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1、湍流的数值模拟一、引语流体的流淌形态分为湍流与层流。而层流是流体的最简洁的一种流淌状态。流体在管内流淌时，其质点沿着与管轴平行的方向作平滑直线运动。此种流淌称为层流或滞流，亦有称为直线流淌的。流体的流速在管中心处最大，其近壁处最小。管内流体的平均流速与最大流速之比等于0.5,依据雷诺试验，当雷诺准数引Re2320时，流体流淌状态开头向湍流态转变，湍流是一种很简单的流淌状态，是流体力学中公认的难题。自从19世纪末OReynolds提出湍流的统计理论以来，已经有一个多世纪了，经过几代科学家的努力，湍流争论取得很大进展，但是仍旧不能满足工程应用的需要，以至于常常有悲观的论调侵袭湍流争论。为什么湍流问
2、题没有圆满地解决会受到如此关注呢？由于湍流是自然界和工程中特别普遍的流淌现豫，对于湍流问题的正确熟悉和模化直接影响到对自然环境的猜测和工程的质量。例如，当前影响航天器气动力和气动热猜测精确度的主要障碍是缺乏牢靠的湍流模型。和其他一些自然科学的准题不同，解决湍流问题具有迫切性。湍流运动的最主要特征是不规章性，这是大家公认的。对于湍流不规章性的深化熟悉，是一百多年来湍流争论的上要成就之一。早期的科学家认为，像分子运动一样，湍流是完全不规章运动。类似于分子运动产生黏性，湍流的耗散可以用涡黏系数来表述。20世纪初，一些杰出的流体力学家，相继对涡黏系数提出各种流体力学的模型，如Tayk）r（1921年）
3、的涡模型，PraUdU（1925年）的混合长模型和vonKarman（l930年）相像模型等。当科学家用流体力学观念（不是分子观念）来建立湍流耗散的涡黏模型时，就开头考虑连续介质不规章运动的特点，其中有别于气体分子不规章运动的最主要特点是运动的多尺度性。第一个提出流体湍流运动中多尺度输运特性的科学家mchardson（1922年）曾描述湍动能的多尺度传输过程如下：“大涡包含小涡，并喂予速度；小涡包含更小的涡，如此连续直到黏性耗散二多尺度的思想导致产生描述多尺度的谱概念和谱分析方法，并最终产生了Kolmogorov（1941年）的局部各向同性的通用谱（即5/3谱）。湍流不仅是多尺度的而且是有结构
4、的运动。20世纪中叶，大量的湍流试验（包括测量和显示）发觉多尺度的湍流运动存在某种特殊的运动状态。Townsend（1951年），Corrsin（1955年）和LUInley（1965年）等从脉动序列的间歇性和空间相关相继推想湍流结构的可能形态。理论上也提出过各种湍涡的模型：球涡模型，柱涡模型等。早期的湍流结构主要是从运动学上考虑，把旋涡结构作为湍流统计的样本。我们国家的周培源教授是近代湍流模式的奠基人之一，他首先提出先解方程后平均的统计方法，就是说湍涡必需满足Navier-Stokes方程（ChouandChou,1995年）。真实的、可以观看到的湍流结构通过流淌显示，以及稍后湍流直接数值模
5、拟所证明。典型的例子是混合层的BrOWn-ROShko涡（1976年），图1明显地展现了混合层中存在规章的大涡和分布在大涡四周的细小湍涡。在边界层、槽道和圆管湍流中也存在各式各样的大涡结构。例如，用激光诱导荧光的显示方法，我们可以在圆管湍流中观看到周向（图2a）和流向大涡（图2b）。值得提出的是，不仅在剪切湍流中有大涡结构，简洁的匀称各向同性湍流中也存在涡结构。图3展现的是各向同性湍流的直接数值模拟中强涡量等值面，它们是管状结构。认真分析还可以确定管状涡的平均长度约等于各向同性湍流的积分尺度，它们的平均直径约等于湍流TayLor微尺度，更进一步分析可以算出管状涡内部的平均速度场，它们接近于BU
6、rgerS涡，即有轴向拉伸的柱状涡，在管状涡之间错综简单地分布着各种尺度的树叉结构。全部以上发觉充分说明：无论是简洁还是简单湍流,都存在肯定的涡结构.大尺度结构的发生是不规章的，就是说，在长时间和大范围来观看，大尺度运动结构发生的地点和时划是不确定的.因此在大样本统计中我们不行能发觉这种结构，这就是为什么经典的长时间统计未能察觉它们的缘由。另一方面，大尺度运动结构一旦生成，它以肯定的动力学规律演化，因此湍流大尺度结构又称拟序结构,或相干结构。举例来说,在湍流边界层、槽道或圆管湍流的近壁区(5Y+雷诺平均模拟(ReynolcISAvemgedNavier-Stokes,RANS)和大涡数值模拟(
7、LargeEddysimulation,LES)O1直接数值模拟(DNS)DNS依据非稳态的N-S方程对湍流进行直接模拟，计算包括脉动在内的湍流全部瞬时运动量在三维空间中的演化。1.1掌握方程用非稳态的N-S方程对紊流进行直接计算，掌握方程以张量形式给出：a%u,1p 2主要方法1. 2.1谱方法或伪谱方法u方恒=八一遥福(1)所谓谱方法或伪谱方法，粗略地说，就是将各未知函数对空间变量绽开，成为以下形式：叭“)=XWPa)Wm(町电(盯)Y(X,)mW.Vp2(U)采用滤波器对湍流速度场过滤，过滤后的速度脉动中不存在过滤尺度以下的脉动成分，称为可解湍流：Ui(X,t)=Au(J.t)Gx-y)
8、dyP(12)用盒式滤波器对NaVieStokeS方程做过滤运算，对于匀称盒式滤波器，过滤运算和空间图时间导数运算可交换，这时可解尺度流场的基本方程如下：%-M12u/-、五电二-WV五百十五;(U如一明)(13)公式(13,14)是可解尺度湍流的掌握方程，它包含未知项%=(%-%.),称为亚格子雷诺应力。亚格子应力是可解尺度脉动和过滤掉的小尺度脉动(称作不行解尺度脉动，或简称不行解脉动)间的动量输运，它需要用模型予以封闭。通过以上简要介绍，可以理解湍流大涡数值模拟的优越性：(1)和雷诺平均模型相比，大涡数值模拟的亚格子模型具有较大的普适性。湍流大涡数值模拟方法中需要封闭的量是亚格子应力，它和
9、大尺度脉动的相关微弱。亚格子应力是不行解小尺度脉动和可解尺度之间的动量交换，它和猛烈依靠于流淌边界的大尺度脉动相关性很小，因此合理的亚格子模型将有较大的普适性。(2)湍流大涡数值模拟可以获得流淌的动态特性，而雷诺平均模型只能供应定常的气动力特性。湍流大涡数值模拟的解包含大于过滤尺度的全部脉动，由此可以获得速度谱以及气动力谱等，这些动态气动力特性对于近代航天器设计是特别重要的。(3)湍流大涡数值模拟比直接数值模拟节约很大的计算量。我们知道，抱负的湍流直接数值模拟需要包含全部尺度的湍流脉动，一般最小的脉动尺度等于KoImogoroV耗散尺度/流淌的最大尺度L由流淌的几何条件确定。直接数值模拟的一维
10、网格数应为:NDNS-Lt而大涡数值模拟的一维网格数为乙/A可以节约网格数(NDj-(Nt=1-(户(Wdns)假如过滤尺度等于2倍柯氏耗散尺度的话，就可以比DNS节约87.5%的网格。这里我们可以看到完全的湍流直接数值模拟中，绝大部分的计算量花费在耗散尺度中，对于高雷诺数流淌，这是很不经济的计算。湍流大涡数值模拟有以上的优点，人们盼望这种方法可以用于实际工程设计。事实上，湍流大涡数值模拟方法早在20世纪60年月就提出来了，几乎和湍流直接数值模拟平行进展。由于人们对于计算机的进展过于乐观，期望抱负的湍流直接数值模拟能够很快应用于工程实际，大涡数值模拟的争论曾经一度被忽视。直到20世纪90年月初
11、，人们熟悉到实现抱负的湍流直接数值模拟太遥远。于是，湍流界重新侧重湍流大涡数值模拟的争论，并且取得可观的进展。例如，提出了非匀称过滤器的合理设计，以减小交换误差；明确了湍流大涡数值模拟方法必需具有2阶以上的精度；提出了亚格子动力模式等。与此同时，湍流大涡数值模拟在一些典型简单湍流算例的考核中取得了很好的结果；例如，平面扩压器、绕圆柱流淌等。本文这部分首先陈述正确应用湍流大涡数值模拟方法的要点和进一步需要争论的问题，包括：脉动的过滤、亚格子模型的大涡数值模拟中的特殊问题；本文强调大涡数值模拟中亚格子应力的本质是可解尺度湍流和不行解尺度湍流间的输运，精确反映该机制是建立合理亚格子模型的正确途径。其
12、次介绍我们提出的新型亚格子模式；文章最终是关于大涡模拟方法的简要展望。3.1 合理的过滤尺度和过滤器的设计湍流大涡数值模拟方法的基础是将耗散性的小尺度脉动过滤掉。合理的大涡数值模拟结果应和过滤尺度无关。高雷诺数湍流具有局部各向同性，我们可以将湍流脉动划分为三个尺度。耗散尺度7、含能尺度湍动能最大值的尺度)和惯性子区尺度匕。惯性子区尺度具有以下性质：LAQq(15)我们知道在惯性子区中的湍流脉动具有普适的统计特性，如-5/3次方能谱等。假如湍流大涡数值模拟过滤尺度在惯性子区内，则亚格子湍流的输运特性具有某种普适的性质。通常含能尺度和平均流淌的特征尺度同一量级，比如，湍流边界层中含能尺度和边界层厚
13、度同一量级，即L惯性子区尺度和湍流脉动的泰勒微尺度同一量级，即L鼠因此湍流边界层内过滤尺度应在以下范围内：64(16)过滤器尺度可以大于或等于计算网格尺度，而在几何结构上空间过滤器应和网格相匹配。假如数值计算采纳匀称网格，三维空间过滤器是等尺度的，这种匀称过滤过程和求导数运算是可交换的，前面导出的公式(13,14)是精确的。然而，简单几何绕流的计算网格总是非匀称的，这时，空间过滤也是不匀称的，非匀称过滤过程和求导数运算不行交换，前面导出的公式(13,14)中有残余误差。已经证明，非匀称过滤的残余误差和过滤尺度的平方成正比；同时文献中提出了修正过滤器的方法以减小残余误差。总之，过滤器和求导的交换
14、性曾经是一个问题，而现在已经有设计可交换过滤器的指导性原则。3.2 亚格子应力的模型亚格子应力模型是湍流大涡数值模拟的核心问题。最早提出的亚格子应力模型是参照雷诺平均模式的唯象涡粘模型，例如，至今还常用的SmargOrinSky模型：*=2博-yrUy=(Ga)0(2W-4rg(17)SmargorinSky模型认为亚格子湍流具有混合长度型的涡粘系数，混合长度和过滤尺度同一量级，并用各向同性湍流的统计特性确定模型常数C=18。稍后，有人参照雷诺平均模式中的k-模型的思想，建立亚格子涡粘模型。它们同属涡粘类模型，而改进甚少、但计算量增加，所以没有得到推广。涡粘模型的最大优点是简洁，假如调整模型系
15、数能够保证模型的亚格子耗散和实际亚格子耗散全都，SmargOrinSky模型可以得到相当好的数值结果。例如，在槽道或边界层中往往设置C=O.10,或者更小。SmargorinSky模型属于耗散型，就是说，在流场中任意一点都是从可解尺度湍流向不行解湍流输送能量，而不存在相反方向的能量传递，即所谓逆传。而在实际简单湍流中，已经发觉可能存在局部逆传。SmargOrinSky模型的主要缺陷是总体上耗散过大，它属于唯象论模型。前面曾经指出：亚格子应力实质上是可解尺度湍流和不行解尺度湍流问的动量输运。从输运机制动身建立亚格子应力模型是正确的途径。尺度相像模型(SSM)假定可解尺度中的最小尺度脉动和不行解尺
16、度脉动具有相像性，依据这一假定，可以导出亚格子应力：_*=C8a(uiU;-Ufij)(I8)式(18)中系数C“二1。公式(18)的优点是能够比较精确地表达可解尺度和不行解尺度间的动量输运关系，这一点已由各向同性湍流的直接数值模拟结果证明。由于SSM模型抛弃了涡粘假设，它不是单纯耗散性的，既可以由可解尺度湍流向不行解尺度湍流输送能量，也可以有逆传。然而，SSM模型的致命缺点是严峻耗散不足；此外，由于存在逆传(相当于负涡粘系数)，数值计算的稳定性很差。综合SmargOrinSky和SSM模型各自优点，进展了混合模型，即将两个模型做线性叠加：*=(丽-而)-CNbgSP2(19)混合模型既有正确
17、的亚格子动量输运；又有足够的亚格子耗散。在简洁湍流算例中证明这种模型是比较好的。类似于尺度相像的思想，20世纪90年月进展了动力模型。动力模型实际上是动态确定亚格子涡粘模型的系数。动力模型需要对湍流场做两次过滤，一次是细过滤，细过滤后再做一次粗过滤。动力模式的基本思想是：粗过滤中的小尺度脉动和细过滤的脉动相像。依据这一原则就可以确定亚格子涡粘模型匕=CNl6I中的系数:c=LM2NAfM(20)11I_式中：Lii=(U公厂UjUp-J(ujuy-ukuk)yMi=a2sSy-上标“表示细过滤，上标一表示粗过滤，a=。和1分别是粗过滤器和细过滤器的长度。动力模型确定的系数可能是负数，就是说动力
18、模型可以有逆传，动力模型的计算量比常规涡粘模型多约30%。除了物理空间的亚格子模型外。还有谱空间中的亚格子涡粘模型。对于简洁的匀称湍流，谱分解是精度很高的数值方法。在谱空间中，湍流大涡数值模拟采纳低通过滤，即设定截断波数鼠，大于截断波数的脉动全部过滤掉。过滤掉的不行解脉动对可解脉动间的输运用涡粘系数表示，谱空间的湍流大涡数值模拟方程可写作：a3t+(y+v,)2ufc(A,0=-ikp，-厢W碗：(4)=0(21)角标表示小于截断波数的可解尺度脉动；上标八表示谱重量。谱空间的涡粘系数匕可以用理论分析方法导出，目前，广泛应用的谱涡粘系数由EDQNM理论(准正则马尔科夫湍涡)导出如下：Mk,k)=
19、0.267(友)/月产2匕*“/儿)(22)叭“(4/七)是无量纲函数，在匀称湍流的一系列计算中，己经证有用EDQNM模型导出的谱涡粘系数能获得很满足的结果。然而，谱方法只适用于简洁边界的湍流。在局部各向同性的假定下谱涡粘系数可以用物理空间的2阶速度增量表示，称为亚格子结构函数模型：匕二0.015CJ3z2Fic(x,iz2,Ff(X,)=(X+el)-u(23)式中G=L4,是过滤尺度。亚格子结构函数模型和SmargorinSky模型有同样的缺点：是纯耗散的，且耗散过大。我们知道亚格子应力是可解尺度湍流和不行解尺度湍流间的动量输运，正确表达动量输运才能构造好的模型。谱空间的涡粘模型具有这种品
20、质，因此在匀称湍流的大涡数值模拟中能取得好的结果。尺度相像模型和动力模型考虑到可解尺度和不行解尺度湍流间的关系，它们对唯象的涡粘模型有较大的改进。但是，简洁的相像关系并不能充分表达可解尺度湍流和不行解尺度湍流间的输运关系，因此，这类模型尚不能令人满足。将在后文提出一种新的亚格子模型，它能正确包含可解尺度湍流和不行解尺度湍流间的输运关系，并在实例中得到很好的验证。3.3一种新型亚格子涡粘模型前面已经指出，亚格子模型是湍流大涡数值模拟的关键，目前，大多数的模型是唯象性的，存在致命的缺陷。建立可解尺度湍流和不行解尺度湍流间的输运关系是构造合理、精确的亚格子模型的正确途径。例如，有人用多尺度分析，有人
21、用拉格朗日平均来建立亚格子模型，这些都是新的尝试。作者从大涡模拟基本方程动身导出大涡的KOlmogoroV方程，该方程包含可解尺度和不行解尺度湍流间的正确输运关系，并可导出涡粘系数的理性表达式。新型亚格子涡粘模型的基本思想是：湍流脉动具有局部各向同性，并且可解尺度湍流也具有局部各向同性；亚格子应力可以用涡粘系数来计算。依据以上假设，可以导出可解尺度湍流的KoIinogorOV方程：0=6攀_功,“-4+6Q(24)式中=u(x)ru(x+)=刈谭。等是可解尺度湍流和不行解尺度湍流间的动量交换。式(24)中功,和山分别是可解尺度湍流的3阶和2阶结构函数:D,h=(u(x+S)-U(x)在各向同性
22、湍流和槽道湍流中考核新亚格子模型，都取得满足的结果。用已有的 槽道湍流直接数值模拟结果对大涡数值模拟的猜测结果加以检验，结果示于图4、 图5和图6(图中MKM是直接数值模拟结果)。所得结果表明新亚格子模型的猜测结 果是相当令人满足的。用同样方法可以导出可解尺度标量湍流的Yagi。In方程(它 相当于可解尺度速度脉动的KOImogoroV方程)：- D捌 + 2%= 0J式中却=3%6)采用亚格子涡粘系数，亚格子湍动能耗散可表示为：e/=2o于是，可得亚格子涡粘系数的表达式：-8喇3Dld(27)(28)-5SltDfwLES有望实现。有了牢靠的大涡数值模拟方法后，湍流掌握和气动噪声就有牢靠的猜测工具。精确熟悉标量湍流的机制，特殊是可解尺度和不行解尺度湍流间的输运机制，是实现湍流混合、弥散和化学反应过程大涡数值模拟的关键，这是本世纪初具有挑战性的湍流争论课题。超高速可压缩流淌的亚格子模式是另一个挑战性的湍流争论课题，目前，对它知之甚少，然而对于航天器的设计是必需解决的问题。图1混合层的BroWnROShkO涡(1976年)(a)通过圆管轴线的纵截面(b)垂赢轴线的横截面图3各向同性湍流中的涡结构
