a二若以8为输出,有Glw=第=舞蜡岔若以EQ)为输出，有GE(三)=酗一M)计仇302O)Va)(2)
12、以NG)为输入，当R(三)=O时:若以C为输出,有G式小黑勰砺若以汽D为输出，有GrG)=需=箫畿若以8为输出，有G加卧JgM若以氏S)为输出，有Gw)=煞=,W(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。2.10求出图(题图2.10)所示系统的传递函数X0(三)Xj(三)题图2.10G&G.G,%(r)1GG2G3G4f3+G1G2G3H2GGH1+GGBs)=G1G2C3G4JtxJ)1-G1G2G3G4H3+G1G2G3H2-
13、G2G3H1+G3GH42.11 求出图(题图2.11)所示系统的传递函数X.(三)/Xj(三)。G三(三)=GyG2G3+G41+(16263+G4)H3-GtG2G3HlH2题图2.112.12 图（题图2.12）所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。办代表汽车质量，B代表振动阻尼器，储为弹簧，/W2为轮子的质瓶降为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。题图2.12问题2质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m，代表汽车质量，B代表振动阻尼器,Kl为弹簧，m2为轮子的质量，K?为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。解答：m=fl（5宗）-Zdx2fn2=心-B)-K1(X2-X1
14、)-Jr2Z2(ml5a+E$+KI)XIK)(Bs+Kl)X2(三)=O一(BS+Kl)XlG)+m2s2+Bs+(K1+K2)X2Qs)=F(三)y1(三)Ss+/F(三)TnITn2s4+ff(m1+ma)s3+(JC1m1+KIm2+lf2mx)2+JC2Ss+KtK22(三)_m1s2+Bs+K1F(三)-m1m2s4+B(m1+m2)ss+(I1m1+Kln2K2m1)r2+K2Ss+K1K2213液压阻尼器原理如图（题图2.13）所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设Xj为输入位移，4为输出位移，弹簧刚度，C为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。解:1）求
15、系统的传递函数活塞的力平衡方程式为kx0=C；阳-at经拉氏变换后有kXo(三)=csXi(三)-X0(三)解得传递函数为G(三)=X(三)=TSXi(三)7j+1式中，T=RC为时间常数。2.14 由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图（题图2.14）所示，试求闭环传递函数UCG）IUr（三）Ci题图2.14解：%G)=-N也=.三(2)也=y0(三)+vl(三)RuJUm)仆JU2R0式(1)(2)(3)左右两边分别相乘得三-.3即tG)iOa1A1%(+($)_RoSS(三)ROS一隔一Z1Z2R2+或面一羽田三ss=-%(三)_Z2%_G“1J2很=一百=一时吟=含=&(T1s+1)
16、C2sR0,+122.15 某位置随动系统原理方块图如图(题图2.15)所示。已知电位器最大工作角度61.x=330,功率放大级放大系数为K?,要求：(1)分别求出电位器传递系数K0、第一级和第一级放大器的比例系数KI和K2；(2)画出系统结构图；(3)简化结构图，求系统传递函数2(三)(三);题图2.15位置随动系统原理图解：三5=三=3三=2(2)力(三)=彳()-4G)u.G)=K(Aa)UG)=l29u%($)=MG)+t(三)E(三)Mm(三)=J/W%(三)+(三)=MJR(三)Me(三)E(三)=KbeOG)系统结构图如下：(3)系统传递函数4(三)dQ)90)祠K0KlK2Ka
17、KqK1K2KsJrW4十32OrSyK0KlK2KaCms(M+%)(/S+/)+Jk.+K0KtK2KaCn2.16 设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图(题图2.16)所示，要求：(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；(2)画出系统结构图(设可控电路传递函数为K2(qs+l)；电流互.感器和测速发电机的传递函数分别为&和)；(3)简化系统结构图，求系统传递函数。(三)U,(三)c题图2.16直流电动机调速系统原理图解：(1)速调Uk(三)_ZI_/+不K1Gs+1-T1S1UlK)-U/($)一瓦_-RClsRC1S流调UXr(三)Z2_&+*_gC2+1_T2s+1。门_0S(三)=至=五=RC2S=RC2S(2)系统结构图如下(3)简化结构图，求系统传递函数n(三)4(三)因为求系统传递函数n(三)ul(三),所以令Mc=O,系统结构图如下:将K4后移到输出Q,系统结构图化简如下:进步化简得:进一步化简得:KJqF(华1)3sGRQs(IrRrjGCj(1k1)+RRQJT2s+l)+K5K3Q-EEXTN)所以:品璃(3+I)g+DC1s(CmRMas+)(m+/J+CrCm(3s+l)+K1K4Cm(m+fJ)+KiKsCi(T2s4
