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1、专题05空间直线与平面-期末真题分类汇编（上海专用）学校:姓名：班级：考号：一、填空1 .若AW1.BWt,RAea,Bea,K（项数学符号）2 .“平面。经过直线八8“用集合符号谱=可表示为.3 .ABC：点不在同一出线上，则经过这.个点的平面有个.二、单选Al4 .下列条件不能确定一个平面的是A.不共线三点B,内线和直城上一点C.两条平行百线D两条相交直线5 .已知直战人平面“，与。相交”是“/与。至多有一个公共点”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D既非充分又非必要条件三、填空6 .在正方体ARCD-ABC附中，点M是核Cn的中点，则真践AM与直战CC,的位置关系是.7
2、.已知“y表示三个不同的平面，11a,且yc=,yc/?=，则在线“，/）的位四关系是.四、单逸遢8 .如果直城“和b没有公共点,那么与b（）A共面B.平行C.可能平行，也可能是界面直战D.是界面直战9 .下列命题是假命题的是.A.不在平面上的一条直建与这个平面上的一条直线平行.则该白跷与这个平面平行B.如果一条出线与平面上的两条直线都垂自，则该宜城与这个平面垂直C.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行D.如果一个平面经过另一个平面的一条垂规，那么这两个平面率口10 .已知宜线。力和平面%若aia,则“1.“是的()条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分
3、又非必要11 .下列关于宜城与平面垂H的判断中，正确的是().A.若出线”与平面4内的一条出线垂直.则直线。与平面。垂直B.若直线。与平面。内的两条平行直线垂瓦，则直线“与平面垂直C.若直线。与平面。内的两条相交R线歪出，则直城“与平面.垂直D.若直线“与平面内的无数条直线垂直.则直线。与平面垂直12 .设“hn是不同的出战，。、。是不同的平面，其中出命期有()个.(I)若，”/a.nk.mH11,1：2若m,n1.,11111,1；(3)若，m,nl!.a!.(4)若mu,nc,mll,n,JJllJa/?;A.0B.IC.2D.313 .下列命应中，为假命时的是()A.过直线外一点有且只有
4、一条直线与已知直线平行B.垂直于同一个平面的两条出线平行C.b是空间两条出线,若a_1.c且b_1.c,则abD.若直践/垂II于平面a内的两条相交Il线，则H战/垂直于平面a五、填空14.设用、是不同的直线，。、力是不同的平面，其中0命璃是(填序号).(1)若”/a,n工0.nn,Ka1.(2)若nA.nn,则a_1.：(3)Xi)t!)n,tnfa.夕，Wla；(4)若rua,11a,m11,n),则a“：15.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以卜结论：其中所有正确的结论序号(1)8.”与上。平行：(2CN与是舁面直线:(3) CN与8M成彳：(4)DM与BN垂：六、单选题16
5、 .在空间内，出战马平面所成角的取伯范国是（）.D.*A.网B.（闾CM七、填空题17 .在正方体AfiCD-AClD1.E为AB的中点,则异面直线EBl与ADt所成角为一.18 .ABCD-A1H1C1D1是边长为a正方体，AD1H1C所成角的大小.19 .在正方体A8C0-A4G。中,与BD所成的角度为60的棱或面对角线有条.20 .正三极锥尸-AfiC底面边长为24，侧梭长为4,则湎角P-BC-A的大小为.21 .如图.在正四极柱八8C。-八Bea中.底面48C。是正方形,且A8=2M=4.经过顶点4和C各作一个平面与平面C8J）,平行，前者与平面ABC。交于，,，后者与平面八88,A交
6、于4,则异面直线4与所成角的氽弦值为.22 .点M是观段AB的中点,若45到平面4的距离分别为4cm和6cm,I1.Ab在平面的异侧，则点M到平面的距离为cm.23 .如图，平面的一条斜线，与交于点仇r是/在上的投影,是上过点。的另条H战，若/上一点A到平面的距离为I，/与r所成的角的大小为45。，/与尸所成的角的大小为60.则点A到直线1的距离为.4/24 .已知正方体ABa)-ASGR中，八8=6,点P在平面A8Q内，P=32,求点P到8G距离的最小伯为.25 .已知在H二极柱ABC-ABC中，底面为出角二:角形，NC8=90C=6.26 .己知./BC所在平面外点/，I1.E4PH,PC
7、两两乖口.，则点在平面ABC内的射影应为，A8C的心.27 .已知正方体八BCO-ASCQ一点P为视段4R上的点，则满足GPj平面的点的个数为.八、解答题28 .如图，在校长为2的正方体ABCD-A即科中，点E是棱Ag上的动点.U)求证：yD1.DlEi(2)若点是按A8的中点，求二面角R-K-B的大小.29 .如图.平面A8C/)外一点P.PAift)ACD,ADHRC.ABlBC.PA=AD=4.BC=I,AB=6CD=2j3.U)求异向直线PC与AC所成角的大小(2)证明：/X，平面PAC：(3)求AQ与平面PCD所成角的余弦值.30 .如图,在四棱椎A-8CG”中,平面A8C/平面8C
8、C4,A8C是正三角形，四边形HCC1R1是正方形，D是AC的中点.(I)求证：A&/平面W)；(2)求电线BC和平面BDC1所成先的大小31 .如图.P为平面川?CD外一点./M_1.底面八8CD.四边形ABCD是矩形PA=AB=.点F是PB的中点，.点E在边SC上移动.当点E为8C中点时,求证:EFlt平面AC1(2)求证：无论点E在边BC的何处.都书正：_1.A厂.32 .如图，A8C7)-AeG是校长为1的正方体，P为面对角规AR上的动点(不包括端点月的_1平面八8。交八/)千点的.，的_1_8。广义.(1)设八PX,将PN长表示为X的函数/,并求此函数的值域:(2)当PN最小时，求界
9、面K1.战PN与A,C,所成角的大小.九、填空M33 .己知平面。与尸所成的二面角为80为./外一定点，过点Q的一条宜战与。、所成的角都是30.则这样的宜线有且仅有条.54.己知口三棱柱ABC-A8中，AAi=4.ABA.AC,过点A的平面。分别交械A8,AC于点D.E,若直线八A与平面。所成角为6伊.则截面三角形ADE面积的最小伤为.十、单选Je35.设A.8,.。分别是InI棱椎P-AgCD(W棱队MJCJD上的点.给出以下两个命即.则().若八父。是平行四边形,但不是差形则AaGR可能足菱形：法其改力不是平行四边形，则A8GR可能是平行四边形.A.真真B.真假C.假真D.假假36.如图.
10、已知正方体A8C0-A4G仅，点。是棱C的中点，设直跳八8为小直税AR为从对于下列两个命的：过点P有H.只有一条H线/与小人都相交：过点P有且只有两条口戏/与“、/都成750角.以下判断正确的是()A.为此命题，为此命想C.为假命起.为真命题B.为此命题，为黄命鹿D.为假命遨.为假命起十一、解答题37 .设四边形A8C。为旋形,点P为平面48C。外一点,且PA1.平面ABCD,若=A8=I.BC=2.(1)求PC与平面PAD所成角的大小；(2)在8C边上是否存在一点G.使得点。到平面PAG的距离为8，若存在，求出BG的值.若不存在,请说明理由.38 .如图.已知长方体A8CD-ABGA.AB=
11、2,M=直线M与平面8所成角为30,AE乖直8/3于E(1)若广为棱A黑的动点,试确定产的位？1.使得AE平面SGF.并说明理由:(2)若尸为核A8,的中点，求点A到平面BDF的距掰；(3)若F为棱A4上的动点(除端点A、片外)，求二面角厂一小)-A的平面角的范明.【分析】根据点坡、点面位置关系，结合平面的基本性质即UJ得答窠.【详解】由Ae.3e且Aea.8e即u.故答案为：C2. ABUa【分析】根据直线与平面的关系直接如到结果.【评斛】由册意可知：直畿八8在平面“内，所以符号语言为：ABU.故答案为：ABcza.3. I【分析】根据确定平面的方法即可.（详斛不在同一条直畿上的三点确定一个
12、平面.故答案为：1.4. B【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断.【详解】经过不共线三点,有且只有一个平面,故A不符合感感：羟过直线和互线上一点,有无数个平面,故B符合即意：经过两条平行真线，有I1.只有一个平面，故C不符合鹿总：经过两条相交出城,有且只有一个平面,故D不符合也总.故选:B.5. A【分析】根据空间中直线与平面的位跣关系即可求解.【祥价】？；：/与相交，则/与“只有一个公共点，故充分性成立，若/与至多有一个公共点.则/与。相交或者3.故必要性不成立.故”/与“相交”是“/与至多有一个公共点.的充分非必要条件.故选:A6. 异而【分析】由明道画出图形，利用反证法以及点面之
13、间的位置关系即可得解.【详解】如图所示：由秘意在正方体A8C7)-A4G中，点M是极GA的中点，则H践AM与直线CG的位汽关系是异面,理由如下:若口找AM与宜践Cc共面，则AM.C.G四点共面，而时,C,C三点唯一确定平面CDRG.但/U平面x),G,产生矛质，故假设不成立，综上所述，出戏AW与直线CG的位置关系是异面.故答案为：异面.7. aJb【分析】根据面面平行的性防定理可得答案.【详斛】由题遨知a，旦yca=,yc7=Z;,根据面面平行的性质定理可得“也故答案为：ab8. C【分析】根据出线和，没有公共点，结合空间真线的位置关系进行判断.【详解】Y直线”和b没有公共点，.直戏“与/不是
14、相交直线.，直线aijb可旎是相交直线或异面宜线.故选：C.9. B【分析】根据线面平行、而面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质逐琬M断即可.【详解】对A,根据线面平行的判定可知其正确：对B,平面内的两条宜城有可能是平行百.找，这条曲线也可能和平面不垂身，故B项不止确：对C,根据面面平行的性桢可知其正确：对D,根据面面垂克的判定定理可知其正确.故选：B.10. R【分析】充分性,以正方体为例,把直线“力和平面。对应正方体的棱和而,举出反例即可:必要性利用线面平行的性质定理和空间平行规的性域判断即可.【详斜】必要性,若,则存在真战，u*afn.由于J,a.mca.bm,因为b1.，aHm,所以
15、，必要性成立：充分性t若平面ABeD为平面.直线AA为直线宜线&C为宜线满足“a.b1.a,但耳G平面A8C。，即“,不满足充分性;所以b1.是_1.a”的必要非充分条件;故选：B.II.C分析1由线面I直的判定定理即可得.【详解】直线“与平面a内的两条相交直线垂直才可知直线。与平面a垂直，A、B不符，D中的无数条宜我可能为无数条平行直城，不符，故A、B.D错误,CiE确.故选：C.12. B【分析】根据面面垂直、面面平行的判定定理和性顺逐一判断即可.【详斜】对于：若树,则，“1./.又m,则1.”,故(I)正确;对于(2).若ma.n1.,m1.n,则a_1.夕或与尸相交,故(2)错误：对于
16、（3）.ml!n.mlla.nl!.则a0或a与川相交.故（3）错误:对于（4）：根据面面平行的判定定理，”她a.m）li.nl）i,条件缺乏，”与“相交,故4）格误，故选：B13. C（分析根据空间中的点线面的关系即可求解.【详解】对于A过直线外一点有口只有一条直线与已知直线平行，正确：对于B,垂内于同一个平面的两条百.线平行，正确：对于Cb是空间两条直线,若“J.C且_1.c,则/仍或拧。.力异面，故C俯误：对于D,根据战面乖直.的判定定理即可知D正确.故选：C14. （1）【分析】站合m、”是不同的宜战，a、是不同的平面，利用直规、平面之间的位商关系逐一判断即可.【详.解】对于（”：因为
17、mi!n,所以川!，又因为ma,结合面面垂直的判定定理，可得1.f,故（I为女命题；对于（2）：若m,1.则根据空间中平面与平面的位置关系可得：/外相交或平行，故（2不是其命题；对于（3）：茶ME,ma.Mf.则根据空间中平面与平面的位置关系可得：力相交或平行，故（3不是真命应：对于（4）：若mua,flea,mft,nl!,则根据空间中平面与平面的位置关系可得：a.相交或平行,故4）不是要命题：故答案为：（1）.15. （3）（4）（分析】招正方体的平面展开图还原为正方体,结合空间中直线与直线的位置关系判断计算即可.【详斛】将该正方体的平面展开图还原得到如图所示：对于（1：显然是弁面直线，故
18、（1）不正确：对于（2）：在正方体中，N成,EN=BW=C,所以四边形EIVBC是平行四边形，所以BENC,故（2）不正确：对于（3）：连接,Wf,结合（2）由班;NC所以NMBE为异面直线CN与8”所成的角.显然ME=BM=BE,所以4W8E为等边三角形，所以NA/跖故（3）正确：对于（4）：因为住正方体中,BC.IlliDCAZV,且/在面。CMV内.所以BC1./M/,又因为四边形/JCWV是正方形，所以NC/M九因为SCNC=C.RBC正面8NC内，VC花面8NC内，所以ZAM/面8MC,又因为助V在面8NC内.所以DMj.SN.故（4）正确：故答案为；（3）（4）.16. D【分析】
19、根据空间中线面角的定义即可求解.【详解】空间内，n战与平面平行或者口设在平面内，此时直规与平面所成角为Q,当直线与平面垂直时,直线与平面所成角为;,故直线与平面所成角的取值范围是IoA.故选:D.ITio【分析】如图，由咫意可得NFE优（或其补角为异面11雄八。与&4所成角，根据余弦定理计算即可求解.故ZFEB1（或其补用为异面出线Dl与EB1所成角.【详解】如图，取GA的中点R连接济，Hi,.则AE皿且AE=Q.所以四边形AEFA为平行四边形，则AD1HEF.设正方体的楂长为2,在尸优中，EF=AD=M.EB=6fB=米，由余弦定理得“8尸土瑞产=易=平.所以ZFEB1=arccos5故答案
20、为：a11xos半18. 90【分析】在平面8CCM内作出AA的平行线,通过证明垂出关系即可求出两异面直线的夹角.【详解】连接8G，因为ABCRH.A8=CR,所以四边形N8C,仅是平行四边形，【评斛】所以44“明，因为8CG4是正方形，所以8C；_1.我C,所以AD118,C.即AD1与B1C成为.故答案为：9019. 4【分析】结合异而直线所成向求法.依次判断各条枝与面对角线所成角大小即可得到结果.HR11.平面ABCD.HDU平面ABCD.,1HD,又A)IBBx!ICClDi.:.AA.HH1XCrDD,都与8。垂出四边形A8C。为正方形.NA08=NCQ84S又ADMBCfiBGHA
21、,D,CDHABffABtHClDt,：.CD.AU.AZ.C,M.D.IiC.B1C1,AD1与81）所成角均为45：,ACHD,ClUAC.:.AC,AG都与80事直；BDffBlDBQ、与BD所成I用为Q:.BC1=C1D=BD,.BX1为等边三角形，二NGOB=NC,8C=60,BC,HAD,CQ1A.r.g,AR,CQ避A与8C所成角均为60:综上所述：与8。所成的角度为60的极或面对角戏共有4条.故答案为：4.20. arccos也13【分析】根据题意分析可得二面角-8C-A的平面焦为NPA加，利用余弦定理运算求解.（详解】IfeBC的中点M.连接PM.AM,/PR=PC=PA=4
22、,AB=AC=BC=26,则PM1BCAjWHC,故二面角PBC-A的平面角为/AVM.由题意可得：PM=3.AM=3,PA=4,.zn.tPMiAM-PArI3,MIUdijCosZAVM=-.HZFjIIAel0.11I.2PAAM13【分析】利用平面与平面平行的性质定理.得BIW%.CDiU1.求8总与S所成的角的余弦值即为所求【详解】设平面CURC平面AC)=,因为“平面CBa,所以，”4,又因为平曲AIiCDH平面A1R1C1D1,且平面CSRC平面A&G。B1D,.所以BQJ”，1Dll,因为平面八88八平面DCC1D1,且平面CBaC平面。CCa=CD1.同理可证CRM,界面H践
23、4与所成的角即用.CR所成的47)冏在正四校柱八BCD-AfliG。中.底面八8C。足正方形,且A8=8C=2M=4.B1D1=27+27=22,CD,=CB1=2+4=25，cosZCD1fl；=CD；、BUCB；2CDlBlDl2O8-2Oi2x2岳27-i(所以异面在线4与勺所成的用的余弦值为噂.故答案为：叵.IO22.I【分析】当48两点在平面a的异侧时,利用中点的性质即可求解M到平面a的即黑.【详解】当A.8两点在平面a的界侧时,如图，所以点M到平面。的距离为1；故答案为：1.【分析】根据三垂线定理即可求解AC为A到出线广的即禹,进而根据三用形的边角关系求解长度即可.【详斛】因为r是
24、/在。上的投影，所以N4Q8就是，与平面a所成的角，由于/与r所成的角的大小为4S。.故40845。.过A作A8JJ于U,过B作KJJ.于点C,连接AU依题意可得：B1.a.乂OCUa,所以Afi1.OC.又因为BCCAB=B.IiC.ASu平面ARC.所以OC_1.平面ASC,因为ACU平面八8C.所以OCj.AC,故AC为人到直线厂的距围.i5FRtAAOM,AB=I.4。8=45.所以04=正.在Rt.八OC中，ZOC=60a.C=yPA=y：故答案为：诬224. 2/【分析】分别取八。、Ba的中点E、F,连接AE、BtEy、EF,证明出8C,J.平面炳，对于平面八片。内任意一点/,过点
25、P作MN他分别交B总、B、E、A4干点M、Q、N,分析可知点P到口戏8C；的距离等于戏段QF的长，当QFJ.8E时，OF以短，此时点P到直线G的距离收到最小值,利用等面积法求解即可.【祥斛】分别取AD1、HC1的中点、F.连接A,E、R1E,B1F,EF,四边形A8C,R为平行四边形,所以,g,7g且A。=8C.因为、F分别为人仅、8C,的中点,则八8且AE=.所以，四边形Afl正为平行四边形,故EF*ABtlEF=B=6,Q八夕！平面84G。，.Er1.平面88CC.R1F,则/FIEF,EF1BCi,.BBi-B1C1,则BF1.BC、,因为B1.CEF=F,.8G1.平面用EF,.,F=
26、,C=62+62=32.对于平面AfliR内任意一点，过点P作MN/3。分别交4。、4、八用于点时、Q、N,VADiffRCi,:.MN打BC、,所以点。刎直或BC1的距离等于点。到宜线BCt的距离.QFu平面见广，故QFIHC,所以点Q到直战的距离为戏段QF的长，B1F1.EF.Wl&F是以NT为直角的直的三角形.当Qh8声时，QF朵短，此时点P到出线8C的距离取到微小值.在正方体中，4%，平面八。”小，又AEu平面AORA,所以用AjAE,又AE=gk=31.所以BlEJylA,2+E2=61+(.)3而.所以在RtSE尸中由等面枳法可得：IRkCkIRkkkImCkB,FEF36.rr-
27、BEQF=-RFEr,即QF=？三-=23,22BIE36所以P到直线8C,的冲高收到最小值为2不.故答案为；23.25. 52【分析】把面AG沿sc,展开与ACSC在个平面上如图，连接AC.即AC的长度即为CP+M的最小值,求解即可.【详解】由翘意知,PA在几何体内部,但在而AGB内.把面AG8沿BeJ爱开与ACB&在一个平面上如图，连接AC.因为在直三核柱BC-AaG中,CC11平面A&C,而AGU平面A4C,则AG-1.CC1,因为NACB=90则NAC由=903即AG，4G，又CGC8=CCG4Gu平面bb,c,c,则AGJ-平面BB*,而8C,u平面SKGC,所以AG_1.BC,即Z
28、C,8=9r,因为HC=CC1=2.易知C1HC,所以ZCC1B=40。所以ZCC1A=450+90。=135。.而AC=6,CG=G所以在aCCA中,AC-AC+CC11-2AC1CC1CoSl35。50.所以AC=5,即CP+PA的最小假为50.故答案为：52.26. 垂【分析】设点P在平面ABC内的射影为出已知可证明尸IBC,PA1.BC,根据线面垂直的判定以及性质可得8CA.AB1.CPy,所以4是二川%?的垂心.所以，点P在平面A8C内的射影应为二AtfC的垂心.故答案为：垂.27.I【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果.【详斛】在正方体
29、ABCO-AfliCQM1.阴！面A8CA，所以平面面A4G,R平面8DD,BQ面ABeR=BR.连接AG，交BR于P,则彳AC，40.即C/_1.&仅,由面面垂内的性质定理有CPJ平面RDD禺,又在平面A8CQ,内过点G作直线BA的垂线有且仅有一条.故垂足点?有E1.仅有一个，故答案为：1.28.证明见解析(2)x-arocos【分析】(1)连接Aa82利用线面垂直的判定定理、性质定理可汨答案：(2)连接。,判断出A。EC为锐角三角形，作“)!l,所以NAA7)45，AERrWZED+ZfifC90.WJZDECf.DD1J.平面ABCD.CEU平面ABCD.所以8DD1D()=D,O/),
30、、/WU平面。，所以CEJ.平面。，因为。QU平面八8。,所以CElRO.所以NAo。为二面角R-C-。的平面角，由IX)XCE=DCXBC符DoX小4,即1.X)=忑45d,o=Jdd-+Doi=.所以c。SNaoC=盥=Y5653所以ZD1OD=arccos.29.(l)atan)9因为：面角D1-EC-D的平面苑与二面角”,-EC-B的平面角互补.（2）证明见解析辛【分析】（I）通过做平行线将界面直线的角转化成求NCTV,利用勾股定理和余弦定理即可求出界面U践PC与AD所成角的大小；（2）通过证明AC_1.C.AP_1.a）,即可证明结论:（3）通过找出二面角，求也其正弦Ift,进而求出
31、八。与平面Pa）所成角的余弦值.【详解】（1）由题您，在四枝椎P-ABC。中,J.平面ASaXAIilBC.ABU面ARCDADU而ARCD，：.PAI.AB.PAlAD,VPA=AD=4,BC-.=3.CD=23作VHIADHPl=AD=4,则Nav即为异面直观Pe与D所成角ID=PA=4ZC-9(.由几何知识得，CDyB+(D-BCJ(jf+(4-If26.在Rla)/中，由勾股定理得，c三c577d27.在-CVP中，由余弦定理得,Cl2=CP2+PIz-2CPPlcosNCPl，解料：COSNCPI=%,.sinZCPIl-cos-ZCPI居,zj,-jsinZCP/f(anZCPI=
32、9，cosZCP/直线PC与AD所成用的大小为arctanJF?.(2)由题意及(1)得.在四核锥P-ABCD中，PAAD.P=AD=4.AB=乖.BC=I在RiJM)P中,由勾股定理得.PD=PA+ADj=4774r=42在RtAASC中，由勾股定理得，AC=JAff+BC：=在&AC。中，肉勾股定理得,AC2+CD2=AD2.在RlACOP中，由勾股定理得，ADiCPi=PDi,：.AClCAPICD,：ACP=A.C.八PU平面PC.DC1平面PAc(3)由心总及(I)(2)得，作AJ,PC,垂足为/连接因为DC，平面PAC，AWu平面PAC：.All1.CD.：CDPC=C且CD.PC
33、UftPAC.AHJ_平面Pc，/ADH为AD与平面FCO所成的角,.oPAC4x24在咏中AH=F-M=石AHA-JssinADri=-三，D545；.直线八。与平面PCD所成角的余弦值为：l-m11iZAW/-手.【分析】（1）由纹面平行的判定定理证明即可：（2）过点C作CHjCQ,连接8,由题总可证得1.平面MG,所以NaM是直线BC和平面8。G所成角，求解即可.【详解（I）连接用C8C交于点。，连接O。，在z4八。中，ODMg,ODU平面8AX；,A4z平面By.所以八4平面8）C,:(2)因为。AflC是正三角形.。是Ae的中点.所以8)J.AC.设二AtfC的边长为2，所以8。=-
34、Jba2-AD2=JJ，因为平面A8C/平面BCC1B1,平面AflCc平面BCC1B1=BC.因为四边形BCaM是正方形,所以CG1.BC,所以CGJ.TiliiABC.ACc平面ABC,所以CC,1.C.所以CQnJCC；+55,BC1=yBCC1C2242.所以80、Cm=BC3所以SDJ.CQ,又因为8。JMeAC-C,D=l),AUCJ)U平面”G,所以8。/平面OCG,过点C作C1.G,连接A”,c/fIftioccl.所以b/)，c.ClDryBD=D.C1D.4)U平面RDC1,所以CHJ_平面BDC,所以NCBH是比线8C和平面BDC1所成角.在CG),CCxCD=CHC1D
35、,所以2l=CT/所以所以SinNCBH=辿=正.31.(1)详见解析.(2)详见解析.【分析】(1)根据中位线平行于底边知，户了尸C.利用线面平行的判定定理即可证明:(2)先证明出AF_1.平面F8C,即可证明出结论.【详解】点F是Pe的中点.当点E为BC中点时,可得EFuPC又EFa平面PAC,PeU平面PAC,.EF平面PAC.(2)幺=八注点尸是/%的中点,.-/W,又J.底面ABCD,8Cu平面ABCD.:.P1.BC.又四边形A8C。足走形.BC1AB.乂cA8=A.BCl平面FAB.AFc平面/讥,.HC1.AF又PBCRC=W.-.AFl平面PBC,又？EU平面P8CAFIPE
36、.无论点E在边BC的何处，都有庄J.八F.32. (1)/(r)l*xTj+,x2)：值域为;乎c-6(2)arcsn【分析】(I)设AP=X(OVXV),利用平行畿解线段成比例求褥AM-PM=当X,得到A)=l-立X,进一步求得MN,再由勾股定理列式求解v),结合二次函数求值域：2(2)由(I)当X=。时，PN最小，此时PN=等，由于AWMW?,又AGAC,NM为异向宜线PN与AG所成角的平面角,通过解直角:角形分的得答案.【详解】(1)正方体A8C)-A%G的楂长为I,.-.Dl=2.XAMPM2ADDDt设APN0PWlflhiABCD故PMDDt,则iAPMAD1D.故得AM-PM-F
37、X,故MD=1-X.同理得MV=-=!X22222PN-f(x)-,-MN1(OVXCO).故当X邛时,“X)有最小值为4,当X=O时./(X)=I.；函数/(*)的值域为y.（2）当X立时，PN最小，此时PNl=9，33在底面A8C。中，A4N1.BD,AClBD,:.MNHAC,又AClC.ZVW为异面直线PN与AG所成角的角.在4PMV中，NPMN为直由，SinNZWM=皆=*=岑，T：.ZPNM-iirxin.异面宜线PN与AG所成角的大小为arcsin走.333. 4【分析】过点P作平面OB垂直于平面.夕的交线/.并且交直线/干点O.连接OP.则OPi.过点在平面AOB内作/AOB的
38、平分线OP,以为皱在。4的用平分面内转动。6,根据胞意可得出有两条包找满足题意：以OP为釉在平面AOir内前后犯动。代.根据整理可得出有两条直规满足题意，综合可科结果.【详解】解：首先给出下面两个结论；两条平行线与同一个平面所成的角相等：与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于丽平分面.（1）如图I，过二面角-/一6内任一点作桢/的垂面八08.交核/于点。，图I与两半平面交一TQQ从因为/平面八。8，OUMu平面A08,所以OAjJ.08JJ,则/AO8为.面角-/一6的平面角，则ZAQB=8（,设为NAOB的平分线.则NAOff=ZPQB=的1.OPx与平面,“所成的角都是40
39、。，此时过点P且与。平行的直践符合要求,当。耳以。为轴心，在二面用的平分面上转动时，。匕与两平面的夹角会变小.会对林地出现两条符合成30。的情形；(2)如图2,设。鸟为/403的补用ZAOB的平分线.图2则AP,Off=ZfOA=3326故答案为：32.【分析】对于,可以考虑构造一个正四桢椎来说明,对于可以考虑利用反证法证伪.【详解】对于，考虑一个正四核俳，然后用他的例棱的延长线上可以画出一个梯形，具体做法是：取心=PRt=PC1=PR,则四段锥P-A1B1C1D1为止四极锢：,憔底今PA,2P.PB2PB,PC3PC,.PD3PD,那么AZ?“8C,AZ)8C,IltBiABCD是梯形,但不是平行四边形.B对于，如图,四边形A8C。为平行四边形.AB。,仅也为平行四边形.柠平面A8CD与平面A8R不平行，则四边形A4G中必有一边与底面八8C相交，不妨设直线AA与底面相交，则直线用。也与底面相交，在平面EU）中过P做Aq的平行戏，交AD与T,则PTKB1C1,因尸平面
